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河南省鲁山县第二十九初级中学等校（第十教研区）2026届九年级下学期第一次调研考试数学试卷
一、单选题
1．中国是最早采用正负数表示相反意义的量，并进行负数运算的国家．若零上10℃记作+10℃，则零下10℃可记作（ ）
A．10℃ B．0℃ C．-10 ℃ D．-20℃
2．如图是河南博物院鲁山段店窑陶瓷精品展展出的一个古瓷釉彩品种——白釉罐，关于它的俯视图，下列图示表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，直线AB与CD相交于点O，，，则的度数是（ ）
A．25° B．30° C．40° D．50°
4．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．宇宙线是来自宇宙空间的高能粒子，携带着宇宙起源、天体演化等方面的重要科学信息．据新华网消息，日前，由中国科学院高能物理研究所牵头的“拉索”国际合作组宣布，首次找到能量高于1亿亿电子伏特的宇宙线的起源天体．数据“1亿亿电子伏特”用科学记数法表示为（　　）
A．电子伏特 B．电子伏特
C．电子伏特 D．电子伏特
6．抛掷一个质地均匀的正方体木块（6个面上分别标有1，2，3中的一个数字），若向上一面出现数字1的概率为，出现数字2的概率为，则该木块不可能是（ ）．
A． B． C． D．
7．如图，，是的弦，，是的半径，点为上任意一点（点不与点重合），连接．若，则的度数可能是（ ）

A． B． C． D．
8．定义运算：．例如：，则方程的根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．无实数根 C．有两个相等的实数根 D．只有一个实数根
9．如图，在中，顶点在轴的负半轴上，，将绕点逆时针旋转，每秒旋转，则第3秒旋转结束时，点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
10．在显示汽车油箱内油量的装置模拟示意图中，电压一定时，油箱中浮子随油面下降而落下，带动滑杆使滑动变阻器滑片向上移动，从而改变电路中的电流，电流表的示数对应油量体积，把电流表刻度改为相应油量体积数，由此知道油箱里剩余油量．在不考虑其他因素的条件下，油箱中油的体积与电路中总电阻是反比例关系，电流与也是反比例关系，则与的函数关系是（　　）
A．反比例函数 B．正比例函数 C．二次函数 D．以上答案都不对
二、填空题
11．实数m在数轴上对应点的位置如图所示，则______0．（填“>”“=”或“<”）
12．化简：的结果为________．
13．清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”．法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献．由此法则写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；……根据上述规律，写出第⑤组勾股数为______．
14．如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点均在小正方形的顶点上，点均在所画的弧上，若，则的长为________．

15．如图，在矩形中，，，点E是边的中点，点F是对角线上一动点，作点C关于直线的对称点P，若，则的长为_______．
三、解答题
16．（1）计算： ．
（2）化简： ．
17．某工厂生产A，B，C，D四种产品．为提升产品的竞争力，该工厂计划对部分种类的产品优化生产流程，降低成本；对其他种类的产品增加研发投入，提升品质．经研究，该工厂做出了甲、乙两种调整方案，这两种方案将对四种产品的成本产生不同的影响．下面是该工厂这四种产品的部分信息：
a．调整前，各产品年产量的不完整的条形统计图（图1）和扇形统计图（图2）．
b．各产品单件成本的核算情况统计表及说明．
类别/数据/产品
调整前单件成本/（元/件） 18 26 20 36
调整后单件成本/（元/件） 方案甲 13 22 40
方案乙 16 18 32
说明：对于统计表中的数据，方案甲的平均数与调整前的相同，方案乙的中位数与调整前的相同．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)求调整前产品的年产量；
(2)直接写出m，n的值；
(3)若调整后这四种产品的年产量均与调整前的相同，请通过计算说明甲、乙两种方案哪种总成本较低．
18．如图，线段轴于点，，反比例函数交于点．的垂直平分线交反比例函数图象于点．

(1)在图中用直尺和圆规作出点．（保留作图痕迹，不写画法）
(2)连接．若．
①当点的坐标为时，求反比例函数的解析式．
②连接，当时，求的长．
19．（1）如图，是的直径，与交于点F，弦平分，点E在上，连接、，________．求证：________．

从①与相切；②中选择一个作为已知条件，余下的一个作为结论，将题目补充完整（填写序号），并完成证明过程．
（2）在（1）的前提下，若，，求阴影部分的面积．
20．如图，制作甲、乙两种无盖的长方体纸盒，需用正方形和长方形两种硬纸片，且长方形的宽与正方形的边长相等．
(1)现用200张正方形硬纸片和400张长方形硬纸片，恰好能制作甲、乙两种纸盒各多少个
(2)如果需要制作100个长方体纸盒，要求乙种纸盒数量不低于甲种纸盒数量的一半，那么至少需要多少张正方形硬纸片
21．天文学家运用三角函数解决了曾困扰古人数百年的难题．某天文研究小组探究用三角函数知识计算月球与地球之间距离的方法，通过查阅资料、实际观测、获得数据和计算数据，得出月球与地球之间的近似距离．具体研究方法与过程如下表：
问题 月球与地球之间的距离约为多少？
工具 天文望远镜、天文经纬仪等
月球、地球的实物图与平面示意图
说明 为了便于观测月球，在地球上先确定两个观测点A，B，以线段作为基准线，再借助天文经纬仪从A，B两点同时观测月球P（将月球抽象为一个点），并测得和的度数．根据实际问题画出平面示意图（如上图），过点P作于点H，连接，．
数据 万千米，，．
根据以上信息，求月球与地球之间的近似距离．（结果精确到1万千米）
（参考数据：，，，，，）
22．掷实心球是某市中考体育考试的选考项目，小强为了解自己实心球的训练情况，他尝试利用数学模型来研究实心球的运动情况，建立了如图所示的平面直角坐标系，在一次投掷中，实心球从轴上的点处出手，运动路径可看作抛物线的一部分，实心球在最高点的坐标为，落在轴上的点处．
(1)求抛物线的解析式；
(2)某市男子实心球的得分标准如表：
得分 100 95 90 85 80 76 70 66 60 50 40 30 20 10
掷远（米） 12.4 11.2 9.6 9.1 8.4 7.8 7.0 6.5 5.3 5.0 4.6 4.2
请你求出小强在这次训练中的成绩，并根据得分标准给小强打分；
(3)小强在练习实心球时，他的正前方距离投掷点9米处放置有一个1.2米高的警示牌，问实心球是否会砸到警示牌，请说明理由．
23．【图形感知】
如图1，在四边形中，已知，，．
（1）求的长；
【探究发现】
老师指导同学们对图1所示的纸片进行了折叠探究．
在线段上取一点，连接．将四边形沿翻折得到四边形，其中，分别是A，D的对应点．
（2）其中甲、乙两位同学的折叠情况如下：
①甲：点恰好落在边上，延长交于点，如图2．判断四边形的形状，并说明理由；
②乙：点恰好落在边上，如图3．求的长；
（3）如图4，连接交于点P，连接．当点E在线段上运动时，线段是否存在最小值？若存在，直接写出；若不存在，说明理由．
参考答案
1．C
解析：解：若零上记作，则零下可记作：．
故选：C．
2．C
解析：解：从上面看，是两个同心圆．
故选：C
3．D
解析：解：由题可知，
，
．
故选：D．
4．A
解析：解：A．，故选项正确，符合题意；
B．，故选项错误，不符合题意；
C．，故选项错误，不符合题意；
D．，故选项错误，不符合题意．
故选：A．
5．B
解析：1亿亿，
故选：B．
6．A
解析：解：正方体共6个面，向上一面出现数字1的概率为，出现数字2的概率为，
∴数字1有(个)，数字2有(个)，则数字3只有(个)，
选项A中数字3有2个，符合题意．
7．D
解析：解：∵，，
∴，
∵，
∴的度数可能是
故选：D．
8．A
解析：∵
∴
即
∴
∴方程有两个不相等的实数根
故选：A
9．B
解析：解：∵，，
，
∴，
，
依题意将绕点逆时针旋转，每秒旋转，则第秒旋转结束时，相当于绕点顺时针旋转，如图所示，过点作轴，于点，则，
∵旋转，则，，
又，
∴
∴
∴
∴，故B正确．
故选：B．
10．B
解析：由油箱中油的体积与电路中总电阻是反比例关系，设为常数，
由电流与是反比例关系，设为常数，
，
（为常数，
与的函数关系是正比例函数，
故选：B．
11．<
解析：解：观察数轴，得，且，
∴
即，
故答案为：<．
12．2
解析：解：；
故答案为：2．
13．
解析：解：由题意，第⑤组勾股数的第1个数为11，设第2个数为，则第3个数为，
由勾股定理，得：，
解得：，
∴；
∴第⑤组勾股数为；
故答案为：．
14．2π
解析：解：如图，取的中点，连接，，，
，
小正方形的边长为1，
，，
由勾股定理可得：，
，
是等腰直角三角形，
，，
是的直径，半径，
，
，，
，
，
的长为，
故答案为：．
15．或
解析：解：如图所示，连接，交直线于点G，延长交于点H，
当点P在上方时，
∵在矩形中，，，
∴，
∴，
∴，
∵点E是边的中点，
∴，
∵点C关于直线的对称点P，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴；
∵，，
∴，
∴是等腰三角形，
∴，
在中，，，
∴，
∴；
如图，当点P在下方时，
∵，
∴，
∵，
∴，，
由对称的性质得，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，，
∴，
∴；
综上，的长为或．
故答案为：或．
16．（1）4；（2）
解析：解：（1）原式．
（2）原式
．
17．(1)调整前产品的年产量为万件；
(2)，；
(3)甲种方案总成本较低．
解析：（1）解：（万件），
产品的年产量为（万件），
∴调整前产品的年产量为（万件）．
∴调整前产品的年产量为万件．
（2）解：∵方案甲的平均数与调整前的相同，
∴，
解得：，
∵方案乙的中位数与调整前的相同，调整前中位数为，
调整后为，
∴．
（3）解：方案甲的总成本为：（万元）
方案乙的总成本为：（万元）
，
∴甲种方案总成本较低．
18．(1)见解析
(2)①；②
解析：（1）如图所示，点即为所求．

（2）①如图，设线段的垂直平分线交于点．

∵，
∴．
∵，
∴．
∵点的坐标为，
∴．
如图，过点作轴，于点，连接．则四边形是矩形．
∴，
∴，
∴，
∴．
∴反比例函数的解析式为．
②∵，
∴．
设点，则点．
∵点在的图象上，
∴，
∴，
∴．
∴．
∴．
19．（1）②①，证明见解析（或①②，证明见解析）（2）
解析：解：（1）一：已知条件为②，结论为①与相切，证明如下：
如图，连接，
，
，
弦平分，
，
，
，
，
，
又是的半径，
与相切；
二：已知条件为①与相切，结论为②，证明如下：
如图，连接，
，
，
弦平分，
，
，
，
与相切，
，
；
（2）如图，连接，
，，
，，
，
又，
，
是等边三角形，
，
，
由圆周角定理得：，
则阴影部分的面积为
．
20．(1)恰好能制作甲种纸盒40个，乙种纸盒80个
(2)至少需要134张正方形硬纸片
解析：（1）解：制作甲、乙两种无盖的长方体纸盒，甲种需要1个正方形，4个长方形，乙种需要2个正方形，3个长方形，
设恰好能制作甲种纸盒x个，乙种纸盒y个．
根据题意，得，
得，
答：恰好能制作甲种纸盒40个，乙种纸盒80个．
（2）解：设制作乙种纸盒m个，需要w张正方形硬纸片．
则．
由，知w随m的增大而增大，
∴当m最小时，w有最小值．
根据题意，得，
解得，
其中最小整数解为34．
即当时，．
答：至少需要134张正方形硬纸片．
21．月球与地球之间的近似距离万千米．
解析：解：设万千米．
在中，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∵万千米，
∴，
整理得，
解得，
∴月球与地球之间的近似距离为38万千米．
22．(1)
(2)小强在这次训练中的成绩是10米，根据得分标准，小强的得分是90分
(3)实心球会砸到警示牌，理由见解析
解析：（1）解：设抛物线的解析式为，
把代入中得，解得．
∴抛物线的解析式为．
（2）解：令，则，
∴，
∴，
解得，（舍去）．
∴小强在这次训练中的成绩是10米，
∵，
∴根据得分标准，小强的得分是90分．
（3）解：实心球会砸到警示牌，理由如下：
当时，米．
∵，
∴实心球会砸到警示牌．
23．（1）；（2）①四边形是矩形，理由见解析；②；（3）线段的最小值为．
解析：解：（1）∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴；
（2）①四边形是矩形，理由如下，
由折叠的性质得，，
∵，
∴，
∴四边形是矩形；
②延长和相交于点，连接，
由折叠的性质得，，，
∵点恰好落在边上，
∴，，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形，
∵，
∴点在对角线上，
∴，，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）由折叠的性质得，，
∴是线段的垂直平分线，
∴，
∴点在以为直径的上，连接，，
∴，即点在上时，线段存在最小值，
∵，
∴线段的最小值为．

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