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章末小结(第二十一章)
考点1?　平行四边形的判定和性质的综合应用
1.(河北邯郸成安县一模)如图1，平行四边形ABCD中，AD＞AB，∠ABC为锐角．要在对角线BD上找点N，M，使四边形ANCM为平行四边形，现有图2中的甲、乙两种方案，则正确的方案是( )
　
A．甲是
B．乙是
C．甲、乙都是
D．甲、乙都不是
2．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D是AB的中点，延长CD至点E，使得∠CAB＝∠BAE，过点E作EF⊥AB于点F，G为CE的中点，给出结论：
①CD＝AB；②BG＝FG；③四边形AEBG是平行四边形；④∠CAE＋∠BGF＝180°.其中正确的所有选项是( )
A．①② B．③
C．②④ D．②③④
3．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过A，C两点作AG⊥BD，CH⊥BD，垂足分别为M，N，且分别交CD，AB于点G，H.
(1)求证：四边形AHCG是平行四边形；
(2)若DG＝3，AH＝2，AC＝5，BD＝8，求AB的长及△AOB的周长．
考点2?　三角形的中位线定理的应用
4．如图，为估计池塘两岸边A，B两点间的距离，在池塘的一侧选取点C，分别取AC，BC的中点D，E，测得DE＝20 m，则A，B两点间的距离是( )
A．15 m B．20 m C．30 m D．40 m
5．如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝4，AD＝2，点M，N分别是线段BC，AB上任意一点(含端点，但M不与B重合)，点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为 ．
6．(1)如图1，在四边形ADBC中，AB与CD相交于点O，AB＝CD，E，F分别是BC，AD的中点，连接EF，分别交DC，AB于点M，N，判断△OMN的形状，并说明理由；
(2)如图2，在四边形ABCD中，AB＝CD，E，F分别是AD，BC的中点，连接FE并延长，分别与BA，CD的延长线交于点M，N.求证：∠BME＝∠CNE.
　
考点3?　矩形的判定和性质的综合应用
7．(河北邯郸一模)如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点P是对角线BD上的动点(不含端点)，连接PC，点E是PC的中点，作PF⊥AB于点F，PG⊥AD于点G，连接FG.对于下列两个结论：
①当BP＝2时，点E在∠BDC的平分线上；②线段FG的长的最小值为.
判断正确的是( )
A．①②都对 B．①②都错
C．①错，②对 D．①对，②错
8．如图，△ADE为直角三角形，DE⊥AE，将△ADE沿AM方向平移，使点A落在点M处，点E落在点F处．连接CD，四边形AMCD为菱形，对角线AC，MD相交于点N.
(1)求证：四边形CDEF是矩形；
(2)连接NE，若AM＝20，ME＝8，求NE的长.
考点4?　菱形的判定和性质的综合应用
9．(河北唐山丰润区一模)小明用四根长度相等的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图(1)所示的菱形，并测得∠B＝60°，接着活动学具成为图(2)所示的正方形，并测得对角线AC＝10，则图(1)中菱形的对角线BD长为( )
A．10 B．20 C．10 D．10
10．石家庄火车站始建于清光绪二十三年(1897年)，经过多年的改建扩建，现已成为京津冀地区重要的交通枢纽．为提高车站照明效果，新购进一批简单而精致的吊灯(图1)，其正面的平面图如图2所示，四边形ABCD是一个菱形外框架，对角线AC，BD相交于点O，四边形AECF是其内部框架，且点E，F在BD上，BE＝DF.
(1)求证：四边形内部框架AECF为菱形．
(2)若AE⊥AD，F为DE的中点，AF＝2，求四边形ABCD的周长．
　
考点5?　正方形的判定和性质的综合应用
如图，已知四边形ABCD为正方形，AB＝3，E为对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG.下列结论：①矩形DEFG是正方形；②CE＝CF；③AE＝CG；④CE＋CG＝6.其中结论正确的序号有( )
A．①②③④ B．①③④
C．①③ D．②④
如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD＝CD，点E是边AC的中点，连接DE，DE的延长线与边BC相交于点F，AG∥BC，交DE于点G，连接AF，CG.
(1)求证：AF＝BF；
(2)如果AB＝AC，求证：四边形AFCG是正方形.
13．如图1，在 ABCD中，点E，F在对角线AC上，AE＝CF，DE⊥AC，过点D作DG∥AC交BF的延长线于点G.
(1)求证：四边形DEFG是矩形．
(2)如图2，连接DF，BE，当∠DFG＝∠BEF时，判断四边形DEFG的形状，并说明理由．
　　章末小结(第二十一章)
考点1?　平行四边形的判定和性质的综合应用
1.(河北邯郸成安县一模)如图1，平行四边形ABCD中，AD＞AB，∠ABC为锐角．要在对角线BD上找点N，M，使四边形ANCM为平行四边形，现有图2中的甲、乙两种方案，则正确的方案是(C)
　
A．甲是
B．乙是
C．甲、乙都是
D．甲、乙都不是
2．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D是AB的中点，延长CD至点E，使得∠CAB＝∠BAE，过点E作EF⊥AB于点F，G为CE的中点，给出结论：
①CD＝AB；②BG＝FG；③四边形AEBG是平行四边形；④∠CAE＋∠BGF＝180°.其中正确的所有选项是(D)
A．①② B．③
C．②④ D．②③④
3．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过A，C两点作AG⊥BD，CH⊥BD，垂足分别为M，N，且分别交CD，AB于点G，H.
(1)求证：四边形AHCG是平行四边形；
(2)若DG＝3，AH＝2，AC＝5，BD＝8，求AB的长及△AOB的周长．
(1)∵AG⊥BD，CH⊥BD，
∴∠AMB＝90°，∠HNB＝90°，∴AG∥CH.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，
∴四边形AHCG是平行四边形；
(2)∵四边形ABCD是平行四边形，四边形AHCG是平行四边形，
∴AB＝CD，CG＝AH＝2.
∵DG＝3，∴AB＝CD＝DG＋CG＝3＋2＝5.
∵O为AC，BD的中点，∴AO＝AC＝×5＝2.5，BO＝BD＝×8＝4，
∴△AOB的周长为AO＋BO＋AB＝2.5＋4＋5＝11.5.
考点2?　三角形的中位线定理的应用
4．如图，为估计池塘两岸边A，B两点间的距离，在池塘的一侧选取点C，分别取AC，BC的中点D，E，测得DE＝20 m，则A，B两点间的距离是(D)
A．15 m B．20 m C．30 m D．40 m
5．如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝4，AD＝2，点M，N分别是线段BC，AB上任意一点(含端点，但M不与B重合)，点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为．
6．(1)如图1，在四边形ADBC中，AB与CD相交于点O，AB＝CD，E，F分别是BC，AD的中点，连接EF，分别交DC，AB于点M，N，判断△OMN的形状，并说明理由；
(2)如图2，在四边形ABCD中，AB＝CD，E，F分别是AD，BC的中点，连接FE并延长，分别与BA，CD的延长线交于点M，N.求证：∠BME＝∠CNE.
　
(1)△OMN是等腰三角形，理由如下：
如图1，取BD的中点H，连接HE，HF.
图1
∵E，F分别是BC，AD的中点，
∴HF∥AB，HE∥CD，HF＝AB，HE＝CD.
∵AB＝CD，∴HF＝HE，∴∠HFE＝∠HEF.
∵HF∥AB，HE∥CD，∴∠HFE＝∠ONM，∠HEF＝∠OMN，
∴∠ONM＝∠OMN，∴OM＝ON，∴△OMN是等腰三角形．
(2)如图2，连接BD，取BD的中点H，连接HE，HF，
图2
∴HF∥CN，HE∥BM，HF＝CD，HE＝AB.
∵AB＝CD，∴HF＝HE，∴∠HEF＝∠HFE.
∵HF∥CN，HE∥BM，∴∠HEF＝∠BME，∠HFE＝∠CNE，
∴∠BME＝∠CNE.
考点3?　矩形的判定和性质的综合应用
7．(河北邯郸一模)如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点P是对角线BD上的动点(不含端点)，连接PC，点E是PC的中点，作PF⊥AB于点F，PG⊥AD于点G，连接FG.对于下列两个结论：
①当BP＝2时，点E在∠BDC的平分线上；②线段FG的长的最小值为.
判断正确的是(D)
A．①②都对 B．①②都错
C．①错，②对 D．①对，②错
如图，连接AP，DE.
由题意，可知AB＝CD＝3，BC＝AD＝4，∴BD＝＝＝5.
∵BP＝2，∴DP＝BD－BP＝5－2＝3，∴DP＝CD＝3.
∵点E是PC的中点，∴点E在∠BDC的平分线上，故①正确；
∵PF⊥AB，PG⊥AD，∠BAD＝90°，∴四边形AFPG是矩形，
∴AP＝FG，∴当AP⊥BD时，AP有最小值．
此时S△ABD＝AB·AD＝BD·AP，即3×4＝5×AP，
解得AP＝，∴FG＝AP＝，故②错误．
8．如图，△ADE为直角三角形，DE⊥AE，将△ADE沿AM方向平移，使点A落在点M处，点E落在点F处．连接CD，四边形AMCD为菱形，对角线AC，MD相交于点N.
(1)求证：四边形CDEF是矩形；
(2)连接NE，若AM＝20，ME＝8，求NE的长.
(1)∵四边形AMCD是菱形，∴DC∥AM，且DC＝AM.
∵AE＝MF，∴AM＝EF，∴DC＝EF.
∵DC∥EF，∴四边形DEFC是平行四边形．
∵DE⊥AM，∴∠DEF＝90°，∴四边形CDEF是矩形；
(2)∵四边形AMCD是菱形，AM＝20，∴DA＝AM＝20.
∵ME＝8，∴AE＝20－8＝12，
在Rt△DAE中，由勾股定理，得DA＝＝16，
在Rt△DEM中，由勾股定理，得DM＝＝8，
∵四边形AMCD是菱形，∴ND＝NM，∴NE＝DM＝4.
考点4?　菱形的判定和性质的综合应用
9．(河北唐山丰润区一模)小明用四根长度相等的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图(1)所示的菱形，并测得∠B＝60°，接着活动学具成为图(2)所示的正方形，并测得对角线AC＝10，则图(1)中菱形的对角线BD长为(D)
A．10 B．20 C．10 D．10
10．石家庄火车站始建于清光绪二十三年(1897年)，经过多年的改建扩建，现已成为京津冀地区重要的交通枢纽．为提高车站照明效果，新购进一批简单而精致的吊灯(图1)，其正面的平面图如图2所示，四边形ABCD是一个菱形外框架，对角线AC，BD相交于点O，四边形AECF是其内部框架，且点E，F在BD上，BE＝DF.
(1)求证：四边形内部框架AECF为菱形．
(2)若AE⊥AD，F为DE的中点，AF＝2，求四边形ABCD的周长．
　
(1)∵四边形ABCD是菱形，∴OB＝OD，OA＝OC.
∵BE＝DF，∴OB－BE＝OD－DF，∴OE＝OF，
∴四边形AECF是平行四边形．
∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴ AECF是菱形；
(2)∵四边形AECF是菱形，AF＝2，∴AE＝AF＝2.
∵AE⊥AD，F为DE的中点，∴DE＝2AF＝4.
∵AE2＋AD2＝DE2，即22＋AD2＝42，∴AD＝2(负值不符合题意，舍去).
∵四边形ABCD为菱形，∴菱形ABCD的周长为4×2＝8.
考点5?　正方形的判定和性质的综合应用
如图，已知四边形ABCD为正方形，AB＝3，E为对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG.下列结论：①矩形DEFG是正方形；②CE＝CF；③AE＝CG；④CE＋CG＝6.其中结论正确的序号有(B)
A．①②③④ B．①③④
C．①③ D．②④
①如图，过点E作EM⊥BC于点M，过点E作EN⊥CD于点N，
∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD＝90°，∠ECN＝45°，
∴∠EMC＝∠ENC＝∠BCD＝90°，∴NE＝NC，
∴四边形EMCN为正方形，∴EM＝EN.
∵四边形DEFG是矩形，∴∠DEN＋∠NEF＝∠MEF＋∠NEF＝90°，
∴∠DEN＝∠MEF.又∠DNE＝∠FME＝90°，
在△DEN和△FEM中，∴△DEN≌△FEM(ASA)，
∴ED＝EF，∴矩形DEFG为正方形；故①正确；
②当DE⊥AC时，点C与点F重合，∴CE不一定等于CF，故②错误；
③由①知DE＝DG，∠EDC＋∠CDG＝90°.
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝DC，∠ADE＋∠EDC＝90°，∴∠ADE＝∠CDG.
在△ADE和△CDG中，∴△ADE≌△CDG(SAS)，
∴AE＝CG，故③正确；
④∵AB＝BC＝3，∠B＝90°，∴AC＝AB＝×3＝6，
∴AC＝AE＋CE＝CG＋CE＝6.故④正确．
如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD＝CD，点E是边AC的中点，连接DE，DE的延长线与边BC相交于点F，AG∥BC，交DE于点G，连接AF，CG.
(1)求证：AF＝BF；
(2)如果AB＝AC，求证：四边形AFCG是正方形.
(1)∵AD＝CD，点E是边AC的中点，∴DE⊥AC，
∴DE是线段AC的垂直平分线，∴AF＝CF，∴∠FAC＝∠ACB.
在Rt△ABC中，由∠BAC＝90°，
得∠B＋∠ACB＝90°，∠FAC＋∠BAF＝90°，
∴∠B＝∠BAF，∴AF＝BF.
(2)∵AG∥CF，∴∠AGE＝∠CFE.
又∵点E是边AC的中点，∴AE＝CE.
在△AEG和△CEF中，
∴△AEG≌△CEF(AAS)，∴AG＝CF.
又∵AG∥CF，∴四边形AFCG是平行四边形．
∵AF＝CF，∴四边形AFCG是菱形．
在Rt△ABC中，由AF＝CF，AF＝BF，得BF＝CF.
即得点F是边BC的中点．
又∵AB＝AC，∴AF⊥BC，∴∠AFC＝90°.
∴四边形AFCG是正方形．
13．如图1，在 ABCD中，点E，F在对角线AC上，AE＝CF，DE⊥AC，过点D作DG∥AC交BF的延长线于点G.
(1)求证：四边形DEFG是矩形．
(2)如图2，连接DF，BE，当∠DFG＝∠BEF时，判断四边形DEFG的形状，并说明理由．
　　
(1)在 ABCD中，AD＝CB，AD∥CB，
∴∠DAE＝∠BCF.
又∵AE＝CF，∴△ADE≌△CBF(SAS)，
∴∠AED＝∠CFB.
∵∠AFG＝∠CFB，∴∠AED＝∠AFG，∴DE∥GF.
∵DG∥AC，∴四边形DEFG是平行四边形．
∵DE⊥AC，∴∠CED＝90°，∴四边形DEFG是矩形．
(2)四边形DEFG是正方形．
理由：由(1)知DE∥BF，DE＝BF，
∴四边形DEBF是平行四边形，∴DF∥BE，
∴∠AFD＝∠BEF.∵∠DFG＝∠BEF，
∴∠AFD＝∠DFG.
在矩形DEFG中，∠EFG＝∠DEF＝90°，
∴∠DFE＝∠EDF＝45°，∴DE＝EF，
∴矩形DEFG是正方形．

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