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单元检测一　集合、常用逻辑用语、不等式
(时间：120分钟　分值：150分)
一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.(2026·丽水模拟)已知集合A={x|-2≤x<1}，B={m，3}，且A∩B的元素个数为1，则实数m的取值范围是(　　)
A.(-2，1) B.[-2，1]
C.[-2，1) D.(-2，1]
2.(2026·绵阳模拟)设命题p： x∈R，x=sin x，则 p：(　　)
A. x∈R，x=sin x B. x∈R，x≠sin x
C. x∈R，x=sin x D. x∈R，x≠sin x
3.(2025·菏泽模拟)“x>0”是“2x+>2”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
4.(2026·江门模拟)若命题“ x∈R，x2+x+a≠0”的否定是真命题，则实数a的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
5.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300 m2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x(单位：m)的取值范围是(　　)
A.[15，30] B.[12，25]
C.[10，30] D.[20，30]
6.(2025·日照模拟)点A(2，1)在直线l：mx+ny=1上，且mn>0，则+的最小值为(　　)
A.4 B.6 C.8 D.10
7.已知存在x∈[0，1]，使得x2-4x≥m2-4m成立，则m的取值范围是(　　)
A.[0，1] B.[1，3]
C.[0，4] D.[0，+∞)
8.已知实数x，y满足4x2+y2-xy=1，且不等式2x+y+c>0恒成立，则c的取值范围是(　　)
A.(2，+∞) B.
C.(3，+∞) D.(-∞，2)
二、选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9.(2026·开封模拟)已知集合A={x|-3<2x-1<3}， RB A，则(　　)
A.-1 B B.2∈B
C.-1∈(A∪B) D.2∈(A∩B)
10.(2025·铜陵模拟)下列说法正确的有(　　)
A.当x<0时，x++1的最大值为-3
B.已知a+2b=2，则a2+4b2的最小值为2
C.已知a，b，c∈R，则不等式aD. x∈(0，+∞)，4x+<9
11.已知a，b均为正数且a2-b2=a+b，则下列不等式正确的有(　　)
A.ln(a-b)>0 B.a2+b2>1
C.2a+2b>4 D.2ln a-ln b≥ln 4
三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
12.(2025·秦皇岛模拟)已知λ>0，集合A={x|x2-5x-6<0}，B={x|(x-λ)(x-2λ)<0}，若x∈A是x∈B的必要不充分条件，则λ的取值范围为　　　　　.
13.(2025·鞍山期末)关于x的不等式x2-ax-b<0的解集是(2，3)，则关于x的不等式bx2-ax-1>0的解集是　　　　　　　　.
14.(2025·蚌埠模拟)现给出一个二维柯西不等式(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2，当且仅当ad=bc时等号成立.已知a>0，b>0，直线y=x-2a与曲线y=ln(x+b)相切，则++的最小值为　　　　　.
四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(13分)(2026·郑州模拟)已知集合A={x|a+1≤x≤7-2a}，B=.
(1)若a=-2，求A∩B；(5分)
(2)若A∪B=B，求实数a的取值范围.(8分)
16.(15分)已知a∈R，命题p： x∈[1，2]，x2≥a；命题q： x0∈R，+2ax0-(a-2)=0.
(1)若p是真命题，求a的最大值；(6分)
(2)若p，q中有且只有一个是真命题，求实数a的取值范围.(9分)
17.(15分)(2025·昆明模拟)已知函数f(x)=ax2+ax-2(a∈R).
(1)若关于x的不等式f(x)>-5的解集为R，求a的取值范围；(6分)
(2)当a<0时，解关于x的不等式f(x)-3x-1≥0.(9分)
18.(17分)现有一人工智能企业生产制造人形机器人，每月的成本t(单位：万元)由两部分构成：①固定成本：1 000万元；②材料成本：万元，x为每月生产人形机器人的个数.
(1)该企业每月的产量为多少时，平均每个人形机器人的成本最低，最低为多少万元？(8分)
(2)若每个人形机器人的售价为万元，假设生产出来的每个人形机器人都能够售出，则该企业应如何制订生产计划，才能确保每月的利润不低于400万元？(附：利润=售价×销量-成本.)(9分)
19.(17分)(2026·北京通州区期中)设有序数阵Tn=，集合Cn={1，2，3，…，2n}，其中i=1，2，3，…，n，n∈N，n≥4.若Tn满足：①{a1，a2，…，ai，…，an}∪{b1，b2，…，bi，…，bn}=Cn ；②ai-bi=i，则称 Tn为集合Cn的覆盖数阵.
(1)若T4=为C4的覆盖数阵，求a，b，c，d，e的值；(3分)
(2)当n≤7时，写出所有的n的取值，使得Tn=为Cn的覆盖数阵；(6分)
(3)设有序数阵Tn的个数为|Tn|，若Tn为Cn的覆盖数阵，求证：∈N.(8分)
单元检测一　集合、常用逻辑用语、不等式
(时间：120分钟　分值：150分)
一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.(2026·丽水模拟)已知集合A={x|-2≤x<1}，B={m，3}，且A∩B的元素个数为1，则实数m的取值范围是(　　)
A.(-2，1) B.[-2，1]
C.[-2，1) D.(-2，1]
答案　C
解析　由A∩B的元素个数为1，且3 A，
得m∈A，则-2≤m<1，
所以实数m的取值范围是[-2，1).
2.(2026·绵阳模拟)设命题p： x∈R，x=sin x，则 p：(　　)
A. x∈R，x=sin x B. x∈R，x≠sin x
C. x∈R，x=sin x D. x∈R，x≠sin x
答案　D
解析　由题意知，命题p： x∈R，x=sin x，
则 p： x∈R，x≠sin x.
3.(2025·菏泽模拟)“x>0”是“2x+>2”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案　A
解析　若x>0，则2x>1，所以2x+≥2=2，
由2x=得x=0，因为x>0，所以取不到等号，即2x+>2，
所以“x>0”是“2x+>2”的充分条件；
当x=-1时，2-1+=>2，
所以“x>0”不是“2x+>2”的必要条件.
综上，“x>0”是“2x+>2”的充分不必要条件.
4.(2026·江门模拟)若命题“ x∈R，x2+x+a≠0”的否定是真命题，则实数a的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　命题“ x∈R，x2+x+a≠0”的否定是“ x∈R，x2+x+a=0”，
则“ x∈R，x2+x+a=0”是真命题，
则Δ=1-4a≥0，解得a≤.
5.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300 m2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x(单位：m)的取值范围是(　　)
A.[15，30] B.[12，25]
C.[10，30] D.[20，30]
答案　C
解析　设矩形的另一边长为y m，
则由三角形相似知，=，
所以y=40-x，因为xy≥300，
所以x(40-x)≥300，
即x2-40x+300≤0，解得10≤x≤30.
6.(2025·日照模拟)点A(2，1)在直线l：mx+ny=1上，且mn>0，则+的最小值为(　　)
A.4 B.6 C.8 D.10
答案　C
解析　因为点A(2，1)在直线l：mx+ny=1上，可得2m+n=1，
又mn>0，所以m>0，n>0，
则+=(2m+n)=2+++2=4++≥4+2=8，当且仅当=时等号成立，
即当m=，n=时，+取得最小值，最小值为8.
7.已知存在x∈[0，1]，使得x2-4x≥m2-4m成立，则m的取值范围是(　　)
A.[0，1] B.[1，3]
C.[0，4] D.[0，+∞)
答案　C
解析　依题意，令f(x)=x2-4x，x∈[0，1]，
则f(x)=x2-4x=(x-2)2-4，其图象开口向上，对称轴为直线x=2，
所以函数f(x)在区间[0，1]上单调递减，则f(x)max=f(0)=0，
因为存在x∈[0，1]，使得x2-4x≥m2-4m成立，
所以f(x)max≥m2-4m，即0≥m2-4m，
即m(m-4)≤0，解得0≤m≤4，
所以m的取值范围是[0，4].
8.已知实数x，y满足4x2+y2-xy=1，且不等式2x+y+c>0恒成立，则c的取值范围是(　　)
A.(2，+∞) B.
C.(3，+∞) D.(-∞，2)
答案　B
解析　∵4x2+y2-xy=1，
∴(2x+y)2=1+5xy≤1+(2x+y)2，当且仅当2x=y时等号成立，
∴(2x+y)2≤，
∴-≤2x+y≤，
又∵不等式2x+y+c>0恒成立，
∴c->0，∴c>，
∴c的取值范围是.
二、选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9.(2026·开封模拟)已知集合A={x|-3<2x-1<3}， RB A，则(　　)
A.-1 B B.2∈B
C.-1∈(A∪B) D.2∈(A∩B)
答案　BC
解析　A={x|-3<2x-1<3}={x|-1若-1 B，则-1∈ RB，则根据 RB A得-1∈A，显然矛盾，故A错误；
假设2 B，则2∈ RB，根据 RB A得2∈A，显然矛盾，则2∈B，故B正确；
由A选项知，-1∈B，则-1∈(A∪B)，故C正确；
显然2 A，必有2 (A∩B)，故D错误.
10.(2025·铜陵模拟)下列说法正确的有(　　)
A.当x<0时，x++1的最大值为-3
B.已知a+2b=2，则a2+4b2的最小值为2
C.已知a，b，c∈R，则不等式aD. x∈(0，+∞)，4x+<9
答案　BCD
解析　由x<0，则x++1=-+1≤-2+1=-1，
当且仅当x=-1时取等号，故x++1的最大值为-1，A错；
a2+4b2≥=2，当且仅当a=1，b=时取等号，即a2+4b2的最小值为2，B对；
若ac20，则a所以ac2取x=，可得4x+=2-2=0<9，D对.
11.已知a，b均为正数且a2-b2=a+b，则下列不等式正确的有(　　)
A.ln(a-b)>0 B.a2+b2>1
C.2a+2b>4 D.2ln a-ln b≥ln 4
答案　BD
解析　由a2-b2=(a+b)(a-b)=a+b，
因为a，b均为正数，所以a-b=1，ln(a-b)=0，故A错误；
由上知b>0，a=b+1>1，所以b2>0，a2>1，所以a2+b2>1，故B正确；
2a>2，2b>1，所以2a+2b>3，故C错误；
2ln a-ln b=ln=ln=ln≥ln=ln 4，
当且仅当a=2，b=1时，等号成立，故D正确.
三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
12.(2025·秦皇岛模拟)已知λ>0，集合A={x|x2-5x-6<0}，B={x|(x-λ)(x-2λ)<0}，若x∈A是x∈B的必要不充分条件，则λ的取值范围为　　　　　.
答案　(0，3]
解析　A={x|x2-5x-6<0}={x|-1B={x|(x-λ)(x-2λ)<0}={x|λ因为x∈A是x∈B的必要不充分条件，
所以B是A的真子集，
可得等号不同时成立，结合λ>0，解得0<λ≤3，
所以λ的取值范围为(0，3].
13.(2025·鞍山期末)关于x的不等式x2-ax-b<0的解集是(2，3)，则关于x的不等式bx2-ax-1>0的解集是　　　　　　　　.
答案　
解析　∵关于x的不等式x2-ax-b<0的解集为2∴关于x的一元二次方程x2-ax-b=0的根为x1=2，x2=3，
根据根与系数的关系可得
∴
关于x的不等式bx2-ax-1>0即-6x2-5x-1>0，
整理得6x2+5x+1<0，
解得-∴关于x的不等式bx2-ax-1>0的解集是.
14.(2025·蚌埠模拟)现给出一个二维柯西不等式(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2，当且仅当ad=bc时等号成立.已知a>0，b>0，直线y=x-2a与曲线y=ln(x+b)相切，则++的最小值为　　　　　.
答案　10
解析　由y=ln(x+b)，所以y'=，设切点为(x0，y0)，则=1，故x0=1-b，
又y0=x0-2a，y0=ln(x0+b)，所以y0=ln(x0+b)=0，x0-2a=0，所以2a+b=1，
所以++=++≥+++=+=(2a+b) =+++≥+2=10，
当且仅当=，=，
即a=，b=时两个等号同时成立，
所以++的最小值为10.
四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(13分)(2026·郑州模拟)已知集合A={x|a+1≤x≤7-2a}，B=.
(1)若a=-2，求A∩B；(5分)
(2)若A∪B=B，求实数a的取值范围.(8分)
解　(1)当a=-2时，A={x|-1≤x≤11}，
B=={x|-4≤x≤4}，
所以A∩B={x|-1≤x≤4}.
(2)由A∪B=B，可得A B.
因为A={x|a+1≤x≤7-2a}，B={x|-4≤x≤4}，
所以当A= 时，a+1>7-2a，解得a>2，满足题意；
当A≠ 时，解得≤a≤2.
综上，实数a的取值范围为.
16.(15分)已知a∈R，命题p： x∈[1，2]，x2≥a；命题q： x0∈R，+2ax0-(a-2)=0.
(1)若p是真命题，求a的最大值；(6分)
(2)若p，q中有且只有一个是真命题，求实数a的取值范围.(9分)
解　(1)若p是真命题，即 x∈[1，2]，a≤x2恒成立，
当x∈[1，2]时，x2的最小值为1，所以a≤1，
即a的最大值为1.
(2)若q是真命题，Δ=(2a)2+4(a-2)≥0，解得a≤-2或a≥1，
若q是假命题，Δ=(2a)2+4(a-2)<0，解得-2由已知p，q一真一假，
若p真q假，则 -2若q真p假，则 a>1，
综上， -21.
所以实数a的取值范围为(-2，1)∪(1，+∞).
17.(15分)(2025·昆明模拟)已知函数f(x)=ax2+ax-2(a∈R).
(1)若关于x的不等式f(x)>-5的解集为R，求a的取值范围；(6分)
(2)当a<0时，解关于x的不等式f(x)-3x-1≥0.(9分)
解　(1)不等式f(x)>-5可化为ax2+ax-2>-5，
即ax2+ax+3>0对任意的x∈R恒成立，
当a=0时，3>0对任意的x∈R恒成立，
所以a=0符合题意；
当a≠0时，应满足
解得0综上，a的取值范围是{a|0≤a<12}.
(2)不等式f(x)-3x-1≥0可化为ax2+(a-3)x-3≥0，
即(ax-3)(x+1)≥0，
因为a<0，方程(ax-3)(x+1)=0的两根为，-1，
当<-1，即-3不等式的解集为；
当=-1，即a=-3时，不等式的解集为{-1}；
当>-1，即a<-3时，
不等式的解集为.
18.(17分)现有一人工智能企业生产制造人形机器人，每月的成本t(单位：万元)由两部分构成：①固定成本：1 000万元；②材料成本：万元，x为每月生产人形机器人的个数.
(1)该企业每月的产量为多少时，平均每个人形机器人的成本最低，最低为多少万元？(8分)
(2)若每个人形机器人的售价为万元，假设生产出来的每个人形机器人都能够售出，则该企业应如何制订生产计划，才能确保每月的利润不低于400万元？(附：利润=售价×销量-成本.)(9分)
解　(1)设平均每个人形机器人的成本为y万元，根据题意得，
y==++10
≥2+10=30，
当且仅当=，即x=100时取等号.
所以该企业每月的产量为100个时，平均每个人形机器人的成本最低，最低为30万元.
(2)设每月的利润为W万元，则W=x-1 000-10x-=+13x-1 000，
由题知+13x-1 000≥400，
整理得x2+130x-14 000≥0，解得x≥70.
所以该企业每月生产不少于70个人形机器人，才能确保每月的利润不低于400万元.
19.(17分)(2026·北京通州区期中)设有序数阵Tn=，集合Cn={1，2，3，…，2n}，其中i=1，2，3，…，n，n∈N，n≥4.若Tn满足：①{a1，a2，…，ai，…，an}∪{b1，b2，…，bi，…，bn}=Cn ；②ai-bi=i，则称 Tn为集合Cn的覆盖数阵.
(1)若T4=为C4的覆盖数阵，求a，b，c，d，e的值；(3分)
(2)当n≤7时，写出所有的n的取值，使得Tn=为Cn的覆盖数阵；(6分)
(3)设有序数阵Tn的个数为|Tn|，若Tn为Cn的覆盖数阵，求证：∈N.(8分)
(1)解　由题意可得解得
则b-c=2且b，c∈{3，5}，故b=5，c=3，
综上，有a=7，b=5，c=3，d=1，e=6.
(2)解　由ai-bi=i，得ai=bi+i，i=1，2，3，…，n，n∈N，n≥4，
故ai+bi=(bi+i)+bi =2bi+
又{a1，a2，…，ai，…，an}∪{b1，b2，…，bi，…，bn}=Cn，
故ai+bi=i==n(2n+1)，
则有n(2n+1)=2bi+，
即bi==，
由bi∈N*，得∈N*，
当n=7时， bi== N*；
当n=6时， bi== N*；
当n=5时， bi==20∈N*，符合，
实际上，T5=符合要求；
当n=4时， bi==13∈N*，符合，
由(1)知，T4=符合要求；
综上所述，当n≤7时，n的取值可为4或5.
(3)证明　若Tn=，i=1，2，3，…，n，n∈N，n≥4为Cn的覆盖数阵，
则有ai-bi=i，
则存在有序数阵Tn'=，
有(2n+1-bi)-(2n+1-ai)=ai-bi=i，满足条件②，
{2n+1-b1，2n+1-b2，…，2n+1-bi，…，2n+1-bn}∪{2n+1-a1，2n+1-a2，…，2n+1-ai，…，2n+1-an}={2n+1-x|x∈Cn}=Cn，满足条件①，
故Tn'也为Cn的覆盖数阵，
假设Tn=Tn'，则有ai=2n+1-bi，又ai-bi=i，
则有ai=，bi=，
由ai，bi∈N*，得2n+1+i与2n+1-i恒为偶数，显然不可能，
故Tn≠Tn'，故覆盖数阵成对出现，即|Tn|为偶数，即有∈N.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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