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北京市平谷区第五中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试卷
一、选择题：本大题共12小题，共60分。
1.已知向量，，且，那么等于( )
A. B. C. D.
2.在中，若，，，则的大小为( )
A. B. C. D. 或
3.平面向量在正方形网格中的位置如图所示，若网格中每个小正方形的边长均为，则( )
A. B. C. D.
4.在中，若，，，则( )
A. B. C. D.
5.下列关于向量的命题正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则或
C. 若，则 D. 若，则
6.在中，，则的形状一定为( )
A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形
7.如图所示，正方形的边长为，延长至，使，连接，，则( )
A. B. C. D.
8.已知圆锥的底面周长为，侧面积为，则该圆锥的体积为( )
A. B. C. D.
9.若向量与满足，且，则在上的投影向量的模为( )
A. B. C. D.
10.设，为两个非零向量，则“”是“存在实数，使得”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
11.在中，角，，的对边分别是，，，则下列说法正确的个数为( )
若，则一定为等腰三角形
若，则一定为锐角三角形
若，，则面积的最大值为
A. B. C. D.
12.设锐角的内角所对的边分别为，若，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本大题共6小题，共30分。
13.已知圆柱的底面半径为，高为，则该圆柱的侧面积为 ．
14.在中，角的对边分别是，已知，则 ．
15.在中，请给出一个值 ，使该三角形有两解．
16.设单位向量，满足若，则 ；若与的夹角为，且，则实数 ．
17.已知中，，，点在线段上，且，则的值为 ．
18.如图，是三个边长为的等边三角形，且有一条边在同一直线上，边上有个不同的点，设，则 ．
三、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.已知，，且．
求的值；
设，，记与的夹角为，求的值．
20.在中，所对的边分别为，已知
求的值；
求的面积．
21.如图，在中，，，点在边上，且，．
求
求，的长
22.已知，，分别为的三个内角、，的对边，且．
求角的值；
记知，再从条件，条件，条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一，求边上的高．
条件：；
条件：；
条件：．
注：如果选择的条件不符合要求，第Ⅱ问得分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分
23.在中，，．
求，
再从以下条件、条件、条件这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的周长．
条件：；
条件：；
条件：的面积为
注：如果选择的条件不符合要求，第问得分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
参考答案
1.
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14.
15.
16.
17.
18.
19.解：根据题意，，
所以，得；
由知，，
，
，
，
，
所以．

20.解：在中，由正弦定理，得．
由余弦定理，得，即，
而，解得，所以的面积．

21.解：在中，，为锐角，
，
则
．
在中，由正弦定理得：
，
在中，由余弦定理得：
，
即．
22.；
．
23.解：因为，，所以，
由正弦定理得，而三角形中有，
所以，再由二倍角公式得，且，
所以．
若选条件：．
因为，由可知，所以由余弦定理可得：，
即，得，，
方程无解，所以边不存在，故不存在．
若选条件：．
因为，由可知，所以．
同理，得，
所以在中由正弦定理，得，
再由余弦定理，得，
即，解得或舍去．
所以三角形的周长．
若选条件：的面积为．
因为，由可知，所以，
由三角形面积公式，得．
再由余弦定理，得，即．
所以，所以．
所以三角形的周长．

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