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24．1.2　中位数和众数
知识点1?　中位数
1．(河北石家庄栾城区校级期末)某公司10名职工3月份的工资如表所示，则这10名职工3月份工资的中位数是( )
工资/元 5 000 5 200 5 400 5 600
人数/人 1 3 4 2
A．5 200元 B．5 300元
C．5 400元 D．5 500元
2．(河北承德兴隆县校级模拟)某女子排球队6名场上队员的身高(单位： cm)是：172，174，178，180，180，184.现用身高为177 cm 的队员替换场上身高为174 cm的队员，与换人前相比，场上队员的身高( )
A．平均数变小，中位数不变
B．平均数变小，中位数变大
C．平均数变大，中位数不变
D．平均数变大，中位数变大
3．(浙江台州路桥区期末)某广告公司采用考核的方式竞聘设计师，考核分笔试、面试两部分，成绩均为10分，并分别赋予笔试、面试成绩一定的权重，得到综合成绩，笔试成绩前8名的应聘者进入面试．现有15名应聘者的笔试成绩如下表所示，其中应聘者小张的笔试成绩为7分．
笔试成绩/分 3 4 5 6 7 8 9
频数 1 1 4 2 3 3 1
(1)求这15名应聘者笔试成绩的中位数；
(2)小张能否进入面试？为什么？
(3)你认为小张的综合成绩有可能为3.4分吗？为什么？
知识点2?　众数
4．(河北中考)某校生物小组的9名同学各用100粒种子做发芽实验，几天后观察并记录种子的发芽数分别为89，73，90，86，75，86，89，95，89，以上数据的众数为 ．
5．若一组数据1，2，5，3，x，－1的平均数是2，则众数是 ．
6．为了加强心理健康教育，某校组织九年级(1)班和(2)班两个班的学生进行了心理健康常识测试，已知两班学生人数相同，根据测试成绩绘制了如图所示的统计图．
(1)求九年级(2)班学生中测试成绩为10分的人数；
(2)请根据上面的信息求下表中a，b，c的值.
平均数 众数 中位数
九年级(1)班 8 8 c
九年级(2)班 a b 8
知识点3?　平均数、中位数和众数的应用
7．为了解某小区居民的用水情况，随机抽查了若干户家庭的某月用水量，统计结果如表所示：
月用水量/吨 3 4 5 6
户数 4 6 8 2
关于这若干户家庭的该月用水量的数据统计分析，下列说法正确的是( )
A．众数是5 B．平均数是5
C．中位数是5 D．以上都不对
8．某直销公司现有30名推销员，5月份每个人完成销售额(单位：万元)，数据如下：
17　18　22　10　24　17　28　26　15　17　22
17　22　26　24　23　22　13　17　26　13　24
23　17　10　13　28　26　23　17
整理上面的数据得到统计表：
销售额/万元 10 13 15 17 18 22 23 24 26 28
人数 2 a 1 7 1 4 3 3 b 2
(1)统计表中的a＝ ；b＝ ；
(2)销售额的平均数是 ；众数是 ；中位数是 ．
(3)6月起，公司为了提高推销员的积极性，将采取绩效工资制度：规定一个基本销售额，在基本销售额内，按2%抽成；从公司低成本与员工愿意接受两个层面考虑，你认为基本销售额定为多少万元？请说明理由．
易错易混点　根据中位数、众数判定一组数据中未知数据时忽略分类讨论的情况
9.(河北邯郸馆陶县二模)一组数据为11，7，9，若添加一个数据，使得4个数据的中位数和众数相等，则添加的数据是 ．
10．(河北石家庄桥西区校级三模)一组数据m，1，m，5，7，2中，若中位数恰好是m，则整数m可能的值有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．在一次引体向上测试中，某小组8名男生的成绩分别为13，9，a，11，7，11，8，9，若这组数据的唯一众数为11，则这组数据的中位数为 ．
12．在排球比赛中，场上6名队员的身高分别是175 cm，175 cm，185 cm，192 cm，183 cm，188 cm.若教练将场上身高为183 cm的队员换成身高为186 cm的队员，则场上队员身高的平均数、众数、中位数中没有发生变化的是 ．
13．某中学九年级组织了一次“汉字听写比赛”，每班选25名同学参加比赛，成绩分为A，B，C，D四个等级，其中A等级得分为100分，B等级得分为85分，C等级得分为75分，D等级得分为60分．语文教研组将九年级一班和二班的成绩整理并绘制成如下的统计图，请根据提供的信息解答下列问题．
　
(1)把一班比赛成绩统计图补充完整．
(2)填空：
平均数 中位数 众数
九年级一班 a b 85
九年级二班 84 75 c
表格中a＝ ，b＝ ，c＝ ；
(3)请从以下给出的两个方面对这次比赛成绩的结果进行分析：
①从平均数、众数方面来比较一班和二班的成绩；
②从B等级以上(包括B等级)的人数方面来比较一班和二班的成绩．
【母题P161例8】某商场服装部为了调动营业员的积极性，决定实行目标管理，根据目标完成的情况对营业员进行适当的奖励．为了确定一个适当的月销售目标，商场服装部统计了每位营业员在某月的销售额(单位：万元)，数据如下：
17　18　16　13　24　15　28　26　18　19
22　17　16　19　32　30　16　14　15　26
15　32　23　17　15　15　28　28　16　19
(1)月销售额在哪个值的人数最多？中间位置的月销售额是多少？平均月销售额是多少？
(2)如果想确定一个较高的销售目标，你认为在(1)的三个销售额中选哪一个作为销售目标合适？说明理由．
(3)如果想让一半左右的营业员都能达到销售目标，你认为月销售额定为多少合适？说明理由．
【变式】某校七、八年级开展了一次实践活动，对学生的活动情况按10分制进行评分，成绩(单位：分)均为不低于6的整数，为了解这次活动的效果，现从这两个年级各随机抽取10名学生的活动成绩作为样本进行整理，并绘制如下所示的统计表和如图所示的统计图．
七年级10名学生活动成绩统计表
成绩/分 6 7 8 9 10
人数 1 2 2 3 2
(1)样本中，七年级学生活动成绩的中位数为 ，八年级学生活动成绩的众数为 ；
(2)估计七年级600名学生活动成绩的平均数；
(3)嘉淇说：“根据样本数据，我认为八年级同学的成绩较好．”嘉淇作出此判断依据的量是 (填“平均数”“中位数”或“众数”).
14．(推理能力)某中学为了解学生对航空航天知识的掌握情况，随机抽取50名学生进行测试，并对成绩(百分制)进行整理，信息如下．
a．成绩频数分布表：
成绩 x/分 50≤x ＜60 60≤x ＜70 70≤x ＜80 80≤x ＜90 90≤x ≤100
频数 7 9 12 16 6
b.“70≤x＜80”这组的具体成绩(单位：分)是：
70，71，72，72，74，77，78，78，78，79，79，79.
根据以上信息，解决下列问题．
(1)此次测试成绩的中位数是 ，成绩不低于80分的人数占测试人数的百分比为 ；
(2)该测试成绩的平均数是76.4，甲的成绩是77分.乙说：“甲的成绩高于平均数，所以甲的成绩高于一半学生的成绩．”你认为乙的说法正确吗？请说明理由；
(3)请对该校学生航空航天知识的掌握情况作出合理的评价．24．1.2　中位数和众数
知识点1?　中位数
1．(河北石家庄栾城区校级期末)某公司10名职工3月份的工资如表所示，则这10名职工3月份工资的中位数是(C)
工资/元 5 000 5 200 5 400 5 600
人数/人 1 3 4 2
A．5 200元 B．5 300元
C．5 400元 D．5 500元
2．(河北承德兴隆县校级模拟)某女子排球队6名场上队员的身高(单位： cm)是：172，174，178，180，180，184.现用身高为177 cm 的队员替换场上身高为174 cm的队员，与换人前相比，场上队员的身高(C)
A．平均数变小，中位数不变
B．平均数变小，中位数变大
C．平均数变大，中位数不变
D．平均数变大，中位数变大
3．(浙江台州路桥区期末)某广告公司采用考核的方式竞聘设计师，考核分笔试、面试两部分，成绩均为10分，并分别赋予笔试、面试成绩一定的权重，得到综合成绩，笔试成绩前8名的应聘者进入面试．现有15名应聘者的笔试成绩如下表所示，其中应聘者小张的笔试成绩为7分．
笔试成绩/分 3 4 5 6 7 8 9
频数 1 1 4 2 3 3 1
(1)求这15名应聘者笔试成绩的中位数；
(2)小张能否进入面试？为什么？
(3)你认为小张的综合成绩有可能为3.4分吗？为什么？
(1)这15名应聘者笔试成绩的中位数为6.
(2)小张能进入面试，
小张的成绩为7分，大于中位数6，排在笔试成绩的前8名，
所以小张能进入面试．
(3)有可能，
因为分别赋予笔试、面试成绩一定的权重，得到综合成绩，
因此当面试成绩所占权重高于笔试成绩且面试成绩较低时会出现得到3.4分的情况．
知识点2?　众数
4．(河北中考)某校生物小组的9名同学各用100粒种子做发芽实验，几天后观察并记录种子的发芽数分别为89，73，90，86，75，86，89，95，89，以上数据的众数为89．
5．若一组数据1，2，5，3，x，－1的平均数是2，则众数是2．
6．为了加强心理健康教育，某校组织九年级(1)班和(2)班两个班的学生进行了心理健康常识测试，已知两班学生人数相同，根据测试成绩绘制了如图所示的统计图．
(1)求九年级(2)班学生中测试成绩为10分的人数；
(2)请根据上面的信息求下表中a，b，c的值.
平均数 众数 中位数
九年级(1)班 8 8 c
九年级(2)班 a b 8
(1)由题意，知(1)班和(2)班人数相等，
均为5＋10＋19＋12＋4＝50(人)，
∴50×(1－28%－22%－24%－14%)＝50×12%＝6(人).
答：(2)班学生中测试成绩为10分的有6人．
(2)由题意，知(2)班学生测试成绩的平均数为6×14%＋7×24%＋8×22%＋9×28%＋10×12%＝8.
由统计图，可得扇形统计图中9分的人数占28%，占比最多，条形统计图中第25，26个数均为8分，
∴(2)班学生测试成绩的众数为9，(1)班学生测试成绩的中位数为8，∴a＝8，b＝9，c＝8.
知识点3?　平均数、中位数和众数的应用
7．为了解某小区居民的用水情况，随机抽查了若干户家庭的某月用水量，统计结果如表所示：
月用水量/吨 3 4 5 6
户数 4 6 8 2
关于这若干户家庭的该月用水量的数据统计分析，下列说法正确的是(A)
A．众数是5 B．平均数是5
C．中位数是5 D．以上都不对
8．某直销公司现有30名推销员，5月份每个人完成销售额(单位：万元)，数据如下：
17　18　22　10　24　17　28　26　15　17　22
17　22　26　24　23　22　13　17　26　13　24
23　17　10　13　28　26　23　17
整理上面的数据得到统计表：
销售额/万元 10 13 15 17 18 22 23 24 26 28
人数 2 a 1 7 1 4 3 3 b 2
(1)统计表中的a＝3；b＝4；
(2)销售额的平均数是20；众数是17；中位数是22．
(3)6月起，公司为了提高推销员的积极性，将采取绩效工资制度：规定一个基本销售额，在基本销售额内，按2%抽成；从公司低成本与员工愿意接受两个层面考虑，你认为基本销售额定为多少万元？请说明理由．
(3)基本销售额定为22万元，
理由：作为数据的代表，本组数据的平均数、众数、中位数三个量作为基本额都具有合理性，其中中位数为22最大，选择中位数对公司最有利，付出成本最低，对员工来说，这只是个中等水平，可以接受，所以选择中位数作为基本额．
易错易混点　根据中位数、众数判定一组数据中未知数据时忽略分类讨论的情况
9.(河北邯郸馆陶县二模)一组数据为11，7，9，若添加一个数据，使得4个数据的中位数和众数相等，则添加的数据是9．
10．(河北石家庄桥西区校级三模)一组数据m，1，m，5，7，2中，若中位数恰好是m，则整数m可能的值有(D)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．在一次引体向上测试中，某小组8名男生的成绩分别为13，9，a，11，7，11，8，9，若这组数据的唯一众数为11，则这组数据的中位数为10．
12．在排球比赛中，场上6名队员的身高分别是175 cm，175 cm，185 cm，192 cm，183 cm，188 cm.若教练将场上身高为183 cm的队员换成身高为186 cm的队员，则场上队员身高的平均数、众数、中位数中没有发生变化的是众数．
13．某中学九年级组织了一次“汉字听写比赛”，每班选25名同学参加比赛，成绩分为A，B，C，D四个等级，其中A等级得分为100分，B等级得分为85分，C等级得分为75分，D等级得分为60分．语文教研组将九年级一班和二班的成绩整理并绘制成如下的统计图，请根据提供的信息解答下列问题．
　
(1)把一班比赛成绩统计图补充完整．
(2)填空：
平均数 中位数 众数
九年级一班 a b 85
九年级二班 84 75 c
表格中a＝82.8，b＝85，c＝100；
(3)请从以下给出的两个方面对这次比赛成绩的结果进行分析：
①从平均数、众数方面来比较一班和二班的成绩；
②从B等级以上(包括B等级)的人数方面来比较一班和二班的成绩．
(1)一班C等级的学生有25－6－12－5＝2，补全的条形统计图如图所示；
(2)82.8　85　100
(3)①从平均数、众数方面来比较，二班成绩更好；
②从B级以上(包括B级)的人数方面来比较，一班成绩更好．
【母题P161例8】某商场服装部为了调动营业员的积极性，决定实行目标管理，根据目标完成的情况对营业员进行适当的奖励．为了确定一个适当的月销售目标，商场服装部统计了每位营业员在某月的销售额(单位：万元)，数据如下：
17　18　16　13　24　15　28　26　18　19
22　17　16　19　32　30　16　14　15　26
15　32　23　17　15　15　28　28　16　19
(1)月销售额在哪个值的人数最多？中间位置的月销售额是多少？平均月销售额是多少？
(2)如果想确定一个较高的销售目标，你认为在(1)的三个销售额中选哪一个作为销售目标合适？说明理由．
(3)如果想让一半左右的营业员都能达到销售目标，你认为月销售额定为多少合适？说明理由．
整理上面的数据得到下表和下图．
销售额/ 万元 13 14 15 16 17 18 19 22 23 24 26 28 30 32
人数 1 1 5 4 3 2 3 1 1 1 2 3 1 2
(1)从上表或图可以看出，样本数据的众数是15，中位数是18，求得这组数据的平均数约是20.可以推测，这个服装部营业员的月销售额为15万元的人数最多，中间位置的月销售额是18万元，平均月销售额大约是20万元．
(2)如果想确定一个较高的销售目标，这个目标可以定为每月20万元(平均数).因为从样本数据看，在平均数、中位数和众数中，平均数最大．可以估计，月销售额定为每月20万元是一个较高目标，大约会有的营业员获得奖励．
(3)如果想让一半左右的营业员能够达到销售目标，月销售额可以定为每月18万元(中位数).因为从样本情况看，月销售额在18万元以上(含18万元)的有16人，占总人数的一半左右．可以估计，如果月销售额定为18万元，将有一半左右的营业员获得奖励．
【变式】某校七、八年级开展了一次实践活动，对学生的活动情况按10分制进行评分，成绩(单位：分)均为不低于6的整数，为了解这次活动的效果，现从这两个年级各随机抽取10名学生的活动成绩作为样本进行整理，并绘制如下所示的统计表和如图所示的统计图．
七年级10名学生活动成绩统计表
成绩/分 6 7 8 9 10
人数 1 2 2 3 2
(1)样本中，七年级学生活动成绩的中位数为8.5，八年级学生活动成绩的众数为8；
(2)估计七年级600名学生活动成绩的平均数；
(3)嘉淇说：“根据样本数据，我认为八年级同学的成绩较好．”嘉淇作出此判断依据的量是平均数(填“平均数”“中位数”或“众数”).
(1)∵七年级10名同学排在第5和第6名的成绩为8分和9分，
∴七年级学生活动成绩的中位数为＝8.5.
∵八年级10名同学中出现最多的是8分，
∴八年级学生活动成绩的众数为8.
(2)由统计表可知，样本中七年级10名学生成绩的平均分为＝8.3.
∴七年级600名学生活动成绩的平均数大约为8.3；
(3)∵七年级10名同学成绩出现次数最多的是9分，
∴七年级的众数为9.
∵10×10%＝1(人)，10×50%＝5(人)，10×(1－10%－50%－20%)＝2(人)，10×20%＝2(人)，
∴八年级的10名同学成绩的中位数是8；
八年级的10名同学成绩的平均数是＝8.5.
∵八年级成绩的众数和中位数小于七年级成绩的众数和中位数，八年级成绩的平均数高于七年级的平均数，
∴嘉淇作出此判断依据的量是平均数．
14．(推理能力)某中学为了解学生对航空航天知识的掌握情况，随机抽取50名学生进行测试，并对成绩(百分制)进行整理，信息如下．
a．成绩频数分布表：
成绩 x/分 50≤x ＜60 60≤x ＜70 70≤x ＜80 80≤x ＜90 90≤x ≤100
频数 7 9 12 16 6
b.“70≤x＜80”这组的具体成绩(单位：分)是：
70，71，72，72，74，77，78，78，78，79，79，79.
根据以上信息，解决下列问题．
(1)此次测试成绩的中位数是78.5，成绩不低于80分的人数占测试人数的百分比为44%；
(2)该测试成绩的平均数是76.4，甲的成绩是77分.乙说：“甲的成绩高于平均数，所以甲的成绩高于一半学生的成绩．”你认为乙的说法正确吗？请说明理由；
(3)请对该校学生航空航天知识的掌握情况作出合理的评价．
(1)这次测试成绩的中位数是第25，26个数据的平均数，而第25，26个数据的平均数为 ＝78.5，
所以这组数据的中位数是78.5，
成绩不低于80分的人数占测试人数的百分比为×100%＝44%.
(2)不正确，
因为甲的成绩77分低于中位数78.5，
所以甲的成绩不可能高于一半学生的成绩．
(3)测试成绩不低于80分的人数占测试人数的44%，说明该校学生对“航空航天知识”的掌握情况较好(答案不唯一，合理均可).

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