资源简介

2025-2026 学年第二学期期中学情调研九年级
数学试题
注意事项：
1.本试卷共 6 页，3 大题 23 小题；时间 100 分钟，满分 120 分；闭卷考试.
2.本试卷设有答题卡，请将答案写涂在答题卡上，写在本试卷上无效.
一、选择题：（本题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分.）
1.四个有理数 ，0， ，4，其中最小的有理数是（ ）
A. B.0 C. D.4
2.笔、墨、纸、砚是中国传统的文房四宝，是中国书法的必备用具，如图是寓意“规矩方圆”的一方砚台，
它的俯视图是（ ）
A. B. C. D.
3.“白日不到处，青春恰自来.苔花如米小，也学牡丹开.”这是清朝袁枚的一首诗《苔》.若苔花的花粉直径
约为 0.0000084m，用科学记数法表示 ，则 n 为（ ）
A. B. C.5 D.6
4.如图，已知 ， ，点 B，O，D 在同一条直线上，则 的度数为（ ）
A.102° B.118° C.122° D.62°
5.下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
6.已知关于 x 的一元二次方程 有两个实数根，则 m 的取值范围是（ ）
A. 且 B. C. 且 D. 且
7.如图，半径为 3 的 经过原点 O 和点 ，B 是 y 轴左侧 优弧上一点，则 的值为（ ）
A. B. C. D.
8.如图，线段 ，连接 ， 交于点 C，若 ， ， ，则线段 的长为（ ）
A.1 B. C.2 D.6
9.某校为了培养学生的兴趣爱好，为学生提供了篮球、羽毛球、乒乓球、游泳、足球五种选修课程，小亮和
小新准备在篮球和足球两种课程里各随机选择一门进行选修，则两人恰好选择同一门选修课程的概率是
（ ）
A.1 B. C. D.
10.综合实践小组的同学利用自制密度计测量液体的密度.密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度
h（ ）是液体的密度 （ ）的反比例函数，其图象如图所示（ ）.下列说法正确的是（ ）
A.当液体密度 时，浸在液体中的高度
B.当液体密度 时，浸在液体中的高度
C.当浸在液体中的高度 时，该液体的密度
D.当液体的密度 时，浸在液体中的高度
二、填空题：（本题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分.）
11.二次根式 有意义，则 x 的取值范围是__________.
12.不等式组 的整数解有__________个.
13.如图，在 中，对角线 、 交于点 O， ，点 E、F 分别为 、 的中点，连
接 、 ，若 ，则 __________.
14.如图，在 中， ，点 O 在 上， 与 ， 相切，切点分别为点 D，E.若
，则阴影部分的面积为_________.
15.如图，在矩形 中， ， .点 Q 为射线 上的一个动点，将 沿 翻折，
点 D 的对应点 恰好落在直线 上，则 的长为_________.
三、解答题：（本题共 8 小题，共 75 分.）
16.（10 分）
（1）计算： ；
（2）化简： .
17.（9 分）计算能力是数学的基本能力，为了进一步了解学生的计算情况，初 2020 级数学老师们对某次考
试中第 19 题计算题的得分情况进行了调查，现分别从 A、B 两班随机各抽取 10 名学生的成绩如下：
A 班 10 名学生的成绩绘成了条形统计图，如下图，
B 班 10 名学生的成绩（单位：分）分别为:9，8，9，10，9，7，9，8，10，8
经过老师对所抽取学生成绩的整理与分析，得到了如下表数据：
A 班 B 班
平均数 8.3 a
中位数 b 9
众数 8 或 10 c
极差 4 3
方差 1.81 0.81
根据以上信息，解答下列问题.
（1）补全条形统计图；
（2）直接写出表中 a，b，c 的值： __________， __________， __________；
（3）根据以上数据，你认为 A、B 两个班哪个班计算题掌握得更好？请说明理由（写出其中两条即可）：
__________.
（4）若 9 分及 9 分以上为优秀，若 A 班共 55 人，则 A 班计算题优秀的大约有多少人？
18.（9 分）如图，已知一次函数 的图象与 y 轴相交于点 A，与反比例函数 的图象相交于
点 .
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）P 为 x 轴上一动点，当 的值最小时.
①画出点 P 的位置，并直接写出点 P 的坐标；
②求出此时 的面积.
19.（9 分）如图， 是矩形 的对角线.
（1）请用无刻度的直尺和圆规作点 B 关于 的对称点 E.（保留作图痕迹，不写作法）
（2）连接 ，交 于点 F.求证： .
20.（9 分）数学活动课上，某课题学习小组把“测量运江河床的宽度”作为一项课题活动，并设计了以下
测量方案：
课题 测量运江河床的宽度
测量工具 无人机、测角仪
方案 水平飞行的无人机在 A 处测得河流左岸 C 处的俯角为 ，无人机沿水平线
方向继续飞行 12 米至 B 处，测得河流右岸 D 处的俯角为 30°
无人机距地面的铅直高度 米
测量示意图
说明 点 M、C、D 在同一条直线上，
参考数据\
请你根据上表中的测量数据，求运江河床的宽度 .（精确到 1 米）
21.（9 分）人工智能被称为世界三大尖端技术之一，近年来得到了迅猛发展.某校积极响应国家“科教兴国”
战略，开设智能机器人编程的校本课程，学校购买了 A，B 两种型号的机器人模型，A 型机器人模型单价比
B 型机器人模型单价多 200 元，用 2000 元购买 A 型机器人模型和用 1200 元购买 B 型机器人模型的数量相
同.
（1）求 A 型，B 型机器人模型的单价分别是多少元？
（2）学校准备再次购买 A 型和 B 型机器人模型共 40 台，购买 B 型机器人模型不超过 A 型机器人模型的 3
倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠.问购买 A 型和 B 型机器人模型各多少台时花费最少，
最少花费是多少元？
22.（10 分）图 1 是某种发石车，这是古代一种远程攻击的武器，发射出去的石块的运动轨迹是抛物线的一
部分，且距离发射点 6 米时达到最大高度 12 米.将发石车置于山坡底部 0 处，山坡上有一点 A，点 A 与点 O
的水平距离为 9 米，与地面的竖直距离为 6 米， 是高度为 5 米的防御墙.若以点 O 为原点，建立如图 2
所示的平面直角坐标系.
（1）求石块运动轨迹所在抛物线的解析式.
（2）试通过计算说明石块能否飞越防御墙 .
（3）在竖直方向上，试求石块飞行时与坡面 的最大距离.
23.（10 分）背景：在数学综合实践活动中，小明利用等积法得到了关于三角形角平分线的一个结论，如图
1，已知 是 的角平分线，可证 .小红经过思考，认为可以构造相似三角形来证明.小红
的证明思路是：如图 2，过点 B 作 ，交 的延长线于点 E，从而证得 .
（1）证明：请参照小红提供的思路，利用图 2 证明 .
（2）运用：如图 3， 是 的角平分线，M 是 边的中点，过 M 点作 ，交 的延
长线于点 N，交 于点 G.若 ， ，求线段 的长.
（3）拓展：如图 4， 是 的外接圆， 是直径，点 D 是半圆 的中点，连接 交 于点
E.若 ， ，则线段 的长为__________.
参考答案
1.C 2.C 3.B 4.B 5.C 6.C 7.D 8.C 9.C 10.C
11. 12.3 13.4 14. 15.4 或 16（对一个 2 分，对两个 3 分）
16.解（1）
（3 分）
（4 分）
；（5 分）
（2）
（2 分）
（4 分）
.（5 分）
17.解：（1）成绩为 10 分的人数 ，补全条形统计图如图所示，（2 分）
（2） ；
A 班成绩排序为 6，7，7，8，8，8，9，10，10，10，中位数为第 5 和第 6 个数的平均数，
即
； ；
故答案为：8.7，8，9；（5 分）
（3）B 班学生计算题掌握得更好，理由：B 班的平均分高于 A 班，B 班的中位数高于 A 班；
故答案为：B 班的平均分高于 A 班，B 班的中位数高于 A 班；（7 分）
（4） 人，
答：A 班计算题优秀的大约有 22 人. （9 分）
18.解：（1）∵一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于点 ，∴ ，
.∴ ， .（2 分）
∴一次函数的表达式为 ，反比例函数的表达式为 .（4 分）
（2） ①图略，作点 A 关于 x 轴的对称点 ，连结 交 x 轴于点 P，此时 取得最小值.（6 分）
.（7 分）
② .（9 分）
19.（1）解：如图所示，点 E 即为所求.（作法不唯一）
（4 分）
（2）证明：由对称的性质，可知 垂直平分线段 ，
∴ .
∴ .（6 分）
∵四边形 为矩形，
∴ .
∴ .
∴ .（8 分）
∴ .（9 分）
20.解：如解图，过点 B 作 于点 E，则四边形 为矩形，（1 分）
∴ 米， 米，
∵ ，∴ ，在 中， ，
∴ ，即 ，∴ 米. （4 分）
在 中， ， ，
∴ ，∴ （米），∴
（米），（8 分）
答：运江河床的宽度 约为 64 米.（9 分）
21.解：（1）设 B 型机器人模型单价为 x 元，则 A 型机器人模型单价为 元.（1 分）
根据题意，得 ，（3 分）
∴ ，
经检验， 是所列分式方程的解，
（元）.
答：A 型机器人模型单价为 500 元，B 型机器人模型单价为 300 元.（5 分）
（2）设购买 A 型机器人 m 台，则购买 B 型机器人 台.
根据题意，得 ，
解得 ，（7 分）
设共花费 w 元，则 ，
∵ ，
∴w 随 m 的减小而减小，
∵ ，
∴当 时 w 值最小， ，
（台）.（8 分）
答：购买 A 型机器人 10 台、B 型机器人 30 台时花费最少，最少花费是 11200 元.（9 分）
22.（1）解：设抛物线的解析式为 ，
将点 代入到 中得 ，（2 分）
解得 ，
∴抛物线的解析式为 .（3 分）
（2）解：在 中，当 时， ，（5 分）
∵ ， ，
∴石块不能飞越防御墙 .（6 分）
（3）解：由题意可知点 A 的坐标为 ，
设直线 的解析式为 （ ），
∴ ，
∴ ，
∴直线 的解析式为 .（7 分）
如图，作直线 轴，交抛物线于点 M，交直线 于点 N，
设点 ，则点 N 的坐标为 ，
∴ ，（9 分）
∴当 时， 有最大值，最大值为 ，
∴在竖直方向上，石块飞行时与坡面的最大距离是 米.（10 分）
23.（1）证明：∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，（2 分）
∴ ，
∴ .（4 分）
（2）解：∵ 是 的角平分线，
∴ .
∴ ，
∵M 为 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，（6 分）
∵ ，
∴ ， ， ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ .
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ .（8 分）
（3）解：如图，连接 ，
∵ 是直径，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵点 D 是半圆 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： .（10 分）

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