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单元检测四　三角函数与解三角形
(时间：120分钟　分值：150分)
一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.(2025·青岛模拟)下列与角-的终边相同的角的表达式中正确的是(　　)
A.2kπ+(k∈Z)
B.k·360°-(k∈Z)
C.k·360°-210°(k∈Z)
D.kπ+(k∈Z)
2.(2025·惠州模拟)在平面直角坐标系中，点P(cos 223°，tan 223°)位于(　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
3.(2026·泰安模拟)函数f(x)=sin(2x+φ)的图象关于直线x=对称，则φ的一个可能值是(　　)
A. B. C. D.
4.(2026·长春模拟)已知tan α=-3，则等于(　　)
A. B.- C. D.-
5.(2025·南宁模拟)在锐角△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边.已知b=3，c=2，sin A=，则sin C等于(　　)
A. B. C. D.
6.(2026·吕梁模拟)已知cos-=sin α，则cos等于(　　)
A. B.- C. D.-
7.如图，在A点测得某塔在北偏东30°方向上的点D处，塔顶C的仰角为30°，且B点在北偏东60°方向上，A，B点相距80 m，在B点测得塔在北偏西60°方向上，则塔的高度CD为(　　)
A.69 m B.40 m C.35 m D.23 m
8.(2025·重庆沙坪坝区模拟)锐角△ABC中的角A，B，C满足6cos A+tan B+tan C=6cos Atan Btan C，则A等于(　　)
A. B. C. D.
二、选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9.已知sin(π+α)=-，则下列计算正确的是(　　)
A.sin(5π-α)= B.sin=
C.cos=- D.tan=
10.(2026·新余模拟)已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)的部分图象如图所示，其中M，N(2π，-)，则(　　)
A.ω=
B.f(x)的图象关于点中心对称
C.f(x)在上单调递增
D.将f(x)的图象向右平移个单位长度后关于原点对称
11.△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c2-b2=ab，则(　　)
A.bB.B=2C
C.B的取值范围为
D.的取值范围为(0，3)
三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
12.(2025·郑州模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A=60°，c=4，a=2，则=　　　　.
13.(2025·安庆模拟)已知角α，β的顶点与坐标原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，角α的终边与圆O交于点A(1，2).动点P以A为起点，沿圆周按逆时针方向运动到点B，点P运动的轨迹长为，当角β的终边为射线OB时，tan β=　　　　　　.
14.(2025·贵阳模拟)已知0≤α≤，0≤β≤，cos 2α=-，sin(α+β)=-，则β-α=　　　　.
四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(13分)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)的振幅为5，最小正周期为，初相为-，将函数f(x)=Asin(ωx+φ)的图象向左平移个单位长度，再将图象上每个点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变)，得到函数g(x)的图象.
(1)求g(x)的表达式；(6分)
(2)求g(x)的对称轴方程与单调递增区间.(7分)
16.(15分)(2025·哈尔滨模拟)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，△ABC的面积为2，3acos C+c=3b.
(1)求cos A的值；(5分)
(2)若bsin B+csin C=4sin A，求△ABC的周长.(10分)
17.(15分)已知cos=-，sin=，其中α∈，β∈.
(1)求sin(α-β)；(7分)
(2)求.(8分)
18.(17分)如图是一个半径为2千米、圆心角为的扇形游览区的平面示意图.点C是半径OB上一点，点D是圆弧上一点，且CD∥OA，现在线段OC、线段CD及圆弧三段所示位置设立广告位，经测算广告位出租的收入是：线段OC处每千米为2a元，线段CD及圆弧处每千米均为a元.设∠AOD=x弧度，广告位出租的总收入为y元.
(1)求y关于x的函数解析式，并写出该函数的定义域；(8分)
(2)试问x为何值时，广告位出租的总收入最大，并求出其最大值.(9分)
19.(17分)(2026·长沙模拟)已知△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，A≠，a=bcos A.
(1)若B=，求sin A；(5分)
(2)若tan C=，求A+2B；(5分)
(3)在(2)的条件下，求证：5a>5c>2b.(7分)
单元检测四　三角函数与解三角形
(时间：120分钟　分值：150分)
一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.(2025·青岛模拟)下列与角-的终边相同的角的表达式中正确的是(　　)
A.2kπ+(k∈Z)
B.k·360°-(k∈Z)
C.k·360°-210°(k∈Z)
D.kπ+(k∈Z)
答案　C
解析　与角-的终边相同的角的表达式为2kπ-(k∈Z)，或k·360°-210°(k∈Z).
2.(2025·惠州模拟)在平面直角坐标系中，点P(cos 223°，tan 223°)位于(　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
答案　B
解析　180°<223°<270°，所以223°角是第三象限角，故cos 223°<0，tan 223°>0，
故点P(cos 223°，tan 223°)在第二象限.
3.(2026·泰安模拟)函数f(x)=sin(2x+φ)的图象关于直线x=对称，则φ的一个可能值是(　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　函数f(x)=sin(2x+φ)的图象关于直线x=对称，
则2×+φ=+kπ(k∈Z)，
解得φ=+kπ(k∈Z)，
令φ=+kπ=，解得k=0，故A正确；
令φ=+kπ=，解得k=，k Z，故B错误；
令φ=+kπ=，解得k=，k Z，故C错误；
令φ=+kπ=，解得k=，k Z，故D错误.
4.(2026·长春模拟)已知tan α=-3，则等于(　　)
A. B.- C. D.-
答案　D
解析　==tan αcos2α===-.
5.(2025·南宁模拟)在锐角△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边.已知b=3，c=2，sin A=，则sin C等于(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　因为△ABC为锐角三角形，所以0在△ABC中，由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccos A=32+22-2×3×2×=10，
所以a=，
由正弦定理可得=，
所以=，解得sin C=.
6.(2026·吕梁模拟)已知cos-=sin α，则cos等于(　　)
A. B.- C. D.-
答案　B
解析　由题意知cos-=cos αcos+sin αsin-=cos α+sin α-=sin α，
所以cos α-sin α=，
即cos=，
所以cos=cos 2=2cos2-1=2×-1=-.
7.如图，在A点测得某塔在北偏东30°方向上的点D处，塔顶C的仰角为30°，且B点在北偏东60°方向上，A，B点相距80 m，在B点测得塔在北偏西60°方向上，则塔的高度CD为(　　)
A.69 m B.40 m C.35 m D.23 m
答案　B
解析　根据题意，CD⊥平面ABD，∠CAD=30°，∠BAD=30°，∠ABD=60°，AB=80 m，
在△ABD中，∠BAD=30°，∠ABD=60°，
∴∠ADB=90°，
∴AD=AB·cos∠BAD=80cos 30°=40(m)，
又∵CD⊥平面ABD，∴△ACD是直角三角形，
在Rt△ACD中，∠CAD=30°，∠ADC=90°，AD=40 m，
∴CD=AD·tan 30°=40×=40(m).
8.(2025·重庆沙坪坝区模拟)锐角△ABC中的角A，B，C满足6cos A+tan B+tan C=6cos Atan Btan C，则A等于(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　因为6cos A+tan B+tan C
=6cos Atan Btan C，
所以6cos A+
=6cos A··，
即·
=6cos A，
即=6cos A·，
所以sin(B+C)=-6cos Acos(B+C)，
所以sin A=6cos2A，又sin2A+cos2A=1，
所以12cos4A+cos2A=1，解得cos2A=(负值已舍去)，所以cos A=±，
又A为锐角，所以cos A=，则A=.
二、选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9.已知sin(π+α)=-，则下列计算正确的是(　　)
A.sin(5π-α)= B.sin=
C.cos=- D.tan=
答案　AC
解析　依题意，sin(π+α)=-sin α=-，sin α=，
所以cos α=±=±，
所以sin(5π-α)=sin α=，A选项正确；
sin=-cos α=±，B选项错误；
cos=-sin α=-，C选项正确；
tan===±，D选项错误.
10.(2026·新余模拟)已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)的部分图象如图所示，其中M，N(2π，-)，则(　　)
A.ω=
B.f(x)的图象关于点中心对称
C.f(x)在上单调递增
D.将f(x)的图象向右平移个单位长度后关于原点对称
答案　AC
解析　方法一　依题意，+φ=+2k1π(k1∈Z)，2ωπ+φ=+2k2π(k2∈Z)，
因为ω>0，|φ|<，解得ω=，φ=，故A正确；
则f(x)=2sin，
因为f ≠0，所以f(x)的图象不关于点中心对称，故B错误；
当-≤x≤0时，-≤x+≤，
故f(x)在上单调递增，故C正确；
f =2sin=-2cosx，其图象不关于原点对称，故D错误.
方法二　若是y=sin x的图象，M，N两点间的横向距离为-=，实际上，
M，N两点间的横向距离为2π-=，被拉伸了2倍，故ω=，
其他选项的判断同方法一.
11.△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c2-b2=ab，则(　　)
A.bB.B=2C
C.B的取值范围为
D.的取值范围为(0，3)
答案　ACD
解析　∵c2-b2=ab，∴c2=b2+ab且c2-b2>0，∴c>b，A正确；
由余弦定理得cos C===，
∴2bcos C=a-b，
由正弦定理得2sin Bcos C=sin A-sin B，
即2sin Bcos C=sin(B+C)-sin B
=sin Bcos C+cos Bsin C-sin B，
整理得sin(C-B)=sin B，
又B，C∈(0，π)，∴C-B=B或C-B+B=π(舍去)，
∴C=2B，B错误；
∵C=2B，∴A=π-B-C=π-3B，
∴ 0∵cos C==-，
∴=2cos C+1=2cos 2B+1，
∵B∈，∴2B∈，
∴cos 2B∈，∴2cos 2B+1∈(0，3)，即的取值范围为(0，3)，D正确.
三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
12.(2025·郑州模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A=60°，c=4，a=2，则=　　　　.
答案　
解析　由余弦定理，得a2=b2+c2-2bccos A，即28=b2+16-4b，
整理得b2-4b-12=0，解得b=6或b=-2(舍去)，
所以===.
13.(2025·安庆模拟)已知角α，β的顶点与坐标原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，角α的终边与圆O交于点A(1，2).动点P以A为起点，沿圆周按逆时针方向运动到点B，点P运动的轨迹长为，当角β的终边为射线OB时，tan β=　　　　　　.
答案　-
解析　由题意得tan α==2，且圆O的半径r==3，
所以∠AOB==，
所以tan β=tan===-=-.
14.(2025·贵阳模拟)已知0≤α≤，0≤β≤，cos 2α=-，sin(α+β)=-，则β-α=　　　　.
答案　
解析　由0≤α≤，得0≤2α≤π，
又因为cos 2α=-，
所以<2α<π，sin 2α==.
由<α<，0≤β≤，得<α+β<，
因为sin(α+β)=->-，
所以π<α+β<，
cos(α+β)=-=-.
因为β-α=α+β-2α，-π<-2α<-，
所以0<β-α<π，
cos(β-α)=cos(α+β-2α)=cos(α+β)cos 2α+sin(α+β)sin 2α
=-×+×=，
所以β-α=.
四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(13分)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)的振幅为5，最小正周期为，初相为-，将函数f(x)=Asin(ωx+φ)的图象向左平移个单位长度，再将图象上每个点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变)，得到函数g(x)的图象.
(1)求g(x)的表达式；(6分)
(2)求g(x)的对称轴方程与单调递增区间.(7分)
解　(1)由题意得=，解得ω=3，
又A=5，φ=-，所以f(x)=5sin，
将函数f(x)=5sin的图象向左平移个单位长度，得到y=5sin=5sin的图象，
再将所得图象上每个点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变)，得到y=5sin的图象，
故g(x)=5sin.
(2)令6x+=kπ+，k∈Z，
得x=+，k∈Z，
即g(x)的对称轴方程为x=+，k∈Z.
令2kπ-≤6x+≤2kπ+，k∈Z，
得-≤x≤+，k∈Z，
即函数g(x)的单调递增区间为，k∈Z.
16.(15分)(2025·哈尔滨模拟)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，△ABC的面积为2，3acos C+c=3b.
(1)求cos A的值；(5分)
(2)若bsin B+csin C=4sin A，求△ABC的周长.(10分)
解　(1)根据余弦定理可得，3a·+c=3b，
则b2+c2-a2=bc，
所以cos A==.
(2)因为0所以sin A==，
又△ABC的面积为2，
所以bcsin A=2，即bc=6，
因为bsin B+csin C=4sin A，结合正弦定理可得b2+c2=4a，
又b2+c2-a2=bc，
所以4a-a2=4，解得a=2，
所以b2+c2=8，
所以(b+c)2=b2+c2+2bc=20，即b+c=2，
所以△ABC的周长为a+b+c=2+2.
17.(15分)已知cos=-，sin=，其中α∈，β∈.
(1)求sin(α-β)；(7分)
(2)求.(8分)
解　(1)∵α∈，
∴α+∈，
∴sin=
==，
∵β∈，∴+β∈，
∴cos===，
∴sin(α-β)=sin
=sincos-cossin
=×+×=.
(2)sin(α+β)=sin
=-cos
=-coscos+sinsin
=×+×=.
又∵sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β=，
sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β=，
∴=，
∴=，
解得=17.
18.(17分)如图是一个半径为2千米、圆心角为的扇形游览区的平面示意图.点C是半径OB上一点，点D是圆弧上一点，且CD∥OA，现在线段OC、线段CD及圆弧三段所示位置设立广告位，经测算广告位出租的收入是：线段OC处每千米为2a元，线段CD及圆弧处每千米均为a元.设∠AOD=x弧度，广告位出租的总收入为y元.
(1)求y关于x的函数解析式，并写出该函数的定义域；(8分)
(2)试问x为何值时，广告位出租的总收入最大，并求出其最大值.(9分)
解　(1)因为CD∥OA，
所以∠ODC=∠AOD=x，
在△OCD中，∠OCD=，∠COD=-x，OD=2，
由正弦定理，得===，
得OC=sin x，CD=sin.
又圆弧的长为2千米，
所以y=2a×sin x+a×
=2a，x∈.
(2)记f(x)=2a，
x∈，则f'(x)=2a(cos x-sin x-1)
=2a，
令f'(x)=0，得x=.
当x变化时，f'(x)，f(x)的变化如表.
x
f'(x) + 0 -
f(x) 单调递增 极大值 单调递减
所以f(x)在x=处取得极大值，这个极大值就是最大值，
即f =2a×=2a.
故当x=时，广告位出租的总收入最大，最大值为2a元.
19.(17分)(2026·长沙模拟)已知△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，A≠，a=bcos A.
(1)若B=，求sin A；(5分)
(2)若tan C=，求A+2B；(5分)
(3)在(2)的条件下，求证：5a>5c>2b.(7分)
(1)解　由a=bcos A和正弦定理知sin A=sin Bcos A，
又B=，则sin A=cos A，
又sin2A+cos2A=1，
A∈(0，π)，则sin A=.
(2)解　由tan C=得
=，
则sin Ccos A+cos Csin A=cos C，
即sin(A+C)=cos C，
因为A+B+C=π，则sin(A+C)=sin(π-B)=cos C，
即sin B=cos C，
则B=C+或B+C=，
当B+C=时，A=，
与A≠矛盾，舍去，
故B=C+，
又A+B+C=π，故A+B+B-=π，
即A+2B=.
(3)证明　因为sin A=sin Bcos A，
则sin=sin Bcos，
则cos 2B=sin Bsin 2B，
即cos 2B=2sin2Bcos B，
故2cos2B-1=2(1-cos2B)cos B，
即2cos3B+2cos2B-2cos B-1=0，
因为B=C+，
故B∈，令t=cos B，
则-1令f(t)=2t3+2t2-2t-1(-1则f'(t)=6t2+4t-2=2(3t-1)(t+1)<0，
故f(t)在(-1，0)上单调递减，
又f >0，f<0，
所以-即-因为B∈，则由
可得tan A=sin B=cos C，
则从而又，
所以A>C，即a>c，
又=>>，则5c>2b，
综上，5a>5c>2b.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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