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浙江省26届中考数学精准预测卷二
（精选浙江中考，模拟经典题型，必考题型，最新变式题型））
一．选择题（共10小题）
1．下列各数中，属于无理数的是（　　）
A．0 B． C．3.14 D．
2．如图是某几何体的表面展开图，则该几何体是（　　）
A．圆柱 B．圆锥 C．长方体 D．球
3．据统计，2026年春节假期，某市全市重点景区、星级酒店、乡村民宿等累计接待全域游客超7225000人次．用科学记数法可将“7225000”表示为（　　）
A．0.7225×107 B．7.225×106 C．7.225×105 D．72.25×105
4．用反证法证明“是无理数”时，应先假设（　　）
A．是无理数 B．是有理数
C．是正数 D．是实数
5．如图，在直角坐标系中，△OAB与△OCD是以原点O为位似中心的位似图形．若点A（6，4）的对应点为C（﹣3，﹣2），则点B（4，0）的对应点D的坐标为（　　）
A．（﹣2，0） B．（﹣4，0） C．（0，﹣2） D．（0，﹣4）
6．如图，已知折扇骨柄长OA为30cm，折扇完全张开时∠AOB的度数为120°，此时弧AB的长是（　　）
A．10π cm B．20π cm C．150π cm D．300π cm
7．有10位同学参加歌唱比赛，成绩各不相同，按成绩取前5位进入决赛，一位选手知道了自己的成绩后，要判断能否进入决赛，则他还需知道这10位同学成绩的（　　）
A．平均数 B．中位数 C．方差 D．众数
8．某实践小组想仅用一架天平和一个10克的砝码测量出壹元硬币和伍角硬币的质量．于是，他们找来足够多的壹元和伍角硬币（假设同种类每枚硬币的质量相同），经过操作得到如下记录．
记录 天平左边 天平右边 状态
记录一 5枚壹元硬币，1个10克的砝码 10枚伍角硬币 平衡
记录二 15枚壹元硬币 20枚伍角硬币，1个10克的砝码 平衡
请帮该实践小组算一算，一枚壹元硬币和一枚伍角硬币的质量分别是多少克？设一枚壹元硬币的质量为x克，一枚伍角硬币的质量为y克，则x和y满足的方程组是（　　）
A． B．
C． D．
9．如图，AB为半圆的直径，AB＝4，C、D为上两点，且，若∠CED∠COD，则的长为（　　）
A． B． C． D．
10．如图，在直角坐标系中，O是原点，点A在反比例函数（k为常数，k＞0，x＞0）的图象上，点C在x轴上，且AO＝AC，延长AC交反比例函数的图象于点B，记点A，B的横坐标分别为a，b．当a，b的值变化时，下列代数式的值不变的是（　　）
A． B．b﹣a C．b2﹣a2 D．
二．填空题（共6小题）
11．计算：|﹣2|　 　 ．
12．设有3个型号相同的杯子，其中一等品2个，二等品1个．从中任意取一个杯子，记下等级后放回，再从中任取一个杯子．则两次取出都是二等品杯子的概率是　 　 ．
13．如图，小明为测量池塘的长度BC，在池塘外取一点A，连接AB，AC，分别取AB，AC的中点D，E，连接DE，测得DE＝10米，则BC的长为　 　 米．
14．已知圆锥的底面半径为4cm，母线长为6cm，则圆锥的侧面积为 　 　 cm2
15．如图，在 ABCD中，过点C作CE⊥BD于点E，连结AE．若CE＝3，sin∠AEB，则AE的值为 　 　 ．
16．如图，四边形ABCD内接于⊙O，直径AC＝10，AB＝BC．若，则BD的长为　 　 ．
三．解答题（共8小题）
17．化简求值：（x+1）2+x（3﹣x），其中．
18．解方程：
解一元二次方程x2﹣2x＝3时，小江同学的解法如表所示：
小江同学： 解：x（x﹣2）＝3， 所以x＝1或x﹣2＝3， 所以x＝1或x2＝5．
（1）你认为x1＝1是原方程的解吗？请检验（写出检验过程）；
（2）请选择合适的方法解原方程．
19．如图，点C是⊙E外一点，CE的延长线交⊙E于点B，点A在圆上，连接AE，且AB＝AC，∠C＝30°．
（1）求证：AC为⊙E切线；
（2）若AE＝1，求BC的长．
20．为保障2026年央视春晚机器人武术表演的动作整齐度，技术人员抽取部分机器人开展动作同步误差检测，以此筛选最终上场的设备．规定：同步误差数值越小，代表动作精准度越高．误差单位为毫秒（ms）根据检测结果，绘制了如下未完成的频数统计表与扇形统计图．
机器人动作同步误差数据频数统计表
同步误差（ms） 频数 对应扇形区域
0≤x＜10 5 A
10≤x＜20 a B
20≤x＜30 14 C
30≤x＜40 11 D
40≤x≤50 10 E
根据以上信息，解答下列问题：
（1）抽取的机器人数是　 　 台，统计图表中a＝　 　 ．b＝　 　 ．
（2）这组数据的中位数落在　 　 组．
（3）若规定误差小于30（ms）为“表演合格”，请估计200台同款机器人中合格的台数．
21．在长跑、骑行等耐力运动中，运动员常用“配速”来评估运动强度．配速是指运动时间与运动距离的比值（即每公里的运动耗时），单位通常为“分钟/公里”（min/km），配速数值越高，代表运动速度越慢．小海参加了一场10公里的健身跑活动，他的配速p与已完成路程s（单位：km）之间的关系如图所示．
（1）p是关于s的函数吗？请说明理由．
（2）在s1、s2、s3三个位置中，运动速度最慢的是　 　 ．
（3）若点A（10，6），求小海完成10公里健身跑的时间．
22．综合与实践：
【生活情境】如图1，要将一块形状为平行四边形的木板余料分割成相同的两部分，拼接成一块矩形木板，需要找到合适的分割线．
【数学问题】如图2，已知 ABCD，AB＝40cm，BC＝60cm，∠B＝53°．作一条直线EF，使直线EF⊥BC，且将 ABCD分成周长相等的两部分．
【实践操作】如图3，小嘉的作法：①连接AC，BD交于点O；②以AC为直径作半圆交边BC于点H；③连接AH，作∠HAC的角平分线交半圆O于点G；④作直线OG分别交边AD，BC于点E，F，直线EF就是所求作的直线．
【解决问题】
（1）求 ABCD的面积；（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6）
（2）根据小嘉的作图过程，说明直线EF⊥BC且将 ABCD分成周长相等的两部分的理由．
23．已知点A（﹣2，﹣4）在二次函数y＝ax2﹣2ax（a为常数，且a≠0）的图象上．
（1）求a的值．
（2）点B（m，n），C（m+k，n+k）（k＞0）均在二次函数y＝ax2﹣2ax的图象上．
①当点B与点A重合时，求点C的坐标；
②当m≤x≤m+k时，函数值的范围是n≤y≤n+k，求k的最大值．
24．如图，在等边△ABC中，D是边AC上的动点，将线段BD绕点B按顺时针方向旋转60°得到线段BE，连接CE，DE，DE交边BC于点F．
（1）求∠BCE的度数；
（2）若△DCE的面积为，CF＝3，求BF的长；
（3）若AB＝1，求的最大值．
浙江省26届中考数学精准预测卷二（精选浙江中考，模拟经典题型，必考题型，最新变式题型））
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．下列各数中，属于无理数的是（　　）
A．0 B． C．3.14 D．
【分析】根据有理数、无理数的定义判断即可．
【解答】解：A、0是有理数，故此选项不符合题意；
B、是有理数，故此选项不符合题意；
C、3.14是有理数，故此选项不符合题意；
D、是无理数，故此选项符合题意；
故选：D．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数，如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．
2．如图是某几何体的表面展开图，则该几何体是（　　）
A．圆柱 B．圆锥 C．长方体 D．球
【分析】根据所给展开图，得出几何体的名称即可．
【解答】解：由所给图形可知，
该几何体是圆柱．
故选：A．
【点评】本题主要考查了几何体的展开图，熟知常见几何体的展开图是解题的关键．
3．据统计，2026年春节假期，某市全市重点景区、星级酒店、乡村民宿等累计接待全域游客超7225000人次．用科学记数法可将“7225000”表示为（　　）
A．0.7225×107 B．7.225×106
C．7.225×105 D．72.25×105
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，解题关键是正确确定a和n的值，当原数的绝对值大于等于10时，小数点向左移动位数即为n的值，由此即可求解．
【解答】解：用科学记数法可将“7225000”表示为7.225×106，
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．用反证法证明“是无理数”时，应先假设（　　）
A．是无理数 B．是有理数
C．是正数 D．是实数
【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立．
【解答】解：用反证法证明“是无理数”时，应先假设是有理数，
故选：B．
【点评】本题考查的是反证法，在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
5．如图，在直角坐标系中，△OAB与△OCD是以原点O为位似中心的位似图形．若点A（6，4）的对应点为C（﹣3，﹣2），则点B（4，0）的对应点D的坐标为（　　）
A．（﹣2，0） B．（﹣4，0） C．（0，﹣2） D．（0，﹣4）
【分析】在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．根据A（6，4），C（﹣3，﹣2）求出相似比，再根据位似变换的性质计算即可．
【解答】解：∵△OAB与△OCD是以原点O为位似中心的位似图形，且点A（6，4）的对应点为C（﹣3，﹣2），
∴△OAB与△OCD的位似比为，
∵B点坐标为（4，0），
∴点B的对应点D的坐标为即（﹣2，0），
故选：A．
【点评】本题主要考查了位似变换，坐标与图形性质，掌握其相关知识点是解题的关键．
6．如图，已知折扇骨柄长OA为30cm，折扇完全张开时∠AOB的度数为120°，此时弧AB的长是（　　）
A．10π cm B．20π cm C．150π cm D．300π cm
【分析】根据弧长公式计算即可．
【解答】解：由题意可得，，即弧AB的长为20πcm，
故选：B．
【点评】本题考查了弧长的计算，关键是相关公式的熟练掌握．
7．有10位同学参加歌唱比赛，成绩各不相同，按成绩取前5位进入决赛，一位选手知道了自己的成绩后，要判断能否进入决赛，则他还需知道这10位同学成绩的（　　）
A．平均数 B．中位数 C．方差 D．众数
【分析】参赛选手要想知道自己是否能进入前5名，只需要了解自己的成绩与全部成绩的中位数的大小即可．
【解答】解：由于总共有10个人，且他们的成绩互不相同，要判断是否进入前5名，只要把自己的成绩与中位数进行大小比较．则应知道中位数的多少．
故选：B．
【点评】此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．
8．某实践小组想仅用一架天平和一个10克的砝码测量出壹元硬币和伍角硬币的质量．于是，他们找来足够多的壹元和伍角硬币（假设同种类每枚硬币的质量相同），经过操作得到如下记录．
记录 天平左边 天平右边 状态
记录一 5枚壹元硬币，1个10克的砝码 10枚伍角硬币 平衡
记录二 15枚壹元硬币 20枚伍角硬币，1个10克的砝码 平衡
请帮该实践小组算一算，一枚壹元硬币和一枚伍角硬币的质量分别是多少克？设一枚壹元硬币的质量为x克，一枚伍角硬币的质量为y克，则x和y满足的方程组是（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】依据题意，设一枚壹元硬币x克，一枚伍角硬币y克．两个等量关系为：5枚壹元硬币质量+10＝10枚伍角硬币质量；15枚壹元硬币质量＝20枚伍角硬币质量+10，从而可以列出方程组．
【解答】解：设一枚壹元硬币x克，一枚伍角硬币y克．
则．
故选：C．
【点评】本题考查了列二元一次方程组解应用题．解题关键是弄清题意，找到合适的等量关系列出方程组．
9．如图，AB为半圆的直径，AB＝4，C、D为上两点，且，若∠CED∠COD，则的长为（　　）
A． B． C． D．
【分析】设的度数为x°，则∠AOC＝x，∠BOD＝5x，∠COD＝180°﹣6x，构建方程求出x，再利用弧长公式计算即可．
【解答】解：设的度数为x°，则∠AOC＝x，∠BOD＝5x，∠COD＝180°﹣6x，
∵∠CED∠COD，
∴∠CED（180°﹣6x），
∵∠CED∠COD＝180°，
∴（180°﹣6x）+90°﹣3x＝180°，
解得x＝20，
∴∠DOB＝100°，
∴的长π，
故选：D．
【点评】本题考查圆周角定理，弧长公式等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
10．如图，在直角坐标系中，O是原点，点A在反比例函数（k为常数，k＞0，x＞0）的图象上，点C在x轴上，且AO＝AC，延长AC交反比例函数的图象于点B，记点A，B的横坐标分别为a，b．当a，b的值变化时，下列代数式的值不变的是（　　）
A． B．b﹣a C．b2﹣a2 D．
【分析】先求出A，B，C坐标，再用待定系数法求出直线AC解析式，再把点B坐标代入直线AC解析式，从而得出a，b的关系式．
【解答】解：点A在反比例函数（k为常数，k＞0，x＞0）的图象上，点A的横坐标分别为a，
∴点A坐标为（a，），
∵AO＝AC，点C在x轴上，
∴点C坐标为（2a，0），
设直线AC的解析式为y＝mx+n，
把A，C坐标代入解析式得：
，
解得，
∴直线AC的解析式为yx，
∵点B在反比例函数的图象图象上，点B的横坐标分别为b，
∴点B坐标为（b，），
∵点B在直线AC上，
∴b，
整理得：a2﹣b2＝﹣2ab，
∴2．
故选：D．
【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，关键是求出点A，B，C的坐标．
二．填空题（共6小题）
11．计算：|﹣2|　0　 ．
【分析】根据绝对值的性质和立方根的定义计算可得答案．
【解答】解：原式＝2﹣2＝0，
故答案为：0．
【点评】本题主要考查实数的运算，解题的关键是掌握绝对值的性质和立方根的定义．
12．设有3个型号相同的杯子，其中一等品2个，二等品1个．从中任意取一个杯子，记下等级后放回，再从中任取一个杯子．则两次取出都是二等品杯子的概率是　　 ．
【分析】根据题意画出树状图，得出所有等可能的结果数，找出两次取出都是二等品的结果数，再根据概率公式计算即可．
【解答】解：记两个一等品分别为A1，A2，二等品为B，画树状图如下：
由树状图得两次取出都是二等品杯子的概率为．
故答案为：．
【点评】本题考查了用列表法或树状图法求概率，熟练掌握该知识点是关键．
13．如图，小明为测量池塘的长度BC，在池塘外取一点A，连接AB，AC，分别取AB，AC的中点D，E，连接DE，测得DE＝10米，则BC的长为　20　 米．
【分析】利用三角形中位线定理得BC＝2DE即可求解．
【解答】解：∵D，E分别是AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴BC＝2DE＝20米，
故答案为：20．
【点评】本题主要考查了三角形中位线定理，掌握其相关知识点是解题的关键．
14．已知圆锥的底面半径为4cm，母线长为6cm，则圆锥的侧面积为 　24π　 cm2
【分析】圆锥的侧面积πrl（底面半径r，母线长l），把相应数值代入即可求解．
【解答】解：∵圆锥的底面半径为4cm，母线长为6cm，
∴圆锥的侧面积＝π×4×6＝24π（cm2），
故答案为：24π．
【点评】本题考查圆锥侧面积的求法，掌握相应公式是解题的关键．
15．如图，在 ABCD中，过点C作CE⊥BD于点E，连结AE．若CE＝3，sin∠AEB，则AE的值为 　　 ．
【分析】过点A作AF⊥BD于点F，证明△AFD和△CEB全等得AF＝CE＝3，在Rt△AFE中，根据sin∠AEB即可得出AE的值．
【解答】解：过点A作AF⊥BD于点F，如图所示：
∴∠AFD＝90°，
∴△AFE是直角三角形，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴∠ADF＝∠CBE，
∵CE⊥BD于点E，
∴∠CEB＝90°，
∴∠AFD＝∠CEB＝90°，
在△AFD和△CEB中，
，
∴△AFD≌△CEB（AAS），
∴AF＝CE＝3，
在Rt△AFE中，sin∠AEB，
∴sin∠AEB，
∴AEAF，
即AE的值为．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，理解平行四边形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，锐角三角函数的定义是解决问题的关键．
16．如图，四边形ABCD内接于⊙O，直径AC＝10，AB＝BC．若，则BD的长为　　 ．
【分析】连接OB，过点D作DH⊥AC于H，根据等腰三角形的性质及圆周角定理可得OB⊥AC，OA＝OC＝OB＝5，∠ADC＝90°，根据得出DH＝4，设CH＝x，先证明△ADH∽△DCH，根据相似三角形的性质求出x1＝2，得出OH＝3，证明△DHE∽△BOE，求出，，利用勾股定理求出，，进而可求出BD的长．
【解答】解：连接OB，过点D作DH⊥AC于点H，如图，
∵AC是⊙O的直径，且AC＝10，
∴OA＝OC＝OB＝5，∠ADC＝90°，
∵AB＝BC，OA＝OC，
∴OB⊥AC，
∵，
∴，
∴DH＝4，
设CH＝x，则AH＝10﹣x，
∵∠CDE+∠DCE＝90°，∠CDE+∠ADE＝90°，
∴∠ADH＝∠DCH，
∵∠DHC＝∠DHA＝90°，
∴△ADH∽△DCH，
∴，即，
解得：x1＝2，x2＝8（大于5，舍去），
经检验，x1＝2是分式方程的解，
∴OH＝OC﹣CH＝5﹣2＝3，
∵OB⊥AC，DE⊥AC，
∴OB∥DH，
∴△DHE∽△BOE，
∴，
∴，，
在Rt△DEH中，，
在Rt△BOE中，，
∴．
【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，相似三角形的判定与性质，根据题意构造出直角三角形是解题的关键．
三．解答题（共8小题）
17．化简求值：（x+1）2+x（3﹣x），其中．
【分析】将原式利用完全平方公式，单项式乘多项式展开，然后去括号，合并同类项，最后将已知数值代入计算即可．
【解答】解：原式＝x2+2x+1+（3x﹣x2）
＝x2+2x+1+3x﹣x2
＝5x+1；
当x时，
原式＝51＝1+1＝2．
【点评】本题考查整式的混合运算—化简求值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
18．解方程：
解一元二次方程x2﹣2x＝3时，小江同学的解法如表所示：
小江同学： 解：x（x﹣2）＝3， 所以x＝1或x﹣2＝3， 所以x＝1或x2＝5．
（1）你认为x1＝1是原方程的解吗？请检验（写出检验过程）；
（2）请选择合适的方法解原方程．
【分析】（1）根据题意，将x＝1代入方程进行计算即可；
（2）利用因式分解法对所给一元二次方程进行求解即可．
【解答】解：（1）x1＝1不是原方程的解，理由如下：
当x＝1时，
左边＝12﹣2×1＝﹣1，右边＝3，
因为左边≠右边，
所以x＝1不是原方程的解；
（2）x2﹣2x＝3，
x2﹣2x﹣3＝0，
（x+1）（x﹣3）＝0，
则x+1＝0或x﹣3＝0，
所以x1＝﹣1，x2＝3．
【点评】本题主要考查了解一元二次方程﹣因式分解法及解一元二次方程﹣配方法，熟知配方法及因式分解法解一元二次方程的步骤是解题的关键．
19．如图，点C是⊙E外一点，CE的延长线交⊙E于点B，点A在圆上，连接AE，且AB＝AC，∠C＝30°．
（1）求证：AC为⊙E切线；
（2）若AE＝1，求BC的长．
【分析】（1）通过证明∠EAC＝90°得以论证AC为⊙E切线；
（2）利用直角三角形的性质求解即可．
【解答】（1）证明：由条件可知∠B＝∠C＝30°，
∴∠BAC＝120°，
∵EB＝EA，
∴∠B＝∠EAB＝30°，
∴∠EAC＝∠BAC﹣∠EAB＝90°，
即AE⊥AC，
∴AC为⊙E切线；
（2）解：由条件可知CE＝2AE＝2，
∵BE＝AE＝1，
∴CB＝CE+BE＝2+1＝3．
【点评】本题考查了切线的判定与性质，熟练掌握该知识点是关键．
20．为保障2026年央视春晚机器人武术表演的动作整齐度，技术人员抽取部分机器人开展动作同步误差检测，以此筛选最终上场的设备．规定：同步误差数值越小，代表动作精准度越高．误差单位为毫秒（ms）根据检测结果，绘制了如下未完成的频数统计表与扇形统计图．
机器人动作同步误差数据频数统计表
同步误差（ms） 频数 对应扇形区域
0≤x＜10 5 A
10≤x＜20 a B
20≤x＜30 14 C
30≤x＜40 11 D
40≤x≤50 10 E
根据以上信息，解答下列问题：
（1）抽取的机器人数是　50　 台，统计图表中a＝　10　 ．b＝　22　 ．
（2）这组数据的中位数落在C 组．
（3）若规定误差小于30（ms）为“表演合格”，请估计200台同款机器人中合格的台数．
【分析】（1）根据频数统计表和扇形统计图可知A组台数为5台，所占百分比为10%，由此可得抽取的机器人数，然后问题可求解；
（2）根据中位数的定义进行求解即可；
（3）由题意可直接进行求解．
【解答】解：（1）抽取的机器人数为5÷10%＝50（台），
∴a＝50﹣5﹣14﹣11﹣10＝10，；
故答案为：50，10，22；
（2）由中位数的定义可知：该组数据的中位数为第25和第26的数据之和的平均数，A组和B组的和为15，A组、B组和C组的和为29，
∴这组数据的中位数落在C组；
故答案为：C；
（3）由题意可直接进行求解可得：
200×（10%+20%+28%）＝116（台）；
答：200台同款机器人中合格的台数为116台．
【点评】本题考查了扇形统计图、用样本估计整体，熟练掌握该知识点是关键．
21．在长跑、骑行等耐力运动中，运动员常用“配速”来评估运动强度．配速是指运动时间与运动距离的比值（即每公里的运动耗时），单位通常为“分钟/公里”（min/km），配速数值越高，代表运动速度越慢．小海参加了一场10公里的健身跑活动，他的配速p与已完成路程s（单位：km）之间的关系如图所示．
（1）p是关于s的函数吗？请说明理由．
（2）在s1、s2、s3三个位置中，运动速度最慢的是s2 ．
（3）若点A（10，6），求小海完成10公里健身跑的时间．
【分析】（1）根据函数的定义判断即可；
（2）根据配速越高运动速度越慢判断即可；
（3）根据配速乘以路程等于时间计算即可．
【解答】解：（1）p是关于s的函数，理由如下：
∵在配速p与已完成路程s之间的变化过程中，有两个变量p，s且对于s的每一个确定的值，p都有唯一确定的值与之对应，
∴p是关于s的函数；
（2）∵在s1、s2、s3三个位置中，在s2所对应的配速p值最大，
∴运动速度最慢的是s2；
故答案为：s2；
（3）∵10×6＝60（min），
∴小海完成10公里健身跑的时间是60分钟．
【点评】此题主要考查了函数的定义，函数与图象，解题的关键是能正确识图．
22．综合与实践：
【生活情境】如图1，要将一块形状为平行四边形的木板余料分割成相同的两部分，拼接成一块矩形木板，需要找到合适的分割线．
【数学问题】如图2，已知 ABCD，AB＝40cm，BC＝60cm，∠B＝53°．作一条直线EF，使直线EF⊥BC，且将 ABCD分成周长相等的两部分．
【实践操作】如图3，小嘉的作法：①连接AC，BD交于点O；②以AC为直径作半圆交边BC于点H；③连接AH，作∠HAC的角平分线交半圆O于点G；④作直线OG分别交边AD，BC于点E，F，直线EF就是所求作的直线．
【解决问题】
（1）求 ABCD的面积；（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6）
（2）根据小嘉的作图过程，说明直线EF⊥BC且将 ABCD分成周长相等的两部分的理由．
【分析】（1）圆周角定理得到AH⊥BC，解直角三角形，求出AH的长，再根据平行四边形的性质进行求解即可；
（2）连接OH，HG，CG，根据角平分线的定义和圆周角定理以及弧，弦，角之间的关系，推出HG＝CG，进而得到EF⊥BC，证明△AOE≌△COF（SAS），得到AE＝CF，进而得到BF＝DE，根据周长公式即可得出结论．
【解答】（1）解：∵以AC为直径作圆交BC于点H，
∴AH⊥BC．
∵AB＝40cm，，
∴AH≈32cm．
∵BC＝60cm，
∴ ABCD的面积≈60×32＝1920（cm2），
答： ABCD的面积为1920cm2；
（2）证明：连接OH，HG，CG，则OH＝OC，
∵AG平分∠HAC，
∴∠HAG＝∠CAG，
∴∠HOG＝∠COG，
∴HG＝CG，
∴OG⊥CH，即EF⊥BC．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，OA＝OC，AB＝CD，AD＝BC，
∴∠DAC＝∠BCA，
∵∠AOE＝∠COF，
∴△AOE≌△COF（SAS），
∴AE＝CF，
∴DE＝BF，
∴AE+AB+BF+EF＝CF+CD+DE+EF．
∴EF⊥BC且将 ABCD分成周长相等的两部分．
【点评】本题考查圆的综合题，全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
23．已知点A（﹣2，﹣4）在二次函数y＝ax2﹣2ax（a为常数，且a≠0）的图象上．
（1）求a的值．
（2）点B（m，n），C（m+k，n+k）（k＞0）均在二次函数y＝ax2﹣2ax的图象上．
①当点B与点A重合时，求点C的坐标；
②当m≤x≤m+k时，函数值的范围是n≤y≤n+k，求k的最大值．
【分析】（1）把A（﹣2，﹣4）代入y＝ax2﹣2ax可求出；
（2）①由点B与点A重合得m＝﹣2，n＝﹣4，表示出点C的坐标为（﹣2+k，﹣4+k），代入函数解析式可得，解方程求出k的值，从而确定点C的坐标；
②求出抛物线的对称轴是直线x＝1，由当m≤x≤m+k时，函数值的范围是n≤y≤n+k得出m+k≤1，由（m，n），（m+k，n+k）在图象上求出，从而可得出结论．
【解答】解：（1）点A（﹣2，﹣4）在二次函数y＝ax2﹣2ax（a为常数，且a≠0）的图象上．把点A的坐标代入得：
4a+4a＝﹣4，
解得：；
（2）①由（1）得：二次函数的解析式为．
∵点B（m，n），C（m+k，n+k）（k＞0）均在二次函数y＝ax2﹣2ax的图象上，点B与点A重合，
∴m＝﹣2，n＝﹣4，
∴点C的坐标为（﹣2+k，﹣4+k），
∴，
解得：k＝0（不合题意，舍去）或k＝4，
∴点C的坐标为（2，0）；
②∵，
∴抛物线的对称轴是直线x＝1，
∵当m≤x≤m+k时，函数值的范围是n≤y≤n+k，
∴m+k≤1；
∵（m，n），（m+k，n+k）在图象上，将两点坐标分别代入得：
，
解得：，
∴，
∴，即k≤2，
∴k的最大值为2．
【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象及性质，一次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
24．如图，在等边△ABC中，D是边AC上的动点，将线段BD绕点B按顺时针方向旋转60°得到线段BE，连接CE，DE，DE交边BC于点F．
（1）求∠BCE的度数；
（2）若△DCE的面积为，CF＝3，求BF的长；
（3）若AB＝1，求的最大值．
【分析】（1）根据等边三角形的性质结合旋转的性质证明△ABD≌△CBE（SAS），即可解得；
（2）作DG⊥EC于点G，解直角三角形求出，根据△DCE的面积为，得到CE CD＝20．证明△BED是等边三角形，再证明△CFD∽△CEB，推出，即可求解；
（3）先求出，当S△BDE最小时，最大，即当BD⊥AC时，S△BDE最小，此时，证明△CFD∽△ADB，求出，即可求解．
【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，∠ABC＝60°，
由旋转的性质得∠DBE＝60°，BD＝BE，
∴∠ABD＝∠CBE，
∴△ABD≌△CBE（SAS），
∴∠BCE＝∠BAD＝60°．
（2）作DG⊥EC于点G，
∵∠BCE＝∠ACB＝60°，
∴∠DCG＝60°，
∴，
∵△DCE的面积为，
∴，
∴CE CD＝20．
由旋转的性质得BD＝BE，∠DBE＝60°，
∴△BED是等边三角形，
∴∠BED＝60°，
∴∠DFC＝60°+∠CEF＝∠BEC，
∵∠DCF＝∠BCE＝60°，
∴△CFD∽△CEB，
∴，
∴CF BC＝CE CD＝20，
∵CF＝3，
∴，
∴．
（3）∵AB＝1，
∴，
∵，
∴当S△BDE最小时，最大，
∵△BDE是等边三角形，要使S△BDE最小，只需满足BD最短，
∴当BD⊥AC时，S△BDE最小，此时，
∵∠A＝∠DCF＝∠FDB＝60°，∠ADF＝∠DCF+∠CFD＝∠FDB+∠ADB，
∴∠CFD＝∠ADB，
∴△CFD∽△ADB，
∴，
∴，
∴的最大值为．
【点评】本题属于几何变换综合题，主要考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，旋转的性质等等，正确作出辅助线构造等边三角形，进而构造全等三角形是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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