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2026年山西九年级毕业班学生学习质量评估（三） 数学
一、单选题
1．下列各数在数轴上对应的点，离原点最近的是（　　）
A． B． C． D．2
2．陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一，其示意图如图所示，则它的俯视图为（ ）
A． B．
C． D．
3．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．摄影三分法是一种广泛应用于摄影、绘画及设计等艺术领域的构图方法，其构图源于黄金分割．已知黄金分割比为，某张风景照竖版尺寸的总高度为，画面主体的高度与竖版尺寸总高度的比值恰好为黄金分割比，则该风景照画面主体的高度约为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在中，对角线相交于点O，是的中线，点E是的中点，连接．若，则的长为（ ）
A． B． C．2 D．1
6．某剧院小剧场的一排有4个座位（编号依次为1，2，3，4），演员A提前坐在某排的1号座位上，其他三位演员B，C，D随机坐在同排编号为2，3，4的座位上，则B，C不相邻而坐的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．若反比例函数的图象经过，，三点，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，是的直径，B，C是上两点，过点B作的切线与的延长线交于点E，连接．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
9．我国某颗遥感卫星在太空中执行数据传输任务，其信号传输速率恒定，地面测控站记录了几组传输时间与传输数据量的数据如下表．已知传输时间（单位：）与传输数据量（单位：）满足某种函数关系，根据表中数据，与之间的函数关系式为（ ）
传输时间
传输数据量
A． B． C． D．
10．如图，矩形的对角线，交于点，分别以点，为圆心，长为半径作弧，分别交，于点，．若，，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．计算:＝________.
12．第六届亚洲沙滩运动会将于2026年4月22日至30日在中国海南省三亚市举行．如图，将其会徽图案放置在平面直角坐标系中，已知点A，B的坐标分别为，则点C的坐标为______．
13．明代读本《原本直指算法统宗》中有这样一个问题：隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤．其大意为：有一群人分银子，若每人分七两，则剩余四两，若每人分九两，则还差八两，求银子有多少两．设银子有两，则可列方程为_____．
14．如图，矩形的两边分别在轴，轴上，反比例函数的图象分别与边交于点，若，四边形的面积为，则的值为______．
15．如图，是等腰直角三角形，，，是的中线，点E是上一点，且，连接与交于点O，连接，则的长为______．
三、解答题
16．计算和化简
(1)计算：．
(2)化简：．
17．如图，直线与x轴，y轴分别交于点C，，与反比例函数在第一象限内的图象交于点．
(1)求m的值及直线l的函数表达式．
(2)若点P是反比例函数第一象限内图象上的一点，且，求点P的坐标．
18．学校辩论社团招新，对甲、乙两个面试者从“逻辑表达”“临场反应”“团队适配”三个维度综合评分（满分为分，评分均为整数）．规定：评分大于等于分为“通过面试”，评分大于等于分为“优先录取”．统计评分后得到如下统计图表．
．甲、乙得分折线统计图
．甲、乙得分统计如下表：
平均数分 中位数分 方差 通过率 优先录取率
甲 （）
乙
根据以上信息，回答下列问题。
(1)填空：______，______，______．
(2)根据折线统计图判断，______（填“”“”或“”），通过计算得出______．
(3)甲认为自己的平均分、优先录取率更高，因此表现更优，但乙不认同．请写出两条支持乙观点的理由．
19．学校图书馆整理科技类图书和文学类图书共本，科技类图书每本需要贴个标签，文学类图书每本需要贴个标签，总共贴了个标签．求科技类图书和文学类图书各有多少本．
20．项目式学习
项目背景：为提升教室多媒体教学的展示效果，学校需对各班投影仪的安装高度进行标准化调试．综合实践小组同学利用所学的知识测量投影仪投屏最高点到地面的距离，并形成了如下报告．
项目主题 测量投影仪投屏最高点到地面的距离
项目内容 利用锐角三角函数解直角三角形的有关知识测量与计算
测量过程 图1是综合实践小组同学用落地投影仪投屏的实物图． 图2是其侧面示意图，已知支撑杆与地面垂直，且的长为，脚杆的长为，支撑杆距墙面的水平距离为，投影仪光源散发器与支撑杆的夹角，脚杆与地面的夹角（说明：点C，F，B在同一水平直线上，所有点均在同一竖直平面内）
交流展示 ……
请根据上述数据，求投影仪投屏最高点到地面的距离．（结果精确到．参考数据：，，，）
21．阅读与思考
下面是小颖同学的一篇数学笔记，请仔细阅读并完成相应的任务．
三角形的“亲密菱形”
【概念理解】
若菱形的一个顶点与三角形的一个顶点重合，其余三个顶点均在三角形的三条边上，则称这个菱形为三角形的“亲密菱形”．如图1，菱形是的“亲密菱形”
【问题解决】
如图2，在中，，点为上一点，连接，，，平分，与边交于点，过点作交于点，连接．
求证：四边形是的“亲密菱形”
证明：，，
．
平分，
．
．
（依据）．
，，
．
．……
任务：
(1)笔记中的“依据”是______．
(2)请将【问题解决】中的证明过程补充完整．
(3)尺规作图：如图3，是任意三角形，请作出的“亲密菱形”，点分别在上（要求：不写作法，保留作图痕迹，标明字母）．
22．综合与实践
在一次趣味实验中，小宇将弹力球从弹球筐内弹出，其运动轨迹可抽象成抛物线，如图1，以小宇在地面上所站的位置为点，地面为轴，过点且与地面垂直的直线为轴建立平面直角坐标系．已知弹力球从点位置弹出，运动到距点的水平距离为的位置时达到最高点，此时弹力球距地面的竖直高度为．（本次实验只研究弹力球在第一次落地前的运动过程）
(1)求弹力球运动时，该抛物线的函数表达式．
(2)保持弹力球的运动轨迹形状不变，若弹力球从点正上方的点处弹出，落地点为，求弹射点与落地点的水平距离的长．
(3)如图2，在（2）的基础上，若在距原点的位置有一个长为，高为的长方体障碍物，若要使弹力球能越过障碍物（不能碰到障碍物），求障碍物高度的取值范围．
23．综合与探究
问题情境：
如图，四边形是正方形，点是对角线上的一个动点，连接，以为腰作等腰直角三角形，连接，．
操作发现：
(1)如图1，当点为的中点时，判断四边形的形状，并说明理由．
(2)如图2，在点的运动过程中，判断和之间的数量关系和位置关系，并说明理由．
(3)实践探究：当点在射线上运动时，连接．若，当是等腰三角形时，请直接写出的长．
参考答案
1．C
【详解】解：∵，
∴到原点的距离是3个长度单位，
∵，
∴到原点的距离是1个长度单位，
∵，
∴到原点的距离是个长度单位，
∵，
∴2到原点的距离是2个长度单位，
∴到原点的距离最近的是．
故选：C．
2．B
【详解】解：它的俯视图为：
3．A
【详解】解：A、，故选项A运算正确；
B、，故选项B运算错误；
C、，故选项C运算错误；
D、，故选项D运算错误．
4．B
【详解】解：设该风景照画面主体的高度为，
∵ 画面主体的高度与竖版尺寸总高度的比值为黄金分割比，总高度为，黄金分割比，
∴，即该风景照画面主体的高度约为．
5．D
【详解】解：在中，，
∵是的中线，
∴，
∵点E是的中点， ，
∴．
6．C
【详解】解：如图：
由图可知总共有种等可能的坐法，
满足B，C不相邻的坐法共有2种，
∴所求概率为：．
7．A
【详解】∵反比例函数中．
∴反比例函数图象分布在第一、三象限，且每个象限内，随的增大而减小．
∵点的横坐标．
∴点在第三象限，得．
∵点，的横坐标都大于．
∴，都在第一象限，得，．
又∵．
∴．
综上可得．
8．D
【详解】解：连接，如图
∵是的切线，切点为B，
∴，
∴，
∴ ．
9．B
【详解】解：∵信号传输速率恒定，
∴与成正比例函数关系，
设，
将，代入解析式得，解得，
验证其余数据：当时， ，符合题意，
当时，，符合题意，
当时，，符合题意，
∴与的函数关系式为．
10．A
【详解】解：如图，过作于点，则，
∵四边形是矩形，
∴，，，，，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，
∴图中阴影部分的面积为
．
11．-1
【详解】试题解析：
=
=8-9
=-1
12．
【详解】解：∵A的坐标为
∴点A向左1个单位长度，再向下4个单位长度，即为原点，以原点向东为x轴的正方向，向北为y轴的正方向，建立平面直角坐标系，如图
∴点C的坐标为．
13．
【详解】解：每人分两，剩余两，则人数为，
每人分两，还差两，则人数为，
则．
故答案为：．
14．
【详解】解：设点，则由可得点，
点，
，
四边形的面积为，矩形的面积为，
，
解得．
15．/
【详解】解：以点B为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示：
∵，
∴点A的坐标为，点C的坐标为，
∵，
∴点E的坐标为，
∵是的中线，
∴，
∴点的坐标为，
设直线的解析式为，把，代入得：
，
解得：，
∴直线的解析式为，
同理得：直线的解析式为：，
联立，
解得：，
∴点O的坐标为，
∴．
16．(1)
(2)
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
17．(1)，
(2)
【详解】（1）解：将点代入得，，
∴
将点，分别代入得，
解得
∴直线l的函数表达式为．
（2）解：当时，则，解得．
∴点C的坐标为．
∴．
设点P的坐标为，
∴．
解得．
∴．
∴点P的坐标为．
18．(1)，，；
(2)，；
(3)见解析．
【详解】（1）解：甲位评委的得分按从小到大排序为：，共个数据，中位数为第个数的平均数，
∴，
乙位评委的得分依次为：，
∴平均分，
∵乙得分中大于等于分的只有个，
∴优先录取率，
故答案为：，，；
（2）解：根据折线统计图判断，，
∵乙的平均分为分，
∴
，
故答案为：，；
（3）解：第一条：乙得分的方差为，低于甲得分的方差，因此评委对乙的评分更稳定，乙的表现更优；
第二条：乙得分的通过率为，高于甲得分的通过率，因此乙的表现更优．
19．科技类图书有本，文学类图书有本．
【详解】解：设科技类图书有本，文学类图书有本，
依题意得，，
解得，
答：科技类图书有本，文学类图书有本．
20．投影仪投屏最高点到地面的距离约为．
【详解】分别过点D，E作，垂足分别为N，M．
由题可得，四边形和四边形均为矩形．
∴．
在中，，
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
在中，．
∴．
∴．
答：投影仪投屏最高点到地面的距离约为．
21．(1)等角对等边
(2)见解析
(3)见解析
【详解】（1）解：笔记中的“依据”是等角对等边；
（2）证明：设与相交于点，
，
．
，，
，
，
，
，
，
∴四边形是平行四边形，
，
∴平行四边形是菱形，
即四边形是的“亲密菱形”．
（3）解：如图，作的角平分线，交于，作的垂直平分线，交于，交于，连接、，四边形即为所求．
∵是的垂直平分线，
∴，，
∵，，
∴，即，
∴，
∴，
∴四边形是菱形，
即四边形是的“亲密菱形”．
22．(1)
(2)
(3)
【详解】（1）解：由题意知该抛物线的顶点坐标为，
设抛物线的函数表达式为，
将点代入得，
解得，
∴抛物线的函数表达式为；
（2）解：由题意得抛物线向上平移个单位长度，
∴抛物线的函数表达式为，
当时，，
解得，（负值，舍去），
∴弹射点与落地点的水平距离的长为；
（3）解：由（2）知，抛物线的函数表达式为，
当时，，
∵弹力球要越过障碍物，
∴，
答：障碍物高度的取值范围为．
23．(1)四边形是正方形，理由见解析
(2)，，理由见解析
(3)或
【详解】（1）解：∵是中点，在正方形中，对角线互相垂直平分，
，，
又是等腰直角三角形，为腰，
，且，
又和在对角线上，
、、共线，
因为，且为中点，可得且，
且，
四边形是平行四边形，
又，
四边形是矩形，
，
四边形是正方形．
（2）解：又是等腰直角三角形，为腰，
，且，
四边形是正方形，
，，
即，
，
又，
，
，，
，
且．
（3）解：由（2）可得，，
，，
，
情况①，，如下图所示，作，设，
，
是等腰直角三角形，
，
在中，有，
根据勾股定理，则，
解得或（舍去），
则；
情况②，，
，
由于在正方形中，对角线互相垂直平分，
，
设，在中，有，
，
解得或（舍去），
则；
情况③，，此时点与点重合，点与点重合，不符合题意，
综上，的长度为或．

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