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3.2 《图形的旋转》小节复习题
一、单选题（6题）
1．起源于中国的围棋深受青少年喜爱．以下由黑白棋子形成的图案中，为中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知直角坐标系，点在该坐标系中的坐标为，现将直角坐标系绕点按逆时针方向旋转到的位置，则点在新坐标系中的坐标为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C都在格点上，将 ABC关于y轴的对称图形绕原点O旋转，得到，则点A的对应点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，将正方形先向右平移，使点B与原点O重合，再将所得正方形绕原点O顺时针方向旋转，得到四边形，则点A的对应点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，小好同学用计算机软件绘制函数的图象，发现它关于点中心对称．若点，，，……，，都在函数图象上，这个点的横坐标从开始依次增加，则的值是（ ）
A． B． C．0 D．1
6．如图，在平面直角坐标系中，已知下列变换：①沿轴翻折；②沿函数的图像翻折；③绕原点按顺时针方向旋转；④绕点按顺时针方向旋转．其中，能使函数的图像经过一种变换后过点的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
7．在平面直角坐标系中，若点与点关于原点对称，则的值是___________．
8．银杏是著名的活化石植物，其叶有细长的叶柄，呈扇形．如图是一片银杏叶标本，叶片上两点B，C的坐标分别为，将银杏叶绕原点顺时针旋转后，叶柄上点A对应点的坐标为___________．

9．在直角坐标系中，点绕原点逆时针方向旋转，得到的点的坐标是__________．
10．如图， ABC是正三角形，点A在第一象限，点、．将线段　绕点C按顺时针方向旋转至；将线段绕点B按顺时针方向旋转至；将线段绕点A按顺时针方向旋转至；将线段绕点C按顺时针方向旋转至；……以此类推，则点的坐标是________．

11．在某次数学探究活动中，小明将一张斜边为4的等腰直角三角形硬纸片剪切成如图所示的四块（其中D，E，F分别为，，的中点，G，H分别为，的中点），小明将这四块纸片重新组合拼成四边形（相互不重叠，不留空隙），则所能拼成的四边形中周长的最小值为____________，最大值为___________________．

12．如图， ABC是边长为的等边三角形，点为高上的动点．连接，将绕点顺时针旋转得到．连接，，，则 CDF周长的最小值是______．

三、解答题
13．在4×4的方格纸中，请按下列要求画出格点三角形（顶点均在格点上）．
（1）在图1中先画出一个以格点P为顶点的等腰三角形，再画出该三角形向右平移2个单位后的．
（2）将图2中的格点 ABC绕点C按顺时针方向旋转，画出经旋转后的．
14．如图，在的方格纸中，每个小方格的边长为1．已知格点P，请按要求画格点三角形（顶点均在格点上）．
（1）在图中画一个等腰三角形，使底边长为，点E在上，点F在上，再画出该三角形绕矩形的中心旋转180°后的图形．
（2）在图中画一个，使，点Q在上，点R在上，再画出该三角形向右平移1个单位后的图形．
15．如图，在方格纸中按要求画图，并完成填空．
（1）画出线段绕点O顺时针旋转后得到的线段，连接；
（2）画出与 AOB关于直线对称的图形，点A的对称点是C；
（3）填空：的度数为_________．
16．1643年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在同一条直线上的三个点A，B，C，求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，意大利数学家和物理学家托里拆利给出了分析和证明，该点也被称为“费马点”或“托里拆利点”，该问题也被称为“将军巡营”问题．
（1）下面是该问题的一种常见的解决方法，请补充以下推理过程：（其中①处从“直角”和“等边”中选择填空，②处从“两点之间线段最短”和“三角形两边之和大于第三边”中选择填空，③处填写角度数，④处填写该三角形的某个顶点）
当 ABC的三个内角均小于时，
如图1，将绕，点C顺时针旋转得到，连接，

由，可知为 ① 三角形，故，又，故，
由 ② 可知，当B，P，，A在同一条直线上时，取最小值，如图2，最小值为，此时的P点为该三角形的“费马点”，且有 ③ ；
已知当 ABC有一个内角大于或等于时，“费马点”为该三角形的某个顶点．如图3，若，则该三角形的“费马点”为 ④ 点．
（2）如图4，在 ABC中，三个内角均小于，且，已知点P为 ABC的“费马点”，求的值；

（3）如图5，设村庄A，B，C的连线构成一个三角形，且已知．现欲建一中转站P沿直线向A，B，C三个村庄铺设电缆，已知由中转站P到村庄A，B，C的铺设成本分别为a元/，a元/，元/，选取合适的P的位置，可以使总的铺设成本最低为___________元．（结果用含a的式子表示）
参考答案
一、单选题
1．C
解：、图形绕某一点旋转后与原来的图形不重合，不是中心对称图形，不符合题意；
、图形绕某一点旋转后与原来的图形不重合，不是中心对称图形，不符合题意；
、图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，是中心对称图形，符合题意；
、图形绕某一点旋转后与原来的图形不重合，不是中心对称图形，不符合题意；
故选：．
2．B
解：将直角坐标系绕点按逆时针方向旋转到的位置，
∴此时点在新坐标系中的第一象限，且原来横纵坐标互换均为正数，
∴点在新坐标系中的坐标为，
故选：B．
3．A
解：在平面直角坐标系中，点，
∴点A关于y轴对称的点，
将点绕原点O旋转，
∴如图，点．
故选：A．
4．A
解：由题意得，平移前，
∵将正方形先向右平移，使点B与原点O重合，
∴平移方式为向右平移3个单位长度，
∴平移后点A的对应点坐标为，
如图所示，设绕原点O顺时针旋转90度后的对应点为F，分别过E、F作x轴的垂线，垂足分别为G、H，
∴，
由旋转的性质可得，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点A的对应点的坐标是，
故选：A．
5．D
解：∵这个点的横坐标从开始依次增加，
∴，
∴，
∴，而即，
∵，
当时，，即，
∵关于点中心对称的点为，
即当时，，
∴，
故选：D．
6．B
解：令则，
∴，
即，
令，则，
即，
∵沿轴翻折，
∴沿轴翻折得
设的解析式为，
把，代入
得，
∴，
则，
∴沿轴翻折不过点，
∴①不符合题意；
②令则，
解得，
即经过点，
令，则
即经过点，
连接，如图所示：
∵，，，
则，，
∴，
∵，
∴，
∴是的垂直平分线，
∴与关于直线对称，
故沿函数的图像翻折过点，
∴②符合题意；
③
依题意，点绕着原点按逆时针方向旋转，与轴交于点，
当点在上，则绕原点按顺时针方向旋转经过点；
当点不在上，则绕原点按顺时针方向旋转不经过点；
过程如下：
∴，
此时点，
把代入，
得
∴不在，
即绕原点按顺时针方向旋转不经过点，
故③不符合题意；
∵绕点按顺时针方向旋转，且，
∴记为T点，连接，
∴，
∴，
则，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴点绕点按顺时针方向旋转，与点P重合，
故函数的图像绕点按顺时针方向旋转过点，
∴④符合题意．
故选：B．
二、填空题
7．1
解：∵点与点关于原点对称，
∴．
故答案为：1．
8．
解：∵B，C的坐标分别为，
∴坐标系的位置如图所示：

∴点的坐标为：，
连接，将绕点顺时针旋转后，如图，叶柄上点A对应点的坐标为；
故答案为：
9．
解：过A点作轴，过B点作轴，

∵点A的坐标为，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
在和中，
，
∴，
∴,
∴点B的坐标为，
故答案为：．
10．
解：如图所示，

由图象可得，点，在x轴的正半轴上，
∴．旋转3次为一个循环，
∵
∴点在射线的延长线上，
∴点在x轴的正半轴上，
∵，是正三角形，
∴由旋转的性质可得，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴同理可得，，，
∴，
∴，
∴，
∴由旋转的性质可得，，
∴如图所示，过点作轴于点E，

∵，
∴，
∴，
∴，，
∴点的坐标是．
故答案为：．
11． 8
解：

如图1，，，
∴四边形周长=；

如图2，
∴四边形周长为；
故答案为：最小值为8，最大值.
12．
解：∵为高上的动点．
∴
∵将绕点顺时针旋转得到． ABC是边长为的等边三角形，
∴
∴
∴，
∴点在射线上运动，
如图所示，

作点关于的对称点，连接，设交于点，则
在中，，则，
则当三点共线时，取得最小值，即
∵，，
∴
∴
在中，,
∴ CDF周长的最小值为，
故答案为：．
三、解答题
13．（1）解：如图，，即为所求作的三角形；

（2）如图，即为所求作的三角形，

14．
解：（1）画法不唯一，如图1（ ，），或图2（）．

（2）画法不唯一，如图3或图4．

15．解：（1）在方格纸中画出线段绕点O顺时针旋转后得到的线段，连接,如图；
（2）画出与 AOB关于直线对称的图形，点A的对称点是C；如上图所示：
（3）由（1）作图可得 AOB是等腰直角三角形，且，
再根据对称的性质可得．
故答案为：．
16．（1）解：∵，
∴为等边三角形；
∴，，
又，故，
由两点之间线段最短可知，当B，P，，A在同一条直线上时，取最小值，
最小值为，此时的P点为该三角形的“费马点”，
∴，，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴，，
∴，，
∴三个顶点中，顶点A到另外两个顶点的距离和最小．
又∵已知当 ABC有一个内角大于或等于时，“费马点”为该三角形的某个顶点．
∴该三角形的“费马点”为点A，
故答案为：①等边；②两点之间线段最短；③；④．
（2）将绕，点C顺时针旋转得到，连接，
由（1）可知当B，P，，A在同一条直线上时，取最小值，最小值为，

∵，
∴，
又∵
∴，
由旋转性质可知：，
∴，
∴最小值为，
（3）∵总的铺设成本
∴当最小时，总的铺设成本最低，
将绕，点C顺时针旋转得到，连接，
由旋转性质可知：，，，，
∴，
∴，
当B，P，，A在同一条直线上时，取最小值，即取最小值为，

过点作，垂足为，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
的最小值为
总的铺设成本（元）
故答案为：

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