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2025-2026学年山东省烟台市高一（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数满足为虚数单位，则在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.已知向量，满足，，，则( )
A. B. C. D.
3.一水平放置的四边形，用斜二测画法画出其直观图为等腰梯形，如图所示，若，，则( )
A.
B.
C.
D.
4.已知圆台上、下底面半径分别是和，体积为，则该圆台的高为( )
A. B. C. D.
5.在中，，，若，则( )
A. B. C. D.
6.如图，为测量河对岸两点间的距离，现在楼顶处观察的俯角为，观察点的俯角为，为楼底一点且平面，若楼高，，则( )
A. B. C. D.
7.已知在梯形中，，，，，点在边上运动包含端点，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
8.中，角，，的对边分别为，，，且，，则角的大小为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数，，且，下列说法正确的有( )
A. 是纯虚数 B. 若，则
C. 是虚数 D. 若，则是纯虚数
10.已知向量，，则下列说法正确的有( )
A. 若，则
B. 若向量，夹角为锐角，则
C. 若，则
D. 若向量在方向上的投影向量为，则或
11.在锐角中，角，，的对边分别为，，，且，则( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，，若，则的值为 ．
13.已知正三棱柱，，，则其外接球表面积为 ．
14.在中，角，，的对边分别为，，，且，则 ；的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
复数，，其中是虚数单位，且为纯虚数．
求复数；
设复数，，在复平面内对应的点分别为，，，为坐标原点，若以，，，四个点为顶点构成的四边形为平行四边形，求复数．
16.本小题分
如图，圆锥的母线长为，侧面展开图为半圆，过上一点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去圆柱．
若，求剩下几何体的表面积；
当挖去的圆柱侧面积最大时，求圆柱的体积．
17.本小题分
如图，观测站在目标的南偏西方向，经过处有一条南偏东走向的公路，在处观测到有一轿车从处沿此公路向处行驶，行驶后到达处，此时测得．
求，两地的距离；
若此轿车从处继续行驶，经过分钟后到达处，且，求该车行驶的速度单位：．
18.本小题分
在，，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答问题．
问题：在中，内角，，的对边分别为，，，且_____．
注：如果选择多个条件分别求解，按第一个解答计分
求角的大小；
为上一点，且．
若满足，，求的值；
若是线段的中点，求的最大值．
19.本小题分
在中，，，点平面，，且点，位于直线两侧．
若，，求的值；
若为钝角，，求四边形面积的最大值．
参考答案
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15. ；；
16.
17.
18. ；
19.解：在中，，，所以．
又因为，所以，
由余弦定理得，，
所以，
在中，因为，即，
所以，
因为，且，所以为锐角，
所以
由，可得，所以，
在中，由正弦定理得，
即，解得，
结合题意，可得，
所以，
因为，
所以，
可知：当时，即时，四边形的面积取得最大值．

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