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【压轴题精练】二次函数-2026年中考数学专项押题
1．已知二次函数的图像与x轴交于A（-1，0）、B（3，0）两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C.
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）如图1，设抛物线的顶点为D点，连接DB，点E是线段DB上的动点，点F为抛物线对称轴上一动点，连接BE、FE，求BF+EF的最小值；
（3）如图2，连接BC，点P为直线BC上方抛物线上一动点，连接PC、OP，OP交BC于点Q.设点P的横坐标为t，
①求y与t的函数关系式，并写出t的取值范围；
②当y的值取最大时，求点P的坐标.
2．已知抛物线过点A（-1，0），B（m，0），与y轴交于点C.点B是x轴正半轴上的动点，点F是抛物线在第四象限图象上的动点，连接BC，AF，且AF交y轴于点D，交BC于点E.
（1）当m=3时，求抛物线的解析式；
（2）如图1，在（1）的条件下，若，求直线AF的解析式；
（3）要使得成立，请探索m的取值范围（直接写出结果）；
（4）如图2，，当m为何值时，OD的长度等于1
3．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，与抛物线交于点T（5，t）和点Q（6，1）.
（1）求证：点Q为抛物线L的顶点；
（2）将抛物线L先向上平移1个单位，再向左平移r（r>0）个单位，得到抛物线L1，若抛物线L1经过点且点D在抛物线L1的对称轴左侧，求抛物线L1的函数表达式；
（3）在（2）的条件下，记抛物线L1的对称轴为直线l，作点C（0，-2）关于直线l的对称点B，连接AB，在直线AB上是否存在点P，满足∠ADP=∠CAO 若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由.
4．如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）如图2，连接，过点C作与抛物线相交于另一点D．
①求点D的坐标；
②如图3，点E，F为线段上两个动点（点E在点F的右侧），且，连接，．求的最小值．
5．如图1，抛物线经过点，对称轴为直线，与轴交于两点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）若点是抛物线上的两个点，．若，求的值；
（3）如图2，已知直线与直线交于点，与，轴分别相交于点，试探究在第二象限内的抛物线上是否存在一点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
6．在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，点是直线下方抛物线上一动点，过点作交于点，求线段的最大值及此时点的坐标；
（3）如图2，过平面上一点作任意一条直线交抛物线于两点，过点作直线，分别交轴于两点，试探究与的积是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由．
7．在平面直角坐标系中，我们给出如下定义：对于两点、，平面直角坐标系中存在一点，使得，则称为线段的“奇妙点”．例如：如图1，，为线段的“奇妙点”．
（1）已知点，点．下列是线段的“奇妙点”的有 ；
①；②；③；④
（2）如图2，已知直线上有两点、，若x轴上存在线段的“奇妙点”，求m的取值范围；
（3）如图3，二次函数与x轴交于、B两点，直线与抛物线交于、两点，连接，已知点为直线上方一点，点为线段的“奇妙点”，连接，点是线段上一点且，连接，求的最大值．
8．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，交轴于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，一次函数与抛物线交于，两点，与直线交于点，分别过点，，作轴的垂线，其垂足依次为点，，，若，求的值；
（3）如图2，点为第一象限抛物线上一动点，连接，，将线段绕点逆时针旋转得到，点落在第一象限，连接，点关于的对称点为，连接，，分别交于点，点，请问，是定值吗？如果是，请分别求出定值；如果不是，请说明理由．
9．在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点C．
（1）求二次函数的表达式；
（2）如图①，若点P是线段上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，当线段的长度最大时，求点Q的坐标；
（3）如图②，在（2）的条件下，过点Q的直线与抛物线交于点D，且．在y轴上是否存在点E，使得为等腰三角形？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
10．不妨约定，关于的二次函数，若（为正整数），则称该函数为“函数”，为“值”．例如：二次函数，有，故该函数为“函数”，“值”．
（1）判断下列二次函数是否为“函数”，是的在括号里打“√”，不是的在括号里打“×”．
①；（　　）
②；（　　）
③．（　　）
（2）已知二次函数（，为常数，）是“函数”，且“值”．
①求证：该函数与轴总有两个交点；
②该函数经过某一定点，求出该定点的坐标．
（3）如图，在（2）的条件下，二次函数与轴交于两点，（点在点的左侧），与轴相交于点，顶点为，过点作，交抛物线于点，过点作，当时，求点的坐标．
11．已知，抛物线交轴于、，交轴于，若或，那么就称二次函数为“和谐二次函数”．
（1）判断函数是否为“和谐二次函数”，并说明理由；
（2）若是“和谐二次函数”，求值；
（3）如图已知“和谐二次函数”交轴于、（在的左边）交轴于，顶点为．逆时针旋转，使其恰好经过抛物线的顶点，沿射线方向平移抛物线，得到新抛物线，其顶点为，两抛物线交于点，若，求平移的距离．
12．图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点．
（1）求这个二次函数的解析式．
（2）如图，二次函数图象的对称轴与直线交于点，若点是直线上方抛物线上的一个动点，求面积的最大值．
（3）如图，点是直线上的一个动点，过点的直线与平行，则在直线上是否存在点，使点与点关于直线对称？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
13．如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是，C点坐标是．
（1）求抛物线解析式；
（2）点G是（1）中抛物线对称轴上的动点，点F是x轴上的动点，点M是（1）中抛物线上的一动点且位于直线上方．当面积最大时，求的最小值．
（3）将（1）中抛物线沿射线平移个单位长度得到新的抛物线，点K为新抛物线上一点，使得．请直接写出所有满足条件的点K的横坐标．
14．二次函数与轴相交于，两点，与轴交于点，它的对称轴是直线．
（1）求此二次函数的解析式和点的坐标；
（2）如图1，是轴右侧的抛物线上一点，连接与拋线线的对称轴交于点，过点作于点，连接．是否存在点，使与全等？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）如图2，连接，是轴上正半轴上一点，以为半径作，若与线段只有一个公共点，求的取值范围．
15． 已知抛物线与x轴交于，两点，y轴交于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，P为直线下方抛物线上一点，于点Q，当长度最大时，求点P的坐标：
（3）如图2，过点分别作直线交抛物线于点E、F，直线（，且）交抛物线于点G、H，点M、N分别为线段、的中点，．求证：直线必经过一定点，并求该定点坐标．
答案解析部分
1．【答案】（1）解：依题意得
解得
∴这个二次函数的表达式为
（2）∴D（1，4），
∵点B（3，0），A（-1，0）关于抛物线对称轴x=1对称，
连接AF，则AF=BF，
∴BF+EF=AF+EF
要使BF+EF的值最小，则AF+EF值最小.当点A、F、E在同一直线上满足条件.
过A作AG⊥BD于G，
∵点E、F均为动点，
∴则此时线段AG的长就是BF+EF的最小值。
在Rt△ABG中，，
；
（3）
令得
∴点B（3，0）又点C（0，3）
设直线BC的解析式为y=kx+b，
则解得，
∴直线BC的解析式为y=-x+3，
过点P作PF∥x轴交直线BC于点F，如图，
设则
又OB=3，
∵PF∥x轴，∴△FPQ∽△BOQ，
∴当y取值最大时，
此时.
2．【答案】（1）解：当m=3时，二次函数的图象与x轴交于A（-1，0），B（3，0），
∴设二次函数的交点式为y=a（x+1）（x-3），
∴-3a=-4，
解得
∴函数的解析式为；
（2）对于二次函数
令x=0，可得y=-4，
∴点C的坐标为（0，-4），则OC=4，
∵∠CDE=∠CED，
∴CD=CE，
∵OB=3，OC=4
如图，作∠DCE的角平分线CG交x轴于点G，则∠OCG=∠BCG，AF⊥CG，
设G到BC的距离为d，则d=OG，
∵∠OCG=∠OAD，
∵A（-1，0），则OA=1，
设直线AF的解析式为y=kx+b（k≠0），代入
解得
∴直线AF的解析式；
（3）当m=4时，OB=OC=4，
∴△OBC是等腰直角三角形，
∴∠OCB=45°，
∵∠DCE=∠DEC，
∴∠CDE=90°，则D，O重合，F，B重合，
又∵F是第四象限的点，
∴当∠OCB>45°时，则∠CDF<90°，m>4，
∴要使得∠DCE=∠DEC成立，m的取值范围为m>4
（4）∵OD=OA=1，
∴△OAD是等腰直角三角形，
∴∠CDE=∠ADO=45°，
∴∠OCB=∠DCE=∠DEC=67.5°，
在Rt△OBC中，∠OBC=22.5°，
如图所示，取H（4，0），
∴OC=OH，
∴△OCH是等腰直角三角形，
∴∠OCH=45°，
∴∠HCB=∠OBC=22.5°，
即
3．【答案】（1）证明：把点代入，得，
，
把，代入，得
，
解得，
∴抛物线的解析式为，
∴抛物线的顶点为，即点Q为抛物线L的顶点；
（2）解：∵将抛物线L先向上平移1个单位，再向左平移r（）个单位，得到抛物线，
∴抛物线的解析式为，
把代入，得，
解得或，
当时，抛物线的解析式为，对称轴为直线，
则点D在抛物线的对称轴左侧，符合题意；
当时，抛物线的解析式为，对称轴为直线，
则点D在抛物线的对称轴右侧，不符合题意；
∴抛物线的解析式为；
（3）解：存在，
令，
解得，
，
，
∴直线l为直线，
作点关于直线l的对称点B，
，
如图，当点在轴上方时，过点作于点，作交于点，
，
，
，
，
，
，
，
此时，
如图，当点在轴下方时，将沿翻折得到，延长交与点，
根据翻折可得，
过点作于点，延长交于点，
根据翻折可得，，，
，
，
，
，
，
，
，，
设，则，，，，
可得，
解得，
，
设直线的解析式为，
把，代入可得
，解得，
直线的解析式为，
当时，，
，
综上，点或时，．
4．【答案】（1）
（2）①，②5
5．【答案】（1）解：抛物线经过点，
，即．
对称轴为直线，
，即．
抛物线的表达式为；
（2）解：点是抛物线上的两个点，
，
，
，
．
，
，解得或，
的值为或；
（3）解：如图，在轴上取一点F，作直线CF交抛物线于点G，使，再过点M作x轴的垂线段MN．
令，则
令，则
设直线的表达式为
解得
直线AC的解析式是
是直线 与直线AC的交点
解得
设直线CF的表达式为，
解得
直线CF的表达式为，
解得
点在第二象限，
点的坐标为．
6．【答案】（1）解：由题意的：
抛物线的表达式为：；
（2）解：，设直线的表达式为：
，
设直线的表达式为：
设，过作，交于
∵，
∴，
，
的最大值为，此时；
（3）解：如图所示：设直线的解析式为：，且直线经过点
直线的解析式为：
联立：
得
设直线的解析式为：，
同理：
，
与的积为定值，定值为2．
7．【答案】（1）①④；
（2）如图，
∵直线上有两点、，
∴、，
设轴上存在点，
∵为线段的“奇妙点”，
∴，
∴，
∴，
整理得，
∴，
∴；
（3）把代入得：，把代入得：，
∴，即，
∴抛物线为，直线为，
∴，
∴，
∴，
如图，过点作轴，交于点，
则点的坐标为，
∵为线段的“奇妙点”，
∴，
∴在以为圆心，为半径的圆弧上，
在轴上作点，连接，
∴，
∴，
当、、共线时，最长，，
∴．
8．【答案】（1）解：将点，代入抛物线得：，
解得，
则抛物线的解析式为

（2）解：设点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，
将代入抛物线得：，即，
将代入一次函数得：，
一次函数与轴的交点坐标为，位于点的上方，
由函数图象可知，，
∴一次函数的图象经过第一、二、四象限，
∵一次函数与抛物线交于，两点，与直线交于点，
∴点，，的横坐标均大于0，
∵分别过点，，作轴的垂线，其垂足依次为点，，，
∴，，，，，，
联立，得，
∴，，
∴，
联立，得，
∴，解得，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得．
（3）解：如图，过点作轴的垂线，交于点，连接，
∵，
∴，
∴，
∴，，
由旋转的性质得：，，
∴，
由轴对称的性质得：垂直平分，
∴，，
∴（等腰三角形的三线合一），
∴，
∵轴，
∴，
∴，
又∵，，
∴，∴，（等腰三角形的三线合一），
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
设，，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
综上，，都是定值，，．
9．【答案】（1）解：由题意得：，
则，
则抛物线的表达式为：；
（2）解：由抛物线的表达式知，点，由点B、C的坐标得，直线的表达式为：，
设点，则点，
则，
∵，故有最大值，
此时，则，
即点；
（3）或或或或．
10．【答案】（1）×；×；√；
（2）解：①根据题意得，
∴，
∴二次函数为（为常数，），
令y=0，则，
∴，
∵
∴，
∴该函数与轴总有两个交点；
②二次函数，
当，则，
∴该函数经过定点；
（3）解：二次函数（为常数，），
令y=0，则，
∴，
当，，
∴点，，，，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
∵，
∴设直线的解析式为，
∵直线过点D，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
如图，延长与y轴交于点G，延长与x轴交于点H，过点E作于点I，过点C作于点L，
则四边形为矩形，，
∵点，
∴，
由，
解得，
∴的长为，
∴点，
∵，，
∴，，
∴，
，，
∵，
∴，
解得，
∵，
∴，
∴点．
11．【答案】（1）解：当时，，点的坐标为，
∴，
∵，
解得：，，
∴，或，
∴或，
∴函数是“和谐二次函数”。
（2）在中，∴，
∵是“和谐二次函数”，
∴或，
把代入中得：，
把代入中得：，
综上，的值是。
（3）如图，过点作轴于，过点作，交于点，
，当时，，
∴，，
设直线表达式为，
，
解得：，
∴，
设点的坐标为，
∴
∴，
∴解得：
点的坐标为，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：，（舍），
，，
从点C先向右平移1个单位再向上平移1个单位得到点D，即平移距离为，
同理，，
∴抛物线平移的距离是．
12．【答案】（1）解：∵点，在二次函数图象上，
∴，
∴，
∴ 二次函数的解析式为
（2）解：∵与轴有两个交点，
令y=0，则，
∴x1=-1，x2=3，
∴点，
∴对称轴为：，
设直线的解析式为：，
∵，点，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
∵点在直线上，且横坐标为，
∴点，
过点作的平行线，当点与二次函数有且仅有一个交点时，即面积有最大值，
设直线的解析式为：，
∵直线与二次函数有且仅有一个交点，
∴有一个实数根，
∴，
∴，
∴设直线的解析式为：，
由解得，
∴，
过点作轴交轴于点，过点作轴交轴于点，
∴，
∴，
∴面积的最大值为
（3）存在，
或
13．【答案】（1）解：已知抛物线与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，A点的坐标是，C点坐标是，
将点A，点C的坐标代入得：
，
解得：，
抛物线的解析式为；

（2）解：，∴抛物线的对称轴为直线，
由题意得：点G在直线上，
设直线的解析式为，将点A，点C的坐标代入得：
，
解得，
直线的解析式为，
如图，作轴交于N，
设，则，
，
，
，其图象开口向下
当时，的面积有最大值，最大为，此时，
作交于H，交对称轴于G，交x轴于F，
直线的解析式为，
，
，
，
当M、G、F、H四点共线时，的值最小，
，的面积为，
，
，
的最小值为；
（3）或或4或
14．【答案】（1）解：依题意得：，
解得：，
二次函数解析式为：，
，
令，解得：或4，
令，则，
，，
故此抛物线的解析式为：，．
（2）解：如图，对称轴是直线，
①当时，P在第一象限，，
，代入中，
，
，
，
设直线解析式为，
则，解得：，
，
，
，
．
②当时，P在第四象限，显然与不全等；
（或者，
，代入中，
，
，
，
设直线解析式为，
则，解得：，
，
，
，
与不全等
综上所述，存在点，使与全等．
（3）解：依题意知：的半径，
①当与线段相切时，如图所示，
设切点为H，连接，则，，，
，，
，
，
，
；
②当经过点时，M为中点，．
③当经过点时，如图，
，，，
，
，
，
，
当与线段只有一个公共点时，m的取值范围是：或．
15．【答案】（1）解：∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A(-1，0)，B(3，0)两点，
∴y=a(x+1)(x-3)，
将点C(0，-3)代入y=a(x+1)(x-3)，
∴-3a=-3，解得a=1，
∴
（2）解：∵B(3，0)，C(0，-3)，
∴直线BC的解析式为y=x-3，
连接CP，BP，过点P作PK//y轴交BC于点K，
设P(t.t2-2t-3)，则K(t，t-3)，
∴PK=t-3-(t2-2t-3)=-t2+3t，
∵，
∴，
∴
当时，PQ有最大值，此时P
（3）解：当k1x+b1=x2-2x-3时，xE+xF=2+k1，
当k2x+b2=x2-2x-3时，xG+xH=2+k2，
∵D点在直线EF上，
∴k1+b1=a，
∵D点在直线GH上
∴k2+b2=a，
∴，，
设直线MN的解析式为y=mx+n，
解得
∴
∴直线MN经过定点(1，0)
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