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考点专题训练（一）二次根式
考点过关自测：二次根式的定义□　二次根式有意义的条件□　二次根式的性质□　二次根式的混合运算□
最简二次根式□　能合并的二次根式□　二次根式的应用□
一、选择题(本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列式子一定是二次根式的是( )
A． B．
C． D．
2．(河北秦皇岛昌黎县一模)若二次根式有意义，则x的取值范围在数轴上表示正确的是( )
3．已知实数a在数轴上的对应点位置如图，则化简|a－1|－的结果是( )
A．2a－3 B．－1 C．1 D．3－2a
4．下列式子中，属于最简二次根式的是( )
A． B． C． D．
5．(河北张家口二模)－＝m(m，n为整数)，则m＋n＝( )
A．－2 B．－1 C．1 D．2
6．用三块边长不同的正方形纸片“甲、乙、丙”和一个面积为2的矩形纸片“丁”紧密拼接形成一个大矩形，如图．已知一块“丙”纸片的面积为2，则一块“甲”纸片的边长为( )
A．2 B．2＋2 C．3 D．4＋2
7．计算÷4×的结果是( )
A．1 B． C． D．
8．(河北沧州青县期末)下面的计算和推导过程中，
∵＝，(第一步)
∴＝3.(第二步)
∵－3＝＝，(第三步)
∴－3＝3.(第四步)
其中首先错误的一步是( )
A．第一步 B．第二步 C．第三步 D．第四步
9．已知a，b(a＜b)都是正整数，且＋＝，则( )
A．没有满足条件的a，b
B．只有一组满足条件的a，b
C．有两组满足条件的a，b
D．有四组满足条件的a，b
10．(福建福州仓山区校级模拟)如图，长方形内有两个相邻的正方形，其面积分别为1和6，则图中阴影部分的面积为( )
A．－1 B．＋1
C．2－2 D．2＋2
二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分．)
11．(河北石家庄赵县期中)若最简二次根式与能合并，则＝ ．
12．(江苏淮安清江浦区期末)已知a满足|2 024－a|＋＝a，则a－2 0242的值为 _ ．
13．要使＋＝b(a，b为整数且a≠0)，则a的最小值为 ，此时b＝ ．
14．(河北期末)利用平方与开平方互为逆运算的关系，可以将某些无理数进行如下操作：当a＝＋1时，移项得a－1＝，两边平方，得(a－1)2＝()2，所以a2－2a＋1＝3，即得到整系数方程：a2－2a－2＝0.仿照上述操作方法，完成下面的问题：
当a＝时，
(1)得到的整系数方程为 ；(2)计算：a3－2a＋2 024＝ _ ．
三、解答题(本大题共6个小题，共64分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(8分)计算：
(1)(＋)－(－)＋|－|；
(2)(＋2)(2－)－(－1)2.
16．(10分)(江西南昌期中)计算：＋＋.
解：原式＝3＋3＋5…第1步，
＝8＋3…第2步，
＝(8＋3)…第3步，
＝11…第4步．
(1)以上解答过程中，从 开始出现错误；
(2)请写出本题的正确解答过程．
17．(10分)(河北邯郸校级期末)如图，甲和乙均是体积为V且高为h的长方体容器，甲盒子底面是边长为a的正方形，乙盒子底面是长为b，宽为c(c≠b)的长方形．
(1)若b＝4，c＝，h＝.求乙容器的体积V；
(2)若bc＝24，h＝，求甲盒子的侧面积．
　　　
18．(10分)若最简二次根式和可以合并成一个二次根式，求(y－x)2 025的值.
19．(12分)(吉林白城洮北区校级月考)计算下列各式，将结果填在横线上．
10×10＝ ；13×13＝ ；
16×16＝ ；
9×11＝ ；12×14＝ ；
15×17＝ ．
你发现了什么？ ．
请根据上述规律完成下面的题目：
求的值；
求的值．(n为正整数)
20．(14分)(河北石家庄赵县期末)【阅读材料】小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3＋2＝(1＋)2.善于思考的小明进行了以下探索：若设a＋b＝(m＋n)2＝m2＋2n2＋2mn(其中a，b，m，n均为整数)，则有a＝m2＋2n2，b＝2mn.这样小明就找到了一种把类似a＋b的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
【问题解决】
(1)若a＋b＝(m＋n)2，当a，b，m，n均为整数时，则a＝ ，b＝ ．(均用含m，n的式子表示)
(2)若x＋4＝(m＋n)2，且x，m，n均为正整数，分别求出x，m，n的值．
【拓展延伸】
(3)化简＝ (直接写出结果).考点专题训练（一）二次根式
考点过关自测：二次根式的定义□　二次根式有意义的条件□　二次根式的性质□　二次根式的混合运算□
最简二次根式□　能合并的二次根式□　二次根式的应用□
一、选择题(本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列式子一定是二次根式的是(C)
A． B．
C． D．
2．(河北秦皇岛昌黎县一模)若二次根式有意义，则x的取值范围在数轴上表示正确的是(C)
3．已知实数a在数轴上的对应点位置如图，则化简|a－1|－的结果是(A)
A．2a－3 B．－1 C．1 D．3－2a
4．下列式子中，属于最简二次根式的是(D)
A． B． C． D．
5．(河北张家口二模)－＝m(m，n为整数)，则m＋n＝(C)
A．－2 B．－1 C．1 D．2
6．用三块边长不同的正方形纸片“甲、乙、丙”和一个面积为2的矩形纸片“丁”紧密拼接形成一个大矩形，如图．已知一块“丙”纸片的面积为2，则一块“甲”纸片的边长为(B)
A．2 B．2＋2 C．3 D．4＋2
7．计算÷4×的结果是(C)
A．1 B． C． D．
8．(河北沧州青县期末)下面的计算和推导过程中，
∵＝，(第一步)
∴＝3.(第二步)
∵－3＝＝，(第三步)
∴－3＝3.(第四步)
其中首先错误的一步是(C)
A．第一步 B．第二步 C．第三步 D．第四步
9．已知a，b(a＜b)都是正整数，且＋＝，则(C)
A．没有满足条件的a，b
B．只有一组满足条件的a，b
C．有两组满足条件的a，b
D．有四组满足条件的a，b
10．(福建福州仓山区校级模拟)如图，长方形内有两个相邻的正方形，其面积分别为1和6，则图中阴影部分的面积为(A)
A．－1 B．＋1
C．2－2 D．2＋2
二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分．)
11．(河北石家庄赵县期中)若最简二次根式与能合并，则＝3．
12．(江苏淮安清江浦区期末)已知a满足|2 024－a|＋＝a，则a－2 0242的值为2_025．
∵|2 024－a|＋＝a有意义，∴a－2 025≥0，∴a≥2 025，
∴2 024－a＜0.∵|2 024－a|＋＝a，∴a－2 024＋＝a，
∴＝2 024，∴a－2 025＝2 0242，∴a－2 0242＝2 025.
13．要使＋＝b(a，b为整数且a≠0)，则a的最小值为10，此时b＝4．
14．(河北期末)利用平方与开平方互为逆运算的关系，可以将某些无理数进行如下操作：当a＝＋1时，移项得a－1＝，两边平方，得(a－1)2＝()2，所以a2－2a＋1＝3，即得到整系数方程：a2－2a－2＝0.仿照上述操作方法，完成下面的问题：
当a＝时，
(1)得到的整系数方程为a2＋a－1＝0；(2)计算：a3－2a＋2 024＝2_023．
(1)∵a＝，∴2a＋1＝，∴(2a＋1)2＝5，即4a2＋4a＋1＝5，
∴a2＋a－1＝0.(2)∵a2＋a－1＝0，∴a2＝－a＋1，∴a3＝a(－a＋1)＝－a2＋a＝－(－a＋1)＋a＝2a－1，∴a3－2a＋2 024＝2a－1－2a＋2 024＝2 023.
三、解答题(本大题共6个小题，共64分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(8分)计算：
(1)(＋)－(－)＋|－|；
(2)(＋2)(2－)－(－1)2.
(1)原式＝3＋3－2＋5＋＝8＋2.
(2)原式＝4－2－(4－2)＝－2＋2.
16．(10分)(江西南昌期中)计算：＋＋.
解：原式＝3＋3＋5…第1步，
＝8＋3…第2步，
＝(8＋3)…第3步，
＝11…第4步．
(1)以上解答过程中，从第3步开始出现错误；
(2)请写出本题的正确解答过程．
(1)第3步
(2)正确解答：原式＝3＋3＋5＝8＋3.
17．(10分)(河北邯郸校级期末)如图，甲和乙均是体积为V且高为h的长方体容器，甲盒子底面是边长为a的正方形，乙盒子底面是长为b，宽为c(c≠b)的长方形．
(1)若b＝4，c＝，h＝.求乙容器的体积V；
(2)若bc＝24，h＝，求甲盒子的侧面积．
　　　
(1)乙容器的体积V＝4××＝4；
(2)由条件，可知甲、乙底面积相同，∴a2＝bc＝24，
解得a＝＝2，
∴甲盒子的侧面积为4ah＝4×2×＝24.
18．(10分)若最简二次根式和可以合并成一个二次根式，求(y－x)2 025的值.
∵和可以合并成一个二次根式，∴解得∴(y－x)2 025＝－1.
19．(12分)(吉林白城洮北区校级月考)计算下列各式，将结果填在横线上．
10×10＝100；13×13＝169；
16×16＝256；
9×11＝99；12×14＝168；
15×17＝255．
你发现了什么？n2＝(n－1)(n＋1)＋1．
请根据上述规律完成下面的题目：
求的值；
求的值．(n为正整数)
10×10＝100；13×13＝169；16×16＝256；
9×11＝99；12×14＝168；15×17＝255.
发现规律：n2＝(n－1)(n＋1)＋1.
＝
＝＝2 026；
＝＝n.
20．(14分)(河北石家庄赵县期末)【阅读材料】小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3＋2＝(1＋)2.善于思考的小明进行了以下探索：若设a＋b＝(m＋n)2＝m2＋2n2＋2mn(其中a，b，m，n均为整数)，则有a＝m2＋2n2，b＝2mn.这样小明就找到了一种把类似a＋b的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
【问题解决】
(1)若a＋b＝(m＋n)2，当a，b，m，n均为整数时，则a＝m2＋5n2，b＝2mn．(均用含m，n的式子表示)
(2)若x＋4＝(m＋n)2，且x，m，n均为正整数，分别求出x，m，n的值．
【拓展延伸】
(3)化简＝＋(直接写出结果).
(1)(m＋n)2＝m2＋2mn＋5n2.
∵a＋b＝(m＋n)2，且a，b，m，n均为整数，
∴a＝m2＋5n2，b＝2mn.
(2)(m＋n)2＝m2＋2mn＋3n2.
∵x＋4＝(m＋n)2，∴
又∵x，m，n均为正整数，∴或
即m＝1，n＝2，x＝13或m＝2，n＝1，x＝7.
(3)原式＝＝＝＋.

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