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河南周口市第一高级中学等学校2026届高三年级第二学期四月份联考数学试题
一、选择题：本大题共11小题，共55分。
1.设复数，，则( )
A. B. C. D.
2.已知函数，则( )
A. B. C. D.
3.设集合，则( )
A. B. C. D.
4.过抛物线上一点作其准线的垂线，垂足为，的焦点为，，且的面积为，则( )
A. B. C. D.
5.已知函数的部分图象如图所示，，是图象上的两个顶点，为坐标原点，且，则( )
A. B. C. D.
6.若直线与双曲线的交点为，，且大于的虚轴长，则的离心率的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.某校举办校园科技节，需从名男生和名女生中选派人，分别担任编程、航模、机器人、实验四项不同活动的主持人，要求所选派的人中至少有名女生，且女生不主持编程活动，每项活动由人主持，则不同的选派方案有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
8.若，则( )
A. B. C. D.
9.现有一组数据，，，，，，，，，，，则( )
A. 这组数据的极差为 B. 这组数据的中位数为
C. 这组数据的平均数大于 D. 这组数据的第百分位数为
10.已知，分别是圆与轴的左、右交点，点在圆上，且，将圆沿直线翻折成一个二面角，使得点、点分别到达点、点的位置，该二面角的大小为，且，翻折前后点的位置始终不动，则( )
A. 圆的直径为 B. 当时，
C. 当时， D. 当时，
11.若函数的定义域为，，且，，，则( )
A.
B. ，
C. 为奇函数
D. 当时，
二、填空题：本大题共4小题，共80分。
12.设等差数列的前项和为，且，，则 ．
13.设函数极值点的个数为，所有极值点之和为，则不等式的解集为 ， ．
14.桌面上放置了个小球，其中个小球的半径为，另外个小球的半径均为，它们两两相切且都与桌面相切，在这个小球的上方放置个半径为的小球，使得这个小球两两相切，则上面的小球的最高点到桌面的距离为 ．
三、解答题：本题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.如图，在正方体中，，，分别是棱，的中点．
证明： 平面．
求与平面所成角的正弦值．
16.在中，角，，的对边分别是，，，且．
求；
若是边的中点，且，求面积的最大值．
17.已知椭圆的长轴长为，焦距为．
求的方程；
若直线与交于，两点，过点的直线与交于，两点，且，线段，的中点分别为，，证明：直线过定点．
18.已知函数．
求的单调区间．
设有个零点，，，且．
求的取值范围；
证明：且．
19.甲、乙两人进行一项比赛，初始时，甲有个球，乙有个球在每轮比赛中，甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且获胜方从对方那里拿走一个球即获胜方增加一个球当任意一方的球的个数变为时，比赛立即终止，另一方获胜设当甲有个球时，甲最终获胜的概率为．
求和．
求的表达式，并证明．
已知当随机变量与相互独立时，设比赛进行轮后甲有个球若存在正实数，使得与无关，求的值．
参考答案
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14.
15.证明：由正方体的性质可知，．
因为，分别是棱，的中点，所以，，
所以四边形是平行四边形，所以．
因为平面，平面，
所以平面F.
解：由正方体的性质可知直线，，两两垂直，
则以为坐标原点，，，的方向分别为，，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．
因为，所以，，，，
则，，．
设平面的法向量为，则
令，得．
因为，，所以与平面所成角的正弦值为．
16.解：由，可得，
化简得，则，解得．
由题意可得，所以，
即，
则，化简得，
由基本不等式可知，当且仅当时取等号，
即，解得，
所以，
所以面积的最大值为．

17.解：由题意可得
解得，
所以的方程为．
证明：联立可得，
设，
则，
，
所以，
因为，所以且，又，所以的斜率存在且不等于，
以代替可得，
所以，
所以直线的方程为，
所以直线过定点．

18.解：因为，所以，
由或，则在上单调递增；
由，则在上单调递减；
故的单调递增区间为，递减区间为．
由可得的单调递增区间为，递减区间为，
当时，，当时，，
且，
因为有个零点，所以
即的取值范围为．
证明：由知，
设，
则，
则对恒成立，即在上单调递增，
故，即对恒成立，
因为，所以，
因为，且在上单调递减，
所以，即；
设，则，
则对恒成立，即在上单调递增，
故，即对恒成立，
因为，所以，
因为，，且在上单调递增，
所以，即，
因为，所以，则．

19.解：由题意可得．
当时，考虑下一轮比赛，甲赢，球数变为，此后甲获胜的概率为，
甲输，球数变为，此后甲获胜的概率为，得，
整理得，即，
设，则，
则，
又，所以，
则，
因为，
所以由二项式定理得，
又，所以，
所以，所以，即．
设随机变量表示第轮比赛造成的甲持有的球个数的变化量，则，
比赛进行轮后，可以表示为，
由与相互独立，即，
得，
因为与无关，所以对任意的都有，
由于且初始状态，的，则，
，
整理得，因为，所以．

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