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章末小结(第二十三章)
考点1?　一次函数的图象与性质
1．(河北邯郸一模)下面是物理课上测量铁块A的体积实验，将铁块匀速向上提起，直至完全露出水面一定高度，下面能反映这一过程中，液面高度h与铁块被提起的时间t之间函数关系的大致图象是(B)
　　　　　　　　　　　　　　　
　　　
2．对于一次函数y＝2x－1，下列结论不正确的是(D)
A．它的图象与y轴交于点(0，－1)
B．y随x的增大而增大
C．当x＞时，y＞0
D．它的图象经过第一、二、三象限
3．已知A，B两地相距4 800 m，甲从A地出发步行到B地，20 min后乙从B地出发骑自行车到A地，设甲步行的时间为x min，甲、乙两人离A地的距离分别为y1 m、y2 m，y1，y2与x的函数关系图象如图所示，根据图象解答下列问题：
(1)直接写出y1，y2与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
(2)求甲出发后多少分钟两人相遇，相遇时乙离A地多少米？
(1)设y1＝k1x，由题意，代入点(60，4 800)，
得60k1＝4 800，解得k1＝80，∴y1＝80x.
设 y2＝k2x＋b，由题意，代入点(20，4 800)，(60，0)，
得解得
∴y2＝－120x＋7 200，即y1＝80x(0≤x≤60)，
y2＝－120x＋7 200(20≤x≤60).
(2)由题意，可知y1＝y2，即80x＝－120x＋7 200，
解得x＝36，－120×36＋7 200＝2 880(m).
答：甲出发后36 min两人相遇，相遇时乙离A地2 880 m．　
考点2?　确定一次函数的解析式
4．一次函数y＝kx＋b的图象经过点A(2，3)，每当x增加1个单位时，y增加3个单位，则此函数解析式是(C)
A．y＝x＋3 B．y＝2x－3
C．y＝3x－3 D．y＝4x－4
5．已知M(2，m)，A(1，1)，B(4，0)三点在同一条直线上，则：
(1)直线AB的函数解析式为y＝－x＋；
(2)m＝．
6．如图，某项研究表明，大拇指与小拇指尽量张开时，两指尖的距离称为指距.
如表是测得的指距与身高的一组数据：
指距d/cm 20 21 22 23
身高h/cm 160 169 178 187
(1)你能确定身高h与指距d之间的函数关系式吗？
(2)若某人的身高为196 cm，一般情况下他的指距应是多少？
(3)按照这个数据，你觉得指距能达到50 cm吗？为什么？说出你的理由．
(1)设h与d之间的函数关系式为h＝kd＋b.
把d＝20，h＝160，d＝21，h＝169，
分别代入，得解得k＝9，b＝－20，
即h＝9d－20，经检验符合题意．
(2)当h＝196时，196＝9d－20，解得d＝24 cm.
(3)不能．理由如下：
当d＝50时，h＝9×50－20＝430，不符合实际情况；所以不可能．
考点3?　一次函数与方程(组)、不等式
7．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax＋b与y＝mx＋n(a＜m＜0)的图象如图所示，根据图象得到如下结论，其中结论错误的是(D)
A．在一次函数y＝mx＋n的图象中，y的值随着x值的增大而减小
B．方程组的解为
C．方程mx＋n＝0的解为x＝2
D．当ax＋b＞mx＋n时，x＞－3
8．(广东东莞模拟)如图，已知函数y1＝3x＋b和y2＝ax－3的图象交于点P(－2，－5)，则不等式3x＋b＞ax－3的解集为x＞－2.
9．(广东汕头潮阳区校级月考)如图，一次函数y1＝x＋1的图象与正比例函数y2＝kx(k为常数，且k≠0)的图象都经过A(m，2).
(1)求正比例函数的解析式；
(2)利用函数图象直接写出y1＞y2时对应的x的取值范围．
(1)将点A的坐标代入y1＝x＋1，
得m＋1＝2，解得m＝1，故点A的坐标为(1，2)，
将点A的坐标代入y2＝kx，得k＝2，
则正比例函数的解析式为y2＝2x.
(2)结合函数图象，可得当y1＞y2时，x＜1.
考点4?　一次函数的实际应用
10．(河北一模)如图1，在某个盛有部分水的容器内放一个小水杯，现在匀速持续地向容器内注水，小水杯内水的高度y(cm)和注水时间t(s)之间的关系如图2所示，则从开始注水至把小水杯注满水需要的时间为(C)
　　
A．5 s B．6 s C．15 s D．16 s
11．(湖北武汉模拟)某工作室制作工艺品并出售，当该工艺品的数量在60个以内时，该工作室制作的这种工艺品都能全部售完．图中的线段AB，OC分别表示该工作室每天的成本y1(单位：元)，收入y2(单位：元)与销售量x(单位：个)之间的函数关系．若该工作室某一天既不盈利也不亏损，则这天生产工艺品的个数是30．
12．(河北廊坊月考)甲、乙两家商店以同样的价格出售品质相同的枇杷，枇杷单价均是40元/kg且包邮．在直播带货活动中，甲商店的优惠方案是一律打九折；乙商店的优惠方案如下表所示(a为常数).设顾客在活动中一次购买x kg枇杷时，在甲、乙两家商店的费用分别为y甲元，y乙元.
一次性购买质量x/kg 优惠方案
x≤a 不优惠
x＞a a kg以内的无优惠，超过a kg的部分打七五折
(1)写出y甲，y乙与x的函数关系式；
(2)在此次活动中，小丽在两家商店分别购买10 kg的枇杷，结果费用相同，求a的值；
(3)在(2)的条件下，请你帮助顾客设计出最合算的购买方案．
(1)y甲＝40×0.9x＝36x；
当x≤a时，y乙＝40x，当x＞a时，y乙＝40a＋0.75×40(x－a)＝30x＋10a，∴y乙＝
(2)小丽在甲商店购买10 kg的枇杷费用为36×10＝360(元)，
小丽在乙商店购买10 kg的枇杷费用为y乙＝
∵小丽在两家商店分别购买10 kg的枇杷，结果费用相同，
∴300＋10a＝360，解得a＝6；
(3)由(2)，得当x＜10时，到甲商店购买更合算；
当x＝10时，在甲、乙两家商店购买费用相同；
当x＞10时，在乙商店购买更合算．
考点5?　分类讨论思想与一次函数的运用
13．已知四条直线y＝kx－3，y＝－1，y＝3和x＝1 所围成的四边形的面积是12，则k的值为(A)
A．1或－2 B．2或－1
C．3 D．4
14．(天津和平区校级月考)如图，已知直线l1经过点(5，6)，交x轴于点A(－3，0)，直线l2：y＝3x交直线l1于点B.
(1)求直线l1的函数解析式和点B的坐标；
(2)求△AOB的面积；
(3)在x轴上是否存在点C，使得△ABC是直角三角形？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．
(1)设直线l1的函数解析式为y1＝kx＋b，
把点A(－3，0)，点(5，6)代入，得解得
∴l1的函数解析式为y1＝x＋.
联立得
∴点B的坐标为(1，3).
(2)S△AOB＝×3×3＝.
(3)存在．
①当∠ACB＝90°时，BC⊥x轴，
此时点C的横坐标与点B的横坐标相等，
∴点C的坐标为(1，0).
②当∠ABC＝90°时，如图作BD⊥x轴于点D.由题意，得BD＝3，AD＝4，
∴AB＝＝5.
∵AC2－AB2＝CD2＋BD2，
∴(4＋CD)2－25＝CD2＋9，
解得CD＝，∴OC＝OD＋CD＝1＋＝，
∴点C的坐标为(，0).
综上，点C的坐标为(1，0)或(，0).
15．如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝kx＋b与x轴，y轴分别交于点A(－8，0)，点B，与直线l2：y＝－x＋1交于点C(m，3)，直线l2交y轴于点D.
(1)求m的值及直线l1的函数解析式；
(2)求四边形AODC的面积；
(3)我们把横坐标、纵坐标都是整数的点称为整点，现将l2沿y轴向下平移n(n是整数)个单位长度，则其与直线l1，y轴围成的三角形(不含边界)中恰好有4个整点，请直接写出n的值．
(1)将C(m，3)代入直线l2：y＝－x＋1，
得－m＋1＝3，解得m＝－2，
∴点C的坐标为(－2，3).
把点A(－8，0)，C(－2，3)代入直线l1：y＝kx＋b，
得解得
∴直线l1的函数解析式为y＝x＋4；
(2)如图所示，过点C作CE⊥x轴于点E.
∵点A的坐标为(－8，0)，点C的坐标为(－2，3)，
∴OA＝8，OE＝2，CE＝3，则AE＝OA－OE＝8－2＝6.
∵直线l2：y＝－x＋1交y轴于点D，
令x＝0，则y＝1，∴点D的坐标为(0，1)，
则OD＝1，
∴S四边形AODC＝S△ACE＋S梯形ODCE
＝AE·CE＋
＝×6×3＋
＝13，
∴四边形AODC的面积为13.
(3)2章末小结(第二十三章)
考点1?　一次函数的图象与性质
1．(河北邯郸一模)下面是物理课上测量铁块A的体积实验，将铁块匀速向上提起，直至完全露出水面一定高度，下面能反映这一过程中，液面高度h与铁块被提起的时间t之间函数关系的大致图象是( )
　　　　　　　　　　　　　　　
　　　
2．对于一次函数y＝2x－1，下列结论不正确的是( )
A．它的图象与y轴交于点(0，－1)
B．y随x的增大而增大
C．当x＞时，y＞0
D．它的图象经过第一、二、三象限
3．已知A，B两地相距4 800 m，甲从A地出发步行到B地，20 min后乙从B地出发骑自行车到A地，设甲步行的时间为x min，甲、乙两人离A地的距离分别为y1 m、y2 m，y1，y2与x的函数关系图象如图所示，根据图象解答下列问题：
(1)直接写出y1，y2与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
(2)求甲出发后多少分钟两人相遇，相遇时乙离A地多少米？
考点2?　确定一次函数的解析式
4．一次函数y＝kx＋b的图象经过点A(2，3)，每当x增加1个单位时，y增加3个单位，则此函数解析式是( )
A．y＝x＋3 B．y＝2x－3
C．y＝3x－3 D．y＝4x－4
5．已知M(2，m)，A(1，1)，B(4，0)三点在同一条直线上，则：
(1)直线AB的函数解析式为 ；
(2)m＝ ．
6．如图，某项研究表明，大拇指与小拇指尽量张开时，两指尖的距离称为指距.
如表是测得的指距与身高的一组数据：
指距d/cm 20 21 22 23
身高h/cm 160 169 178 187
(1)你能确定身高h与指距d之间的函数关系式吗？
(2)若某人的身高为196 cm，一般情况下他的指距应是多少？
(3)按照这个数据，你觉得指距能达到50 cm吗？为什么？说出你的理由．
考点3?　一次函数与方程(组)、不等式
7．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax＋b与y＝mx＋n(a＜m＜0)的图象如图所示，根据图象得到如下结论，其中结论错误的是( )
A．在一次函数y＝mx＋n的图象中，y的值随着x值的增大而减小
B．方程组的解为
C．方程mx＋n＝0的解为x＝2
D．当ax＋b＞mx＋n时，x＞－3
8．(广东东莞模拟)如图，已知函数y1＝3x＋b和y2＝ax－3的图象交于点P(－2，－5)，则不等式3x＋b＞ax－3的解集为 .
9．(广东汕头潮阳区校级月考)如图，一次函数y1＝x＋1的图象与正比例函数y2＝kx(k为常数，且k≠0)的图象都经过A(m，2).
(1)求正比例函数的解析式；
(2)利用函数图象直接写出y1＞y2时对应的x的取值范围．
考点4?　一次函数的实际应用
10．(河北一模)如图1，在某个盛有部分水的容器内放一个小水杯，现在匀速持续地向容器内注水，小水杯内水的高度y(cm)和注水时间t(s)之间的关系如图2所示，则从开始注水至把小水杯注满水需要的时间为( )
　　
A．5 s B．6 s C．15 s D．16 s
11．(湖北武汉模拟)某工作室制作工艺品并出售，当该工艺品的数量在60个以内时，该工作室制作的这种工艺品都能全部售完．图中的线段AB，OC分别表示该工作室每天的成本y1(单位：元)，收入y2(单位：元)与销售量x(单位：个)之间的函数关系．若该工作室某一天既不盈利也不亏损，则这天生产工艺品的个数是 ．
12．(河北廊坊月考)甲、乙两家商店以同样的价格出售品质相同的枇杷，枇杷单价均是40元/kg且包邮．在直播带货活动中，甲商店的优惠方案是一律打九折；乙商店的优惠方案如下表所示(a为常数).设顾客在活动中一次购买x kg枇杷时，在甲、乙两家商店的费用分别为y甲元，y乙元.
一次性购买质量x/kg 优惠方案
x≤a 不优惠
x＞a a kg以内的无优惠，超过a kg的部分打七五折
(1)写出y甲，y乙与x的函数关系式；
(2)在此次活动中，小丽在两家商店分别购买10 kg的枇杷，结果费用相同，求a的值；
(3)在(2)的条件下，请你帮助顾客设计出最合算的购买方案．
考点5?　分类讨论思想与一次函数的运用
13．已知四条直线y＝kx－3，y＝－1，y＝3和x＝1 所围成的四边形的面积是12，则k的值为( )
A．1或－2 B．2或－1
C．3 D．4
14．(天津和平区校级月考)如图，已知直线l1经过点(5，6)，交x轴于点A(－3，0)，直线l2：y＝3x交直线l1于点B.
(1)求直线l1的函数解析式和点B的坐标；
(2)求△AOB的面积；
(3)在x轴上是否存在点C，使得△ABC是直角三角形？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．
15．如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝kx＋b与x轴，y轴分别交于点A(－8，0)，点B，与直线l2：y＝－x＋1交于点C(m，3)，直线l2交y轴于点D.
(1)求m的值及直线l1的函数解析式；
(2)求四边形AODC的面积；
(3)我们把横坐标、纵坐标都是整数的点称为整点，现将l2沿y轴向下平移n(n是整数)个单位长度，则其与直线l1，y轴围成的三角形(不含边界)中恰好有4个整点，请直接写出n的值．

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