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四川广元市2026届高三下学期定时训练数学试卷
一、单选题
1．设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知复数，则（ ）
A．1 B． C．2 D．4
3．已知数列满足：，，，则（ ）
A．127 B．128 C．255 D．256
4．已知，，则（ ）
A． B． C． D．
5．某果园为检测两试验园苹果的质量，现从试验园抽取30个苹果，其平均质量为，方差为48，从试验园抽取20个苹果，其平均质量为，方差为40，则抽取的这50个苹果的方差为（ ）
（参考公式：样本分为2层，各层的容量、平均数和方差分别为，，，，，，记样本的平均数为，方差为，则.）
A．45.8 B．140.8 C．176 D．183.2
6．已知为坐标原点，动点在：上，点的坐标为，且线段的中点为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
8．若实数，满足，则与的最小值最接近的是（ ）（参考数据：，，）
A．0.26 B．0.41 C．0.51 D．1.10
二、多选题
9．数列为等差数列，公差为，前项和为；数列为等比数列，公比为，前项和为.若，，，则（ ）
A． B． C． D．
10．在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为棱的中点，则（ ）
A．直线与平面平行
B．四面体的外接球的表面积为
C．三棱锥的体积为
D．平面与平面的夹角的余弦值为
11．已知函数，，则（ ）
A．若，则函数有两个极值点
B．若，且，则函数在上不单调
C．若函数既有极大值又有极小值，则其极大值必大于1
D．函数的图象关于点成中心对称图形
三、填空题
12．已知，，若，则实数______.
13．在的展开式中，的系数为__________.（用数字作答）
14．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，是双曲线右支上一点，且，若的平分线与轴交于点，有，则双曲线的离心率为______.
四、解答题
15．在中，角，，的对边分别为，，，且.
(1)求；
(2)若，求.
16．在直三棱柱中，，，，.
(1)求证：平面；
(2)点在线段上运动，记直线与平面所成角为，求的最大值.
17．已知函数，.
(1)若函数在处取得极值，求实数的值及此时的单调区间；
(2)令，若对，的图象都不在图象的下方，求实数的取值范围.
18．已知椭圆：的焦距为，且经过点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线经椭圆面反射后必经过椭圆的另一个焦点.现从椭圆的左焦点发出的光线经椭圆面两次反射后再次经过左焦点，其中第一次入射点为，求第二次反射光线所在的直线；
(3)设，分别是椭圆的左、右焦点，过点作一条斜率不为零的直线，交椭圆于不同两点，，点关于轴的对称点为，若存在直线使得，求实数的取值范围.
19．某机器人公司在初代人形机器人原型机的功能验证阶段，对“连续侧空翻”动作进行落地稳定性测试．假设单次空翻成功落地概率为，测试直到出现“连续成功2次”或“连续失败2次”时立即停止，各次测试相互独立．若测试停止时最后两次均为成功，称为“成功终止”，记为恰好次测试后成功终止的概率．
(1)求，；
(2)求；
(3)该公司技术优化后，机器人的空翻落地概率增加“成功增益”规则：若某一次空翻成功落地，下一次空翻的成功概率将在原有基础上增加，（，即成功后动作稳定性会提升）；若某一次空翻落地失败，下一次空翻的成功概率会重置为初始值．现要求技术优化后，初始状态下最终“成功终止”的概率比无增益时最终“成功终止”的概率提升至少，求满足条件的的最小值．
参考答案
1．A
【详解】，，
故.
2．C
【详解】复数，，则，
所以.
3．C
【详解】在数列中，由，得，而，
因此数列是首项为2，公比为2的等比数列，，
所以.
4．D
【详解】，而，，故，
故.
5．B
【详解】这50个苹果的平均数，
则方差
.
6．A
【详解】设，则，故，
故，故，且，
故，故，故.
7．D
【详解】令，则，故在上单调递增，
又，故当时，，
则，即，故，
，
，故；
综上可得.
8．C
【详解】设，则，
故，故，
故，因为，故，
此时，
当且仅当即时等号成立，
故的最小值为，即的最小值为，故的最小值为，
所以的最小值，即最小值为.
9．AC
【详解】依题意，，则，解得，A正确，B错误；
对于C，，C正确；
对于D，，D错误.
10．BCD
【详解】
以原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
则，
对于A，，，
设平面的法向量为，则，
所以，取，
因为，故直线与平面不平行，故A错误；
对于B，设四面体的外接球的球心为，半径为，
则，
故即，
故，故外接球的表面积为，故B正确；
对于C，因为到平面的距离即为棱长，
故，故C正确；
对于D，因为平面的法向量，
设平面与平面的夹角为，，
故D正确.
11．ABD
【详解】，
对于A，因为，，故有两个变号零点，
所以函数有两个极值点，故A正确；
对于B，因为，，
因为，故，，
而，故存在，当时，，
当时，，故在为增函数，在为减函数，
故函数在上不单调，故B正确；
对于C，取，则，
当或时，，当时，，
故为唯一的极大值点，故的极大值为，故C错误；
对于D，，
而，
故，
而，故，
故函数的图象关于点成中心对称图形，故D正确；
12．
【详解】因为，故，故.
13．60
【详解】由二项式定理，展开式的通项为.
令，解得，将代入通项，得的系数为.
14．
【详解】∵，设的高为，则，可得，所以，
∵平分，可得，
则，
又因为，所以，
又中，由余弦定理得，则，
所以整理得，
故，
所以.
15．(1)
(2)
【详解】（1）由题意及正弦定理得：，
又，则有，
又，则，又，所以.
（2）由余弦定理，，得，
由题，有，而，
∴，即，
即，得，
又由（1）可得，
得，
所以.
16．(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）法一：在直三棱柱中，平面
又平面，有，又，，
，平面，有平面，
又平面，则有，
在正方形中，，又，，平面，
则有平面.
法二：以为原点，为轴，为轴，为轴建系，
则，，，，，，
进一步有：，，，
故，，
所以，，即，，
又，，平面，则有平面.
（2）设，则，
，
设平面的法向量为，则
，即，令，则，
所以，
当时，.
17．(1)；的单调递减区间为，单调递增区间为.
(2).
【详解】（1）的定义域为，，
∵在处取得极值，
∴，即：，解得，
当时，，在上单调递增.
又，
因此当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
综上，；的单调递减区间为，单调递增区间为.
（2）由题意，对恒成立，即：，，
整理并两边同除以得：，
令，则问题转化为求的最小值，即，
对求导并化简：
，
令，，，
∵，∴在上恒成立，故在上单调递增.
又，
当时，，，故，单调递减；
当时，，，故，单调递增；
因此在处取得最小值，
故实数的取值范围为.
18．(1)
(2)
(3)
【详解】（1）由题意：，解得：，
所以椭圆的标准方程为；
（2）第一次入射点为，反射后过，
得到轴，得第二次反射点为，
故第二次反射光线为，其方程为，
即，为所求直线方程.
（3）设：，，，由点关于轴的对称点为，有
联立，消得：，
由韦达定理，有，，
由，有，
，
所以
整理得：.
由得：，整理得：，
联立，
化简得，
解得.
19．(1)，
(2)
(3)
【详解】（1）依题意可得恰好次测试后成功终止（第一次失败，第二、三次成功）的概率为
，
恰好次测试后成功终止（第一次成功，第二次失败，第三、四次成功）的概率为
．
（2）要在第次成功终止，则必须满足第次和第次均为成功，
当为偶数时，前次测试结果成功与失败交替出现且第次必须为失败（否则第次就已经成功终止），成功失败各次，
所以；
当为奇数时，前次测试结果成功与失败交替出现且第次必须为失败（否则第次就已经成功终止），则前次测试成功次，失败次，
所以；
所以，整理得．
（3）定义状态为初始状态，为上次测试失败但测试未终止，
为上次测试成功但测试未终止，
设为从状态出发最终终止的概率.
则，故，
当成功增益为0，即时，
将代入得初始状态下最终成功终止的概率，
同理若成功增益，
则初始状态下最终成功终止的概率，
由题设有，故，此时，
所以满足条件的的最小值为．

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