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福建福州市台江区九校2025-2026学年高一下学期期中考试数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知平面向量，，若向量与共线，则( )
A. B. C. D.
2.复数满足为虚数单位，则的共轭复数的虚部是( )
A. B. C. D.
3.圆台的一个底面圆周长是另一个底面圆周长的倍，母线长为，圆台的侧面积为，则圆台较小底面圆的半径为( )
A. B. C. D.
4.在中，为的中点，为上一点，则( )
A. B. C. D.
5.如图，是一个平面图形的直观图，其中是直角三角形，，则原图形的面积是( )
A. B. C. D.
6.已知向量，，则“”是“向量与的夹角为锐角”的( )
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
7.已知的内角，，的对边分别为，，，且面积为若，且，则( )
A. B. C. D.
8.平行四边形中，，，，点在边上，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量，，则( )
A. B. 向量，的夹角为
C. D. 在方向上的投影向量是
10.下列说法正确的是( )
A.
B.
C. 若，则的最小值为
D. 若是关于的方程的根，则
11.对于有如下命题，其中正确的是( )
A. 若，则为钝角三角形
B. 若，且有两解，则的取值范围是
C. 在中，若，则不等式恒成立
D. 在中，若，则必是等边三角形
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.一个底面半径为的圆柱形容器内盛有足量的水，能放入一个半径为的实心铁球，沉入水底后，水未溢出容器，则水面升高了 ．
13.海上一观测站测得南偏西的方向上有一艘停止待维修的商船，在商船的正东方有一艘海盗船正向它靠近，速度为每小时海里，此时海盗船距观测站海里，分钟后测得海盗船位于距观测站海里的处，再经 分钟海盗船到达商船处．
14.如图，在中，是上的一点，若，则实数的值为
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知复数．
若是纯虚数，求的值；
若在复平面内所对应的点在第四象限，求的取值范围．
16.本小题分
如图，在平行四边形中，为的中点，设．
用表示；
若，且，求．
17.本小题分
如图，在中，，，点在线段上

若，求的长；
若，的面积为，求的长．
18.本小题分
如图，在高为的正三棱柱中，，是棱的中点．
求该正三棱柱的体积；
求三棱锥的体积；
设为棱的中点，为棱上一点，求的最小值．
19.本小题分
“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题，该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知的内角，，所对的边分别为，，，且设点为的费马点．
若，且面积为．
求角；
求；
若，，，的面积为，，，求的最小值．
参考答案
1.
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14.
15.解：由复数，
因为复数是纯虚数，
则满足，解得，
所以实数的值为；
由复数，
若在复平面内所对应的点在第四象限，
则满足，解得，
所以实数的取值范围为．

16.解：由，，，
所以，，．
由知：，
又，且，则．

17.解：在中，．
在中，由正弦定理得，
又，
．
又．
，
解得：
在中，由余弦定理得，
所以．

18.解：因为，所以．
因为，
，
所以．
将侧面绕旋转至与侧面共面，如图所示，
当，，三点共线时，取得最小值，且最小值为．
19.解：，，
，
，
在中，，，，
又，．
，不存在大于等于的角，为内的费马点．
所以，
，
，
．
，，即，
在中有正弦定理得，，
，，
在中，，，
又，．
，
设，，则在由正弦定理得，，
在由正弦定理得，，
，
当且仅当，，时等号成立．
的最小值为．

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