资源简介

1.5《角平分线》小节复习题
一、单选题
1．如图，平分，点P在上，，，则点P到的距离是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
2．如图，在 ABC中，，平分交于点D，，垂足为E，的面积为5，则的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．5
3．已知是等腰 ABC底边上的高，若点到直线的距离为3，则点到直线的距离为（ ）
A． B．2 C．3 D．
4．如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点P，画射线与交于点D，，垂足为E．则下列结论错误的是（ ）

A． B． C． D．
5．如图，中，，分别以顶点A，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别相交于点和点，作直线分别与，交于点和点；以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点和点，再分别以点，点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线，若射线恰好经过点，则下列四个结论：
①；②垂直平分线段；③；④．
其中，正确结论的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
6．如图，在 ABC中，，E是边上一点，连接，在右侧作，且，连接．若，，则四边形的面积为 ．
7．如图， ABC的两个外角的平分线，相交于点O．若点O到的距离为，，则的面积为 ．
8．如图，在 ABC中，，，的平分线交于点，、分别是和上的动点，则的最小值是 ．
9．如图，已知是 ABC的角平分线，，分别是和的高，，，则点E到直线的距离为 ．

10．如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点，交y轴于点，以原点O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点C，交y轴于点D，分别以点C，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在第一象限内交于点E，作射线交于点F，则点F的坐标是 ．
三、解答题
11．如图，在中，．

(1)尺规作图：作的角平分线交于点（不写做法，保留作图痕迹）；
(2)在（1）所作图形中，求的面积．
12．综合与实践
问题探究：（1）如图1是古希腊数学家欧几里得所著的《几何原本》第1卷命题9：“平分一个已知角．”即：作一个已知角的平分线，如图2是欧几里得在《几何原本》中给出的角平分线作图法：在和上分别取点C和D，使得，连接，以为边作等边三角形，则就是的平分线．

请写出平分的依据：____________；
类比迁移：
（2）小明根据以上信息研究发现：不一定必须是等边三角形，只需即可．他查阅资料：我国古代已经用角尺平分任意角．做法如下：如图3，在的边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同刻度分别与点M，N重合，则过角尺顶点C的射线是的平分线，请说明此做法的理由；
拓展实践：
（3）小明将研究应用于实践．如图4，校园的两条小路和，汇聚形成了一个岔路口A，现在学校要在两条小路之间安装一盏路灯E，使得路灯照亮两条小路（两条小路一样亮），并且路灯E到岔路口A的距离和休息椅D到岔路口A的距离相等．试问路灯应该安装在哪个位置？请用不带刻度的直尺和圆规在对应的示意图5中作出路灯E的位置．（保留作图痕迹，不写作法）

13.在中，，点D，E分别是边上的点，连接．
(1)若点E为的中点，，则 BDE是__________三角形．（填“等腰”“等边”或“直角”）
(2)如图1，连接，若平分，求的长．
(3)如图2，点在边上运动，连接，始终保持与相等，是的垂直平分线，交于点．
①判断与的位置关系，并说明理由；
②若，求的长．
14.【课本再现】小新完成人教版八年级上册数学53页第8题后再深入拓展，并对四边形进行了如下尺规作图：
①以点为圆心，适当长为半径作弧交于点，交于点；
②分别以，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点；
③作射线交于点．
若，点为中点．
(1)【问题解决】线段与的位置关系为______．
(2)【尝试证明】求证：；
(3)【拓展提高】若，，求的长．
15.综合与实践
【问题背景】小星利用尺规作角的平分线，作法如下：①以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点．②分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点．③画射线，射线即为所求．
（1）小星作角的平分线方法的依据是__________；
【操作发现】
（2）如图②，小红将两块相同的三角尺较短的直角边分别与的两边重合，且两个三角尺的斜边也重合，两个三角尺较长的直角边相交于点，则射线即为的平分线．请你根据小红的作法，说明为的平分线；
【问题解决】
（3）如图③，在 ABC中，平分交于点，于点．若，，，，求的面积．
参考答案
一、单选题
1．C
解：过点P作于点E，
∵平分，，，
∴，
故选：C．
2．B
解：如图：过D作垂足为F，
∵的面积为5，
∴,即，解得：,
∵平分交于点D，，，
∴．
故选B．
3．C
解： 如图，
∵是等腰 ABC底边上的高，
∴平分，
∴点F到直线，的距离相等，
∵点到直线的距离为3，
∴点到直线的距离为3．
故选：C．
4．C
解：由作图方法可知，是的角平分线，
∴，故A结论正确，不符合题意；
∵，
∴，故B结论正确，不符合题意；
在中，由勾股定理得，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，故C结论错误，符合题意；
∴，故D结论正确，不符合题意；
故选C．
5．D
解：由作图可知垂直平分线段，
∴，
∴，
由作图可知平分，
∴，
∵，
∴，故①正确，
∴，
∵，
∴，
∴垂直平分线段，故②正确，
∵，
∴，故③正确，
∴，
∵，
∴，
∴，故④正确．
故选：D．
二、填空题
6．60
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴平分，
过点作，，
则：，
∵，且，
∴，
∴四边形的面积，
∵，
∴，
设，则：，
由勾股定理，得：，
∴，
解：，
∴，
∴，
∴四边形的面积为60．
故答案为：60．
7．7
解：∵ ABC的两个外角的平分线，相交于点O，
∴点到的距离等于点O到的距离，且点到的距离等于点O到的距离，
∴点到的距离等于点O到的距离，
∵点O到的距离为，
∴点到的距离为，
∵，
∴的面积为；
故答案为：7．
8．
解：如图，作于点，
∵平分，
作点关于的对称点，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴的最小值是，
故答案为：．
9．
解：∵是 ABC的角平分线，，分别是和的高，，
∴，
又，
∴，
设点E到直线的距离为x，
∵，
∴．
故答案为：．
10．
解法一：解：如图，过点作轴于点G，
根据题意得平分，，
∴，
∵，即，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点F的坐标为．
故答案为：．
解法二：解：∵，，设直线的解析式为：,
∴，
解得：，
直线的解析式为：,
是的角平分线，，
所在直线的解析式为．
联立方程组：
将代入中，得到：
，
解得．
，
．
所以，直线与的交点F的坐标为．
故答案为：．
三、解答题
11．
（1）解：以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交、，在以两交点为圆心，以大于它们长度为半径画弧，交于一点，过A于该点作射线交于点P，则即为所求．
（2）解：过点P作，如图所示，

由（1）得：，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∵，
∴，
∴；
12．
解：（1）∵，，，
∴，
∴，
∴是的角平分线；
故答案为：
（2）∵，，，
∴，
∴，
∴是的角平分线；
13.（1）解：∵点为的中点，，
．
，且，
，
是直角三角形．
（2）解：平分，
．
设，则，
在中，，
，
，
即．
（3）解：①．
理由如下：
由题意知，
．
是的垂直平分线，
，
．
，
，
．
．
②如图，连接．
设，则．
，
．
由勾股定理，得，
即，
，
的长为．
14.（1）解：∵，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）证明：如图，过点E作于点F，
由作图过程可知：平分，
∴，
∵，，
∴，
∵点为中点，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：如图，延长交于，
∵，，，
∴，
∵，，，
∴，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
∴．
15.解：（1）由作图可知：，
又∵，
∴ MAO≌ NAO，
∴，
∴是的角平分线；
故依据为：全等三角形的对应角相等；
（2）由题意，在和中，
，
，
，
在和中，
，
，
，
射线为的平分线；
（3）过点作于，
平分交于点，
，，
，，
，
，
，
的面积．

展开更多......

收起↑