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2025-2026学年广东省广州市番禺区仲元中学高二（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列运算正确的个数是( )
A. B. C. D.
2.若，则( )
A. B. C. D.
3.已知等差数列的公差为，前项和为，则“”是“是递增数列”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.若定义在上的可导函数满足，则函数在处的瞬时变化率为( )
A. B. C. D.
5.的除去和自己外的正因数的个数是( )
A. B. C. D.
6.若两个整数，除以同一个正整数所得的余数相同，则称，对模同余，记作，如：，现将满足的正整数按从小到大的顺序排列得到数列，则( )
A. B. C. D.
7.将，，，，，，，填入如图所示的方格中，每个方格填写个数字，则仅有两列数字之和为的填法有( )
A. 种 B. 种
C. 种 D. 种
8.定义在上的函数，是的导函数，且恒成立，则( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列结论中正确的有( )
A. 若，则 B.
C. 若，则 D.
10.已知等比数列首项，公比为，前项和为，前项积为，函数，若，则( )
A. 为单调递增的等差数列 B.
C. 为单调递增的等比数列 D. 使得成立的的最大值为
11.已知函数是定义在上的函数，是的导函数，若，且，则下列结论正确的是( )
A. 函数在定义域上单调递增
B. 函数在定义域上有极小值
C. 函数的单调递增区间为
D. 不等式的解集为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数在定义域内单调递增，则实数的取值范围是 ．
13.已知数列与满足，若，且对一切恒成立，则实数的取值范围是_________．
14.已知数列满足，，其中为函数的极值点，则 ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知数列的前项和为，且．
求数列的通项公式；
已知数列满足，求数列的前项和．
16.本小题分
已知函数，其中是自然对数的底数．
若，其中为偶函数，为奇函数，求函数的解析式以及最小值；
若的图像与直线：相切，求实数的值．
17.本小题分
现有名师生站成一排照相，其中老师人，男学生人，女学生人，在下列情况下，各有多少种不同的站法？
老师站在最中间，名女学生分别在老师的两边且相邻，名男学生两边各人；
名男学生互不相邻，男学生甲不能在两端；
名老师之间必要有男女学生各人．
18.本小题分
已知等差数列的前项和为，且，．
求数列的通项公式；
若，令，求数列的前项和；
已知数列满足，且数列的前项和为，证明：．
19.本小题分
已知且，函数．
记，，为数列的前项和当时，试比较与的大小，并说明理由；
当时，证明：；
当且时，试讨论的零点个数．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：已知数列的前项和为，且，
当时，得，
当时，，得，
故数列是以为首项，以为公比的等比数列，
故数列的通项公式为；
已知数列满足，
由可知，
当为奇数时，，
故
，
故数列的前项和．
16.，最小值；
．
17.； ； ．
18.解：等差数列的前项和为，且，．
由等差数列通项公式及求和公式可得，，解得，，
；
由知，，
．
数列的前项和，
，
两式相减得
，
．
由知，
，
．
设数列的前项和，数列的前项和，
则
，
，
．
19.解：，
为数列的前项和，
．
证明：当时，．
记，．
当时，；当时．，
在上单调递减，在上单调递增．
，即，当且仅当时，取等号，
在上单调递增，
当时，；当时，．
．
，，
当时，，是上的增函数，
又当时，；当时，，
故有个零点．
当时，记，
则，
当时，；当时，，
故在上单调递减，在上单调递增．
．
若，则，即，
故在上单调递增，
又当时，；当时，，
故有个零点．
Ⅱ若，，，，
易证任意，，从而．
故存在，，使得．
当，或时，，即；
当时，，即．
在，上单调递增，在上单调递减．
又，，，
又当时，；当时，，
有个零点．
综上，当时，有个零点；
当且时，有个零点．
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