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江苏南京市2026年普通高等学校招生全国统一考试样卷数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知复数满足，是的共轭复数，则( )
A. B. C. D.
3.在平行四边形中，为的中点．记，则( )
A. B. C. D.
4.已知函数若存在最小值，则的最大值为( )
A. B. C. D.
5.记以长方体的四个顶点为顶点的三棱锥的体积为若，，则的取值集合为( )
A. B. C. D.
6.在中，，，若满足上述条件的恰有一解，则边长的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.已知为坐标原点，为圆的一条弦，弦绕点旋转一周扫过的区域为若点，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.设，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.一组数据，记其中位数为，均值为，标准差为，由其得到新数据的标准差为，下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
10.已知函数，，点，分别在函数的的图像上，为坐标原点，则下列命题正确的是( )
A. 若关于的方程在上无解，则
B. 存在，关于直线对称
C. 若存在，关于轴对称，则
D. 若存在，满足，则
11.在棱长为的正方体中，为正方体内含表面的动点，为线段上的动点，若直线与的夹角为，则( )
A. 的最小值为
B. 点的轨迹形成图形的面积为
C. 点的轨迹与正方体表面交线的长度为
D. 当点在侧面上时，的最小值为
三、填空题：本题共4小题，共28分。
12.的展开式中的系数为 ．
13.设函数，若对于任意的，函数和中至少有一个在上具有单调性，则的一个取值为 ．
14.已知直线的倾斜角为锐角，且过抛物线的焦点，与抛物线交于、两点若在该抛物线的准线上存在一点，使得为正三角形，则直线的斜率为 ．
15.如图所示，该几何体是由一个直三棱柱和一个正四棱锥组合而成的，，．
证明：平面平面
求正四棱锥的高，使得二面角的余弦值是．
四、解答题：本题共4小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
已知函数．
讨论函数的单调性
当时，若为函数的正零点，证明：．
17.本小题分
已知双曲线的右焦点为，过点的直线交双曲线右支于、两点点在轴上方，点在双曲线的右支上，直线交轴于点点在点的右侧．
求双曲线的渐近线方程；
若点，且，求点的坐标；
若的重心在轴上，记、的面积分别为、，求的最小值．
18.本小题分
已知锐角三角形的内角，，的对边分别为，，，且．
求角的取值范围
证明：
求的取值范围．
提示：，其中为三角形面积
19.本小题分
定义：若一个数列满足其首项为，且对于，可所取或的概率均为，则我们称该数列为“可取数列”，已知数列为“可取数列”。
求证：
在“可取数列”中，设随机变量是的值，求：
的概率分布
的期望．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.证明：直三棱柱中，平面，平面，
所以，又，，，在平面内，
所以平面，平面，
所以平面平面．
平面，建立以为坐标原点，，，分别为，，轴的空间直角坐标系如图：
设正四棱锥的高为，，
则，，，，
，，，
设是平面的法向量，则
令，则，即，
设是平面的法向量，
则，令，则，，即，
二面角的余弦值是．
，．
得或舍
则正四棱锥的高．
16.解：函数的定义域为
，
当即时，，函数单调递增，
增区间为，没有减区间
当时，由，，
可得函数的减区间为，
增区间为，
当时，由，，
可得函数的减区间为，增区间为
证明：当时，由及函数的减区间为，
增区间为，
可知，等价于，
又由，等价于证明，
又由，
令，，有，
可得
，
令，
有，
可得函数单调递减，则，
可得当时，．
故有，即得证．
17.解：已知双曲线，则，所以双曲线方程为；
双曲线的右焦点，
又，所以，则，
因为，所以，
则直线，即，
所以，解得，即，
则，所以点的坐标为；
设直线，
则，
因为直线过点且与双曲线右支交于、两点，所以，
又因为的重心在轴上，所以，
由点在点的右侧，可得，所以，解得，所以，
而，代入可得，
所以，
代入化简可得：，
所以，
当且仅当时等号成立，所以的最小值为．

18.解：由于是锐角三角形，
故，结合且，
，
由于对勾函数在单调递减，在单调递增，或时，，
对于函数，当且仅当时取等号，
故当时，，故，
因此，由于，故
由可知，
由正弦定理可得，
又因在三角形中，所以，
即，
进一步化简得：，
得，可知原命题成立；
由，
，
平方可得：对于，化简有：，
将中命题代入上式可得：，
综上可知：，
所以，
由可知，可知．
综上可知，的取值范围是．
19.解：由题意得，数列为首项的“可取数列”，且的概率均为
要使，需经过两次变化：
第一次变化：概率，第二次变化：概率，路径概率为；
第一次变化：概率，第二次变化：概率，路径概率为
故，结论成立
由题意得，，从到共经过次变化，设其中次为，则次为，此时：
的取值范围为，故的取值为，因此
对于，，概率为：
故的概率分布为：
由知，则：
由于与的概率对称，且时，故：
由组合恒等式，代入得：

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