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考点专题训练（二）勾股定理
考点过关自测：勾股定理的内容及证明□　勾股数□　利用勾股定理进行计算□　勾股定理的应用□　勾股定理的逆定理及其应用□
一、选择题(本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AC＝4，则AB2－BC2等于( )
A．4 B．16 C．20 D．25
2．已知△ABC的三条边长分别为a，b，c，且满足(c＋b)(c－b)＝a2，则△ABC一定是( )
A．等边三角形 B．等腰直角三角形
C．直角三角形 D．钝角三角形
3．如图，等腰三角形ABC的腰AB的长为13，底边BC的长为10，则这个等腰三角形底边上的高AD的长为( )
A．12 B．10 C．8 D．6
4．图1是第七届国际数学教育大会(ICME)的会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形OABC.若AB＝BC＝1，∠AOB＝30°，则OC的值为( )
　
A． B． C． D．
5．(河北保定雄县期末)如图，在3×4的正方形网格(每个小正方形的边长都是1)中，标记格点A，B，C，D，则下列线段长度为的是( )
A．线段AB B．线段BC
C．线段AC D．线段BD
6．如图，平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(0，6)，(8，0)，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交y轴负半轴于点C，则点C的坐标为( )
A．(－10，0) B．(0，－10)
C．(0，－2) D．(0，－4)
7．(河北保定唐县期末)如图，“赵爽弦图”是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案．如果该大正方形面积为49，小正方形面积为4，用x，y表示直角三角形的两直角边(x＞y)，下列四个推断：①x2＋y2＝49；②x－y＝2；③2xy＋4＝49；④x＋y＝7.其中正确的推断是( )
A．①②③
B．①②④
C．②③④
D．①②③④
8．如图，在我军某次海上演习中，两艘航母护卫舰从同一港口O同时出发，1号舰沿东偏南60°方向以9节(1节＝1海里/小时)的速度航行，2号舰沿南偏西60°方向以12节的速度航行，离开港口2小时后它们分别到达A，B两点，此时两舰的距离是( )
A．9海里 B．12海里
C．15海里 D．30海里
9．如图是一个底面周长为10 cm，高AB为12 cm的圆柱模型，BC是底面直径．现要在此模型的侧面贴一圈彩色装饰带，使装饰带经过A，C两点(接头不计)，则装饰带的长度最短为( )
A．2 cm B．4 cm
C．13 cm D．26 cm
10．(河北石家庄平山县期末)有一个边长为1的大正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过1次“生长”后，形成的图形如图1所示．如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，若“生长”了2 024次后形成的图形如图2所示，则图2中所有的正方形的面积和是( )
　　
A．2 025 B．2 024 C．22 023 D．22 021－1
二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分．)
11．若直角三角形两直角边长分别为a，b，且满足＋|b－2|＝0，则该直角三角形的斜边长为 .
12．如图，网格中每个小正方形的边长都是1，点A，B，C，D都在小正方形的顶点上．
(1)线段AB的长为 ；
(2)若EF＝，则AB，CD，EF三条线段首尾顺次相接 (填“能”或“不能”)构成直角三角形．
　　　
13．(河北沧州南皮县二模)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，射线CD与边AB交于点D.E，F分别为AD，BD的中点，设点E，F到射线CD的距离分别为m，n，则线段CD的最小值为 ，m＋n的最大值为 ．
14．如图是某工厂的平面图，经测量AB＝AD＝CD＝100 m，BC＝100m，∠ADC＝90°.
(1)∠BAD＝ 度；
(2)已知EF是在AB边上药厂的进出口，为了能观察到进出口周围环境情况，工作人员计划在点E处安装一个摄像头，且摄像头能监控的最远距离为100 m，若BE＝(100－60)m，则直线AD上被摄像头监控的公路长度为 米．
三、解答题(本大题共6个小题，共64分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(8分)如图，在△ABC中，AD⊥BC，交BC于点D，AB＝17，AC＝10.
(1)若CD＝6，则AD＝ ，BD＝ ；
(2)若BC＝20，求CD的长．
16．(10分)(河北唐山一模)已知三角形的一条边长为a cm，第二条边比第一条短4 cm，第三条边比第二条边的2倍短4 cm.
(1)用含a的代数式表示这个三角形的周长；
(2)当a＝10时，判断该三角形的形状，并说明}．
17．(10分)如图是可调躺椅示意图，AE与BD的交点为C，测得AC＝80 cm，BC＝60 cm.
(1)若∠ACB＝90°，求AB的长；
(2)为躺着更加舒服，准备将躺椅高度进行调节，调整后测得∠CAB＝30°，问与(1)中AB长度相比，此时AB的长度有何变化？(参考数据：≈1.732，≈2.236)
18．(10分)如图，在东西方向的海岸线上有A，B两个港口，甲货船从A港沿东北方向出发，同时乙货船从B港口沿北偏西60°方向出发，甲货船行驶10海里后和乙货船相遇在点P处．则A港与B港相距多少海里？
19．(12分)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10 cm，BC＝6 cm，若点P从点A出发，以每秒2 cm的速度沿折线A→C→B→A运动，设运动时间为t s(t＞0).
(1)若点P在AC上，且满足PA＝PB时，求出此时t的值；
(2)若点P恰好在∠BAC的平分线上，求t的值．
　　 备用图
20．（14分）（河北期末）如图，一根直立的旗杆高8 m，因刮大风旗杆从点C处折断，顶部B着地且离旗杆底部A 4 m.
(1)求旗杆距地面多高处折断；
(2)工人在修复的过程中，发现在折断点C的下方1.25 m的点D处，有一明显裂痕，若下次大风将旗杆从点D处吹断，则距离旗杆底部周围多大范围内有被砸伤的危险？考点专题训练（二）勾股定理
考点过关自测：勾股定理的内容及证明□　勾股数□　利用勾股定理进行计算□　勾股定理的应用□　勾股定理的逆定理及其应用□
一、选择题(本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AC＝4，则AB2－BC2等于(B)
A．4 B．16 C．20 D．25
2．已知△ABC的三条边长分别为a，b，c，且满足(c＋b)(c－b)＝a2，则△ABC一定是(C)
A．等边三角形 B．等腰直角三角形
C．直角三角形 D．钝角三角形
3．如图，等腰三角形ABC的腰AB的长为13，底边BC的长为10，则这个等腰三角形底边上的高AD的长为(A)
A．12 B．10 C．8 D．6
4．图1是第七届国际数学教育大会(ICME)的会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形OABC.若AB＝BC＝1，∠AOB＝30°，则OC的值为(A)
　
A． B． C． D．
5．(河北保定雄县期末)如图，在3×4的正方形网格(每个小正方形的边长都是1)中，标记格点A，B，C，D，则下列线段长度为的是(B)
A．线段AB B．线段BC
C．线段AC D．线段BD
6．如图，平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(0，6)，(8，0)，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交y轴负半轴于点C，则点C的坐标为(D)
A．(－10，0) B．(0，－10)
C．(0，－2) D．(0，－4)
7．(河北保定唐县期末)如图，“赵爽弦图”是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案．如果该大正方形面积为49，小正方形面积为4，用x，y表示直角三角形的两直角边(x＞y)，下列四个推断：①x2＋y2＝49；②x－y＝2；③2xy＋4＝49；④x＋y＝7.其中正确的推断是(A)
A．①②③
B．①②④
C．②③④
D．①②③④
8．如图，在我军某次海上演习中，两艘航母护卫舰从同一港口O同时出发，1号舰沿东偏南60°方向以9节(1节＝1海里/小时)的速度航行，2号舰沿南偏西60°方向以12节的速度航行，离开港口2小时后它们分别到达A，B两点，此时两舰的距离是(D)
A．9海里 B．12海里
C．15海里 D．30海里
9．如图是一个底面周长为10 cm，高AB为12 cm的圆柱模型，BC是底面直径．现要在此模型的侧面贴一圈彩色装饰带，使装饰带经过A，C两点(接头不计)，则装饰带的长度最短为(D)
A．2 cm B．4 cm
C．13 cm D．26 cm
10．(河北石家庄平山县期末)有一个边长为1的大正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过1次“生长”后，形成的图形如图1所示．如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，若“生长”了2 024次后形成的图形如图2所示，则图2中所有的正方形的面积和是(A)
　　
A．2 025 B．2 024 C．22 023 D．22 021－1
如图，由题意，得正方形A的面积为1，由勾股定理，得正方形B的面积＋正方形C的面积＝1，∴“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2，同理，可得“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为3，“生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4，……∴“生长”了2 024次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2 025.
二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分．)
11．若直角三角形两直角边长分别为a，b，且满足＋|b－2|＝0，则该直角三角形的斜边长为.
12．如图，网格中每个小正方形的边长都是1，点A，B，C，D都在小正方形的顶点上．
(1)线段AB的长为2；
(2)若EF＝，则AB，CD，EF三条线段首尾顺次相接能(填“能”或“不能”)构成直角三角形．
　　　
13．(河北沧州南皮县二模)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，射线CD与边AB交于点D.E，F分别为AD，BD的中点，设点E，F到射线CD的距离分别为m，n，则线段CD的最小值为2.4，m＋n的最大值为2.5．
如图，连接CE，CF，过E作CD的垂线，垂足为M，过F作CD的垂线，垂足为N，即EM＝m，FN＝n，则S△CDF＝CD×n，S△CDE＝CD×m.∵E，F分别为AD，BD的中点，∴S△CDE＝S△CDA，S△CDF＝S△CDB，∴S△CEF＝S△CDE＋S△CDF＝(S△CDA＋S△CDB)＝S△ABC.∵S△CEF＝S△CDF＋S△CDE＝CD(m＋n)，S△ABC＝×3×4＝6，∴CD(m＋n)＝3，∴CD(m＋n)＝6.∵∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，∴AB＝＝5.设AB上的高为h，∴AB·h＝6，∴h＝2.4.当CD最小时，即CD⊥AB，此时CD＝h＝2.4时，m＋n最大，∴最大值为＝2.5.
14．如图是某工厂的平面图，经测量AB＝AD＝CD＝100 m，BC＝100m，∠ADC＝90°.
(1)∠BAD＝135度；
(2)已知EF是在AB边上药厂的进出口，为了能观察到进出口周围环境情况，工作人员计划在点E处安装一个摄像头，且摄像头能监控的最远距离为100 m，若BE＝(100－60)m，则直线AD上被摄像头监控的公路长度为160米．
(1)如图，连接AC.
∵∠ADC＝90°，AD＝CD，∴∠CAD＝45°.
在Rt△ADC中，AC2＝AD2＋CD2＝1002＋1002＝20 000.
∵AB2＝10 000，BC2＝30 000，
∴AB2＋AC2＝BC2，∴∠BAC＝90°，
∴∠BAD＝∠BAC＋∠CAD＝90°＋45°＝135°；
(2)如图，过点E作EH⊥AD于点H，点M，N在直线AD上，
且EM＝EN＝100 m，即MN为直线AD上被摄像头监控到的公路长度．
∵∠BAD＝135°，
∴∠EAH＝180°－∠BAD＝45°，
∴∠AEH＝45°，
∴EH＝AH.
在Rt△AEH中，AE＝AB－BE＝100－(100－60)＝60.
由勾股定理，得AH2＋EH2＝AE2，
即2EH2＝AE2，∴EH＝60.
在Rt△EHM中，MH2＝EM2－EH2＝1002－602＝802，
∴MH＝80.
∵EM＝EN，EH⊥MN，∴MN＝2MH＝160 m，
即直线AD上被摄像头监控到的公路长度为160米.
三、解答题(本大题共6个小题，共64分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(8分)如图，在△ABC中，AD⊥BC，交BC于点D，AB＝17，AC＝10.
(1)若CD＝6，则AD＝8，BD＝15；
(2)若BC＝20，求CD的长．
(1)∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°.
∵AB＝17，AC＝10，CD＝6，
∴AD＝＝＝8，
∴BD＝＝＝15.
(2)设CD＝x，则BD＝20－x.
∵AC2－CD2＝AD2，AB2－BD2＝AD2，
∴AC2－CD2＝AB2－BD2，
∴102－x2＝172－(20－x)2，
解得x＝，∴CD＝.
16．(10分)(河北唐山一模)已知三角形的一条边长为a cm，第二条边比第一条短4 cm，第三条边比第二条边的2倍短4 cm.
(1)用含a的代数式表示这个三角形的周长；
(2)当a＝10时，判断该三角形的形状，并说明}．
(1)∵三角形的一条边长为a cm，第二条边比第一条短4 cm，第三条边比第二条边的2倍短4 cm，
∴第二条边长为(a－4)cm，第三条边长为2(a－4)－4＝(2a－12)cm，∴三角形的周长为a＋a－4＋2a－12＝(4a－16)cm，
故三角形的周长为(4a－16)cm.
(2)当a＝10时，三角形的一条边长为10 cm，
第二条边为10－4＝6(cm)，第三条边为2×10－12＝8(cm)，
∴三角形的三条边分别为10 cm，6 cm，8 cm，
由勾股定理，得62＋82＝36＋64＝100＝102，
∴这个三角形为直角三角形，
故当a＝10时，这个三角形为直角三角形．
17．(10分)如图是可调躺椅示意图，AE与BD的交点为C，测得AC＝80 cm，BC＝60 cm.
(1)若∠ACB＝90°，求AB的长；
(2)为躺着更加舒服，准备将躺椅高度进行调节，调整后测得∠CAB＝30°，问与(1)中AB长度相比，此时AB的长度有何变化？(参考数据：≈1.732，≈2.236)
(1)∵∠ACB＝90°，AC＝80 cm，BC＝60 cm，
∴AB＝＝＝100(cm)，
答：AB的长为100 cm.
(2)AB的长度变长了，理由如下：
如图，过点C作CG⊥AB于点G，
则∠CGA＝∠CGB＝90°.
∵∠A＝30°，AC＝80 cm，
∴CG＝AC＝40(cm)，
∴AG＝＝＝40(cm)，
BG＝＝＝20(cm)，
∴AB＝AG＋BG＝(40＋20)cm.
∵≈1.732，≈2.236，
∴AB＝40＋20≈40×1.732＋20×2.236＝114(cm)＞100 cm，∴AB的长度变长了．
18．(10分)如图，在东西方向的海岸线上有A，B两个港口，甲货船从A港沿东北方向出发，同时乙货船从B港口沿北偏西60°方向出发，甲货船行驶10海里后和乙货船相遇在点P处．则A港与B港相距多少海里？
如图，过点P作PC⊥AB于点C.
由题意，可知∠PAC＝45°，AP＝10海里．
在Rt△PAC中，AC2＋PC2＝AP2，
∴PC＝AC＝5海里．
∵乙货船从B港口沿北偏西60°方向出发，
∴∠PBC＝90°－60°＝30°，∴BP＝2PC＝10海里，
∴BC＝＝＝5海里，
∴AB＝AC＋BC＝(5＋5)海里．
答：A港与B港相距(5＋5)海里．
19．(12分)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10 cm，BC＝6 cm，若点P从点A出发，以每秒2 cm的速度沿折线A→C→B→A运动，设运动时间为t s(t＞0).
(1)若点P在AC上，且满足PA＝PB时，求出此时t的值；
(2)若点P恰好在∠BAC的平分线上，求t的值．
　　 备用图
(1)如图1，连接PB.
图1
∵∠ACB＝90°，AB＝10 cm，BC＝6 cm，
∴AC＝＝8(cm).
∵CP2＋BC2＝PB2，PA＝PB＝2t cm，
∴(8－2t)2＋62＝(2t)2，∴t＝.
(2)当点P在∠BAC的平分线上时，如图2，过点P作PE⊥AB于点E，PE＝PC，易得AC＝AE，
图2
此时BP＝(14－2t)cm，PE＝PC＝(2t－8)cm，BE＝AB－AE＝10－8＝2(cm)，
在Rt△BEP中，PE2＋BE2＝BP2，
即(2t－8)2＋22＝(14－2t)2，解得t＝.
当t＝12时，点P与A重合，也符合条件，
∴当t＝或12时，点P恰好在∠BAC的平分线上.
20．（14分）（河北期末）如图，一根直立的旗杆高8 m，因刮大风旗杆从点C处折断，顶部B着地且离旗杆底部A 4 m.
(1)求旗杆距地面多高处折断；
(2)工人在修复的过程中，发现在折断点C的下方1.25 m的点D处，有一明显裂痕，若下次大风将旗杆从点D处吹断，则距离旗杆底部周围多大范围内有被砸伤的危险？
(1)由题意，可知AC＋BC＝8 m.
∵∠A＝90°，∴AB2＋AC2＝BC2.
又∵AB＝4 m，∴42＋AC2＝(8－AC)2，
∴AC＝3 m，BC＝5 m，
故旗杆距地面3 m处折断．
如图，
∵点D距地面AD＝3－1.25＝1.75(m)，
∴B′D＝8－1.75＝6.25(m)，
∴AB′＝＝6(m)，
∴距离旗杆底部周围6 m范围内有被砸伤的危险.

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