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【压轴题精练】反比例函数-2026年中考数学专项押题
1．如图，直线与x轴交于C点，与y轴交于B点，在直线上取点，过点A作反比例函数的图象．
（1）求a的值及反比例函数的表达式；
（2）点P为反比例函数图象上的一点，若，求点P的坐标．
（3）在x轴存在点Q，使得，请求出点Q的坐标．
2．如图，直线与反比例函数的图象交于，两点，过点作轴于点，过点作轴于点．
（1）求的值和反比例函数的表达式；
（2）若在线段上存在点，使得，请求出点的坐标；
（3）若点在反比例函数图象上，是第一象限反比例函数图象上一动点，连接分别与轴，轴交于点，，连接分别与轴，轴交于点，，判断的值是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是，请说明理由．
3． 如图，点和是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点，直线交轴于点．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求△AOB的面积；
（3）设点是坐标平面内一个动点，点在轴上运动，当以点，，，为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点的坐标．
4．定义：象限内到两坐标轴距离相等的点，我们称为“等距点”.比如：，，都是“等距点”.
（1）求反比例函数.图象上的“等距点”坐标；
（2） A、B是一次函数图象上的“等距点”，O为坐标原点，若的面积为3，求一次函数的解析式；
（3）二次函数(a、b、c为常数，) 的图象经过点且其图象上有且仅有三个“等距点”，它们的横坐标依次记为求的值或取值范围.
5．如图，直线与轴，轴分别交于点A，B．过A与轴平行的直线与函数的图象交于点．连接交于点，函数的图象过点．
（1）求点的坐标及的值；
（2）记函数的图象与除外的另一个交点为，求证：是的中点；
（3）设与轴垂直的直线与函数的图象交于点，与函数的图象交于点，且点位于直线的下方，求的取值范围．
6．如图，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点A、B，与反比例函数 的图象分别交于点C、D．
（1）求C、D两点的坐标；
（2）根据图象直接写出不等式的解集；
（3）过点C作交反比例函数图象于点P，
①直接写出P的坐标；
②在线段的下方反比例函数图象上取一点N，连，当的面积最大时，求点N的坐标．
7．在平面直角坐标系中，设直线l的解析式为：（、为常数且），当直线与一条曲线有且只有一个公共点时，我们称直线与这条曲线“相切”，这个公共点叫做“切点”．
（1）已知直线与双曲线相切，求的值；
（2）已知直线与双曲线相切，且该直线交x、y轴分别于点A、B，求的面积；
（3）已知直线，直线是抛物线的两条切线，且的交点坐标，试判断是否为定值，并说明理由．
8．直线分别与轴，轴交于点、，与反比例函数的图象交于点、．
（1）求的值及直线的解析式；
（2）若点是反比例函数在第一象限直线上方一点，面积为4时，求点坐标；
（3）如图2，将反比例函数的图象沿直线翻折得到一个封闭图形（图中阴影部分），若直线与此封闭图形有交点，请直接写出满足条件的的取值范围．
9．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数 的图像交于点，．
（1）求一次函数与反比例函数的表达式；
（2）当时，直接写出的取值范围；
（3）将直线沿着轴向下平移个单位长度，与轴、轴分别交于、两点，是直线上的一动点，求的面积．
10．已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，与轴交于点．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）若点在轴上，且为等腰三角形，求点的坐标；
（3）我们定义有一个内角为的三角形称为“半直角三角形”，这个角所对的边为“半直角边”．反比例函数在第四象限的图象上是否存在点，使得是不以为“半直角边”的“半直角三角形”？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
11．已知反比例函数的图像与正比例函数的图像交于点A（2，a)，点B是线段OA上（不与点A重合）的一点。
（1）求反比函数的表达式；
（2）如图1，过点B做y轴的垂线，与的图像交于点D，当线段BD=3时，求B点坐标。
（3）如图2，将点A绕点B顺时针旋转90°得到点E，当点E恰好落在的图像上时，求点E的坐标。
12．某数学小组在研究函数时，对函数的图象进行了探究，探究过程如下：
（1）①x与的几组对应值如下表，请补全表格；
-4 -3 -2 1 2 3
3 4 6 -2 1 　
②在下图平面直角坐标系中，描出上表中各组对应值为坐标的点，并根据描出的点画出该函数的图象；
（2）我们知道，函数的图象是由二次函数的图象向右平移个单位，再向上平移个单位得到的．类似地，请直接写出将的图象经过怎样的平移可以得到的图象．
（3）若一次函数的图象与函数的图象交于A，B两点，连接OA，OB，求的面积．
13． 我们定义：点P在一次函数y＝ax+b上，点Q在反比例函数上，若存在P、Q两点关于y轴对称，我们称二次函数y＝ax2+bx+c为一次函数y＝a+b和反比例函数的“幸福函数”，点P称为“幸福点”．例如：点P（﹣1，﹣2）在y＝x﹣1上，点Q（1，﹣2）在上，P、Q两点关于y轴对称，此时二次函数y＝x2﹣x﹣2为一次函数y＝x﹣1和反比例函数的“幸福函数”，点P（﹣1，﹣2）是“幸福点”．
（1）判断一次函数y＝x+2和反比例函数是否存在“幸福函数”，若存在，请求出“幸福点”坐标；若不是，请说明理由；
（2）若一次函数y＝x﹣k+1与反比例函数只有一个“幸福点”，求其“向光函数”的解析式；
（3）已知一次函数y＝ax+b与反比例函数有两个“幸福点”A、B（A在B左侧），其“幸福函数”y＝ax2+bx+c与x轴交于C、D两点（C在D左侧），若有以下条件：①a+b+c＝0②“幸福函数”经过点（﹣3，4）③a＞b＞0，记四边形ACBD的面积为S，求的取值范围．
14． 我们把与轴有两个不同交点的函数称为“五好函数”，交点称为“五好点”，两交点间的距离称为“五好距”．
（1）判断下列函数是“五好函数”吗？如果是，请在括号里打“”，如果不是则打“”；
▲ ；；
（2）求出“五好函数”的“五好距”；
（3）已知“五好函数”：左侧的“五好点”位于和之间含，两点，求的取值范围；
不论取何值，不等式恒成立，在的条件下，函数为常数的最小值为，求的值．
15．已知关于的函数可以写成关于的形式．例：关于的函数，令，当时，则．
（1）若函数，求的值；
（2）已知函数与函数的图象在第一象限内有两个交点P和Q．若的面积为且点为坐标原点，求的函数表达式；
（3）在（2）的条件下，函数的图象上不同的两点，，若时，．函数的对称轴左侧图象上存在唯一一点使且该图象的顶点在函数上，求函数的解析式．
答案解析部分
1．【答案】（1）解：把代入得，
，
，
把代入，
得，
反比例函数的函数表达式为
（2）解：当时，
，
，
，
，
，
又，
解得：，
，
点P坐标为
（3）解：①当点Q在x轴正半轴上时，如图，过点A作轴交x轴于，
则，
点；
②当点Q在x轴负半轴上时，
如图，设与y轴交于点，
∵，
∴，
则，
解得：，
∴，
设直线表达式为，则有
，
解得，
直线的表达式为，
当时，，
即点的坐标为，
综上所述，点Q的坐标为或
2．【答案】（1）解：把点代入直线中，
可得：，
解得：，
点的坐标是，
把点的坐标代入比例函数中，
可得：，
反比例函数的解析式是
（2）解：如下图所示，连接、，
解方程组，
可得：，，
点的坐标是，点的坐标是，
，，
设点的坐标是，
则中边上的高是，中边上的高是，
，，
，
，
解得：，，
点的坐标是
（3）解：的值为定值，
点在反比例函数图象上，
可得：，
解得：，
点的坐标是，
是第一象限反比例函数图象上一动点，
设点的坐标是，
设直线的解析式为，
可得：，
解得：，
直线的解析式为，
当时，可得：，
点的坐标是，
当时，可得：，
解得：，
点的坐标是，
设直线的解析式是，
可得：，
解得：，
直线的解析式是，
当时，可得：，
点的坐标是，
当时，可得：，
解得：，
点的坐标是，
，，

3．【答案】（1）解：将 代入，得，解得.
即；
将 代入，得，即点坐标为.
再将、代入 ，有
，解得.
即.
（2）解：∵，
∴一次函数与轴交点坐标为.
∴.
∴
.
（3）或或或
4．【答案】（1）解：∵反比例函数.图象在第一象限，
∴设“等距点”的坐标为，
∴，
解得：或（舍去），
∴反比例函数.图象上的“等距点”坐标为；
（2）解：设，，则：
，，
解得：，，
∴，，
当时，，
解得：，
∴直线与x轴交点C的坐标为，
∴，
解得：，
∴一次函数解析式为：或；
（3）解：∵二次函数(a、b、c为常数，) 的图象经过点，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
解得：，
∵，
∴，
∴二次函数解析式为：，
当“等距点”的坐标横纵坐标相同时，，
∴，
，
当“等距点”的坐标横纵坐标互为相反数时，，
∴，
，
∵，
∴，
∵二次函数图象上有且仅有三个“等距点”，
∴，，
∴，
∴，
∴方程的解为：
或，
方程的解为：
，
∵，
∴，
∵，，
∴，
，
当时，，即，
此时，，
，
∵，
∴，
∴，
∴当时，；
当时，，，，只存在两个“等距点”，不符合题意；
当时，，即，
此时，，
，
∴当时，；
综上分析可知：当时，；当时，．
5．【答案】（1）解：令，则，
解得，
令，则，
所以，A，B的坐标分别为，，
将代入得，
；
直线的表达式为，
由得，
把代入得，
；
将代入得；
（2）证明：令，
整理，得，
解得，，
，
过点E作轴于点，过点F作轴于点，
则，且，，
，
，即是的中点；
（3）解：设，则，
，
设与轴交于点，则，
，
点位于直线的下方，
，
，
，
即．
6．【答案】（1）解：联立，
解得：或，
∴；
（2）或
（3）①；
②设直线的解析式为，
则：，解得：，
∴，
把直线向下平移，设平移后的直线为：，
当直线与双曲线在第一象限内只有一个交点时，此时的面积最大，
联立，整理，得：，
则：，
解得：或（舍去），
∴，
解得：，
当时，，
∴当时，的面积最大．
7．【答案】（1）解：∵ 直线与双曲线相切，
∴直线与双曲线有且只有一个公共点，
∴
整理得：，
∴，
解得： ，
答：m的值为-1.
（2）解：∵ 直线与双曲线相切 ，
∴直线与双曲线有且只有一个公共点，
∴kx+b=，
整理得：，
∴，
∴，k＜0，
∵ 直线 交x、y轴分别于点A、B，
∴A(，0），B（0，b），
∴OA=，OB=
∴OA·OB=·=·=·=12，
答：的面积为12.
（3）解：为定值；
理由：∵相交于点，把P点代入的解析式得：，，
∴，
令，
整理得：，
由题意可得：=，
即①，
同理可得：②，
由①②可知，和（）为方程的两根，
∴根据根与系数的关系可知：为定值.
8．【答案】（1）解：点在反比例函数，
将点的坐标代入，得，
，
反比例函数为，
又在反比例函数，
，即，
点，在直线上
，解得，
直线的解析式为；
（2）解：情况一：直线与反比例函数的图象交于点、，在点上方的双曲线上取一点，过点作轴于点，过点作轴于点，过点作轴于点，连接，如图所示：
设，
面积为4，
，则，解得；
情况二：直线与反比例函数的图象交于点、，在点右侧的双曲线上取一点，过点作轴于点，过点作轴于点，过点作轴于点，连接，如图所示：
设，
面积为4，
，则，解得；
综上所述，或；
（3）
9．【答案】（1）解：反比例函数的图像过点，
，
反比例函数的表达式为：；
点在反比例函数的图像上，
，
解得：，
一次函数经过点，，
，
解得：，
一次函数的表达式为；
（2）或
（3）将直线沿着轴向下平移个单位长度，得到直线，
直线的表达式为：，
在中，令， 则，令，则，
，，
，
点在直线上上，
设点，
如图，连接，
，
．
10．【答案】（1）反比例函数解析式为：，一次函数解析式为：
（2）点坐标为
（3）存在两个点，坐标为或
11．【答案】（1）解：将A（2，a）代入y＝3x，得：a＝3×2＝6，
∴A（2，6），
将A（2，6）代入 y＝，得 6＝，
解得：k＝12，
∴反比例函数表达式为 y＝.
（2）解：设点B（m，3m），则点D（m＋3，3m），
根据可得xy＝12，
∴3m（m＋3）＝12，
解得：m1＝1，m2＝ 4 （舍去），
∴B（1，3）.
（3）解：如图所示，
过点B作FH∥y轴，过点E作EH⊥FH于点H，过点A作AF⊥FH于点F，∠EHB＝∠BFA＝90°，
∴∠HEB＋∠EBH＝90°，
∵点A绕点B顺时针旋转 90°，
∴∠ABE＝90°，BE＝BA，
∴∠EBH＋∠ABF＝90°
∴∠BEH＝∠ABF，
∴△EHB≌△BFA（AAS），
设点B（n，3n），
∴EH＝BF＝6 3n，BH＝AF＝2 n，
∴点E（6 2n，4n 2），
∵点E在反比例函数图象上，
∴（4n 2）（6 2n）＝12，
解得 n1＝，n2＝2（舍去）．
∴点E（3，4）．
12．【答案】（1）解：将代入，利
②描点，画出函数图象如解图：
（2）解：将的图象先向左平移1个单位，再向上平移2个单位得到的图象；
（3）解：联立两个函数的解析式：，
解得：x=2或-3，
∴A（2，），B（-3，3），
∵A，B都在直线y=-x+2上，
∴AB与y轴交点为：（0，2），
∴△AOB的面积为：
×2×2+×2×3=2+3=5．
13．【答案】（1）解：一次函数y＝x+2和反比例函数存在“幸福函数”，理由如下：
设“幸福点”P的坐标为（m，n），
P、Q两点关于y轴对称，
点Q的坐标为（-m，n），
将点P、点Q的坐标分别代入y＝x+2和，
得n=m+2，，
整理得，
解得m1=1，m2=-3，
一次函数y＝x+2和反比例函数存在“幸福函数”，“幸福点”P的坐标为（1，3）或（-3，1）.
（2）解：一次函数y＝x﹣k+1与反比例函数只有一个“幸福点”，
一次函数y＝x﹣k+1与反比例函数只有一个交点，
联立，
整理得，
一次函数y＝x﹣k+1与反比例函数只有一个交点，
，
解得：k1=-1，k2=7，
“幸福函数”的解析式为y=x2+2x+1或y=x2-6x+9.
（3）解：一次函数y＝ax+b与反比例函数有两个“幸福点”A、B（A在B左侧），
A、B关于y轴对称的点A'、B'一定在y＝-ax+b 上，
联立，
整理得，
其“幸福函数”y＝ax2+bx+c，
与“幸福函数”y＝ax2+bx+c关于y轴对称，
xA-xB=xA'-xB'，
“幸福函数”与x轴交于C、D两点（C在D左侧），且a+b+c=0，“幸福函数”经过点（-3，4），，
D（1，0），，
，
，
又，
，
解得，
又与“幸福函数”关于y轴对称，
，
，，
，，
，，
又D（1，0），
，，
S四边形，
，
，
，
，
，
的取值范围是：.
14．【答案】（1） ；
（2）解：时，，，
“五好距”为；
（3）解：由题可知当时，，解得或，
当时，，解得，
的取值范围是；
令，
，
关于的函数有最小值，
不论取何值，不等式恒成立，
，即，
，
，
当时，当时有最小值，即，
此时无解；
当时，当时有最小值，即，
解得舍或；
当时，，
解得；
综上所述：的值为或．
15．【答案】（1）4049
（2）
（3）
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