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浙江省杭州市钱塘区2025年4月第二学期学业水平测试（二）九年级数学试题卷
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．在有理数—1，-2，0，1中，最小的数是(　　)
A．-1 B．-2 C．0 D．1
2．截至2025年3月15日，国产动画电影《哪吒之魔童闹海》突破150亿元票房，登顶全球动画电影票房榜.数据150亿用科学记数法表示为(　　)
A．15000000000 B．0.15×101 C．1.5×10 0 D．1.5×10
3．一个不透明的袋子中，装有除颜色外完全相同的2个红球和5个白球.从袋子中随机摸球，甲认为：若摸出1个球，则摸出白球的可能性大；乙认为：若摸出3个球，则至少有1个白球.以下判断正确的是(　　)
A．甲乙都正确 B．甲正确，乙错误
C．甲错误，乙正确 D．甲乙都错误
4．下列计算正确的是(　　)
A．a3·a2=a6 B．(a+b)2=a2+b2
C．2a+4a=6a2 D．(-2a2)3=-8a6
5．如图是由8个大小相同的小正方体组成的几何体，若从标号为①②③④的小正方体中取走一个，所得几何体的主视图与原几何体的主视图相同，则取走的是(　　)
A．① B．② C．③ D．④
6．已知点A(-3，y1)，B(-1，y2)，C(2，y3)在反比例函数的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为(　　)
A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y1＜y3
7．如图，在△ABC中，分别以点A，C为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点D，E，作直线DE与BC交于点F，连结AF.若AB=6，BC=7，则△ABF的周长为(　　)
A．13 B．14 C．15 D．16
8．下列命题正确的是(　　)
A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B．有一个角是直角且对角线相等的四边形是矩形
C．顺次连结矩形各边中点得到的四边形是菱形
D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
9．如图，在正六边形ABCDEF中，连结AC与AE，以点A为圆心，AC长为半径画弧CE.若AB=4，则图中阴影部分的面积是(　　)
A．6π B．8π C．12π D．16π
10．数学兴趣小组借助绘图软件探究函数的图象.现输入一组m，n的值，得到的函数图象如图所示，由此可以推断输入的m，n的值满足(　　)
A．m>0，n>0 B．m>0，n<0 C．m<0，n>0 D．m<0，n<0
二、填空题：本大题有6个小题，每小题3分，共18分.
11．-2025的相反数是　 　.
12．当　 　时，分式的值为．
13．李老师准备选一名同学代表班级参加“计算挑战赛”，对甲、乙、丙、丁四位同学最近五次的计算测试成绩统计如右表.如果按照成绩优异且发挥稳定的标准，则应选　 　同学.
类别 甲 乙 丙 丁
平均分 90 93 98 98
方差 2 3.2 3.2 2
14．如图，△ABC与△DEF是以点O为位似中心的位似图形.若，则△ABC与△DEF的面积比为　 　.
15．如图，△ABC内接于⊙O，AB=AC，CD//AB交⊙O于点D，连结AD.若∠B=70°，则∠CAD的大小为　 　.
16．如图，点E在菱形ABCD的边CD上，将△ADE沿AE折叠，使点D的对应点F恰好落在边BC上.若则cosB的值是　 　.
三、解答题：本大题有8个小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．计算：
（1）|-2|+(一1)3.
（2）
18．解下列方程(组)：
（1）x2—2x-3=0.
（2）
19．为倡导健康生活方式，国家将“体重管理”纳入健康战略.国际上常用身体质量指数(BMI)来衡量人体胖瘦程度，其计算公式是中国人的BMI数值标准为：BMI<18.5为偏瘦；18.5≤BM<24为正常；24≤BMI<28为偏胖；BMI≥28为肥胖.某校为调查九年级学生的胖瘦程度，从该年级随机抽取10名学生，测得他们的身高和体重，并计算出相应的BMI数值.
【收集数据】
九年级10名学生数据统计表
编号
1 2 3 4
5 6 7 8 9 10
体重(kg) 59.0 62.4 70.0 70.6 63.8 57.8 64.2 72.7 54.0 52.2
身高(m) 1.64 1.73 1.72 1.78 1.85 1.70 1.56 1.61 1.62 1.64
BMI 21.9 20.8 23.7 22.3 18.6 x 26.4 28.0 20.6 19.4
【整理数据】
九年级10名学生BMI频数分布表
组别 BMI 频数
A BMI<18.5 0
B 18.5≤BMI<24 a
C 24≤BMI<28 b
D BMI≥28
1
【应用数据】
（1）求数据统计表中x的值，并直接写出a，b的值.
（2）请估计该校九年级300名学生中BM≥24的人数.
20．如图，平行四边形ABCD的顶点均在格点上，找到格点P，使BP平分∠ABC.画法1：在AD边上找到格点P，使AP=AB.
画法2：在BC边上找到格点E，使BE=AB，连结AE，找到格点P.
（1）请根据上述画法分别在图1和图2中标出格点P，连结BP.
图1
（2）从两种画法中选择一种证明BP平分∠ABC.
图2
21．钱塘江绿道是浙江首个完全贯通的城市主要水系绿道，也是全国目前已建成的最长沿江连续绿道.圆圆和方方在笔直的绿道上分别从甲、乙两地同时出发，相向而行，两人与甲地的距离s关于时间t的函数图象如图所示，圆圆的速度是180m/min，圆圆跑了2分钟后休息了a分钟，然后按原速度继续跑，方方的速度是150m/min，最后圆圆与方方同时到达各自终点.
（1）求a的值和图中AB对应的函数表达式.
（2）求两人相遇时t的值.
22．如图，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，且BE=CF，AE与BF交于点G.
（1）求证：△ABE≌△BCF.
（2）连结AF，若点E是BC的中点，求tan∠AFG的值.
23．已知二次函数y=(x-m)2—2(x-m)，m为实数.
（1）若m=1，求该函数图象的对称轴.
（2）若该函数图象与y轴交于点(0，n)，求证：n≥-1.
（3）若点A(2m，y1)，B(-2，y2)，C(6，y3)在该函数图象上，且y1
24．已知△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，D为圆上一点，DF是⊙O的切线，连结CD，与AB交于点E.
（1）如图1，延长BA与DF交于点F.
①若∠ACD=25°，求∠F的大小.
②若AF=3，DF=5，求⊙O的半径.
（2）如图2，AC>BC，DF//AB，延长CA与DF交于点F，若，求△BCE与△CDF的面积比.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】有理数的大小比较-直接比较法；有理数的大小比较-绝对值比较法
【解析】【解答】解：∵|-1|=1，|-2|=2，
∴-2<-1，
∴有理数-1，-2，0，3的大小关系为-2<-1<0<3.
故答案为：B.
【分析】0大于任何负数，小于任何正数；负数的绝对值越大，这个数就越小.
2．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：150亿=15000000000=1.5×1010，
故答案为：C.
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数.
3．【答案】A
【知识点】可能性的大小
【解析】【解答】解：∵有2个红球和5个白球，
∴若摸出1个球，则摸出白球的可能性大，故甲正确；若摸出3个球，则至少有1个白球，故乙正确，
故答案为：A.
【分析】分别分析甲乙单次摸球颜色的概率即可求解.
4．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A.a3·a2=a5，故错误；
B.(a+b)2=a2+2ab+b2，故错误；
C.2a+4a=6a，故错误；
D.(-2a2)3=-8a6，正确；
故答案为：D.
【分析】根据幂的运算法则、合并同类项法则，完全平方式即可求解.
5．【答案】B
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：原几何体的主视图是：
故取走小正方体②后，余下几何体与原几何体的主视图相同.
故答案为：B.
【分析】根据题意得到原几何体的主视图，结合主视图进行选择.
6．【答案】C
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点A(-3，y1)，B(-1，y2)，C(2，y3)都在反比例函数的图象上，
∴，，
∵-3<2<6，
∴y3故答案为：C.
【分析】先计算各点的y值，再根据正负及数值大小排序.
7．【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：由尺规作图可知：DE是线段AC的垂直平分线，
∴AF=CF，
∵AB=6，BC=7，
∴△ABF的周长=AB+BF+AF=AB+BF+CF=AB+BC=6+7=13，
故答案为：A.
【分析】根据尺规作图得到DE是线段AC的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质得到AF=CF，再根据三角形周长公式计算即可.
8．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是平行四边形也可能是等腰梯形，故原命题错误，不符合题意；
B、有一个角是直角且对角线互相平分的四边形是矩形，故原命题错误，不符合题意；
C、顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形，正确，符合题意；
D、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，故原命题错误，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】利用平行四边形、矩形、菱形及正方形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项.
9．【答案】B
【知识点】含30°角的直角三角形；垂径定理；圆周角定理；圆内接正多边形；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：作正六边形ABCDEF的外接圆，圆心为点O，连接OB交AC于点L，连接OC、OE，
∵，
，
∴，
，
∵CB=AB=4，
∴，
∴OB⊥AC，AL=CL，
∴∠ALB=90°，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：B.
【分析】作正六边形ABCDEF的外接圆⊙O，连接OB交AC于点L，连接OC、OE，求得∠BOC=60°，
∠COE=120°，则∠BAC=30°，∠CAE=60°，由垂径定理得OB⊥AC，AL=CL，则∠ALB=90°，所以，求得，则，根据扇形的面积公式即可得到问题的答案.
10．【答案】D
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵，
∴x的取值范围是x≠-m，由图可知，两支曲线的分界线位于y轴的右侧，
∴m<0，由图可知，当x>0时的函数图象位于x轴的下方，
∴当x>0时，y<0，
又∵当x>0时，(x+m)2>0，
∴n<0，
故答案为：D.
【分析】由两支曲线的分界线在y轴左侧可以判断m的正负，由x>0时的函数图象判断n的正负.
11．【答案】2025
【知识点】求有理数的相反数的方法
【解析】【解答】解：-2025的相反数是2025.
故答案为：2025.
【分析】根据符号不同，绝对值相同的两个数互为相反数即可求得答案.
12．【答案】2
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：∵分式的值为0，
∴，
解得：x=2，
故答案为：2.
【分析】根据分式的值为0的条件，列出关于x的式子，求出x的值即可.
13．【答案】丁
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：由表知四位同学中丙、丁的平均成绩较好，
又∵丁的方差小于丙，
∴丁的成绩好且稳定，
故答案为：丁.
【分析】找到平均分最高的同学；在平均分最高的同学中比较方差，选择方差最小的.
14．【答案】4：9
【知识点】位似变换；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：∵△ABC与△DEF是以点O为位似中心的位似图形，
∴△ABC∽△DEF，AC//DF，
∴∠ACO=∠DFO，∠OAC=∠ODF，
∴△OAC∽△ODF，
∴
∴△ABC与△DEF的相似比为2：3，
∴△ABC与△DEF的面积比为4：9.
故答案为：4：9.
【分析】结合位似的性质可得△ABC与△DEF的相似比为2：3，进而可得△ABC与△DEF的面积比为4：9.
15．【答案】30°
【知识点】圆内接四边形的性质；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：∵AB=AC，∠B=70°，
∴∠B=∠ACB=70°，
∴∠BAC=180°-70°-70°=40°，
∵∠D+∠B=180°，
∴∠D=110°，
∵CD//AB，
∴∠BAD+∠D=180°，
∴∠BAD=70°，
∴∠CAD=∠BAD-∠BAC=30°，
故答案为：30°.
【分析】根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理求出∠BAC=40°，根据圆内接四边形的性质求出∠D=110°，再根据平行线的性质及角的和差求解即可.
16．【答案】
【知识点】菱形的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：在BC的延长线上取一点K，使得EK=EC，过点E作EJ⊥CK于点J.
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD，AB//CD，∠B=∠D，
∵DE：CE=5：2，
∴可以假设DE=5k，EC=2k，则DE=EF=5k，EC=EK=2k，
∴∠ECK=∠K，
∵AB=AF，
∴∠B=∠AFB，
∵AB//CD，
∴∠B=∠ECK=∠K，
由翻折变换的性质可知，∠D=∠AFE=∠B=∠AFB，
∵∠EFK+2∠B=180°，∠KEC+2∠B=180°，
∴∠CEK=∠EFK
∵∠K=∠K，
∴△KEC∽△KFE，
∴，
∴，
∴KF=5k，，
∵EJ⊥CK，EC=EK，
∴
∵∠B=∠K，
∴，
故答案为：.
【分析】在BC的延长线上取一点K，使得EK=EC，过点E作EJ⊥CK于点J，设DE=5k，EC=2k，则DE=EF=5k，EC=EK=2k，证明∠B=∠K，求出区KJ(用k表示)即可.
17．【答案】（1）解：原式＝2﹣1
＝1
（2）解：原式＝5﹣2
＝3
【知识点】负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】(1)利用绝对值的意义和有理数的乘方，运算法则解答即可；
(2)利用负整数指数幂的意义和算术平方根的意义化简运算即可.
18．【答案】（1）解：x2﹣2x﹣3＝0，
（x﹣3）（x+1）＝0，
∴x﹣3＝0或x+1＝0，
∴x1＝3，x2＝﹣1
（2）解：，
①+②得，4x＝4，
解得x＝1，
把x＝1代入①得1﹣2y＝3，
解得y＝﹣1，
∴方程组的解为
【知识点】因式分解法解一元二次方程；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】(1)运用因式分解去解一元二次方程即可；
（2）运用加减消元法解二元一次方程组即可.
19．【答案】（1）解：由题意得：x20，
∴由九年级10名学生BMI频数分布表得a＝8，b＝1；
（2）解：30060（人），
答：估计该校九年级300名学生中BMI≥24的人数为60人．
【知识点】频数（率）分布表；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】(1)根据计算公式可得x的值，根据表格可得a，b的值；
(2)利用样本估计总体即可.
20．【答案】（1）解：如图1，点P即为所求作；如图2所示，点P即为所求作；
（2）解：①如图1，
由题意可知，
∴∠ABP=∠APB，
∵AD//BC，
∴∠APB=∠CBP，
∴∠ABP=∠CBP，
则点P即为所求；
②如图2，
由题意可知，
点P为AE的中点，
由三线合一定理可得BP平分∠ABC，
则点P即为所求.
【知识点】平行四边形的性质；角平分线的概念；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】(1)如图1中，在AD上取点P，使得AB=AP，连接BP，点P即为所求.如图2中，作等腰△ABE，
AB=AE，取AE的中点P，作射线BP，点P即为所求；
(2)①由画图可知，推出∠ABP=∠APB，再根据AD//BC，证明∠APB=∠PBC，可得∠ABP=∠PBC，则点P即为所求；
②由画图可知，AB=BE，点P为AE的中点，由三线合一定理可得BP平分∠ABC，则点P即为所求.
21．【答案】（1）解：方方到达甲地所用时间为900÷150=6(min)，
根据题意，得180(6-a)=900，
解得a=1，
s=180×2+180(t-3)=180t-180，
∴AB对应的函数表达式为s=180t-180(3≤t≤6).
（2）解：当两相遇时，得180t-180+150t=900，
解得t=
答：两人相遇时t的值为.

【知识点】一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【分析】(1)根据时间=路程÷速度求出方方到达甲地所用时间，即圆圆到达乙地所用时间，再由路程=速度×时间列关于a的一元一次方程并求解即可；
(2)根据两人相遇时路程之和为甲、乙两地之间的距离列方程并求解即可.
22．【答案】（1）证明：在正方形ABCD中，AB=AD=CD=BC，∠ABE=∠BCD=90°，
∵BE=CF，
∴△BAE △CBF(SAS)
（2）解：在正方形ABCD中，设AB=AD=CD=BC=2m，
∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°，
∵点E是BC的中点，
∴BE=CE=m，
∴，
∵△ABE △BCF，BE=CF=m，
∴∠BAE=∠CBF，DF=2m-m=m，
∴∠BAE+∠ABF=∠CBF+∠ABF=∠ABC=90°，，
∴∠AGB=90°=∠AGF，
∴，
∴，
∴.
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】(1)先证明AB=AD=CD=BC，∠ABE=∠BCD=90°，结合BE=CF，可得结论；
(2)设AB=AD=CD=BC=2m，求解，证明∠BAE=∠CBF，求解DF=2m-m=m，，证明∠AGB=90°=∠AGF，再进一步求解即可.
23．【答案】（1）解：若m＝1，则二次函数为y＝（x﹣1）2﹣2（x﹣1）＝（x﹣2）2﹣1，
∴该函数图象的对称轴为直线x＝2；
（2）证明：x＝0时，y＝（x﹣m）2﹣2（x﹣m）＝m2+2m，
∴抛物线与y轴交于点（0，m2+2m），
∵该函数图象与y轴交于点（0，n），
∴n＝m2+2m＝（m+1）2﹣1，
∴n≥﹣1．
（3）解：∵y＝（x﹣m）2﹣2（x﹣m）＝（x﹣m）（x﹣m﹣2），
∴y1＝（2m﹣m）2﹣2（2m﹣m）＝m2﹣2m，
y2＝（﹣2﹣m）2﹣2（﹣2﹣m）＝m2﹣6m+8，
y2＝（6﹣m）2﹣2（6﹣m）＝m2﹣10m+24，
∵y1＜y2＜y3，
∴m2﹣2m＜m2﹣6m+8＜m2﹣10m+24，
解得m＜2．
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的对称性及应用
【解析】【分析】(1)化成顶点式即可求解；
(2)x=0时，y=(x-m)2-2(x-m)=m2+2m，则根据题意n=m2+2m=(m+1)2-1，进而即可得到结论；
(3)把A(2m，y1)，B(-2，y2)，C(6，y3)代入解析式求得函数值，根据y124．【答案】（1）解：①连接OD，如图，
∵DF是⊙O的切线，
∴OD⊥DF，
∴∠ODF＝90°，
∴∠F＝90°﹣∠FOD．
∵∠FOD＝2∠ACD，∠ACD＝25°，
∴∠FOD＝50°，
∴∠F＝40°．
②∵DF是⊙O的切线，
∴FD2＝FA FB，
∴FB，
∴AB＝FB﹣FA，
∴⊙O的半径AB；
（2）解：过点C作CH⊥FD，交FD的延长线于点H，CH交AB于点G，连接OD，如图，
∵DF是⊙O的切线，
∴OD⊥DF，
∵DF∥AB，CH⊥FD，
∴CG⊥AB，
∴四边形ODHG为矩形，
∴OD＝GH，OG＝DH，
∵，
∴．
∵DF∥AB，
∴△CAG∽△CFH，
∴，
设CG＝4k，则CH＝9k，
∴OD＝GH＝5k，
∴OA＝OB＝5k，AB＝2OD＝10k，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵CG⊥AB，
∴△CGB∽△ACG，
∴，
∴，
∴BG＝2k或8k，
∵AC＞BC，
∴BG＜AG，
∴BG＝2k，
∴AG＝8k，
∴OG＝OB﹣BG＝3k，
∵OD⊥DF，CG⊥AB，
∴OD∥CG，
∴△DOE∽△CGE，
∴，
∴，
∴OEk，
∴EG＝OG﹣OEk，AE＝OA+OEk．
∴BE＝EG+BGk．
∵DF∥AB，
∴△CAE∽△CFD，
∴，
∴FD＝15k．
∴△BCE与△CDF的面积比．
【知识点】勾股定理；圆周角定理；切线的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】(1)①连接OD，利用圆的切线的性质定理，直角三角形的性质和圆周角定理解答即可；
②利用切线定理解答即可；
(2)过点C作CH⊥FD，交FD的延长线于点H，CH交AB于点G，连接OD，利用矩形的判定与性质，平行线的性质和相似三角形的判定与性质得到，设CG=4k，则CH=9k，利用圆周角定理和相似三角形的判定与性质求得线段OE，BE，FD，最后利用三角形的面积公式解答即可.
1 / 1浙江省杭州市钱塘区2025年4月第二学期学业水平测试（二）九年级数学试题卷
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．在有理数—1，-2，0，1中，最小的数是(　　)
A．-1 B．-2 C．0 D．1
【答案】B
【知识点】有理数的大小比较-直接比较法；有理数的大小比较-绝对值比较法
【解析】【解答】解：∵|-1|=1，|-2|=2，
∴-2<-1，
∴有理数-1，-2，0，3的大小关系为-2<-1<0<3.
故答案为：B.
【分析】0大于任何负数，小于任何正数；负数的绝对值越大，这个数就越小.
2．截至2025年3月15日，国产动画电影《哪吒之魔童闹海》突破150亿元票房，登顶全球动画电影票房榜.数据150亿用科学记数法表示为(　　)
A．15000000000 B．0.15×101 C．1.5×10 0 D．1.5×10
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：150亿=15000000000=1.5×1010，
故答案为：C.
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数.
3．一个不透明的袋子中，装有除颜色外完全相同的2个红球和5个白球.从袋子中随机摸球，甲认为：若摸出1个球，则摸出白球的可能性大；乙认为：若摸出3个球，则至少有1个白球.以下判断正确的是(　　)
A．甲乙都正确 B．甲正确，乙错误
C．甲错误，乙正确 D．甲乙都错误
【答案】A
【知识点】可能性的大小
【解析】【解答】解：∵有2个红球和5个白球，
∴若摸出1个球，则摸出白球的可能性大，故甲正确；若摸出3个球，则至少有1个白球，故乙正确，
故答案为：A.
【分析】分别分析甲乙单次摸球颜色的概率即可求解.
4．下列计算正确的是(　　)
A．a3·a2=a6 B．(a+b)2=a2+b2
C．2a+4a=6a2 D．(-2a2)3=-8a6
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A.a3·a2=a5，故错误；
B.(a+b)2=a2+2ab+b2，故错误；
C.2a+4a=6a，故错误；
D.(-2a2)3=-8a6，正确；
故答案为：D.
【分析】根据幂的运算法则、合并同类项法则，完全平方式即可求解.
5．如图是由8个大小相同的小正方体组成的几何体，若从标号为①②③④的小正方体中取走一个，所得几何体的主视图与原几何体的主视图相同，则取走的是(　　)
A．① B．② C．③ D．④
【答案】B
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：原几何体的主视图是：
故取走小正方体②后，余下几何体与原几何体的主视图相同.
故答案为：B.
【分析】根据题意得到原几何体的主视图，结合主视图进行选择.
6．已知点A(-3，y1)，B(-1，y2)，C(2，y3)在反比例函数的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为(　　)
A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y1＜y3
【答案】C
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点A(-3，y1)，B(-1，y2)，C(2，y3)都在反比例函数的图象上，
∴，，
∵-3<2<6，
∴y3故答案为：C.
【分析】先计算各点的y值，再根据正负及数值大小排序.
7．如图，在△ABC中，分别以点A，C为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点D，E，作直线DE与BC交于点F，连结AF.若AB=6，BC=7，则△ABF的周长为(　　)
A．13 B．14 C．15 D．16
【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：由尺规作图可知：DE是线段AC的垂直平分线，
∴AF=CF，
∵AB=6，BC=7，
∴△ABF的周长=AB+BF+AF=AB+BF+CF=AB+BC=6+7=13，
故答案为：A.
【分析】根据尺规作图得到DE是线段AC的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质得到AF=CF，再根据三角形周长公式计算即可.
8．下列命题正确的是(　　)
A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B．有一个角是直角且对角线相等的四边形是矩形
C．顺次连结矩形各边中点得到的四边形是菱形
D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是平行四边形也可能是等腰梯形，故原命题错误，不符合题意；
B、有一个角是直角且对角线互相平分的四边形是矩形，故原命题错误，不符合题意；
C、顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形，正确，符合题意；
D、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，故原命题错误，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】利用平行四边形、矩形、菱形及正方形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项.
9．如图，在正六边形ABCDEF中，连结AC与AE，以点A为圆心，AC长为半径画弧CE.若AB=4，则图中阴影部分的面积是(　　)
A．6π B．8π C．12π D．16π
【答案】B
【知识点】含30°角的直角三角形；垂径定理；圆周角定理；圆内接正多边形；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：作正六边形ABCDEF的外接圆，圆心为点O，连接OB交AC于点L，连接OC、OE，
∵，
，
∴，
，
∵CB=AB=4，
∴，
∴OB⊥AC，AL=CL，
∴∠ALB=90°，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：B.
【分析】作正六边形ABCDEF的外接圆⊙O，连接OB交AC于点L，连接OC、OE，求得∠BOC=60°，
∠COE=120°，则∠BAC=30°，∠CAE=60°，由垂径定理得OB⊥AC，AL=CL，则∠ALB=90°，所以，求得，则，根据扇形的面积公式即可得到问题的答案.
10．数学兴趣小组借助绘图软件探究函数的图象.现输入一组m，n的值，得到的函数图象如图所示，由此可以推断输入的m，n的值满足(　　)
A．m>0，n>0 B．m>0，n<0 C．m<0，n>0 D．m<0，n<0
【答案】D
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵，
∴x的取值范围是x≠-m，由图可知，两支曲线的分界线位于y轴的右侧，
∴m<0，由图可知，当x>0时的函数图象位于x轴的下方，
∴当x>0时，y<0，
又∵当x>0时，(x+m)2>0，
∴n<0，
故答案为：D.
【分析】由两支曲线的分界线在y轴左侧可以判断m的正负，由x>0时的函数图象判断n的正负.
二、填空题：本大题有6个小题，每小题3分，共18分.
11．-2025的相反数是　 　.
【答案】2025
【知识点】求有理数的相反数的方法
【解析】【解答】解：-2025的相反数是2025.
故答案为：2025.
【分析】根据符号不同，绝对值相同的两个数互为相反数即可求得答案.
12．当　 　时，分式的值为．
【答案】2
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：∵分式的值为0，
∴，
解得：x=2，
故答案为：2.
【分析】根据分式的值为0的条件，列出关于x的式子，求出x的值即可.
13．李老师准备选一名同学代表班级参加“计算挑战赛”，对甲、乙、丙、丁四位同学最近五次的计算测试成绩统计如右表.如果按照成绩优异且发挥稳定的标准，则应选　 　同学.
类别 甲 乙 丙 丁
平均分 90 93 98 98
方差 2 3.2 3.2 2
【答案】丁
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：由表知四位同学中丙、丁的平均成绩较好，
又∵丁的方差小于丙，
∴丁的成绩好且稳定，
故答案为：丁.
【分析】找到平均分最高的同学；在平均分最高的同学中比较方差，选择方差最小的.
14．如图，△ABC与△DEF是以点O为位似中心的位似图形.若，则△ABC与△DEF的面积比为　 　.
【答案】4：9
【知识点】位似变换；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：∵△ABC与△DEF是以点O为位似中心的位似图形，
∴△ABC∽△DEF，AC//DF，
∴∠ACO=∠DFO，∠OAC=∠ODF，
∴△OAC∽△ODF，
∴
∴△ABC与△DEF的相似比为2：3，
∴△ABC与△DEF的面积比为4：9.
故答案为：4：9.
【分析】结合位似的性质可得△ABC与△DEF的相似比为2：3，进而可得△ABC与△DEF的面积比为4：9.
15．如图，△ABC内接于⊙O，AB=AC，CD//AB交⊙O于点D，连结AD.若∠B=70°，则∠CAD的大小为　 　.
【答案】30°
【知识点】圆内接四边形的性质；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：∵AB=AC，∠B=70°，
∴∠B=∠ACB=70°，
∴∠BAC=180°-70°-70°=40°，
∵∠D+∠B=180°，
∴∠D=110°，
∵CD//AB，
∴∠BAD+∠D=180°，
∴∠BAD=70°，
∴∠CAD=∠BAD-∠BAC=30°，
故答案为：30°.
【分析】根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理求出∠BAC=40°，根据圆内接四边形的性质求出∠D=110°，再根据平行线的性质及角的和差求解即可.
16．如图，点E在菱形ABCD的边CD上，将△ADE沿AE折叠，使点D的对应点F恰好落在边BC上.若则cosB的值是　 　.
【答案】
【知识点】菱形的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：在BC的延长线上取一点K，使得EK=EC，过点E作EJ⊥CK于点J.
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD，AB//CD，∠B=∠D，
∵DE：CE=5：2，
∴可以假设DE=5k，EC=2k，则DE=EF=5k，EC=EK=2k，
∴∠ECK=∠K，
∵AB=AF，
∴∠B=∠AFB，
∵AB//CD，
∴∠B=∠ECK=∠K，
由翻折变换的性质可知，∠D=∠AFE=∠B=∠AFB，
∵∠EFK+2∠B=180°，∠KEC+2∠B=180°，
∴∠CEK=∠EFK
∵∠K=∠K，
∴△KEC∽△KFE，
∴，
∴，
∴KF=5k，，
∵EJ⊥CK，EC=EK，
∴
∵∠B=∠K，
∴，
故答案为：.
【分析】在BC的延长线上取一点K，使得EK=EC，过点E作EJ⊥CK于点J，设DE=5k，EC=2k，则DE=EF=5k，EC=EK=2k，证明∠B=∠K，求出区KJ(用k表示)即可.
三、解答题：本大题有8个小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．计算：
（1）|-2|+(一1)3.
（2）
【答案】（1）解：原式＝2﹣1
＝1
（2）解：原式＝5﹣2
＝3
【知识点】负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】(1)利用绝对值的意义和有理数的乘方，运算法则解答即可；
(2)利用负整数指数幂的意义和算术平方根的意义化简运算即可.
18．解下列方程(组)：
（1）x2—2x-3=0.
（2）
【答案】（1）解：x2﹣2x﹣3＝0，
（x﹣3）（x+1）＝0，
∴x﹣3＝0或x+1＝0，
∴x1＝3，x2＝﹣1
（2）解：，
①+②得，4x＝4，
解得x＝1，
把x＝1代入①得1﹣2y＝3，
解得y＝﹣1，
∴方程组的解为
【知识点】因式分解法解一元二次方程；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】(1)运用因式分解去解一元二次方程即可；
（2）运用加减消元法解二元一次方程组即可.
19．为倡导健康生活方式，国家将“体重管理”纳入健康战略.国际上常用身体质量指数(BMI)来衡量人体胖瘦程度，其计算公式是中国人的BMI数值标准为：BMI<18.5为偏瘦；18.5≤BM<24为正常；24≤BMI<28为偏胖；BMI≥28为肥胖.某校为调查九年级学生的胖瘦程度，从该年级随机抽取10名学生，测得他们的身高和体重，并计算出相应的BMI数值.
【收集数据】
九年级10名学生数据统计表
编号
1 2 3 4
5 6 7 8 9 10
体重(kg) 59.0 62.4 70.0 70.6 63.8 57.8 64.2 72.7 54.0 52.2
身高(m) 1.64 1.73 1.72 1.78 1.85 1.70 1.56 1.61 1.62 1.64
BMI 21.9 20.8 23.7 22.3 18.6 x 26.4 28.0 20.6 19.4
【整理数据】
九年级10名学生BMI频数分布表
组别 BMI 频数
A BMI<18.5 0
B 18.5≤BMI<24 a
C 24≤BMI<28 b
D BMI≥28
1
【应用数据】
（1）求数据统计表中x的值，并直接写出a，b的值.
（2）请估计该校九年级300名学生中BM≥24的人数.
【答案】（1）解：由题意得：x20，
∴由九年级10名学生BMI频数分布表得a＝8，b＝1；
（2）解：30060（人），
答：估计该校九年级300名学生中BMI≥24的人数为60人．
【知识点】频数（率）分布表；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】(1)根据计算公式可得x的值，根据表格可得a，b的值；
(2)利用样本估计总体即可.
20．如图，平行四边形ABCD的顶点均在格点上，找到格点P，使BP平分∠ABC.画法1：在AD边上找到格点P，使AP=AB.
画法2：在BC边上找到格点E，使BE=AB，连结AE，找到格点P.
（1）请根据上述画法分别在图1和图2中标出格点P，连结BP.
图1
（2）从两种画法中选择一种证明BP平分∠ABC.
图2
【答案】（1）解：如图1，点P即为所求作；如图2所示，点P即为所求作；
（2）解：①如图1，
由题意可知，
∴∠ABP=∠APB，
∵AD//BC，
∴∠APB=∠CBP，
∴∠ABP=∠CBP，
则点P即为所求；
②如图2，
由题意可知，
点P为AE的中点，
由三线合一定理可得BP平分∠ABC，
则点P即为所求.
【知识点】平行四边形的性质；角平分线的概念；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】(1)如图1中，在AD上取点P，使得AB=AP，连接BP，点P即为所求.如图2中，作等腰△ABE，
AB=AE，取AE的中点P，作射线BP，点P即为所求；
(2)①由画图可知，推出∠ABP=∠APB，再根据AD//BC，证明∠APB=∠PBC，可得∠ABP=∠PBC，则点P即为所求；
②由画图可知，AB=BE，点P为AE的中点，由三线合一定理可得BP平分∠ABC，则点P即为所求.
21．钱塘江绿道是浙江首个完全贯通的城市主要水系绿道，也是全国目前已建成的最长沿江连续绿道.圆圆和方方在笔直的绿道上分别从甲、乙两地同时出发，相向而行，两人与甲地的距离s关于时间t的函数图象如图所示，圆圆的速度是180m/min，圆圆跑了2分钟后休息了a分钟，然后按原速度继续跑，方方的速度是150m/min，最后圆圆与方方同时到达各自终点.
（1）求a的值和图中AB对应的函数表达式.
（2）求两人相遇时t的值.
【答案】（1）解：方方到达甲地所用时间为900÷150=6(min)，
根据题意，得180(6-a)=900，
解得a=1，
s=180×2+180(t-3)=180t-180，
∴AB对应的函数表达式为s=180t-180(3≤t≤6).
（2）解：当两相遇时，得180t-180+150t=900，
解得t=
答：两人相遇时t的值为.

【知识点】一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【分析】(1)根据时间=路程÷速度求出方方到达甲地所用时间，即圆圆到达乙地所用时间，再由路程=速度×时间列关于a的一元一次方程并求解即可；
(2)根据两人相遇时路程之和为甲、乙两地之间的距离列方程并求解即可.
22．如图，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，且BE=CF，AE与BF交于点G.
（1）求证：△ABE≌△BCF.
（2）连结AF，若点E是BC的中点，求tan∠AFG的值.
【答案】（1）证明：在正方形ABCD中，AB=AD=CD=BC，∠ABE=∠BCD=90°，
∵BE=CF，
∴△BAE △CBF(SAS)
（2）解：在正方形ABCD中，设AB=AD=CD=BC=2m，
∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°，
∵点E是BC的中点，
∴BE=CE=m，
∴，
∵△ABE △BCF，BE=CF=m，
∴∠BAE=∠CBF，DF=2m-m=m，
∴∠BAE+∠ABF=∠CBF+∠ABF=∠ABC=90°，，
∴∠AGB=90°=∠AGF，
∴，
∴，
∴.
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】(1)先证明AB=AD=CD=BC，∠ABE=∠BCD=90°，结合BE=CF，可得结论；
(2)设AB=AD=CD=BC=2m，求解，证明∠BAE=∠CBF，求解DF=2m-m=m，，证明∠AGB=90°=∠AGF，再进一步求解即可.
23．已知二次函数y=(x-m)2—2(x-m)，m为实数.
（1）若m=1，求该函数图象的对称轴.
（2）若该函数图象与y轴交于点(0，n)，求证：n≥-1.
（3）若点A(2m，y1)，B(-2，y2)，C(6，y3)在该函数图象上，且y1
【答案】（1）解：若m＝1，则二次函数为y＝（x﹣1）2﹣2（x﹣1）＝（x﹣2）2﹣1，
∴该函数图象的对称轴为直线x＝2；
（2）证明：x＝0时，y＝（x﹣m）2﹣2（x﹣m）＝m2+2m，
∴抛物线与y轴交于点（0，m2+2m），
∵该函数图象与y轴交于点（0，n），
∴n＝m2+2m＝（m+1）2﹣1，
∴n≥﹣1．
（3）解：∵y＝（x﹣m）2﹣2（x﹣m）＝（x﹣m）（x﹣m﹣2），
∴y1＝（2m﹣m）2﹣2（2m﹣m）＝m2﹣2m，
y2＝（﹣2﹣m）2﹣2（﹣2﹣m）＝m2﹣6m+8，
y2＝（6﹣m）2﹣2（6﹣m）＝m2﹣10m+24，
∵y1＜y2＜y3，
∴m2﹣2m＜m2﹣6m+8＜m2﹣10m+24，
解得m＜2．
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的对称性及应用
【解析】【分析】(1)化成顶点式即可求解；
(2)x=0时，y=(x-m)2-2(x-m)=m2+2m，则根据题意n=m2+2m=(m+1)2-1，进而即可得到结论；
(3)把A(2m，y1)，B(-2，y2)，C(6，y3)代入解析式求得函数值，根据y124．已知△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，D为圆上一点，DF是⊙O的切线，连结CD，与AB交于点E.
（1）如图1，延长BA与DF交于点F.
①若∠ACD=25°，求∠F的大小.
②若AF=3，DF=5，求⊙O的半径.
（2）如图2，AC>BC，DF//AB，延长CA与DF交于点F，若，求△BCE与△CDF的面积比.
【答案】（1）解：①连接OD，如图，
∵DF是⊙O的切线，
∴OD⊥DF，
∴∠ODF＝90°，
∴∠F＝90°﹣∠FOD．
∵∠FOD＝2∠ACD，∠ACD＝25°，
∴∠FOD＝50°，
∴∠F＝40°．
②∵DF是⊙O的切线，
∴FD2＝FA FB，
∴FB，
∴AB＝FB﹣FA，
∴⊙O的半径AB；
（2）解：过点C作CH⊥FD，交FD的延长线于点H，CH交AB于点G，连接OD，如图，
∵DF是⊙O的切线，
∴OD⊥DF，
∵DF∥AB，CH⊥FD，
∴CG⊥AB，
∴四边形ODHG为矩形，
∴OD＝GH，OG＝DH，
∵，
∴．
∵DF∥AB，
∴△CAG∽△CFH，
∴，
设CG＝4k，则CH＝9k，
∴OD＝GH＝5k，
∴OA＝OB＝5k，AB＝2OD＝10k，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵CG⊥AB，
∴△CGB∽△ACG，
∴，
∴，
∴BG＝2k或8k，
∵AC＞BC，
∴BG＜AG，
∴BG＝2k，
∴AG＝8k，
∴OG＝OB﹣BG＝3k，
∵OD⊥DF，CG⊥AB，
∴OD∥CG，
∴△DOE∽△CGE，
∴，
∴，
∴OEk，
∴EG＝OG﹣OEk，AE＝OA+OEk．
∴BE＝EG+BGk．
∵DF∥AB，
∴△CAE∽△CFD，
∴，
∴FD＝15k．
∴△BCE与△CDF的面积比．
【知识点】勾股定理；圆周角定理；切线的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】(1)①连接OD，利用圆的切线的性质定理，直角三角形的性质和圆周角定理解答即可；
②利用切线定理解答即可；
(2)过点C作CH⊥FD，交FD的延长线于点H，CH交AB于点G，连接OD，利用矩形的判定与性质，平行线的性质和相似三角形的判定与性质得到，设CG=4k，则CH=9k，利用圆周角定理和相似三角形的判定与性质求得线段OE，BE，FD，最后利用三角形的面积公式解答即可.
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