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中考数学解决问题能力（中点、角平分线）专题训练
中点问题的模型
一、选择题
1.如图，为测量池塘边上两点A，B之间的距离，小敏在池塘的一侧选取一点O，测得OA，OB的中点分别是点D，E，且，则A，B两点间的距离是( )
A. 20m B. 24m C. 30m D. 28m
2.笔直的公路AB，AC，BC如图所示，AC，BC互相垂直，AB的中点D与点C被建筑物隔开，若测得AC的长为6km，BC的长为8km，则C，D之间的距离为( )
A. 3km B. 4km C. 5km D. 6km
3.如图，点D，E，F分别是各边上的中点，，则( )
A. B. C. D.
4.如图，一根竹竿AB斜靠在竖直的墙上，P是AB的中点，在竹竿的顶端沿墙面下滑的过程中，OP长度的变化情况是
A. 不断增大 B. 不断减小 C. 先减小后增大 D. 不变
5.如图，在等腰三角形ABC中，，D为边BC的延长线上一点，连结AD，E为AD的中点，连结CE，若，，则的面积为
A. B. C. 8 D.
6.如图，在中，E是AC的中点，于点E，交BC于点D，若，且，则的度数是( )
A. B. C. D.
二、填空题
7.如图，在直角三角形ABC中，，D，E分别为AB，BC的中点，若，，则 .
8.如图，在中，，，DE是的中位线，的平分线交DE于点F，则线段EF的长为 .
9.如图，在和中，，O是BC的中点，连结AO，若，则DO的长为 .
10.如图，在中，于点E，D为BC的中点，交BC边于点F，，若，，则 .
三、解答题
11.如图，在中，，在边AC上截取，连接BD，过点A作于点已知，，F是边BC的中点，连接
求CD的长；
求EF的长．
12.如图，BD，CE分别为的中线，BD，CE交于点G，M，N分别是BG，CG的中点．求证：
13.
用数学的眼光观察
如图1，在四边形ABCD中，，P是对角线BD的中点，M是AB的中点，N是DC的中点．求证：
用数学的思维思考
如图2，延长图1中的线段AD交MN的延长线于点E，延长线段BC交MN的延长线于点求证：
用数学的语言表达
如图3，在中，，点D在AC上，，M是AB的中点，N是DC的中点，连结MN并延长，与BC的延长线交于点G，连结若，试判断的形状，并进行证明．
角平分线问题的模型
一、选择题
1.如图，，，CB平分，则的度数为
A. B. C. D.
2.如图，在中，，AD平分，，，则点D到AB的距离( )
A. 为18 B. 为12 C. 为15 D. 不能确定
3.如图，在中，AD是的平分线，若，，则( )
A. B. C. D.
4.如图，在中，，，，点P是边AC上一动点，过点P作交BC于点Q，D为线段PQ的中点，当BD平分时，AP的长度为
A. B. C. D.
5.在中，，，用无刻度的直尺和圆规在AC边上找一点D，使BD平分，下列画法不正确的是
A. B.
C. D.
6.如图，的三边长AB，BC，CA分别是20，30，40，其三条角平分线相交于点O且将分为三个三角形，则等于
A. B. C. D.
二、填空题
7.如图，在中，，AD是的角平分线，，，过D作于点E，则 .
8.如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若，，则的面积是 .
9.如图，M是的平分线上一点，于点E，，若P是OB上一动点，则线段MP的长度的取值范围是 .
10.如图，在中，BE，CE分别是和的平分线，，交BC于点D，于点若，，，则BF的长是 .
11.如图，在中，，CD平分，，垂足为点E，若，，则
.
的周长是 .
三、解答题
12.如图，在中，点D，E分别在AB，AC上，EF交DC于点F，，
求证：
若DE平分，，求的度数．
13.如图，在中，，过BC的中点D作，，垂足分别为点E，
求证：
若，求的度数．
14.如图，BD是的角平分线，，，垂足分别为点E，
与相等吗？请说明理由．
若的面积为70，，，求BC的长．
第2页，共10页中考数学解决问题能力（中点、角平分线）专题训练
中点问题的模型
一、选择题
1.如图，为测量池塘边上两点A，B之间的距离，小敏在池塘的一侧选取一点O，测得OA，OB的中点分别是点D，E，且，则A，B两点间的距离是( )
A. 20m B. 24m C. 30m D. 28m
【答案】C
2.笔直的公路AB，AC，BC如图所示，AC，BC互相垂直，AB的中点D与点C被建筑物隔开，若测得AC的长为6km，BC的长为8km，则C，D之间的距离为( )
A. 3km B. 4km C. 5km D. 6km
【答案】C
3.如图，点D，E，F分别是各边上的中点，，则( )
A. B. C. D.
【答案】C
4.如图，一根竹竿AB斜靠在竖直的墙上，P是AB的中点，在竹竿的顶端沿墙面下滑的过程中，OP长度的变化情况是
A. 不断增大 B. 不断减小 C. 先减小后增大 D. 不变
【答案】D
【解答】
解：，点P是AB的中点，
，
在滑动的过程中OP的长度不变．
5.如图，在等腰三角形ABC中，，D为边BC的延长线上一点，连结AD，E为AD的中点，连结CE，若，，则的面积为
A. B. C. 8 D.
【答案】B
6.如图，在中，E是AC的中点，于点E，交BC于点D，若，且，则的度数是( )
A. B. C. D.
【答案】D
二、填空题
7.如图，在直角三角形ABC中，，D，E分别为AB，BC的中点，若，，则 .
【答案】8
8.如图，在中，，，DE是的中位线，的平分线交DE于点F，则线段EF的长为 .
【答案】
9.如图，在和中，，O是BC的中点，连结AO，若，则DO的长为 .
【答案】3
10.如图，在中，于点E，D为BC的中点，交BC边于点F，，若，，则 .
【答案】5
三、解答题
11.如图，在中，，在边AC上截取，连接BD，过点A作于点已知，，F是边BC的中点，连接
求CD的长；
求EF的长．
【答案】【小题1】
解：在中，，，，由勾股定理得，，
【小题2】
，，，是边BC的中点，是的中位线，

12.如图，BD，CE分别为的中线，BD，CE交于点G，M，N分别是BG，CG的中点．求证：
【答案】【小题1】
证明：连接AG，
，CE分别为的中线，点M，N分别是BG，CG的中点，
，，，，
，，
；
【小题2】
证明：由知，，，，
，，
，，
，，
在和中
，
，


13.
用数学的眼光观察
如图1，在四边形ABCD中，，P是对角线BD的中点，M是AB的中点，N是DC的中点．求证：
用数学的思维思考
如图2，延长图1中的线段AD交MN的延长线于点E，延长线段BC交MN的延长线于点求证：
用数学的语言表达
如图3，在中，，点D在AC上，，M是AB的中点，N是DC的中点，连结MN并延长，与BC的延长线交于点G，连结若，试判断的形状，并进行证明．
【答案】【小题1】
解：证明：是BD的中点，N是DC的中点，
是的中位线，PM是的中位线，
，
，，
【小题2】
证明：由知，PN是的中位线，PM是的中位线，
，，，
，
【小题3】
是直角三角形，理由如下：如图，取BD的中点P，连结PM，PN，
是CD的中点，M是AB的中点，
是的中位线，PM是的中位线，
，，，
，，
，，
，
又，是等边三角形．
，又，，
，
，是直角三角形．

角平分线问题的模型
一、选择题
1.如图，，，CB平分，则的度数为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：，，
，
平分，
，
，
2.如图，在中，，AD平分，，，则点D到AB的距离( )
A. 为18 B. 为12 C. 为15 D. 不能确定
【答案】B
3.如图，在中，AD是的平分线，若，，则( )
A. B. C. D.
【答案】D
4.如图，在中，，，，点P是边AC上一动点，过点P作交BC于点Q，D为线段PQ的中点，当BD平分时，AP的长度为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】本题考查勾股定理，相似三角形的判定和性质，角平分线的定义与平行线的性质，等腰三角形的判定与性质.
先由勾股定理求得AC的长，再设，则，，证明 ，最后根据相似三角形的性质列方程，解方程后根据线段的和差即可解答.
解：由勾股定理，得
因为，
所以
因为BD平分，
所以
所以
所以
设
因为D是PQ的中点，
所以，
因为，
所以∽
所以 ，即 ，
解得 .
所以
所以
故选
5.在中，，，用无刻度的直尺和圆规在AC边上找一点D，使BD平分，下列画法不正确的是
A. B.
C. D.
【答案】B
6.如图，的三边长AB，BC，CA分别是20，30，40，其三条角平分线相交于点O且将分为三个三角形，则等于
A. B. C. D.
【答案】C
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
7.如图，在中，，AD是的角平分线，，，过D作于点E，则 .
【答案】2
8.如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若，，则的面积是 .
【答案】15
9.如图，M是的平分线上一点，于点E，，若P是OB上一动点，则线段MP的长度的取值范围是 .
【答案】
【解析】过点M作于点H，如图.
是的平分线上一点，
是OB上一动点，
10.如图，在中，BE，CE分别是和的平分线，，交BC于点D，于点若，，，则BF的长是 .
【答案】10
【解析】过点E作于点M，
是的平分线，
，
是的平分线，
，
，
，
，
在与中，
，
11.如图，在中，，CD平分，，垂足为点E，若，，则
.
的周长是 .
【答案】【小题1】
【小题2】

【解析】
如图所示，延长AE交BC于点F，过点F作于点
平分，
点D到AC，BC的距离相等.
设点D到AC，BC的距离为h，点C到AB的距离为d，
，

平分，，
，
，
≌，
，
，
设，
，
，，
，
由可得，，
设，，
，，
，，
，
，，
，
，
，即，
解得，
的周长
三、解答题（本大题共3小题，共24.0分）
12.如图，在中，点D，E分别在AB，AC上，EF交DC于点F，，
求证：
若DE平分，，求的度数．
【答案】【小题1】
证明：因为，，
所以，
所以BD EF，
所以
因为，
所以，
所以DE BC；
【小题2】
解：由知，
因为DE平分，
所以
因为，，
所以，
解得，
所以，
因为，
所以

13.如图，在中，，过BC的中点D作，，垂足分别为点E，
求证：
若，求的度数．
【答案】【小题1】
连结图略是BC的中点，，平分，，，
【小题2】

14.如图，BD是的角平分线，，，垂足分别为点E，
与相等吗？请说明理由．
若的面积为70，，，求BC的长．
【答案】【小题1】
解：与相等．理由如下：
因为，，所以
因为BD是的角平分线，所以
在和中，因为
所以≌，所以
【小题2】
因为BD是的角平分线，，，
所以，所以，
所以，所以

第7页，共16页

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