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冀教版数学七（下）第十一章一元一次不等式和一元一次不等式组 单元测试提升卷
一、选择题（每题3分，共36分）
1．不等式组的解集为，在下列数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
2．下列选项正确的是（　　）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若与5的差是非正数，则用数学符号表示为
3．不等式的非负整数解有（　　）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
4．某校计划组织师生乘坐大小两种客车参加一次大型公益活动，每辆大客车的乘客座位数是35个，每辆小客车的乘客座位数是18个，这样租用6辆大客车和5辆小客车恰好全部坐满，由于最后参加活动的人数增加了20人，在保持租用车辆数量不变的情况下，学校决定调整租车方案，以确保乘载全部参加活动的师生，则该校最后租用小客车数量的最大值为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．关于x，y的二元一次方程组的解为整数，关于的不等式组有且仅有个整数解，则所有满足条件的整数的和为（　　）
A． B． C． D．
6．已知关于的方程有正整数解，则负整数的所有可能的取值的积为（　　）
A． B． C． D．
7．关于x的不等式组恰好只有四个整数解，则a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
8．小颖准备用21元买橡皮和卷笔刀，已知每块橡皮元，每个卷笔刀1元．她买了4个卷笔刀，则最多还可以买橡皮（　　）
A．8块 B．9块 C．10块 D．11块
9．用若干载重量为8吨的汽车运一批货物，若每辆货车只装4吨，则剩下20吨货物；若每辆货车装8吨，则最后一辆车装的货物不满也不空．设有辆货车，3位同学分别列出了关于的不等式组：①②③，则正确的是（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
10．运行程序如图所示，规定：从“输入一个值”到“结果是否”为一次程序操作，如果程序操作进行了1次后就停止，则最小整数值取多少（　　）
A．7 B．8 C．9 D．10
11．若关于 x 的不等式组 恰好只有 2 个整数解，则所有满足条件的整数 a 的值之和是（　　）
A．3 B．4 C．6 D．1
12．已知关于x的不等式，下列四个结论：
①若它的解集是，则；
②当，不等式组无解；
③若它的整数解仅有3个，则a的取值范围是；
④若它有解，则．
其中正确的结论个数（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（每题3分，共12分）
13． 某环保知识竞赛一共有道题，规定：答对一道题得分，答错或不答一道题扣分，得分超过分可以获一等奖．小明同学参加了这次竞赛，并且获得了一等奖，则小明同学在本次竞赛中，最少答对了　 　道题．
14．不等式组的最大整数解是　 　．
15．若关于x的不等式组 无解，则b的取值范围是　 　.
16．魔术爱好者小丽设计了一个数学魔术．小丽请观众在之间任意选择两个数，按如下步骤进行运算：①第一个数乘以第二个数的10倍；②加上第二个数的平方；③除以第二个数；④再加上10，得到结果．小丽根据结果推测观众之前选择的数，如果结果是84，那么观众选择的第一个数是　 　．
三、解答题（共8题，共72分）
17．解不等式，并在数轴上表示解集．
18．解不等式组，并求出所有整数解．
19．已知关于，的方程组（是常数）．
（1）若，求的值；
（2）若．求的取值范围；
（3）在（2）的条件下，化简：　 　．
20． 苏绣的发源地在苏州吴县一带，现已遍布很多地区．清代是苏绣的全盛时期，可谓流派繁衍，名手竞秀．某国际旅游公司计划购买A，B两种苏绣作品作为纪念品．已知购买1件A种苏绣作品与2件B种苏绣作品共需要700元，购买2件A种苏绣作品与3件B种苏绣作品共需要1 200元．
（1）求A种苏绣作品和B种苏绣作品的单价分别为多少元；
（2）该国际旅游公司计划购买A种苏绣作品和B种苏绣作品共200件，总费用不超过50 000元，那么最多能购买A种苏绣作品多少件？
21．已知关于x的方程2x－a－5＝0.
（1）若该方程的解满足x≤2，求a的取值范围；
（2）若该方程的解是不等式1－＜的负整数解，求a的值.
22．第十五届全国运动会于2025年11月9日在广州开幕．在第十五届全国运动会到来之际，学校计划购买一批体育用品，经调查发现，同一款式的跳绳和足球在甲、乙两家商店标价均相同，其中跳绳每根标价10元，足球每个标价40元．两家商店分别开展了不同的促销活动，优惠方式如下：
甲商店：跳绳和足球都按九折出售．
乙商店：买两个足球送一根跳绳
学校计划订购足球40个，跳绳若干（多于20根），单独在甲商店或者乙商店购买
（1）若订购跳绳的数量是30根，如果在乙商店订购，购买跳绳和足球的总费用是多少？
（2）当订购跳绳的数量是多少根时，在甲、乙两家商店购买跳绳和足球的总费用相同？
（3）根据跳绳的购买数量，设计一种省钱的订购方案
23．认真阅读下面的材料，完成有关问题，
材料：在学习绝对值时，一般地，点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，那么A，B之间的距离可表示为．例如：数轴上与3对应的点之间的距离为．
（1）点A，B，C在数轴上分别表示有理数x，，1，那么C到B的距离为______，A到B的距离与A到C的距离之和可表示为______（用含绝对值的式子表示）；
（2）利用数轴探究：当x取何值时，有最小值，最小值是多少
（3）①根据绝对值的几何意义可以解一些绝对值不等式：
由图可得出：绝对值不等式的解集是或；绝对值不等式的解集，是，则：不等式的解集是______；
②利用数轴解不等式，并加以说明．
24．阅读材料：
关于x，y的二元一次方程有一组整数解，则方程的全部整数解可表示为（t为整数）．问题：求方程的所有正整数解．
小明参考阅读材料，解决该问题如下：
解：该方程一组整数解为，则全部整数解可表示为（t为整数）．
因为解得．因为t为整数，所以t=0或-1．
所以该方程的正整数解为和 ．
（1）方程的全部整数解表示为：（t为整数），则= ；
（2）请你参考小明的解题方法，求方程的全部正整数解；
（3）方程的正整数解有多少组 请直接写出答案．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：A：数轴上表示的解集为 为，所以A不正确；
B：数轴上表示的解集为 为，所以B正确；
C：数轴上表示的解集为 为，所以C不正确；
D：数轴上表示的解集为 为，所以D不正确；
故答案为：B。
【分析】根据数轴上表示解集的方法，分别识别各选项所表示的解集，即可得出答案。
2．【答案】D
【知识点】利用等式的性质解一元一次方程；不等式的性质；列不等式
【解析】【解答】解：A：若-3x=4，则，A选项不正确.
B：若-2x≥4，则x≤-2，B选项不正确.
C：当c=0时，ac2 =bc2 ，C项不正确.
D：x-5≤0， D选项正确.
故答案为：D.
【分析】根据等式与不等式的基本性质即可排除A、B、C选项.
3．【答案】B
【知识点】一元一次不等式的特殊解；有理数的分类；有理数中的“非”数问题
【解析】【解答】解：，
，
，
所以不等式的非负整数解有0，1，2，3，4，共5个．
故答案为：B．
【分析】首先解不等式得出，进而根据非负整数的意义求得不等式的非负整数解即可。
4．【答案】B
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【解答】解：该校最后参加活动的总人数为（人．
设租用小客车辆，则租用大客车辆，
依题意得：，
解得：，
又为整数，
的最大值为．
故选：B．
【分析】
设租用小客车辆，则租用大客车辆，再利用不等关系“租用的客车可乘坐人数不少于人”列关于的一元一次不等式并求出最大的整数解即可．
5．【答案】D
【知识点】解二元一次方程组；一元一次不等式组的特殊解；加减消元法解二元一次方程组；已知二元一次方程组的解求参数
【解析】【解答】解：，
得：
解得，
把代入得：，
解得：，
∵关于，的二元一次方程组的解为整数，
，，，，，，
解关于的不等式组，得；
∵关于的不等式组有且仅有个整数解，
；
解得：，
整数为，，，，其和为；
故选：D
【分析】先利用加减消元法解得，进而即可求出，然后根据题意可知，，，，，， 然后解关于的不等式组得到，结合题意可知道，进而计算即可.
6．【答案】D
【知识点】一元一次方程的解；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：，
解得：，
∴方程有正整数解，
∴，且为偶数，
∴，且为偶数，
∵为负整数，
∴，或，
负整数的所有可能的取值的积为，
故选：D．
【分析】解方程可得，根据题意可得，且为偶数，则，或，再根据有理数的乘法即可求出答案.
7．【答案】A
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：∵不等式组，
∴解不等式①得：，
解不等式②得：，
∵不等式组恰好只有四个整数解，
∴，
∴，
故选：A．
【分析】解不等式组，再根据题意建立关于a的不等式，解不等式即可求出答案.
8．【答案】D
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【解答】解：设最多还可以买橡皮块，
由题意可得：，
解得，
故最多还可以买橡皮11块．
故答案为：D．
【分析】设最多还可以买橡皮块，利用“橡皮的费用+卷笔刀的费用≤21”列出不等式求解即可.
9．【答案】D
【知识点】一元一次不等式组的应用；列一元一次不等式组
【解析】【解答】解：设有辆货车，用若干载重量为8吨的汽车运一批货物，若每辆货车只装4吨，则剩下20吨货物；若每辆货车装8吨，则最后一辆车装的货物不满也不空．
则①②③，都成立，
故答案为：D.
【分析】设有辆货车，利用不同的等式关系可列出不等式组，从而得解.
10．【答案】D
【知识点】解一元一次不等式；一元一次不等式的特殊解；一元一次不等式的应用；求代数式的值-程序框图
【解析】【解答】解：由题得：，
解得：．
∵为整数，
∴的最小值为10．
故答案为：D．
【分析】
根据程序操作进行了1次后就停止，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，再取其中最小的整数值即可得出结论．
11．【答案】C
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：对不等式组 ，
解不等式①，得x＜2，
解不等式②，得 ，
∵不等式组只有2个整数解，
∴这两个整数解只能是1，0，
∴ ，解得： ，
则整数a的值是0，1，2，3，和为6．
故答案为：C．
【分析】先解不等式组中的每个不等式，然后由不等式组有2个整数解可得关于a的不等式组，解不等式组即可求得a的取值范围，进而可确定a的整数值，进一步即可求出答案．
12．【答案】C
【知识点】解一元一次不等式；解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：，
解不等式，得，
解不等式，得，
∴不等式组的解集为：，
若它的解集是，则，
解得：，故①符合题意；
②当时，，不等式无解，故②符合题意；
③若它的整数解仅有3个，则整数解为：2、3、4，
∴，
解得：，故③不符合题意；
④若它有解，则，
解得：，故④符合题意；
综上所述，符合题意的有①②④，共个，
故答案为：C．
【分析】先利用一元一次不等式的定义及计算方法求出不等式组的解集，再逐项分析判断即可.
13．【答案】18
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【解答】设小明同学在本次竞赛中，最少答对了x道题，则答错或不答（20-x）道题，
根据题意可得：5x-（20-x）>85，
解得：x>，
∵x为自然数，
∴x的最小值为18，
∴小明同学在本次竞赛中，最少答对了18道题，
故答案为：18.
【分析】设小明同学在本次竞赛中，最少答对了x道题，则答错或不答（20-x）道题，根据“ 获得了一等奖 ”列出不等式5x-（20-x）>85，再求解即可.
14．【答案】0
【知识点】一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：
解不等式①得，，
解不等式②得，，
∴不等式组的解集是，
∴不等式组的最大整数解是0，
故答案为：0.
【分析】分别解出不等式组中两个不等式的解集，根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了确定出解集，进而找出解集范围内的最大整数截即可.
15．【答案】b>-3
【知识点】一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：
解不等式①，得、x≥2+2b.
解不等式②，得
因为关于x的不等式组 无解，
所以 解得b>-3.
故答案为：b>-3.
【分析】先求出每个不等式的解集，再根据已知不等式组无解得出关于b的不等式，求出不等式的解集即可.
16．【答案】7
【知识点】二元一次方程的解；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：设观众选择的第一个数是x，第二个数是y根据题意得，
∴
∴
∵x，y都是之间的数
∴
解得
∴
∴观众选择的第一个数是7．
【分析】根据题意分析计算解方程即可，即将文字信息利用代数式表示建立等量关系，最后利用个位数整数解进行不等式分析即可得出结果.
17．【答案】解：
在数轴上表示解集为：
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【分析】去括号、移项、合并同类项、系数化为1求出不等式解集，再把解集在数轴上表示出来即可．
18．【答案】解：解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为，
∴不等式组的整数解为．
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法及其整数解的求解方法。解题步骤如下：1. 分别求出每个不等式的解集
2. 根据不等式组解集的确定原则（同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解）确定不等式组的解集
3. 在解集范围内找出所有整数解
注意事项：在确定不等式组解集时，需要准确把握各不等式解集之间的关系，合理运用解集确定原则。对于整数解的选取，要特别注意解集的边界值是否包含在内。
19．【答案】（1）解：已知方程组：
，得：
两边同时除以3，得：
∵x+y=1
∴，解得：
所以m的值为.
（2）解：，
，得：，
∵，
∴，
解得：，
所以m的取值范围是.
（3）3m-6
【知识点】解二元一次方程组；解一元一次不等式组；化简含绝对值有理数
【解析】【解答】解：（3）∵，
∴，
∴．
【分析】本题考查根据二元一次方程组的解的情况求参数，解一元一次不等式组，化简绝对值.
（1）利用整体思想，将方程组两式相加得到x+y的表达式，再代入x+y=1求m.
（2）通过方程组两式相减得到x-y的表达式，结合x-y的范围列不等式组，解出m的取值范围.
（3）根据m的范围判断绝对值内式子的正负，去掉绝对值后化简整式.
（1）解：，
，得：，
∴，
∴；
（2）解：，
，得：，
∵，
∴，
解得：；
（3）解：∵，
∴，
∴．
20．【答案】（1）解：设A种苏绣作品的单价为x元，B种苏绣作品的单价为y元，
根据题意得
解得
答：A种苏绣作品的单价为300元，B种苏绣作品的单价为200元.
（2）解：设购买A种苏绣作品m件，则购买B种苏绣作品(200－m)件，
根据题意，得300m＋200(200－m)≤50 000，
解得m≤100.
∴m的最大值为100.
答：最多能购买A种苏绣作品100件．
【知识点】一元一次不等式的特殊解；一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据“ 购买1件A种苏绣作品与2件B种苏绣作品共需要700元，购买2件A种苏绣作品与3件B种苏绣作品共需要1 200元 ”列出方程组求解即可.
（2）根据题意“ 国际旅游公司计划购买A种苏绣作品和B种苏绣作品共200件，总费用不超过50 000元 ”列出不等式并求解，再根据不等式解集确定其最大整数解.
21．【答案】（1）解：∵ 2x－a－5＝0，
∴ x＝.
∵ 该方程的解满足x≤2，
∴≤2，
∴ a≤－1.
（2）解：1－＜，
6－3(x＋6)＜2(2x＋1)，
6－3x－18＜4x＋2，
－3x－4x＜2＋18－6，
－7x＜14，
∴x＞－2.
∴该不等式的负整数解为x＝－1.
∴＝－1，
∴a＝－7.
【知识点】解一元一次不等式；一元一次不等式的特殊解；已知一元一次方程的解求参数
【解析】【分析】（1）对方程 2x－a－5＝0 求解得x＝，结合题意 x≤2， 求出a的取值范围.
（2） 解不等式1－＜ 得其解集，从而确定不等式的负整数解x=-1，根据方程解=-1求a的值.
22．【答案】（1）解：由题意得：元，
∴购买跳绳和足球的总费用是1700元；
（2）解：设订购跳绳的数量是x根时，在甲、乙两家商店购买跳绳和足球的总费用相同，
根据题意得：，
解得：，
∴当订购跳绳的数量是40根时，在甲、乙两家商店购买跳绳和足球的总费用相同．
（3）解：设订购跳绳的数量是x根，
当时，
解得：，
当时，
解得：，
当时，
解得：，
当购买跳绳数量大于20根且小于40根时，在乙商店购买跳绳和足球划算；当购买跳绳数量为40根时，在甲、乙商店一样；当购买跳绳数量大于40根时，在甲商店购买跳绳和足球划算．
【知识点】一元一次不等式的应用；一元一次方程的实际应用-盈亏问题
【解析】【分析】(1) 根据乙店 “买 2 个足球送 1 根跳绳” 的规则，先算出需付费的跳绳数量，再结合足球和跳绳的单价计算总费用。
(2) 设跳绳数量为x，分别列出甲店（全部九折）和乙店的费用代数式，令两者相等列方程求解，得到费用相同时的x值。
(3) 通过比较两店费用的代数式，列不等式求解不同x范围下更省钱的购买方案。
（1）解：由题意得：元，
∴购买跳绳和足球的总费用是1700元；
（2）解：设订购跳绳的数量是x根时，在甲、乙两家商店购买跳绳和足球的总费用相同，
根据题意得：，
解得：，
∴当订购跳绳的数量是40根时，在甲、乙两家商店购买跳绳和足球的总费用相同．
（3）解：设订购跳绳的数量是x根，
当时，
解得：，
当时，
解得：，
当时，
解得：，
当购买跳绳数量大于20根且小于40根时，在乙商店购买跳绳和足球划算；当购买跳绳数量为40根时，在甲、乙商店一样；当购买跳绳数量大于40根时，在甲商店购买跳绳和足球划算．
23．【答案】（1）3，
（2）解：表示数轴上x与3和x与2的距离之和，
故当时，取最小值，且为.
（3）解：①或；
②如图所示：
当时，，
∴；
当时，，
∴x无解；
当时，，
∴；
综上所述：或．
【知识点】解一元一次不等式；数轴上两点之间的距离；绝对值的概念与意义
【解析】【解答】解：（1）C到B的距离为；
A到B的距离与A到C的距离之和可表示为；
故答案为：3，；
（3）①的解集为或，
故答案为：或.
【分析】（1）利用数轴上两点之间的距离公式求解即可；
（2）将代数式转换为表示数轴上x与3和x与2的距离之和，再结合数轴求解即可；
（3）①利用绝对值的性质求解即可；
②分类讨论，再结合数轴求解即可.
24．【答案】（1）
（2）解：方程一组整数解为，
则全部整数解可表示为（t为整数），
要求即，
解得．
因为t为整数，
所以，，0，
所以方程的全部正整数解为或或.
（3）13组
【知识点】二元一次方程组的解；解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】（1）解：把代入方程得，，解得，
∵方程的全部整数解表示为：（t为整数），
则，
故填：；
（3）解：方程一组整数解为，
则全部整数解可表示为（t为整数）．
∵，解得．
因为t为整数，
所以，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，
∴方程的正整数解有13组．
【分析】（1）这道题考查二元一次方程整数解的表示形式，通过代入特殊值t=0求出一组整数解
（2）这道题考查二元一次方程正整数解的求解，先找到一组整数解，再根据参数t的取值范围筛选出正整数解。
（3）这道题考查二元一次方程正整数解的组数判断，通过确定参数t的整数取值个数，即可得到正整数解的组数。
（1）解：把代入方程得，，
解得，
∵方程的全部整数解表示为：（t为整数），
则，
故答案为：；
（2）解：方程一组整数解为，
则全部整数解可表示为（t为整数）．
因为，解得．
因为t为整数，
所以，，0，
所以方程的全部正整数解为或或；
（3）解：方程一组整数解为，
则全部整数解可表示为（t为整数）．
∵，解得．
因为t为整数，
所以，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，
∴方程的正整数解有13组．
1 / 1冀教版数学七（下）第十一章一元一次不等式和一元一次不等式组 单元测试提升卷
一、选择题（每题3分，共36分）
1．不等式组的解集为，在下列数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：A：数轴上表示的解集为 为，所以A不正确；
B：数轴上表示的解集为 为，所以B正确；
C：数轴上表示的解集为 为，所以C不正确；
D：数轴上表示的解集为 为，所以D不正确；
故答案为：B。
【分析】根据数轴上表示解集的方法，分别识别各选项所表示的解集，即可得出答案。
2．下列选项正确的是（　　）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若与5的差是非正数，则用数学符号表示为
【答案】D
【知识点】利用等式的性质解一元一次方程；不等式的性质；列不等式
【解析】【解答】解：A：若-3x=4，则，A选项不正确.
B：若-2x≥4，则x≤-2，B选项不正确.
C：当c=0时，ac2 =bc2 ，C项不正确.
D：x-5≤0， D选项正确.
故答案为：D.
【分析】根据等式与不等式的基本性质即可排除A、B、C选项.
3．不等式的非负整数解有（　　）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
【答案】B
【知识点】一元一次不等式的特殊解；有理数的分类；有理数中的“非”数问题
【解析】【解答】解：，
，
，
所以不等式的非负整数解有0，1，2，3，4，共5个．
故答案为：B．
【分析】首先解不等式得出，进而根据非负整数的意义求得不等式的非负整数解即可。
4．某校计划组织师生乘坐大小两种客车参加一次大型公益活动，每辆大客车的乘客座位数是35个，每辆小客车的乘客座位数是18个，这样租用6辆大客车和5辆小客车恰好全部坐满，由于最后参加活动的人数增加了20人，在保持租用车辆数量不变的情况下，学校决定调整租车方案，以确保乘载全部参加活动的师生，则该校最后租用小客车数量的最大值为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【解答】解：该校最后参加活动的总人数为（人．
设租用小客车辆，则租用大客车辆，
依题意得：，
解得：，
又为整数，
的最大值为．
故选：B．
【分析】
设租用小客车辆，则租用大客车辆，再利用不等关系“租用的客车可乘坐人数不少于人”列关于的一元一次不等式并求出最大的整数解即可．
5．关于x，y的二元一次方程组的解为整数，关于的不等式组有且仅有个整数解，则所有满足条件的整数的和为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】解二元一次方程组；一元一次不等式组的特殊解；加减消元法解二元一次方程组；已知二元一次方程组的解求参数
【解析】【解答】解：，
得：
解得，
把代入得：，
解得：，
∵关于，的二元一次方程组的解为整数，
，，，，，，
解关于的不等式组，得；
∵关于的不等式组有且仅有个整数解，
；
解得：，
整数为，，，，其和为；
故选：D
【分析】先利用加减消元法解得，进而即可求出，然后根据题意可知，，，，，， 然后解关于的不等式组得到，结合题意可知道，进而计算即可.
6．已知关于的方程有正整数解，则负整数的所有可能的取值的积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】一元一次方程的解；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：，
解得：，
∴方程有正整数解，
∴，且为偶数，
∴，且为偶数，
∵为负整数，
∴，或，
负整数的所有可能的取值的积为，
故选：D．
【分析】解方程可得，根据题意可得，且为偶数，则，或，再根据有理数的乘法即可求出答案.
7．关于x的不等式组恰好只有四个整数解，则a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：∵不等式组，
∴解不等式①得：，
解不等式②得：，
∵不等式组恰好只有四个整数解，
∴，
∴，
故选：A．
【分析】解不等式组，再根据题意建立关于a的不等式，解不等式即可求出答案.
8．小颖准备用21元买橡皮和卷笔刀，已知每块橡皮元，每个卷笔刀1元．她买了4个卷笔刀，则最多还可以买橡皮（　　）
A．8块 B．9块 C．10块 D．11块
【答案】D
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【解答】解：设最多还可以买橡皮块，
由题意可得：，
解得，
故最多还可以买橡皮11块．
故答案为：D．
【分析】设最多还可以买橡皮块，利用“橡皮的费用+卷笔刀的费用≤21”列出不等式求解即可.
9．用若干载重量为8吨的汽车运一批货物，若每辆货车只装4吨，则剩下20吨货物；若每辆货车装8吨，则最后一辆车装的货物不满也不空．设有辆货车，3位同学分别列出了关于的不等式组：①②③，则正确的是（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】D
【知识点】一元一次不等式组的应用；列一元一次不等式组
【解析】【解答】解：设有辆货车，用若干载重量为8吨的汽车运一批货物，若每辆货车只装4吨，则剩下20吨货物；若每辆货车装8吨，则最后一辆车装的货物不满也不空．
则①②③，都成立，
故答案为：D.
【分析】设有辆货车，利用不同的等式关系可列出不等式组，从而得解.
10．运行程序如图所示，规定：从“输入一个值”到“结果是否”为一次程序操作，如果程序操作进行了1次后就停止，则最小整数值取多少（　　）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】D
【知识点】解一元一次不等式；一元一次不等式的特殊解；一元一次不等式的应用；求代数式的值-程序框图
【解析】【解答】解：由题得：，
解得：．
∵为整数，
∴的最小值为10．
故答案为：D．
【分析】
根据程序操作进行了1次后就停止，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，再取其中最小的整数值即可得出结论．
11．若关于 x 的不等式组 恰好只有 2 个整数解，则所有满足条件的整数 a 的值之和是（　　）
A．3 B．4 C．6 D．1
【答案】C
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：对不等式组 ，
解不等式①，得x＜2，
解不等式②，得 ，
∵不等式组只有2个整数解，
∴这两个整数解只能是1，0，
∴ ，解得： ，
则整数a的值是0，1，2，3，和为6．
故答案为：C．
【分析】先解不等式组中的每个不等式，然后由不等式组有2个整数解可得关于a的不等式组，解不等式组即可求得a的取值范围，进而可确定a的整数值，进一步即可求出答案．
12．已知关于x的不等式，下列四个结论：
①若它的解集是，则；
②当，不等式组无解；
③若它的整数解仅有3个，则a的取值范围是；
④若它有解，则．
其中正确的结论个数（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】解一元一次不等式；解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：，
解不等式，得，
解不等式，得，
∴不等式组的解集为：，
若它的解集是，则，
解得：，故①符合题意；
②当时，，不等式无解，故②符合题意；
③若它的整数解仅有3个，则整数解为：2、3、4，
∴，
解得：，故③不符合题意；
④若它有解，则，
解得：，故④符合题意；
综上所述，符合题意的有①②④，共个，
故答案为：C．
【分析】先利用一元一次不等式的定义及计算方法求出不等式组的解集，再逐项分析判断即可.
二、填空题（每题3分，共12分）
13． 某环保知识竞赛一共有道题，规定：答对一道题得分，答错或不答一道题扣分，得分超过分可以获一等奖．小明同学参加了这次竞赛，并且获得了一等奖，则小明同学在本次竞赛中，最少答对了　 　道题．
【答案】18
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【解答】设小明同学在本次竞赛中，最少答对了x道题，则答错或不答（20-x）道题，
根据题意可得：5x-（20-x）>85，
解得：x>，
∵x为自然数，
∴x的最小值为18，
∴小明同学在本次竞赛中，最少答对了18道题，
故答案为：18.
【分析】设小明同学在本次竞赛中，最少答对了x道题，则答错或不答（20-x）道题，根据“ 获得了一等奖 ”列出不等式5x-（20-x）>85，再求解即可.
14．不等式组的最大整数解是　 　．
【答案】0
【知识点】一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：
解不等式①得，，
解不等式②得，，
∴不等式组的解集是，
∴不等式组的最大整数解是0，
故答案为：0.
【分析】分别解出不等式组中两个不等式的解集，根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了确定出解集，进而找出解集范围内的最大整数截即可.
15．若关于x的不等式组 无解，则b的取值范围是　 　.
【答案】b>-3
【知识点】一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：
解不等式①，得、x≥2+2b.
解不等式②，得
因为关于x的不等式组 无解，
所以 解得b>-3.
故答案为：b>-3.
【分析】先求出每个不等式的解集，再根据已知不等式组无解得出关于b的不等式，求出不等式的解集即可.
16．魔术爱好者小丽设计了一个数学魔术．小丽请观众在之间任意选择两个数，按如下步骤进行运算：①第一个数乘以第二个数的10倍；②加上第二个数的平方；③除以第二个数；④再加上10，得到结果．小丽根据结果推测观众之前选择的数，如果结果是84，那么观众选择的第一个数是　 　．
【答案】7
【知识点】二元一次方程的解；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：设观众选择的第一个数是x，第二个数是y根据题意得，
∴
∴
∵x，y都是之间的数
∴
解得
∴
∴观众选择的第一个数是7．
【分析】根据题意分析计算解方程即可，即将文字信息利用代数式表示建立等量关系，最后利用个位数整数解进行不等式分析即可得出结果.
三、解答题（共8题，共72分）
17．解不等式，并在数轴上表示解集．
【答案】解：
在数轴上表示解集为：
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【分析】去括号、移项、合并同类项、系数化为1求出不等式解集，再把解集在数轴上表示出来即可．
18．解不等式组，并求出所有整数解．
【答案】解：解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为，
∴不等式组的整数解为．
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法及其整数解的求解方法。解题步骤如下：1. 分别求出每个不等式的解集
2. 根据不等式组解集的确定原则（同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解）确定不等式组的解集
3. 在解集范围内找出所有整数解
注意事项：在确定不等式组解集时，需要准确把握各不等式解集之间的关系，合理运用解集确定原则。对于整数解的选取，要特别注意解集的边界值是否包含在内。
19．已知关于，的方程组（是常数）．
（1）若，求的值；
（2）若．求的取值范围；
（3）在（2）的条件下，化简：　 　．
【答案】（1）解：已知方程组：
，得：
两边同时除以3，得：
∵x+y=1
∴，解得：
所以m的值为.
（2）解：，
，得：，
∵，
∴，
解得：，
所以m的取值范围是.
（3）3m-6
【知识点】解二元一次方程组；解一元一次不等式组；化简含绝对值有理数
【解析】【解答】解：（3）∵，
∴，
∴．
【分析】本题考查根据二元一次方程组的解的情况求参数，解一元一次不等式组，化简绝对值.
（1）利用整体思想，将方程组两式相加得到x+y的表达式，再代入x+y=1求m.
（2）通过方程组两式相减得到x-y的表达式，结合x-y的范围列不等式组，解出m的取值范围.
（3）根据m的范围判断绝对值内式子的正负，去掉绝对值后化简整式.
（1）解：，
，得：，
∴，
∴；
（2）解：，
，得：，
∵，
∴，
解得：；
（3）解：∵，
∴，
∴．
20． 苏绣的发源地在苏州吴县一带，现已遍布很多地区．清代是苏绣的全盛时期，可谓流派繁衍，名手竞秀．某国际旅游公司计划购买A，B两种苏绣作品作为纪念品．已知购买1件A种苏绣作品与2件B种苏绣作品共需要700元，购买2件A种苏绣作品与3件B种苏绣作品共需要1 200元．
（1）求A种苏绣作品和B种苏绣作品的单价分别为多少元；
（2）该国际旅游公司计划购买A种苏绣作品和B种苏绣作品共200件，总费用不超过50 000元，那么最多能购买A种苏绣作品多少件？
【答案】（1）解：设A种苏绣作品的单价为x元，B种苏绣作品的单价为y元，
根据题意得
解得
答：A种苏绣作品的单价为300元，B种苏绣作品的单价为200元.
（2）解：设购买A种苏绣作品m件，则购买B种苏绣作品(200－m)件，
根据题意，得300m＋200(200－m)≤50 000，
解得m≤100.
∴m的最大值为100.
答：最多能购买A种苏绣作品100件．
【知识点】一元一次不等式的特殊解；一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据“ 购买1件A种苏绣作品与2件B种苏绣作品共需要700元，购买2件A种苏绣作品与3件B种苏绣作品共需要1 200元 ”列出方程组求解即可.
（2）根据题意“ 国际旅游公司计划购买A种苏绣作品和B种苏绣作品共200件，总费用不超过50 000元 ”列出不等式并求解，再根据不等式解集确定其最大整数解.
21．已知关于x的方程2x－a－5＝0.
（1）若该方程的解满足x≤2，求a的取值范围；
（2）若该方程的解是不等式1－＜的负整数解，求a的值.
【答案】（1）解：∵ 2x－a－5＝0，
∴ x＝.
∵ 该方程的解满足x≤2，
∴≤2，
∴ a≤－1.
（2）解：1－＜，
6－3(x＋6)＜2(2x＋1)，
6－3x－18＜4x＋2，
－3x－4x＜2＋18－6，
－7x＜14，
∴x＞－2.
∴该不等式的负整数解为x＝－1.
∴＝－1，
∴a＝－7.
【知识点】解一元一次不等式；一元一次不等式的特殊解；已知一元一次方程的解求参数
【解析】【分析】（1）对方程 2x－a－5＝0 求解得x＝，结合题意 x≤2， 求出a的取值范围.
（2） 解不等式1－＜ 得其解集，从而确定不等式的负整数解x=-1，根据方程解=-1求a的值.
22．第十五届全国运动会于2025年11月9日在广州开幕．在第十五届全国运动会到来之际，学校计划购买一批体育用品，经调查发现，同一款式的跳绳和足球在甲、乙两家商店标价均相同，其中跳绳每根标价10元，足球每个标价40元．两家商店分别开展了不同的促销活动，优惠方式如下：
甲商店：跳绳和足球都按九折出售．
乙商店：买两个足球送一根跳绳
学校计划订购足球40个，跳绳若干（多于20根），单独在甲商店或者乙商店购买
（1）若订购跳绳的数量是30根，如果在乙商店订购，购买跳绳和足球的总费用是多少？
（2）当订购跳绳的数量是多少根时，在甲、乙两家商店购买跳绳和足球的总费用相同？
（3）根据跳绳的购买数量，设计一种省钱的订购方案
【答案】（1）解：由题意得：元，
∴购买跳绳和足球的总费用是1700元；
（2）解：设订购跳绳的数量是x根时，在甲、乙两家商店购买跳绳和足球的总费用相同，
根据题意得：，
解得：，
∴当订购跳绳的数量是40根时，在甲、乙两家商店购买跳绳和足球的总费用相同．
（3）解：设订购跳绳的数量是x根，
当时，
解得：，
当时，
解得：，
当时，
解得：，
当购买跳绳数量大于20根且小于40根时，在乙商店购买跳绳和足球划算；当购买跳绳数量为40根时，在甲、乙商店一样；当购买跳绳数量大于40根时，在甲商店购买跳绳和足球划算．
【知识点】一元一次不等式的应用；一元一次方程的实际应用-盈亏问题
【解析】【分析】(1) 根据乙店 “买 2 个足球送 1 根跳绳” 的规则，先算出需付费的跳绳数量，再结合足球和跳绳的单价计算总费用。
(2) 设跳绳数量为x，分别列出甲店（全部九折）和乙店的费用代数式，令两者相等列方程求解，得到费用相同时的x值。
(3) 通过比较两店费用的代数式，列不等式求解不同x范围下更省钱的购买方案。
（1）解：由题意得：元，
∴购买跳绳和足球的总费用是1700元；
（2）解：设订购跳绳的数量是x根时，在甲、乙两家商店购买跳绳和足球的总费用相同，
根据题意得：，
解得：，
∴当订购跳绳的数量是40根时，在甲、乙两家商店购买跳绳和足球的总费用相同．
（3）解：设订购跳绳的数量是x根，
当时，
解得：，
当时，
解得：，
当时，
解得：，
当购买跳绳数量大于20根且小于40根时，在乙商店购买跳绳和足球划算；当购买跳绳数量为40根时，在甲、乙商店一样；当购买跳绳数量大于40根时，在甲商店购买跳绳和足球划算．
23．认真阅读下面的材料，完成有关问题，
材料：在学习绝对值时，一般地，点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，那么A，B之间的距离可表示为．例如：数轴上与3对应的点之间的距离为．
（1）点A，B，C在数轴上分别表示有理数x，，1，那么C到B的距离为______，A到B的距离与A到C的距离之和可表示为______（用含绝对值的式子表示）；
（2）利用数轴探究：当x取何值时，有最小值，最小值是多少
（3）①根据绝对值的几何意义可以解一些绝对值不等式：
由图可得出：绝对值不等式的解集是或；绝对值不等式的解集，是，则：不等式的解集是______；
②利用数轴解不等式，并加以说明．
【答案】（1）3，
（2）解：表示数轴上x与3和x与2的距离之和，
故当时，取最小值，且为.
（3）解：①或；
②如图所示：
当时，，
∴；
当时，，
∴x无解；
当时，，
∴；
综上所述：或．
【知识点】解一元一次不等式；数轴上两点之间的距离；绝对值的概念与意义
【解析】【解答】解：（1）C到B的距离为；
A到B的距离与A到C的距离之和可表示为；
故答案为：3，；
（3）①的解集为或，
故答案为：或.
【分析】（1）利用数轴上两点之间的距离公式求解即可；
（2）将代数式转换为表示数轴上x与3和x与2的距离之和，再结合数轴求解即可；
（3）①利用绝对值的性质求解即可；
②分类讨论，再结合数轴求解即可.
24．阅读材料：
关于x，y的二元一次方程有一组整数解，则方程的全部整数解可表示为（t为整数）．问题：求方程的所有正整数解．
小明参考阅读材料，解决该问题如下：
解：该方程一组整数解为，则全部整数解可表示为（t为整数）．
因为解得．因为t为整数，所以t=0或-1．
所以该方程的正整数解为和 ．
（1）方程的全部整数解表示为：（t为整数），则= ；
（2）请你参考小明的解题方法，求方程的全部正整数解；
（3）方程的正整数解有多少组 请直接写出答案．
【答案】（1）
（2）解：方程一组整数解为，
则全部整数解可表示为（t为整数），
要求即，
解得．
因为t为整数，
所以，，0，
所以方程的全部正整数解为或或.
（3）13组
【知识点】二元一次方程组的解；解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】（1）解：把代入方程得，，解得，
∵方程的全部整数解表示为：（t为整数），
则，
故填：；
（3）解：方程一组整数解为，
则全部整数解可表示为（t为整数）．
∵，解得．
因为t为整数，
所以，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，
∴方程的正整数解有13组．
【分析】（1）这道题考查二元一次方程整数解的表示形式，通过代入特殊值t=0求出一组整数解
（2）这道题考查二元一次方程正整数解的求解，先找到一组整数解，再根据参数t的取值范围筛选出正整数解。
（3）这道题考查二元一次方程正整数解的组数判断，通过确定参数t的整数取值个数，即可得到正整数解的组数。
（1）解：把代入方程得，，
解得，
∵方程的全部整数解表示为：（t为整数），
则，
故答案为：；
（2）解：方程一组整数解为，
则全部整数解可表示为（t为整数）．
因为，解得．
因为t为整数，
所以，，0，
所以方程的全部正整数解为或或；
（3）解：方程一组整数解为，
则全部整数解可表示为（t为整数）．
∵，解得．
因为t为整数，
所以，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，
∴方程的正整数解有13组．
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