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单元检测二　函　数
(时间：120分钟　分值：150分)
一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.(2026·商洛模拟)函数f(x)=+的定义域是(　　)
A.{x|x>-5且x≠1}
B.{x|x≥-5且x≠1}
C.{x|x≥-5}
D.{x|x≠1}
2.(2025·开封模拟)已知alog94=1，则2-a等于(　　)
A. B. C. D.3
3.(2025·茂名模拟)已知函数f(x)=则f(-1)+f(1)等于(　　)
A. B.3 C. D.
4.(2025·天津模拟)函数f(x)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式可能为(　　)
A.f(x)=
B.f(x)=
C.f(x)=
D.f(x)=
5.(2025·西安模拟)已知函数f(x)=若f(x)在R上有2个零点，则a的取值范围是(　　)
A.(-∞，-1) B.(-1，0)
C.(-∞，-1] D.[-1，0)
6.(2026·绵阳模拟)已知a=，b=log34，c=，则(　　)
A.bC.c7.(2026·宁波模拟)大气压强p=(单位：Pa)，它随海拔高度h(单位：m)的变化规律可以近似地表示为p=p0e-kh(其中e为自然对数的底数，p0是海平面大气压强，k为常数).已知某市海拔最高的山峰上某一处的海拔约为1 018 m，大气压强为90 900 Pa，某市城区某一处的海拔约为4 m，大气压强为101 000 Pa.现测得该山峰上另一处的大气压强为80 800 Pa，则估计该处的海拔高度的范围是(参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)(　　)
A.(2 900，3 200) B.(2 500，2 800)
C.(2 000，2 300) D.(1 600，1 900)
8.(2025·菏泽模拟)已知函数f(x)，若存在实数λ，使得f(x+λ)+λf(x)=0对任意的实数x恒成立，则称f(x)满足性质R(λ)，下列说法正确的为(　　)
A.若f(x)的周期为1，则f(x)满足性质R(1)
B.若f(x)=sin πx，则f(x)不满足性质R(λ)
C.若f(x)=ax(a>0且a≠1)满足性质R(λ)，则λ>0
D.若偶函数f(x)满足性质R(-1)，则f(x)的图象关于直线x=对称
二、选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9.(2025·赤峰期末)下列函数中，是偶函数且在(0，+∞)上单调递增的是(　　)
A.f(x)=x2 B.f(x)=
C.f(x)=x+sin x D.f(x)=log2|x|
10.(2025·柳州模拟)已知x，y∈R，15x=3，15y=5，则(　　)
A.y>x B.x+y>1
C.xy< D.+<
11.(2025·辽阳模拟)已知函数f(x)的定义域为R，对任意x，y∈R，均满足f(x-y)-f(x+y)=f(x-1)f(y-1)，且f(0)=2，则(　　)
A.函数g(x)=xf(x)为奇函数
B.8是f(x)的最小正周期
C.f(x)的图象关于点(1，0)对称
D.f(2 025)=0
三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
12.(2026·深圳模拟)若函数f(x)=的图象关于y轴对称，则a=　　　　.
13.(2025·德阳模拟)函数f(x)=在定义域上单调递增，且f(2m+1)>f(m-1)，则实数m的取值范围为　　　　　.
14.(2025·曲靖模拟)已知x1是函数f(x)=xln x-2 025的零点，x2是函数g(x)=ln x+x-ln 2 025的零点，则x1x2=　　　.
四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(13分)计算下列各式的值：
(1)-+×；(6分)
(2)log545+2log0.5-log5-log518+.(7分)
16.(15分)(2025·马鞍山模拟)已知函数f(x)=为奇函数，且f(1)=3.
(1)求f(x)的解析式；(7分)
(2)求证：f(x)在区间[1，+∞)上单调递增.(8分)
17.(15分)(2025·汕头期末)某科研单位的研究人员对某种细菌的繁殖情况进行了研究，在培养皿中放入了一定数量的细菌，经过1小时细菌的数量变为12个，再经过2小时细菌的数量变为27个，并发现该细菌数量的增长速度越来越快.现该细菌数量y(单位：个)与经过时间x(x∈N，单位：小时)的关系有以下两个函数模型可供选择：①y=kax(k>0，a>1)；②y=p+q(p>0).
(1)试判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式；(7分)
(2)求开始时放入的细菌的数量，并求至少经过几个小时该细菌的数量多于开始放入时的100 000倍.(参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)(8分)
18.(17分)(2026·天津市河北区模拟)已知函数f(x)=2x2-ax+10(a∈R)，g(x)=x2-x+.
(1)当a=1时，求f(2)的值；(3分)
(2)若对任意x∈R，都有f(x)>g(x)恒成立，求实数a的取值范围；(5分)
(3)若 x1∈(0，2)， x2∈[0，1]，使得不等式f(x1)>g(x2)成立，求实数a的取值范围.(9分)
19.(17分)已知函数f(x)的定义域为I，若 m，n，t∈R，使得f(2m+x)·f(2n-x)=t对 x∈I都成立，则称f(x)为(m，n，t)型函数.
(1)证明：每一个指数函数f(x)=ax(a>0且a≠1)都是(0，0，1)型函数；(3分)
(2)若函数f(x)=是(m，2，t)型函数，求实数m，t的值；(3分)
(3)已知函数f(x)在定义域[-3，9]上的函数值恒大于0，且f(x)为(0，3，4)型函数：当x∈(3，9]时，f(x)的解析式为f(x)=-(log3x)2+blog3x+3.
①求当x∈[-3，3]时f(x)的解析式；(4分)
②若f(x)≥1在x∈[-3，9]上恒成立，求实数b的取值范围.(7分)
单元检测二　函　数
(时间：120分钟　分值：150分)
一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.(2026·商洛模拟)函数f(x)=+的定义域是(　　)
A.{x|x>-5且x≠1}
B.{x|x≥-5且x≠1}
C.{x|x≥-5}
D.{x|x≠1}
答案　B
解析　由题意解得x≥-5且x≠1.
2.(2025·开封模拟)已知alog94=1，则2-a等于(　　)
A. B. C. D.3
答案　C
解析　由alog94=1可得4a=9，
即(2a)2=9，2a=3，故2-a=.
3.(2025·茂名模拟)已知函数f(x)=则f(-1)+f(1)等于(　　)
A. B.3 C. D.
答案　C
解析　因为f(x)=
所以f(1)=log39=2，f(-1)=3-1=，
所以f(-1)+f(1)=2+=.
4.(2025·天津模拟)函数f(x)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式可能为(　　)
A.f(x)=
B.f(x)=
C.f(x)=
D.f(x)=
答案　A
解析　根据图象可以看出，函数的定义域不包括±，
而选项C，D的定义域包括±，所以排除C，D；
由图象可以看出，函数图象关于原点对称，是奇函数，而选项B中，
因为f(-x)==f(x)，则选项B中的函数为偶函数，不符合图象，所以排除B，故A正确.
5.(2025·西安模拟)已知函数f(x)=若f(x)在R上有2个零点，则a的取值范围是(　　)
A.(-∞，-1) B.(-1，0)
C.(-∞，-1] D.[-1，0)
答案　B
解析　当x≥0时，f(x)=-x+2有1个零点，为x=2，
则当x<0时，f(x)=2x+a只有一个零点，
即方程2x+a=0在x<0时有一个解，
即方程2x=-a在x<0时有一个解，
因为函数y=2x为增函数，
且当x<0时，0<2x<1，
则0<-a<1，即-16.(2026·绵阳模拟)已知a=，b=log34，c=，则(　　)
A.bC.c答案　A
解析　a==log3=log3=log3，
因为对数函数y=log3x在(0，+∞)上单调递增，且4=<，
所以log34c==，a==，
由于e≈2.718，=2.25，且函数y=在[0，+∞)上单调递增，
所以>，即c>a.
综上可得，b7.(2026·宁波模拟)大气压强p=(单位：Pa)，它随海拔高度h(单位：m)的变化规律可以近似地表示为p=p0e-kh(其中e为自然对数的底数，p0是海平面大气压强，k为常数).已知某市海拔最高的山峰上某一处的海拔约为1 018 m，大气压强为90 900 Pa，某市城区某一处的海拔约为4 m，大气压强为101 000 Pa.现测得该山峰上另一处的大气压强为80 800 Pa，则估计该处的海拔高度的范围是(参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)(　　)
A.(2 900，3 200) B.(2 500，2 800)
C.(2 000，2 300) D.(1 600，1 900)
答案　C
解析　由题意得p0e-4k=101 000，p0e-1 018k=90 900，
两式相除可得e1 014k==，
解得k=，
对于目标点，可得p0e-kh=80 800，
又p0e-4k=101 000，
两式相除可得ek(h-4)=，
则h=×1 014+4
=×1 014+4
=×1 014+4
=×1 014+4
=×1 014+4
≈×1 014+4≈2 152(m)，
在(2 000，2 300)内，故C正确.
8.(2025·菏泽模拟)已知函数f(x)，若存在实数λ，使得f(x+λ)+λf(x)=0对任意的实数x恒成立，则称f(x)满足性质R(λ)，下列说法正确的为(　　)
A.若f(x)的周期为1，则f(x)满足性质R(1)
B.若f(x)=sin πx，则f(x)不满足性质R(λ)
C.若f(x)=ax(a>0且a≠1)满足性质R(λ)，则λ>0
D.若偶函数f(x)满足性质R(-1)，则f(x)的图象关于直线x=对称
答案　D
解析　若f(x)的周期为1，则f(x+1)=f(x)=f(x-1)，从而有f(x-1)-f(x)=0，因此f(x)满足性质R(-1)，但f(x+1)+f(x)=2f(x)=0不一定成立，故A错误；
f(x)=sin πx，f(x+1)=sin π(x+1)=sin(πx+π)=-sin πx=-f(x)，所以f(x+1)+f(x)=0，所以f(x)满足性质R(1)，故B错误；
若f(x)=ax(a>0且a≠1)满足性质R(λ)，则f(x+λ)+λf(x)=ax+λ+λax=ax(aλ+λ)=0，所以aλ+λ=0，从而λ=-aλ<0，故C错误；
偶函数f(x)满足性质R(-1)，即f(x-1)-f(x)=0，又f(x)是偶函数，所以f(1-x)=f(x)，所以f(x)的图象关于直线x=对称，故D正确.
二、选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9.(2025·赤峰期末)下列函数中，是偶函数且在(0，+∞)上单调递增的是(　　)
A.f(x)=x2 B.f(x)=
C.f(x)=x+sin x D.f(x)=log2|x|
答案　AD
解析　f(x)=x2在(0，+∞)上单调递增，且为偶函数，故A正确；
由对勾函数性质可知f(x)=在(0，+∞)上不单调，不符合题意，故B错误；
f(x)-f(-x)=x+sin x-(-x-sin x)=2x+2sin x≠0，则f(x)=x+sin x不为偶函数，故C错误；
f(-x)=log2|-x|=log2|x|=f(x)，且f(x)的定义域为{x|x≠0}，
即f(x)=log2|x|为偶函数，由t=|x|在(0，+∞)上单调递增，
y=log2t在定义域内单调递增，故f(x)在(0，+∞)上单调递增，符合题意，故D正确.
10.(2025·柳州模拟)已知x，y∈R，15x=3，15y=5，则(　　)
A.y>x B.x+y>1
C.xy< D.+<
答案　ACD
解析　由x，y∈R，15x=3，15y=5得x=log153>0，y=log155>0，
对于选项A，因为函数y=log15x在(0，+∞)上单调递增，所以log155>log153，即y>x，故A正确；
对于选项B，x+y=log153+log155=log1515=1，故B错误；
对于选项C，因为y>x>0，x+y>2，所以xy<，由B选项得x+y=1，即xy<，
故C正确；
对于选项D，由B选项得x+y=1，所以=x+y+2<2(x+y)=2，
即+<，故D正确.
11.(2025·辽阳模拟)已知函数f(x)的定义域为R，对任意x，y∈R，均满足f(x-y)-f(x+y)=f(x-1)f(y-1)，且f(0)=2，则(　　)
A.函数g(x)=xf(x)为奇函数
B.8是f(x)的最小正周期
C.f(x)的图象关于点(1，0)对称
D.f(2 025)=0
答案　ACD
解析　对于A，令x=y=0，得f(0)-f(0)=f(-1)f(-1)，所以f(-1)=0，
令x=0，得f(-y)-f(y)=f(-1)f(y-1)=0，即f(-y)=f(y)，所以f(x)为偶函数，
所以g(-x)=-xf(-x)=-xf(x)=-g(x)，则g(x)为奇函数，故A正确；
对于B，令x=1，f(1-y)-f(1+y)=f(0)f(y-1)=2f(y-1)，即f(y+1)=-f(y-1)=f(y-3)，即f(x+4)=f(x)，所以4是f(x)的一个周期，故B错误；
对于C，由B项分析知f(1-y)+f(1+y)=0，所以f(x)关于点(1，0)对称，且f(1)=0，
又4是f(x)的一个周期，所以f(2 025)=f(1)=0，故C，D正确.
三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
12.(2026·深圳模拟)若函数f(x)=的图象关于y轴对称，则a=　　　　.
答案　
解析　因为f(x)=的图象关于y轴对称，
故f(-x)=f(x)，
即=，
即-xe-ax(ex-1)=xeax(e-x-1)，
即xeax·+x·=0 x(1-ex)(eax-x-e-ax)=0，
要想上式恒成立，则eax-x-e-ax=0恒成立，
即ax-x=-ax，解得a=.
13.(2025·德阳模拟)函数f(x)=在定义域上单调递增，且f(2m+1)>f(m-1)，则实数m的取值范围为　　　　　.
答案　(0，1]
解析　根据函数的单调性可得，y=2x，y=3x-m在R上单调递增，
于是要使f(x)在(-1，+∞)上单调递增，只需满足31-m≥21，则m≤1；
又因为f(x)在(-1，+∞)上单调递增，
且f(2m+1)>f(m-1)，则
解得m>0，
故实数m的取值范围为(0，1].
14.(2025·曲靖模拟)已知x1是函数f(x)=xln x-2 025的零点，x2是函数g(x)=ln x+x-ln 2 025的零点，则x1x2=　　　.
答案　2 025
解析　由题可得
则x2+ln x2=ln(x1ln x1)=ln x1+ln(ln x1)，
因为函数y=x+ln x在(0，+∞)上单调递增，
x2>0，ln x1>0，
所以x2=ln x1，则x1x2=x1ln x1=2 025.
四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(13分)计算下列各式的值：
(1)-+×；(6分)
(2)log545+2log0.5-log5-log518+.(7分)
解　(1)原式=-+×=-+×=-+25×=.
(2)原式=log5(5×9)+2lo-log550-1-log518+4
=1+log59+(-1)+log550-log518+4
=log59+log5(25×2)-log518+4
=log59+2+log52-log518+4=log5(2×9)+2-log518+4=6.
16.(15分)(2025·马鞍山模拟)已知函数f(x)=为奇函数，且f(1)=3.
(1)求f(x)的解析式；(7分)
(2)求证：f(x)在区间[1，+∞)上单调递增.(8分)
(1)解　由函数f(x)为奇函数，且定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)，
可得f(-1)=-f(1)，即-(a-b+1)=-(a+b+1)，解得b=0，
又f(1)=a+1=3，解得a=2，所以f(x)=2x+，
对任意的x∈(-∞，0)∪(0，+∞)，f(-x)=-2x-=-f(x)，
满足f(x)为奇函数，
综上可得，f(x)=2x+.
(2)证明　任取x1，x2∈[1，+∞)，且x1则f(x1)-f(x2)=2x1+-
=2(x1-x2)-=，
由1≤x11，x1-x2<0，
则f(x1)-f(x2)<0，即f(x1)所以f(x)在区间[1，+∞)上单调递增.
17.(15分)(2025·汕头期末)某科研单位的研究人员对某种细菌的繁殖情况进行了研究，在培养皿中放入了一定数量的细菌，经过1小时细菌的数量变为12个，再经过2小时细菌的数量变为27个，并发现该细菌数量的增长速度越来越快.现该细菌数量y(单位：个)与经过时间x(x∈N，单位：小时)的关系有以下两个函数模型可供选择：①y=kax(k>0，a>1)；②y=p+q(p>0).
(1)试判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式；(7分)
(2)求开始时放入的细菌的数量，并求至少经过几个小时该细菌的数量多于开始放入时的100 000倍.(参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)(8分)
解　(1)由指数函数和幂函数的图象可知，
y=kax(k>0，a>1)的增长速度越来越快，y=p+q(p>0)的增长速度越来越慢，
依题意选函数模型y=kax(k>0，a>1)更合适，
则解得即y=8×，x∈N.
(2)令x=0，则y=8，即开始时放入的细菌的数量为8.
令y=8×>8×100 000，
∴x>lo100 000=
≈≈28.39，
∵x∈N，
∴至少经过29个小时该细菌的数量多于开始放入时的100 000倍.
18.(17分)(2026·天津市河北区模拟)已知函数f(x)=2x2-ax+10(a∈R)，g(x)=x2-x+.
(1)当a=1时，求f(2)的值；(3分)
(2)若对任意x∈R，都有f(x)>g(x)恒成立，求实数a的取值范围；(5分)
(3)若 x1∈(0，2)， x2∈[0，1]，使得不等式f(x1)>g(x2)成立，求实数a的取值范围.(9分)
解　(1)由题设，f(x)=2x2-x+10，则f(2)=2×22-2+10=16.
(2)由题设，2x2-ax+10>x2-x+恒成立，
即x2+(1-a)x+>0恒成立，
只需Δ=(1-a)2-4×1×=a2-2a-8=(a+2)(a-4)<0，解得-2(3)由题设，在x1∈(0，2)，x2∈[0，1]上，有f(x1)min>g(x2)min成立，
对于g(x)=x2-x+=+，x∈[0，1]，
易知g(x)min=g=.
对于f(x)=2x2-ax+10=2+10-，x∈(0，2)，
当≤0，即a≤0时，f(x)>f(0)=10，显然10>，满足题意；
当0<<2，即0只需10->，解得0当≥2，即a≥8时，f(x)>f(2)=18-2a，
只需18-2a≥，无解，
综上，实数a的取值范围为(-∞，2).
19.(17分)已知函数f(x)的定义域为I，若 m，n，t∈R，使得f(2m+x)·f(2n-x)=t对 x∈I都成立，则称f(x)为(m，n，t)型函数.
(1)证明：每一个指数函数f(x)=ax(a>0且a≠1)都是(0，0，1)型函数；(3分)
(2)若函数f(x)=是(m，2，t)型函数，求实数m，t的值；(3分)
(3)已知函数f(x)在定义域[-3，9]上的函数值恒大于0，且f(x)为(0，3，4)型函数：当x∈(3，9]时，f(x)的解析式为f(x)=-(log3x)2+blog3x+3.
①求当x∈[-3，3]时f(x)的解析式；(4分)
②若f(x)≥1在x∈[-3，9]上恒成立，求实数b的取值范围.(7分)
(1)证明　对于指数函数f(x)=ax(a>0且a≠1)，
有f(2×0+x)f(2×0-x)=ax·a-x=1，
故每一个指数函数f(x)=ax(a>0且a≠1)都是(0，0，1)型函数.
(2)解　因为函数f(x)=是(m，2，t)型函数，
所以×=t，其中t>0，
所以=t，
即+=log2t(x≠-2m且x≠4)，
整理得到2m+4=(4-x)(2m+x)log2t恒成立，
故2m+4=0，log2t=0，故m=-2，t=1.
(3)解　①因为f(x)为(0，3，4)型函数，
故f(x)f(6-x)=4，故f(3)·f(3)=4，
而在定义域[-3，9]上f(x)>0，故f(3)=2.
故 x∈[-3，3)，则6-x∈(3，9]，
故f(6-x)=-+blog3(6-x)+3，
故f(x)=
=，
故当x∈[-3，3]时，f(x)=
②因为f(x)≥1在[-3，9]上恒成立，而f(3)=2>1，
故当x∈(3，9]时，f(x)≥1，且当x∈[-3，3)时，f(x)≥1，
故≥1，
故当x∈(3，9]时，1≤f(x)≤4恒成立，
故1≤-(log3x)2+blog3x+3≤4在(3，9]上恒成立，
设t=log3x，t∈(1，2]，
故1≤-t2+bt+3≤4在(1，2]上恒成立，
故≤b≤在(1，2]上恒成立，
设s(t)==t-，t∈(1，2]，
则s(t)在(1，2]上单调递增，
故s(t)max=s(2)=1，
设u(t)==t+，t∈(1，2]，
由对勾函数的性质可得u(t)=t+在(1，2]上单调递增，
故u(t)>u(1)=2，故1≤b≤2，
即实数b的取值范围为[1，2].
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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