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24．2　数据的离散程度
知识点1?　离差平方和
1．在某校举办的学习强国演讲比赛中，六位评委给小华的评分(单位：分)分别为8，7.5，9.5，8.5，8.5，9，则小华此次演讲比赛得分的离差平方和为2.5．
2．已知一组数据中各数据与这组数据的离差平方和是(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(x10－)2＝50，则这组数据的方差s2＝5．
知识点2?　方差
3．如果样本方差s2＝[(x1－19)2＋(x2－19)2＋…＋(x26－19)2]，那么这个样本的平均数和样本容量分别是(D)
A．25，25 B．25，19
C．19，19 D．19，25
4．(山东聊城茌平区期末)小莹在计算一组数据的方差时，列得没有化简的算式：s2＝.关于这组数据，下列说法正确的是(A)
①平均数是4；②众数是5；③中位数是4；
④样本容量是3.
A．①② B．③④
C．①③ D．②④
5．甲、乙、丙三名射击运动员在10次射击中的平均成绩都是9.2环，他们射击成绩的方差分别为：s＝0.34，s＝0.29，s＝0.13，则三人中成绩最好的是丙.
6．(河北保定定州市期末)数据2，1，1，0，1的方差为0.4.
知识点3?　方差的应用
7．某射击队要从甲、乙、丙、丁四名运动员中选拔一名运动员代表本队参加市里的比赛，选拔赛中每名运动员成绩的平均数，成绩的方差s2如表所示，如果要选拔一名成绩好且发挥稳定的运动员参赛，那么应该选拔(C)
选手 甲 乙 丙 丁
平均数 8.7 8.7 9.1 9.1
方差s2 1 0.8 0.8 1
A.甲 B．乙 C．丙 D．丁
8．(河北沧州南皮县三模)为喜迎国庆，某校团委准备从本校嘉嘉和琪琪两名同学中，挑选一名优秀的朗诵者参加比赛，他们对嘉嘉和琪琪进行了五次测试，把他们的成绩绘制成如图统计图．根据图中信息，下列说法正确的是(C)
A．嘉嘉的成绩越来越好，如果再朗读一次，一定还会得10分
B．嘉嘉的第三次成绩与第二次成绩相比，提高50%
C．琪琪的成绩比嘉嘉的成绩稳定
D．两人的成绩稳定性一样
9．投壶是中国古代一种传统礼仪和宴饮游戏．在一次投壶比赛中，甲、乙两人成绩的平均数分别为甲，乙，方差分别为s，s.若甲＝乙，s＝2.3，s＝1.2，则成绩更稳定的是乙．(填“甲”或“乙”)
10．为了弘扬和传承中华优秀传统文化，某校举办了一场名为“经典文化传承大赛”的初赛，比赛设定满分为10分，参赛学生的得分均为整数．以下是甲、乙两组(每组10人)学生在初赛中的成绩记录(单位：分).
甲组：6，7，9，10，6，5，6，6，9，6.
乙组：10，7，6，9，6，7，7，6，7，5.
(1)根据甲、乙两组学生的成绩，得到以下的统计表：
平均数 中位数 众数 方差
甲组 7 a 6 2.6
乙组 7 7 b c
(1)在以上成绩统计表中，a＝6，b＝7，c＝2．
(2)小明同学说：“这次竞赛我得了7分，在我们小组中属于中游略偏上的水平．”根据上面的统计表，判断小明是哪个组的学生，并解释原因．
(3)从平均数和方差看，若从甲、乙两组学生中选择一个成绩较为稳定的小组参加决赛，应选哪个组？并说明理由．
(1)甲组学生成绩按从小到大重新排列为5，6，6，6，6，6，7，9，9，10，
∴中间两个数的平均数是＝6.
根据中位数定义，可知a＝6；
∵乙组学生成绩中，数据7出现了四次，次数最多，
∴众数b＝7；
c＝[(10－7)2＋(7－7)2×4＋(6－7)2×3＋(9－7)2＋(5－7)2]＝2；
(2)小明可能是甲组的学生，理由如下：
∵甲组的中位数是6，而小明得了7分，
∴在小组中属中游略偏上；
(3)选乙组参加决赛，理由如下：
甲、乙两组学生成绩的平均数相同s＝c＝2，
∵s＝2.6＞s＝2，
∴乙组的成绩比较稳定，
故选乙组参加决赛．
易错易混点　不能正确计算一组数据的方差
11.(河北邢台任泽区期末)已知一组数据m，n，k的平均数为5，方差为4，那么数据3m－2，3n－2，3k－2的平均数与方差是(B)
A．5，4 B．13，36 C．13，2 D．5，36
12．下图分别为5月10日与11日两天某品牌手机售后维修中心6位技工师傅维修手机的数量，则11日与10日相比(B)
　
A．平均数，方差都不变
B．平均数不变，方差变大
C．平均数不变，方差变小
D．平均数变大，方差不变
13．某校射击队从甲、乙、丙、丁四人中选拔一人参加市运会射击比赛．在选拔赛中，每人射击10次，他们10次成绩的平均数及方差如下表所示：
甲 乙 丙 丁
平均数 9.7 9.5 9.5 9.7
方差 5.1 4.7 4.5 4.5
请你根据表中数据选一人参加比赛，最合适的人选是(D)
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
14．(河北石家庄藁城区模拟)下表是某中学阳光社团40名志愿者的年龄分布统计表．对于a，b取不同的值，下列关于年龄的统计量不会发生改变的是(C)
年龄/岁 12 13 14 15
频数/名 11 19 a b
A.平均数、众数 B．中位数、平均数
C．众数、中位数 D．平均数、方差
15．跳远运动员小李在一次训练中，先跳了6次的成绩如下：7.6，7.8，7.7，7.8，8.0，7.9(单位：m).这6次成绩的平均数为7.8，方差为.如果小李再跳一次，成绩为7.8(单位：m)，则小李这7次跳远成绩与前6次的成绩相比较，其方差变小．(填“变大”或“变小”)
16．(河北期末)为了从甲、乙两名选手中选拔一人参加射击比赛，现对他们进行一次测验，两个人在相同条件下各射靶20次，为了比较两人的成绩，教练制作了如下统计图表(成绩均为正整数)：
甲运动员的成绩统计表
成绩/环 6 7 8 9 10
次数 1 3 8 m 3
乙运动员的成绩统计图
(1)将下表(单位：环)补充完整；
平均数 众数 中位数
甲 8
乙 8
(2)其中一名选手有一环的成绩低于平均数，却排在他成绩的中上游，这名选手是甲(选填“甲”或“乙”)；
(3)经计算，甲的成绩的方差为1.11，乙的成绩的方差为1.15，综合考虑，如果要选择一人参加射击比赛，则有可能选派谁去？并说明理由．
(1)m＝20－1－3－8－3＝5，
甲＝(6＋7×3＋8×8＋9×5＋10×3)＝8.3，
乙＝(6＋7×2＋8×7＋9×6＋10×4)＝8.5，
甲的中位数为＝8，乙的中位数为＝8.5，
故填表如下：
平均数 众数 中位数
甲 8.3 8 8
乙 8.5 8 8.5
(2)由(1)，可得甲的平均成绩为8.3，中位数为8，只要成绩超过8环，就排在他的所有成绩的中上游；低于8.3环的同时，可以满足大于8环；
乙的平均成绩为8.5，中位数为8.5，只要成绩超过8.5环，就排在他的所有成绩的中上游；不能既低于8.5环，又大于8.5环不符合题意，
∴这名选手有可能是甲．
(3)∵甲的成绩的方差为1.11，乙的成绩的方差为1.15，
∴甲的成绩更稳定，
且甲成绩的中位数小于乙成绩的中位数，
甲成绩的平均数小于乙成绩的平均数．
综上来看，考虑平均数，中位数，选择乙更合适，考虑稳定性，选择甲更合适．
【母题P170例1】甲、乙两名气手枪运动员进行射击训练，10次射击成绩(单位：环)如表所示．
甲 9 7 9 10 10 8 9 10 5 10
乙 9 10 7 8 10 9 9 8 7 9
哪名射击运动员的发挥更稳定？
两名运动员射击成绩的平均数分别为
甲＝＝8.7，乙＝＝8.6.
两名运动员射击成绩的方差分别为
s＝＝2.41，
s＝＝1.04.
由s>s可知，乙射击运动员的发挥更稳定．
【变式】某中学举办“网络安全知识答题竞赛”，七、八年级根据初赛成绩各选出5名选手组成代表队参加决赛，两个队各选出的5名选手的决赛成绩如下所示．
平均分 中位数 众数 方差
七年级 a 85 b s
八年级 85 c 100 160
(1)根据图示填空：a＝85，b＝85，c＝80；
(2)结合两队成绩的平均数和中位数进行分析，哪个代表队的决赛成绩较好？
(3)计算七年级代表队决赛成绩的方差s，并判断哪一个代表队选手成绩较为稳定．
(1)85　85　80
七年级的平均分a＝＝85，众数b＝85；
八年级选手的成绩是70，75，80，100，100，故中位数c＝80；
(2)由表格，可知七年级代表队与八年级代表队的平均分相同，七年级代表队的中位数高，
故七年级代表队的决赛成绩较好；
(3)s＝＝70，
∵70<160，即s＜s，
∴七年级代表队选手成绩比较稳定．
17．(核心素养)“感受数学魅力，提升数学素养”，某学校在其举办的数学文化节上开展趣味数学知识竞赛，从九年级(1)班和(2)班两班各随机抽取了10名学生的成绩，整理如下：(成绩得分用x表示，共分成四组：A.80≤x＜85，B.85≤x＜90，C.90≤x＜95，D.95≤x≤100).
九年级(1)班10名学生的成绩是80，82，86，89，92，96，96，98，99，100.
九年级(2)班10名学生的成绩在C组中的数据是90，93，93.
通过数据分析，得到如下统计表与统计图：
九年级(1)班、(2)班抽取的学生竞赛成绩统计表
班级 平均数 中位数 众数 方差
九年级(1)班 91.8 b c 46.96
九年级(2)班 91.8 93 100 40.4
根据以上信息，解答下列问题：
(1)直接写出上述a，b，c的值：a＝40，b＝94，c＝96；
(2)学校欲选派成绩更稳定的班级参加下一阶段的活动，根据表格中的数据，学校会选派哪一个班级？说明理由．
(3)九年级两个班共100人参加了此次调查活动，估计两班参加此次调查活动成绩优秀(x≥90)的学生总人数是多少？
(1)∵九年级(2)班C组占的百分比为×100%＝30%，∴a%＝100%－10%－20%－30%＝40%，∴a＝40.
∵九年级(1)班10名学生测试成绩中，第5和第6位置的数是92和96，
∴b＝＝94.
∵九年级(1)班10名学生测试成绩中，96出现的次数最多，
∴众数c＝96.
(2)九年级(2)班，理由如下：
∵两个班平均数相同，九年级(2)班的方差40.4小于九年级(1)班的方差46.96，∴九年级(2)班成绩更平衡，更稳定，
∴学校会选派九年级(2)班．
(3)100×＝65(人).
答：估计参加此次调查活动成绩优秀(x≥90)的九年级学生人数大约是65人．24．2　数据的离散程度
知识点1?　离差平方和
1．在某校举办的学习强国演讲比赛中，六位评委给小华的评分(单位：分)分别为8，7.5，9.5，8.5，8.5，9，则小华此次演讲比赛得分的离差平方和为 ．
2．已知一组数据中各数据与这组数据的离差平方和是(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(x10－)2＝50，则这组数据的方差s2＝ ．
知识点2?　方差
3．如果样本方差s2＝[(x1－19)2＋(x2－19)2＋…＋(x26－19)2]，那么这个样本的平均数和样本容量分别是( )
A．25，25 B．25，19
C．19，19 D．19，25
4．(山东聊城茌平区期末)小莹在计算一组数据的方差时，列得没有化简的算式：s2＝.关于这组数据，下列说法正确的是( )
①平均数是4；②众数是5；③中位数是4；
④样本容量是3.
A．①② B．③④
C．①③ D．②④
5．甲、乙、丙三名射击运动员在10次射击中的平均成绩都是9.2环，他们射击成绩的方差分别为：s＝0.34，s＝0.29，s＝0.13，则三人中成绩最好的是 .
6．(河北保定定州市期末)数据2，1，1，0，1的方差为 .
知识点3?　方差的应用
7．某射击队要从甲、乙、丙、丁四名运动员中选拔一名运动员代表本队参加市里的比赛，选拔赛中每名运动员成绩的平均数，成绩的方差s2如表所示，如果要选拔一名成绩好且发挥稳定的运动员参赛，那么应该选拔( )
选手 甲 乙 丙 丁
平均数 8.7 8.7 9.1 9.1
方差s2 1 0.8 0.8 1
A.甲 B．乙 C．丙 D．丁
8．(河北沧州南皮县三模)为喜迎国庆，某校团委准备从本校嘉嘉和琪琪两名同学中，挑选一名优秀的朗诵者参加比赛，他们对嘉嘉和琪琪进行了五次测试，把他们的成绩绘制成如图统计图．根据图中信息，下列说法正确的是( )
A．嘉嘉的成绩越来越好，如果再朗读一次，一定还会得10分
B．嘉嘉的第三次成绩与第二次成绩相比，提高50%
C．琪琪的成绩比嘉嘉的成绩稳定
D．两人的成绩稳定性一样
9．投壶是中国古代一种传统礼仪和宴饮游戏．在一次投壶比赛中，甲、乙两人成绩的平均数分别为甲，乙，方差分别为s，s.若甲＝乙，s＝2.3，s＝1.2，则成绩更稳定的是 ．(填“甲”或“乙”)
10．为了弘扬和传承中华优秀传统文化，某校举办了一场名为“经典文化传承大赛”的初赛，比赛设定满分为10分，参赛学生的得分均为整数．以下是甲、乙两组(每组10人)学生在初赛中的成绩记录(单位：分).
甲组：6，7，9，10，6，5，6，6，9，6.
乙组：10，7，6，9，6，7，7，6，7，5.
(1)根据甲、乙两组学生的成绩，得到以下的统计表：
平均数 中位数 众数 方差
甲组 7 a 6 2.6
乙组 7 7 b c
(1)在以上成绩统计表中，a＝ ，b＝ ，c＝ ．
(2)小明同学说：“这次竞赛我得了7分，在我们小组中属于中游略偏上的水平．”根据上面的统计表，判断小明是哪个组的学生，并解释原因．
(3)从平均数和方差看，若从甲、乙两组学生中选择一个成绩较为稳定的小组参加决赛，应选哪个组？并说明理由．
11.(河北邢台任泽区期末)已知一组数据m，n，k的平均数为5，方差为4，那么数据3m－2，3n－2，3k－2的平均数与方差是( )
A．5，4 B．13，36 C．13，2 D．5，36
12．下图分别为5月10日与11日两天某品牌手机售后维修中心6位技工师傅维修手机的数量，则11日与10日相比( )
　
A．平均数，方差都不变
B．平均数不变，方差变大
C．平均数不变，方差变小
D．平均数变大，方差不变
13．某校射击队从甲、乙、丙、丁四人中选拔一人参加市运会射击比赛．在选拔赛中，每人射击10次，他们10次成绩的平均数及方差如下表所示：
甲 乙 丙 丁
平均数 9.7 9.5 9.5 9.7
方差 5.1 4.7 4.5 4.5
请你根据表中数据选一人参加比赛，最合适的人选是( )
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
14．(河北石家庄藁城区模拟)下表是某中学阳光社团40名志愿者的年龄分布统计表．对于a，b取不同的值，下列关于年龄的统计量不会发生改变的是( )
年龄/岁 12 13 14 15
频数/名 11 19 a b
A.平均数、众数 B．中位数、平均数
C．众数、中位数 D．平均数、方差
15．跳远运动员小李在一次训练中，先跳了6次的成绩如下：7.6，7.8，7.7，7.8，8.0，7.9(单位：m).这6次成绩的平均数为7.8，方差为.如果小李再跳一次，成绩为7.8(单位：m)，则小李这7次跳远成绩与前6次的成绩相比较，其方差 ．(填“变大”或“变小”)
16．(河北期末)为了从甲、乙两名选手中选拔一人参加射击比赛，现对他们进行一次测验，两个人在相同条件下各射靶20次，为了比较两人的成绩，教练制作了如下统计图表(成绩均为正整数)：
甲运动员的成绩统计表
成绩/环 6 7 8 9 10
次数 1 3 8 m 3
乙运动员的成绩统计图
(1)将下表(单位：环)补充完整；
平均数 众数 中位数
甲 8
乙 8
(2)其中一名选手有一环的成绩低于平均数，却排在他成绩的中上游，这名选手是 (选填“甲”或“乙”)；
(3)经计算，甲的成绩的方差为1.11，乙的成绩的方差为1.15，综合考虑，如果要选择一人参加射击比赛，则有可能选派谁去？并说明理由．
【母题P170例1】甲、乙两名气手枪运动员进行射击训练，10次射击成绩(单位：环)如表所示．
甲 9 7 9 10 10 8 9 10 5 10
乙 9 10 7 8 10 9 9 8 7 9
哪名射击运动员的发挥更稳定？
【变式】某中学举办“网络安全知识答题竞赛”，七、八年级根据初赛成绩各选出5名选手组成代表队参加决赛，两个队各选出的5名选手的决赛成绩如下所示．
平均分 中位数 众数 方差
七年级 a 85 b s
八年级 85 c 100 160
(1)根据图示填空：a＝ ，b＝ ，c＝ ；
(2)结合两队成绩的平均数和中位数进行分析，哪个代表队的决赛成绩较好？
(3)计算七年级代表队决赛成绩的方差s，并判断哪一个代表队选手成绩较为稳定．
17．(核心素养)“感受数学魅力，提升数学素养”，某学校在其举办的数学文化节上开展趣味数学知识竞赛，从九年级(1)班和(2)班两班各随机抽取了10名学生的成绩，整理如下：(成绩得分用x表示，共分成四组：A.80≤x＜85，B.85≤x＜90，C.90≤x＜95，D.95≤x≤100).
九年级(1)班10名学生的成绩是80，82，86，89，92，96，96，98，99，100.
九年级(2)班10名学生的成绩在C组中的数据是90，93，93.
通过数据分析，得到如下统计表与统计图：
九年级(1)班、(2)班抽取的学生竞赛成绩统计表
班级 平均数 中位数 众数 方差
九年级(1)班 91.8 b c 46.96
九年级(2)班 91.8 93 100 40.4
根据以上信息，解答下列问题：
(1)直接写出上述a，b，c的值：a＝ ，b＝ ，c＝ ；
(2)学校欲选派成绩更稳定的班级参加下一阶段的活动，根据表格中的数据，学校会选派哪一个班级？说明理由．
(3)九年级两个班共100人参加了此次调查活动，估计两班参加此次调查活动成绩优秀(x≥90)的学生总人数是多少？

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