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2.1 《不等式及其基本性质》小节复习题
一、单选题
1．设，则下列不等关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．有两个容量足够大的玻璃杯，分别装有a克水、b克水，，都加入c克水后，下列式子能反映此时两个玻璃杯中水质量的大小关系的是（ ）
A． B． C． D．
3．实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．不等关系在生活中广泛存在．如图，、分别表示两位同学的身高，表示台阶的高度．图中两人的对话体现的数学原理是（　　）
A．若，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
5．实数，，在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．已知数轴上的点分别表示数，其中，．若，数在数轴上用点表示，则点在数轴上的位置可能是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
7．命题“若，则”是 命题．（填“真”或“假”）
8．若则 0．（填、或）．
9．已知a、b、c均为正数，且，则的最小值为 ．
10．一个四位数，如果它的千位与十位上的数字之和为9，百位与个位上的数字之和也为9，则称该数为“极数”．若偶数为“极数”，且是完全平方数，则 ；
11．下列是真命题的有 （填序号）．
①若且，则；②若，则；③若，则；④若，则；⑤若，则； ⑥若，则；⑦若，，则
12．若，则．若，，，则将a、b、c按从大到小的顺序排列： ．
三、解答题（4题）
13．已知实数a，b，c满足．
(1)求证：；
(2)若，且，求的值．
14．定义
我们把数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值．数轴上表示数a，b的点A，B之间的距离．特别的，当时，表示数a的点与原点的距离等于．当时，表示数a的点与原点的距离等于．
应用
如图，在数轴上，动点A从表示的点出发，以1个单位/秒的速度沿着数轴的正方向运动．同时，动点B从表示12的点出发，以2个单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动．
(1)经过多长时间，点A，B之间的距离等于3个单位长度？
(2)求点A，B到原点距离之和的最小值．
15．与几何证明一样，代数推理也需要有理有据．例如：
已知实数x，y满足，求证：．
证明：∵，
∴，……①
，……②
∴．……③
∵，……④
∴，即．
阅读以上材料，完成下列问题：
(1)在步骤①、②、③中，“不等号方向”出现错误的是步骤______（填“①、②或③”）；步骤④用到的乘法公式名称为______（填“两数差的平方公式”或“平方差公式”）；
(2)已知实数x，y满足，求证：．（注：无需写出每步的依据．）
16.如果两个正数a，b，即，则有：
①
而②
③
所以
当时，；当时，；即：当且仅当时取到等号．
我们把叫做正数a，b的算术平均数；把叫做正数a，b的几何平均数，于是上述不等式可表述为：两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于）它们的几何平均数．它在数学中有广泛的应用，是解决最值问题的有力工具．下面举一例子：
例：已知，求的最小值．
解：因为，所以，所以，当，即时，的最小值为4．
利用这个结论解决下列适合八年级学生的问题：
(1)上述材料中的运算步骤②，运用的公式为______；
(2)已知x＞0，求的最小值，以及此时x的值；
(3)用一段长为的篱笆围成一个长方形菜园，当这个矩形的长和宽各为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？
17.阅读材料，回答问题．
主题 两个正数的积与商的位数探究
提出问题 小明是一位爱思考的小学生．一次，在完成多位数的乘法时，他根据算式“”，猜想：m位的正整数与n位的正整数的乘积是一个位的正整数．
分析探究 问题1 小明的猜想是否正确？若正确，请给予证明；否则，请举出反例
推广延伸 小明的猜想激发了初中生小华的探究热情．为了使问题的研究推广到有理数的乘法，进而迁移到对除法的研究，小华将数的“位数”与“数字”的概念进行推广，规定：如果一个正数用科学记数法表示为，则称这个数的位数是，数字是a． 借此，小华研究了两个数乘积的位数问题，提出并证明了以下命题． 命题：若正数A，B，C的位数分别为m，n，p，数字分别为a，b，c，且，则必有且，或且．并且，当且时，；当且时，． 证明：依题意知，A，B，C用科学记数法可分别表示为，其中a，b，c均为正数． 由，得， 即．（*） 当且时，“，所以，又，所以．由（*）知，，所以； 当且时，，所以所以， 与（*）矛盾，不合题意； 当且时， ① ； 当且时， ② ． 综上所述，命题成立．
拓展迁移 问题2 若正数A，B的位数分别为m，n，那么的位数是多少？证明你的结论．
(1)解决问题1；
(2)请把①②所缺的证明过程补充完整；
(3)解决问题2．
参考答案
一、单选题
1．C
解：由，
∴，故选项A错误；
，故选项B错误；
，故选项C正确；
，故选项D错误，
故选：C．
2．A
解：∵初始时，两杯水的质量分别为克和克，
∴加入克水后，两杯水的质量变为克和克，
∵，
∴，
故选：A
3．D
解：根据数轴得，
∴，
故选：D．
4．A
解：由作图可知：，由右图可知：，即A选项符合题意．
故选：A．
5．B
由数轴可得，，，，
、，原选项判断错误，不符合题意，
、，原选项判断正确，符合题意，
、根据数轴可知：，原选项判断错误，不符合题意，
、根据数轴可知：，则，原选项判断错误，不符合题意，
故选：．
6．B
解：∵，，
∴
∵
∴
A、，故此选项不符合题意；
B、，故此选项符合题意；
C、，故此选项不符合题意；
D、，故此选项不符合题意；
故选：B．
二、填空题
7．假
解：∵
∴，
∴若，则是假命题，
故答案为：假．
8．
解：∵，
∴，
∴，
故答案为：．
9．
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵a、b、c均为正数，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值为．
故答案为：．
10．1188或4752
解：设四位数m的个位数字为x，十位数字为y，（x是0到9的整数，y是0到8的整数），
∴，
∵m是四位数，
∴是四位数，
即，
∵，
∴，
∵是完全平方数，
∴既是3的倍数也是完全平方数，
∴只有36，81，144，225这四种可能，
∴是完全平方数的所有m值为1188或2673或4752或7425，
又m是偶数，
∴或4752
故答案为：1188或4752．
11．⑤⑥⑦
解：若且时，则；故①是假命题；
若，且时，则；故②是假命题；
若，则；故③是假命题；
若，且时，则；故④是假命题；
若，则；故⑤是真命题；
若，则；故⑥是真命题；
若，，则；故⑦是真命题；
故答案为：⑤⑥⑦．
12．当时，，当时，，
解：，
，解得，
，
或，
，
又，
，
当时，，
当时，．
三、解答题
13．
（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
14．
（1）解：设经过x秒，则A表示的数为，B表示的数为，
根据题意，得，
解得或6，
答，经过4秒或6秒，点A，B之间的距离等于3个单位长度；
（2）解：由（1）知：点A，B到原点距离之和为，
当时，，
∵，
∴，即，
当时，，
∵，
∴，即，
当时，，
∵，
∴，即，
综上，，
∴点A，B到原点距离之和的最小值为3．
15．（1）解：步骤①、②、③中，“不等号方向”出现错误的是步骤③，步骤④用到的乘法公式名称为平方差公式；
故答案为：③；平方差公式；
（2）解：∵，
，
∴x-y=（）2-（）2=（+）（-），
，
，
，
，
，
．
16.（1）解：步骤②符合的形式，运用的公式为完全平方公式．
故答案为：完全平方公式．
（2）解：∵，
∴，
∴，
当，即时，的最小值为．
（3）解：设矩形的长为，则宽为，
∴，
由，
当，即时，的最大值为5
∴得最大值为25，
∴当长和宽各为时，面积最大，最大面积为．
17.（1）解：小明的猜想不正确．
反例：．
（2）证明：①，所以，所以，与（*）矛盾，不合题意；
②，所以，又，所以，
由（*）知，所以．
（3）解：当A的数字大于或等于B的数字时，的位数是；
当A的数字小于B的数字时，的位数是．
证明如下：
由已知，A，B的位数分别为m，n，
设，A，B，C的数字分别为a，b，c，C的位数为x，则．
由小华的命题知，当时，必有，
此时，，所以；
当时，必有，
此时，，所以．
综上所述，当A的数字大于或等于B的数字时，的位数是；
当A的数字小于B的数字时，的位数是，

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