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考点专题训练（三）四边形
考点过关自测：四边形内角和□　多边形的内角与外角□　平行四边形的性质□　平行四边形的判定□　矩形的定义与性质□　矩形的判定□　菱形的定义与性质□　菱形的判定□　正方形的定义与性质□　正方形的判定□　三角形的中位线定理□
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．若一个正多边形的每个外角均为30°，则这个正多边形的内角和等于(C)
A．2 160° B．1 980°
C．1 800° D．360°
2．（河北石家庄裕华区期中）如图，在 ABCD中，BE平分∠ABC交AD于点E，若∠C＝56°，则∠BED度数为(B)
A．112° B．118° C．119° D．120°
3．如图，菱形ABCD中，E，F分别是AB，AC的中点，若EF＝2，则菱形ABCD的周长为(B)
A．24 B．16
C．8 D．6
4．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，根据图中所标数据，再添加一个条件，使四边形ABCD为矩形，添加的条件可以是(B)
A．OB＝5 B．OD＝5
C．AB＝5 D．BC＝8
5．如图，直线l1，l2，l3分别过正方形ABCD的三个顶点A，B，C且相互平行，若l1，l2的距离为8，l2，l3的距离为6，则正方形的对角线长为(B)
A．10 B．10
C．14 D．12
如图，过点C作CM⊥l2于点M，过点A作AN⊥l2于点N，
则∠BMC＝∠ANB＝90°，AN＝8，CM＝6.
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠ABN＋∠CBM＝∠ABN＋∠BAN＝90°，
∴∠BAN＝∠CBM.
在△ABN和△BCM中，
∴△ABN≌△BCM(AAS)，∴BN＝CM＝6.
∵AB2＝AN2＋BN2，∴AB＝＝10，∴正方形ABCD对角线AC的长＝＝＝10.
6．（河北沧州献县模拟）将矩形ABCD和菱形AFDE按如图放置，若图中矩形面积是菱形面积的2倍，则下列结论正确的是(D)
A．∠EAF＝60° B．AB＝AF
C．AD＝2AB D．AB＝EF
7．小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理如图，(1)(2)(3)(4)处需要添加条件，则下列条件添加错误的是(D)
A．(1)处可填∠A＝90° B．(2)处可填AD＝AB
C．(3)处可填DC＝CB D．(4)处可填∠B＝∠D
8．（河北唐山玉田县二模）在平行四边形ABCD中，EF经过两条对角线的交点O，分别交AB，CD于点E，F，在对角线AC上通过作图得到点M，N，如图1，图2，下面关于以点F，M，E，N为顶点的四边形的形状说法正确的是(C)
以点O为圆心，以OE为半径作弧，交AC于点M，N.　过点E作EM⊥AC于点M.过点F作FN⊥AC于点N.
A.都为矩形
B．都为菱形
C．图1为矩形，图2为平行四边形
D．图1为矩形，图2为菱形
9．（河北沧州东光县二模）如图，已知菱形ABCD的边长为6，点M是对角线AC上的一动点，且∠ABC＝120°，则MA＋MB＋MD的最小值是(D)
A．3 B．3＋3
C．6＋ D．6
10．（河北秦皇岛北戴河区一模）如图，在矩形ABCD中，O为对角线BD的中点，∠ABD＝70°，动点E在线段OB上，动点F在线段OD上，点E，F同时从点O出发，以相同的速度分别向终点B，D（包括端点）运动．点E关于AD，AB的对称点为E1，E2；点F关于BC，CD的对称点为F1，F2，在整个过程中，四边形E1E2F1F2形状的变化依次是(D)
A．平行四边形→矩形→平行四边形→菱形
B．平行四边形→菱形→平行四边形→菱形
C．菱形→矩形→平行四边形→菱形→平行四边形
D．菱形→平行四边形→矩形→平行四边形
二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分.）
11．如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC＋BD＝22，AB＝9.则△OCD的周长为20．
12．如图，在多边形ABCGFED中，∠E＝∠F＝∠G＝108°，∠C＝∠D＝72°，则∠A＋∠B的度数为72°.
13．将正方形ABCD按如图方式放置在平面直角坐标系中，点D的坐标为(0，－1)，点C的坐标为(3，0).
(1)AB＝；
(2)点B的坐标是(2，3)．
(1)∵点D的坐标为(0，－1)，点C的坐标为(3，0)，∴OD＝1，OC＝3，∴CD＝＝.
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝CD＝；
(2)过点B作BE⊥x轴于点E，如图所示．
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BCD＝90°，CD＝BC.
∵∠COD＝∠BEC＝∠BCD＝90°，
∴∠BCE＋∠DCO＝∠BCE＋∠CBE＝90°，
∴∠DCO＝∠CBE，
∴△CDO≌△BCE(AAS)，
∴BE＝CO＝3，CE＝DO＝1，
∴OE＝OC－CE＝3－1＝2，
∴点B的坐标为(2，3).
14．（河北期末）如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，E，F，G分别是AB，DC，AC的中点．
(1)若BC＝6 cm，则FG＝3 cm；
(2)若∠ACB＝64°，∠DAC＝22°，则∠EFG的度数为21°．
三、解答题（本大题共6个小题，共64分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，四边形ABDE是平行四边形．求证：四边形ADCE是矩形．
∵四边形ABDE是平行四边形，
∴AE∥BC，AE＝BD.
∵D为BC的中点，AB＝AC，∴CD＝BD，
∴CD∥AE，CD＝AE，∴四边形ADCE是平行四边形．
∵AB＝AC，D为BC的中点，∴AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，∴平行四边形ADCE是矩形．
16．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，分别过点A，C作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F.AC平分∠DAE.
(1)若∠AOE＝52°，求∠ACB的度数；
(2)求证：AE＝CF.
(1)∵AE⊥BD，∴∠AEO＝90°.
∵∠AOE＝52°，∴∠EAO＝38°.
∵AC平分∠DAE，∴∠DAC＝∠EAO＝38°.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠ACB＝∠DAC＝38°.
(2)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC.
∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEO＝∠CFO＝90°.
∵∠AOE＝∠COF，∴△AEO≌△CFO(AAS)，∴AE＝CF.
17．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，O是边AD的中点，连接CO并延长，交BA的延长线于点E，连接AC，DE.
求证：(1)四边形ACDE是平行四边形；
(2)若AB＝3，AC＝4，BC＝5，求证四边形ACDE是矩形．
(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，∴∠BEC＝∠DCE.
∵点O是边AD的中点，∴AO＝DO，
在△AEO和△DCO中，
∴△AEO≌△DCO(AAS)，∴AE＝CD.
∵AE∥DC，∴四边形ACDE是平行四边形．
(2)∵AB＝3，AC＝4，BC＝5，∴AB2＋AC2＝BC2，
∴∠BAC＝90°，∴∠CAE＝90°.
∵四边形ACDE是平行四边形，∴四边形ACDE是矩形．
18．（10分）（河北秦皇岛抚宁区期末）探究：如图，分别以△ABC的两边AB和AC为边向外作正方形ANMB和正方形ACDE，NC，BE交于点P.求证：∠ANC＝∠ABE.
应用：Q是线段BC的中点，若BC＝6，则PQ的长度是多少？
探究：∵四边形ANMB和ACDE是正方形，
∴AN＝AB，AC＝AE，∠NAB＝∠CAE＝90°.
∵∠NAC＝∠NAB＋∠BAC，∠BAE＝∠BAC＋∠CAE，
∴∠NAC＝∠BAE.
在△ANC和△ABE中，
∴△ANC≌△ABE(SAS)，
∴∠ANC＝∠ABE.
应用：如图所示，设AB与NC交于点O.
∵四边形ANMB是正方形，∴∠NAB＝90°，
∴∠ANC＋∠AON＝90°.
∵∠BOP＝∠AON，∠ANC＝∠ABE，
∴∠ABP＋∠BOP＝90°，∴∠BPC＝∠ABP＋∠BOP＝90°.
∵Q为BC中点，BC＝6，∴PQ＝BC＝3.
19．（12分）（河北廊坊安次区期末）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝6 cm，BC＝10 cm，∠B＝60°，点G是CD的中点，点E是边AD上的动点，EG的延长线与BC的延长线交于点F，连接CE，DF.
(1)求证：四边形CEDF是平行四边形；
(2)①直接写出：当AE＝4 cm时，四边形CEDF是菱形（不需要说明理由）；
②当AE＝7 cm时，四边形CEDF是矩形，请说明理由．
(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC∥AD，∴∠FCG＝∠EDG.
∵G是CD的中点，∴CG＝DG，
在△CFG和△DEG中，
∴△CFG≌△DEG(ASA)，∴FG＝EG.
又∵CG＝DG，∴四边形CEDF是平行四边形．
(2)①当AE＝4 cm时，四边形CEDF是菱形，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC＝10 cm，CD＝AB＝6 cm，∠CDE＝∠B＝60°.
∵AE＝4 cm，∴DE＝AD－AE＝6 cm，
∴DE＝CD，∴△CDE是等边三角形，∴CE＝DE.
∵四边形CEDF是平行四边形，∴平行四边形CEDF是菱形．
②当AE＝7时，四边形CEDF是矩形，理由如下：
如图，过点A作AM⊥BC于点M.
∵∠B＝60°，AB＝6 cm，
∴BM＝AB＝3 cm.
∵AE＝7 cm，∴DE＝AD－AE＝3 cm＝BM.
在△MBA和△EDC中，
∴△MBA≌△EDC(SAS)，
∴∠CED＝∠AMB＝90°.
∵四边形CEDF是平行四边形，
∴平行四边形CEDF是矩形．
20．（14分）问题解决：如图1，在矩形ABCD中，点E，F分别在AB，BC边上，DE＝AF，DE⊥AF于点G.
(1)求证：四边形ABCD是正方形；
(2)延长CB到点H，使得BH＝AE，判断△AHF的形状，并说明理由．
类比迁移：如图2，在菱形ABCD中，点E，F分别在AB，BC边上，DE与AF相交于点G，DE＝AF，∠AED＝60°，AE＝7，BF＝2，求DE的长．
　
(1)∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB＝∠ABF＝90°.
∵DE⊥AF，
∴∠DAB＝∠AGD＝90°，
∴∠BAF＋∠DAF＝90°，∠ADE＋∠DAF＝90°，
∴∠ADE＝∠BAF.
在△ADE和△BAF中，
∴△ADE≌△BAF(AAS)，∴AD＝AB.
∵四边形ABCD是矩形，∴四边形ABCD是正方形.
(2)结论：△AHF是等腰三角形，
理由：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABF＝90°，
由(1)得△ADE≌△BAF，∴AE＝BF，
∵BH＝AE，∴BH＝BF，
∵∠ABH＝∠ABF＝90°，
∴AH＝AF，
∴△AHF是等腰三角形．
类比迁移：如图，延长CB到点H，使BH＝AE＝7，连接AH.
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，AB＝AD，
∴∠ABH＝∠BAD.
∵BH＝AE，∴△DAE≌△ABH(SAS)，
∴AH＝DE，∠AHB＝∠DEA＝60°.
∵DE＝AF，∴AH＝AF，
∴△AHF是等边三角形，
∴AH＝HF＝HB＋BF＝AE＋BF＝7＋2＝9，
∴DE＝AH＝9.考点专题训练（三）四边形
考点过关自测：四边形内角和□　多边形的内角与外角□　平行四边形的性质□　平行四边形的判定□　矩形的定义与性质□　矩形的判定□　菱形的定义与性质□　菱形的判定□　正方形的定义与性质□　正方形的判定□　三角形的中位线定理□
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．若一个正多边形的每个外角均为30°，则这个正多边形的内角和等于( )
A．2 160° B．1 980°
C．1 800° D．360°
2．（河北石家庄裕华区期中）如图，在 ABCD中，BE平分∠ABC交AD于点E，若∠C＝56°，则∠BED度数为( )
A．112° B．118° C．119° D．120°
3．如图，菱形ABCD中，E，F分别是AB，AC的中点，若EF＝2，则菱形ABCD的周长为( )
A．24 B．16
C．8 D．6
4．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，根据图中所标数据，再添加一个条件，使四边形ABCD为矩形，添加的条件可以是( )
A．OB＝5 B．OD＝5
C．AB＝5 D．BC＝8
5．如图，直线l1，l2，l3分别过正方形ABCD的三个顶点A，B，C且相互平行，若l1，l2的距离为8，l2，l3的距离为6，则正方形的对角线长为( )
A．10 B．10
C．14 D．12
6．（河北沧州献县模拟）将矩形ABCD和菱形AFDE按如图放置，若图中矩形面积是菱形面积的2倍，则下列结论正确的是( )
A．∠EAF＝60° B．AB＝AF
C．AD＝2AB D．AB＝EF
7．小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理如图，(1)(2)(3)(4)处需要添加条件，则下列条件添加错误的是( )
A．(1)处可填∠A＝90° B．(2)处可填AD＝AB
C．(3)处可填DC＝CB D．(4)处可填∠B＝∠D
8．（河北唐山玉田县二模）在平行四边形ABCD中，EF经过两条对角线的交点O，分别交AB，CD于点E，F，在对角线AC上通过作图得到点M，N，如图1，图2，下面关于以点F，M，E，N为顶点的四边形的形状说法正确的是( )
以点O为圆心，以OE为半径作弧，交AC于点M，N.　过点E作EM⊥AC于点M.过点F作FN⊥AC于点N.
A.都为矩形
B．都为菱形
C．图1为矩形，图2为平行四边形
D．图1为矩形，图2为菱形
9．（河北沧州东光县二模）如图，已知菱形ABCD的边长为6，点M是对角线AC上的一动点，且∠ABC＝120°，则MA＋MB＋MD的最小值是( )
A．3 B．3＋3
C．6＋ D．6
10．（河北秦皇岛北戴河区一模）如图，在矩形ABCD中，O为对角线BD的中点，∠ABD＝70°，动点E在线段OB上，动点F在线段OD上，点E，F同时从点O出发，以相同的速度分别向终点B，D（包括端点）运动．点E关于AD，AB的对称点为E1，E2；点F关于BC，CD的对称点为F1，F2，在整个过程中，四边形E1E2F1F2形状的变化依次是( )
A．平行四边形→矩形→平行四边形→菱形
B．平行四边形→菱形→平行四边形→菱形
C．菱形→矩形→平行四边形→菱形→平行四边形
D．菱形→平行四边形→矩形→平行四边形
二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分.）
11．如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC＋BD＝22，AB＝9.则△OCD的周长为 ．
12．如图，在多边形ABCGFED中，∠E＝∠F＝∠G＝108°，∠C＝∠D＝72°，则∠A＋∠B的度数为 .
13．将正方形ABCD按如图方式放置在平面直角坐标系中，点D的坐标为(0，－1)，点C的坐标为(3，0).
(1)AB＝ ；
(2)点B的坐标是 ．
14．（河北期末）如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，E，F，G分别是AB，DC，AC的中点．
(1)若BC＝6 cm，则FG＝ cm；
(2)若∠ACB＝64°，∠DAC＝22°，则∠EFG的度数为 ．
三、解答题（本大题共6个小题，共64分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，四边形ABDE是平行四边形．求证：四边形ADCE是矩形．
16．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，分别过点A，C作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F.AC平分∠DAE.
(1)若∠AOE＝52°，求∠ACB的度数；
(2)求证：AE＝CF.
17．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，O是边AD的中点，连接CO并延长，交BA的延长线于点E，连接AC，DE.
求证：(1)四边形ACDE是平行四边形；
(2)若AB＝3，AC＝4，BC＝5，求证四边形ACDE是矩形．
18．（10分）（河北秦皇岛抚宁区期末）探究：如图，分别以△ABC的两边AB和AC为边向外作正方形ANMB和正方形ACDE，NC，BE交于点P.求证：∠ANC＝∠ABE.
应用：Q是线段BC的中点，若BC＝6，则PQ的长度是多少？
19．（12分）（河北廊坊安次区期末）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝6 cm，BC＝10 cm，∠B＝60°，点G是CD的中点，点E是边AD上的动点，EG的延长线与BC的延长线交于点F，连接CE，DF.
(1)求证：四边形CEDF是平行四边形；
(2)①直接写出：当AE＝ cm时，四边形CEDF是菱形（不需要说明理由）；
②当AE＝ cm时，四边形CEDF是矩形，请说明理由．
20．（14分）问题解决：如图1，在矩形ABCD中，点E，F分别在AB，BC边上，DE＝AF，DE⊥AF于点G.
(1)求证：四边形ABCD是正方形；
(2)延长CB到点H，使得BH＝AE，判断△AHF的形状，并说明理由．
类比迁移：如图2，在菱形ABCD中，点E，F分别在AB，BC边上，DE与AF相交于点G，DE＝AF，∠AED＝60°，AE＝7，BF＝2，求DE的长．
　

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