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2026年山西省大同市部分学校中考二模九年级数学试卷
一、单选题
1．用数轴上的点表示下列各数，其中位于原点左侧的是（ ）
A． B．0 C． D．2
2．下列数学符号中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．华电西藏才朋光储电站是全球海拔最高的光储一体化项目，其最高海拔达到了5228米，总装机容量达15万千瓦．数据15万千瓦用科学记数法表示为（ ）
A．千瓦 B．千瓦 C．千瓦 D．千瓦
5．将一把直尺按如图所示叠放在一块三角形木板上，直尺的一边经过三角形的顶点，并与交于点，直尺的另一边分别交，于点，，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在中，是边上的中线，在中，是边上的中线，下列结论一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
7．如图为一款跳方格游戏的路线图，游戏规则规定：按照路线图所示线路，每次只能随机跳一格至相邻的方格（可返回上一个方格，但不能原地跳），则小宇从方格出发，连续跳两次后回到方格的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，为的半径，，为上的点，连接，，为的切线，为切点，交的延长线于点，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
9．阻力会对物体的运动产生影响，是物理学中的重要概念．如图，兴趣小组通过实验研究发现，一辆静止的小车从斜坡滑下后，在水平木板上的运动速度与运动时间之间满足我们学过的某种函数关系．下表是一组实验数据，根据表中数据，与之间的函数关系式为（ ）
运动时间 1 2 3 4 …
运动速度 11 10 9 8 …
A． B． C． D．
10．如图，为的直径，为上一点，连接，以点为圆心，的长为半径画弧，与交于点，，若，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．计算：_____________．
12．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的值可以是______（写一个即可）．
13．如图，在平面直角坐标系中，与位似，点为位似中心，点，在轴正半轴上，，若点的坐标为，则点的坐标为_____．
14．每个人都有一条腿迈出的步子比另一条腿迈出的步子长的特点，虽然主观上沿某一方向直线前进，但实际上走出的是一个大圆圈！这就是有趣的“瞎转圈”现象．某实践小组经过实验发现，组员走出的大圆圈半径（米）与其两腿迈出的步长之差（厘米）成反比例函数关系，当他蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为米时，两腿迈出的步长之差为厘米，则当该组员走出的大圆圈的半径为米时，他两腿迈出的步长之差为_____厘米．
15．如图，在中，，过点作，连接，，交于点，且恰好是的平分线．若，，则的长为_____．
三、解答题
16．计算、化简：
(1)；
(2)．
17．如图，已知菱形，连接，为的中点．
(1)实践与操作：利用尺规作四边形，使得四边形为平行四边形（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
(2)应用与计算：在（1）的条件下，连接，若，，求的面积．
18．为传承中华优秀传统文化，引导学生理解中华文化的独特性与延续性，树立“何以中国”的文化自觉，某校开展了中华知识国学大赛，从A，B两个校区各随机抽取30名学生参赛，并对学生的成绩（满分10分）进行整理分析，得到如下所示的统计图与统计表（不完整）．
两校区被抽取的学生成绩条形统计图
两校区被抽取的学生成绩统计表
校区 平均数 中位数 众数
A 8
B 7.2 7.5 8
请认真阅读上述信息，回答下列问题：
(1)填空：_____，_____；
(2)B校区所抽取的学生中，成绩为7分的有_____人，8分的有_____人，并补全如图所示的条形统计图；
(3)根据以上数据分析，你认为哪个校区的学生成绩更好？请说明理由（写出两条即可）．
19．宣宣家里有甲、乙两种大小不同的玻璃容器若干个，他想了解这两种容器的具体容积，于是用1个容积为50毫升的量筒，通过反复倒水比较，发现1个甲容器与50毫升量筒的容积之和恰好为2个乙容器的容积之和，2个甲容器和1个乙容器的容积之和，恰好为50毫升量筒的19倍，求每个甲、乙玻璃容器的容积各是多少毫升？
20．项目学习
晋祠是中国现存最早的皇家祭祀园林，集宋、元、明、清四代建筑、雕塑、园林、壁画于一体，是研究中国古代建筑艺术与宗法礼制的活化石．综合实践小组以“测量晋祠唐园门楼上两个垂兽间的距离”为主题开展项目学习活动，形成了如下活动报告：
项目主题 测量晋祠唐园门楼上两个垂兽间的距离
测量工具 无人机
示意图
方案说明 如图，已知与地面平行，无人机飞至点处，测得垂兽的俯角，垂兽的俯角，沿水平方向飞行至点处，测得垂兽的俯角，图中点，，，均在同一竖直平面内．
计算 …
交流展示 …
请根据上述数据，计算晋祠唐园门楼上两个垂兽，间的距离（结果精确到．参考数据：，，，，，）．
21．阅读与思考
下面是一篇数学小论文的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务．
笛卡尔破解2倍立方体问题 【问题展示】 2倍立方体问题：如图①，用直尺和圆规作一个体积为原立方体2倍的新立方体（即正方体）． 【工具介绍】 笛卡尔创造了如图②所示的工具，解决了这个问题． 如图②，直尺和以点为支点，支点能够自由开闭，直尺和固定成直角，直尺和固定成直角，且可沿边自由滑动（注：大小变化时，点位置相应会发生变化，故需可滑动）；同样直尺和固定成直角，且能够沿着边自由滑动；直尺，，，…均同样可以沿直角边滑动． 【操作方案】 调整的大小，当时，． 【推理论证】 ，， ． ， （依据）． … ． ． ， ， ．
任务：
(1)小论文中的依据是：_____；
(2)请将小论文中的证明过程补充完整；
(3)若要用笛卡尔创造的工具作一个以为棱的正方体，使其体积为以为棱的正方体体积的4倍，则需对小论文中的操作方案进行调整，请写出调整后的操作方案．
22．综合与实践
问题情境：“两水夹明镜，双桥落彩虹”出自唐代诗人李白的《秋登宣城谢朓北楼》，生动描绘了小桥倒映水中的美景．春节期间，某公园的工作人员计划对园中一处小桥进行装饰，营造出别样的节日美景．
测量数据：已知该桥拱呈抛物线型，测得桥拱与水面的交界点，的距离为6米，桥拱最高点到水面的距离为米．
数学建模：如图，以水面为轴，的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系．
(1)求该抛物线的函数表达式；
问题解决：
(2)如图，当水位上涨后，桥拱下水面宽为5米．
①若在桥拱最高点处有一个星形灯饰（大小忽略不计），求灯饰与其水中倒影之间的距离；
②工作人员计划在桥拱悬挂3盏红灯笼，其中1盏甲型灯笼自身高度为米，另外2盏乙型灯笼自身高度均为米，若要求灯笼底部距离水面的距离均为米，请直接写出3盏灯笼分别与桥拱最高点的水平距离．
23．综合与探究
问题情境：如图①，将正方形纸片对折，使点与点重合，点与点重合，得到折痕，将正方形纸片沿剪开，得到矩形和矩形（与重合），取的中点，将矩形以点为旋转中心，逆时针旋转．
(1)初步探究：
如图②，当点与点重合，点落在线段上时，判断四边形的形状，并说明理由；
(2)拓展延伸：
在旋转的过程中，线段与线段交于点，连接．
①如图③，当为的中点时，连接，判断与的数量关系，并说明理由；
②若正方形的边长为6，当为线段的三等分点时，请直接写出的长．
参考答案
1．A
【详解】解： A、是负数，对应点在原点左侧，故此选项符合题意；
B、对应点在原点，不在原点左侧，故此选项不符合题意；
C、是正数，对应点在原点右侧，故此选项不符合题意；
D、是正数，对应点在原点右侧，故此选项不符合题意．
2．D
【详解】解：A．不是中心对称图形，故该选项不符合题意，
B．不是中心对称图形，故该选项不符合题意，
C．不是中心对称图形，故该选项不符合题意，
D．是中心对称图形，故该选项符合题意．
3．D
【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意；
B、，原式计算错误，不符合题意；
C、和不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意；
D、，原式计算正确，符合题意 ．
4．B
【详解】解：15万．
5．C
【详解】由题可得，
，
，
，
．
6．C
【详解】解：在中，是边上的中线，在中，是边上的中线，
，分别是，的中点，
是的中位线，
．
所以，选项 C正确，选项A，B，D不正确．
7．D
【详解】根据题意，画树状图如下，
由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中连续跳两次后回到方格的结果有4种，
（连续跳两次后回到方格）．
8．B
【详解】如图，连接，
，，
，
为的切线，为的半径，
，
．
9．B
【详解】解：由题表中数据可知，运动时间每增加，运动速度减小，满足一次函数关系，
设与之间的函数关系式为，代入，，
得，
解得，
与之间的函数关系式为．
10．A
【详解】解：如图，连接，，，
，
和为等边三角形，且，
，，
，，
，，
，
，
，
．
11．
【详解】解：．
故答案为：．
12．1（答案不唯一）
【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
∴且，
∴满足题意的k的值可以是1，
故答案为：1（答案不唯一）．
13．
【详解】，
，
∴与的位似比为，
点的坐标为，
点的坐标为．
14．
【详解】解：∵组员走出的大圆圈半径（米）与其两腿迈出的步长之差（厘米）成反比例函数关系，
∴设与之间的函数表达式为，
∵当他蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为米时，两腿迈出的步长之差为7厘米，
∴，
解得：，
∴与之间的函数表达式为，
∴当时，，
解得：，
∴当该组员走出的大圆圈的半径为米时，他两腿迈出的步长之差为厘米．
15．
【详解】解：∵在Rt中，，，
，
如图所示，分别过点，作，，垂足分别是，，
平分，，
，，
，
，
，
，
设，则，
在中，，即，解得：，
，
∵在中，，，
，
，
∴在中，，
，，
，
，
．
16．(1)4
(2)
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
；
17．(1)见解析
(2)6
【详解】（1）解：如图①所示，四边形即为所求作（作法不唯一），
以点为圆心，长为半径画弧，以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，连接，，则四边形即为所求作，
∵，，
∴四边形是平行四边形．
（2）解：如图②所示，连接交于点，连接，
四边形为菱形，，
，，
，
在中，由勾股定理得，
，
四边形为平行四边形，
，，
为的中点，
．
18．(1)7.6，8
(2)5，8，图见解析
【详解】（1）解： 平均数，
由条形统计图可知，A校区成绩为分有人，人数最多，
∴A校区所抽取的30名学生成绩的众数为8．
（2）解：成绩为10分和9分的共有（人），B校区所抽取的30名学生成绩的中位数为7.5分，
这30名学生的成绩按从大到小排列，第15，16位的成绩之和为（分），
第15，16位的成绩分别为8分，7分，
∴成绩为8分的有（人），成绩为7分的有（人）．
补全条形统计图，如图所示：
（3）解：A校区的学生成绩更好
理由：A校区学生成绩的平均分为7.6分，高于B校区的7.2分，故A校区学生整体成绩更好一点，A校区学生成绩的中位数为8分，B校区学生成绩的中位数为7.5分，故A校区学生高分段的人数更多．
综上所述，A校区的学生成绩更好．（理由不唯一，合理即可）
19．一个甲玻璃容器的容积为370毫升，一个乙玻璃容器的容积为210毫升．
【详解】解：设一个甲玻璃容器的容积为毫升，一个乙玻璃容器的容积为毫升，
根据题意，得，
解得，
答：一个甲玻璃容器的容积为370毫升，一个乙玻璃容器的容积为210毫升．
20．距离约为
【详解】解：如图，过点作于点，过点作交的延长线于点，
∵，
∴，
∵，
∴四边形为矩形，
，，
，
为等腰三角形，
，，
，
，，
，
，，
，
，
．
答：两个垂兽，间的距离约为．
21．(1)两角分别相等的两个三角形相似
(2)见解析
(3)见解析
【详解】（1）解：∵与相似条件为，，
∴依据为两角分别相等的两个三角形相似．
（2）解：将小论文中的证明过程补充完整如下：
，
，
，
，
，
，
（3）解：调整的大小，当时，，
令，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，即此时以为棱的正方体的体积是以为棱的正方体体积的4倍．
22．(1)
(2)①灯饰与其水中倒影之间的距离为米；
②甲型灯笼与桥拱最高点的水平距离为0米，乙型灯笼与桥拱最高点的水平距离均为米．
【详解】（1）解：轴垂直平分，，
，，
由题意得，
设该抛物线的函数表达式为，将，，代入，
得，解得，
该抛物线的函数表达式为；
（2）解：①由抛物线的对称性得，
当时，，
∴灯饰与其水中倒影之间的距离为（米）；
②解：由题意可得，甲型灯笼的悬挂点到的距离为（米），
由①得，点与之间的距离为（米），
甲型灯笼的悬挂点即为点，
甲型灯笼与桥拱最高点的水平距离为0米；
由题意可得，乙型灯笼的悬挂点到的距离为（米），
由①得，与之间的距离为米，
该悬挂点到的距离为（米），
令，解得或，
乙型灯笼与桥拱最高点的水平距离均为米．
综上，甲型灯笼与桥拱最高点的水平距离为0米，乙型灯笼与桥拱最高点的水平距离均为米．
23．(1)四边形为正方形，理由见解析
(2)①，理由见解析；②或
【详解】（1）解：四边形为正方形，理由如下：
四边形和四边形为矩形，
，，
四边形为矩形，
为和的中点，且，
，
四边形为正方形．
（2）解：①，理由如下：
如图①所示，连接，
为和的中点，且，
，
，
，
，
，
，
，
，即，
，
为的中点，
，由旋转的性质得，
，
，
，
，
，
．
②由①可得，，，
，
，
，
，
分以下两种情况讨论：当时，如图②所示，连接，交于点，
正方形的边长为6，
，，
，为的中点，
，，，
∴在Rt中， ，
∵，，
∴垂直平分，
，
，
，
，
，
，
；
当时，如图③所示，连接，交于点，
同理可得，，，垂直平分，
在Rt中，，
，
，
，
，
，
，
．
综上所述，的长为或．

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