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广东省珠海市九洲中学2025-2026学年第二学期九年级第一次模拟考试 数学试卷
1．的相反数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】相反数的意义与性质
【解析】【解答】解：∵互为相反数的两个数只有符号不同，
∴的相反数是，
故答案为：D．
【分析】本题考查相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，根据符号不同，绝对值相同的两个数互为相反数即可解答．
2．下列运算中，正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的除法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：
A、，A不符合题意；
B、，B不符合题意；
C、，C不符合题意；
D、，D符合题意；
故答案为：D
【分析】根据合并同类项、完全平方公式、同底数幂的除法、幂的乘方即可求解。
3．2023年9月9日，上海微电子研发的28浸没式光刻机的成功问世，标志着我国在光刻机领域迈出了坚实的一步．已知28为0.000000028米，数据0.000000028用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：0.000000028．
故答案为：C．
【分析】本题主要考查用科学记数法表示绝对值小于1的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为0的数字前面0的个数所决定，有几个0，为负几，由此即可得到答案．
4．掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，观察向上一面的点数．下列说法正确的是（　　）
A．出现点数为6的概率是 B．出现点数为0是随机事件
C．出现点数为偶数是必然事件 D．出现点数为奇数是不可能事件
【答案】A
【知识点】概率公式；事件发生的可能性；概率的简单应用
【解析】【解答】解答：解：A．出现的点数是6的概率是，故A正确，符合题意；
B．出现的点数为0是不可能事件，故B错误，不符合题意；
C．掷一枚质地均匀的正方体骰子，向上一面的点数为偶数是随机事件，故C错误，不符合题意；
D．出现的点数为奇数是随机事件，故D错误，不符合题意；
故答案为：A．
【分析】利用必然事件的定义、不可能事件的定义、随机事件的定义以及概率的计算方法逐项分析判断即可.
5．一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力方向的夹角的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的性质；三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解：重力的方向竖直向下，
重力与水平方向夹角为，
摩擦力的方向与斜面平行，，
，
故选：C．
【分析】根据三角形外角性质即可求出答案.
6．函数的图象为(　　)
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】一次函数的图象；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：函数为一次函数，其图象是一条直线，可通过求与坐标轴的交点判断选项．
令，则，解得，即函数与x轴的交点为；
令，则，即函数与y轴的交点为；
观察图像，只有A选项与计算结果匹配．
故选：A．
【分析】根据坐标轴上点的坐标特征求出与x，y轴的交点坐标，再根据描点法作出函数图象即可.
7．施工队要铺设一段全长3000米的管道，因在中考期间需停工3天，实际每天施工需比原来计划多50米，才能按时完成任务，求实际每天施工多少米 设实际每天施工x米，则根据题意所列方程正确的是 （　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：由实际每天施工x米，则原计划每天施工米，
由题意，得：，
故选：D．
【分析】由实际每天施工x米，则原计划每天施工米，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
8．如图，已知，以为直径的交于点D，与相切于点A，连接．若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】圆周角定理；切线的性质；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：∵，
∴．
∵以为直径的与相切于点A，
∴，
∴．
故选：D．
【分析】根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得∠B，根据圆周角定理可得∠BAC，再根据直角三角形两锐角互余即可求出答案.
9．如图，在中，，分别以点为圆心、的长为半径画弧，与的延长线分别交于点．若，则图中阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质；扇形面积的计算；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
，
故答案为：．
【分析】本题考查了求不规则图形的面积、扇形的面积、勾股定理、三角形定理等知识，由三角形定理可求出，再根据勾股定理求出，再根据，代入相关数据进行计算即可求出答案．
10．如图，在中，相交于点O，．过点A作的垂线交于点E，记长为x，长为y．当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】 解：过点D作交的延长线于点F，
∵的垂线交于点E，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴
∴，
由勾股定理可得，，
，
∴，
∴
∴
即，解得，
∴当x，y的值发生变化时，代数式的值不变的是，
故答案为：C
【分析】过点D作交的延长线于点F，根据平行四边形判定定理可得四边形是平行四边形，则，由直线平行性质可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据勾股定理建立方程，解方程可得，则当x，y的值发生变化时，代数式的值不变的是，即可求出答案.
11．若 在实数范围内有意义，则实数 的取值范围是　 　.
【答案】x≥3
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵ 在实数范围内有意义，
∴x-3≥0
∴x≥3
故填：x≥3.
【分析】 由二次根式有意义的条件可得x-3≥0，求解即可.
12．分解因式：　 　.
【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：x3-25x=x(x2-25)=x(x+5)(x-5).
故答案为：x(x+5)(x-5).
【分析】先提取各项的公因式x，再将剩下的商式利用平方差公式进行第二次分解即可.
13．如图，E，F，G，H分别为矩形各边的中点．若，，则四边形的周长为　 　．
【答案】20
【知识点】矩形的性质；线段的中点；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：在矩形中，，，，
∵E，F，G，H分别为矩形各边的中点，
∴，，
∴在中，，
同理可得，
∴．
故答案为 ：20．
【分析】本题考查了中点的性质，矩形的性质以及勾股定理，根据矩形的性质可得到，，根据各边的中点可得到，，再由勾股定理可求出，即可求出 四边形的周长．
14．珠海有百岛之市的美誉，甲、乙两游客来到珠海旅游，两人分别从A，B，C三个海岛中随机选择一个海岛游览，甲、乙两人同时选择海岛B的概率为　 　．
【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：由题意可画树状图如下：
由树状图可知，共有9种等可能的情况，其中甲、乙两人同时选择海岛B的情况有1种，
∴所求概率为．
故答案为：．
【分析】本题主要考查画树状图法或列表法、概率公式，先根据题意画出树状图，得出所有等可能的情况以及 甲、乙两人同时选择海岛B的结果数，再利用概率公式进行计算即可得出结果．
15．如图1是一个立方体纸盒的示意图，图2是该立方体纸盒的表面展开图，连结，交于点P，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；正方体的几种展开图的识别；含图案的正方体的展开图
【解析】【解答】解：如图，记与交于点A，则点A是的中点，
∵，，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
又、、是立方体的棱，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
设，，则，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】本题主要考查正方体的展开图，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，如图，根据证明，得，根据正方体的棱长相等可得 ，，再证明，得到，根据，即可求出结果．
16．计算：
【答案】解：原式
【知识点】零指数幂；求特殊角的三角函数值；实数的绝对值；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先根据零指数幂的性质“任何一个不为零的数的零次幂都等于1”、二次格式的性质、特殊锐角三角函数值、绝对值的性质分别化简，再计算乘法，最后计算有理数的减法及合并同类二次根式即可.
17．先化简，再求值：，其中满足．
【答案】解：原式
，
，
，
∴原式
．
【知识点】分式的混合运算；分式的化简求值-整体代入
【解析】【分析】根据分式的混合运算，结合完全平方公式化简，由题意可得，再代入原式，化简即可求出答案.
18．小丽同学用测角仪测量一棵树的高度，先在该树前平地上选择一点A，站立此处，测得树顶端D的仰角为，再测得点A离树底端B的距离为20米，并测得眼睛所在位置点C离点A的距离为米，请根据这些数据，求出树的高度．（参考数据：，，）
【答案】解：由题意，得，，
，，
在中，，
，
．
答：树的高度为米．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】本题主要考查解直角三角形的应用，根据题意得四边形是矩形，可得，，在中由正切函数得，求出，再由即可求解．
19．为落实国家“双减”政策，某校开展了课后服务，其中在体育类活动中开设了四种运动项目：A乒乓球，B武术，C篮球，D足球．为了解学生最喜欢哪一种运动项目，随机抽取部分学生进行调查（每位学生仅选一种），并将调查结果制成如图尚不完整的统计图表．
（1）本次调查的样本容量是 ，并补全条形统计图；
（2）在扇形统计图中，“B武术”对应的圆心角的度数是 ；
（3）若该校共有1000名学生，请你估计该校最喜欢“A乒乓球”的学生人数．
【答案】（1），
B项目的人数为：
补全条形统计图如下：
（2）18
（3）解：(名)，
∴估计该校最喜欢“A乒乓球”的学生人数大约名．
【知识点】总体、个体、样本、样本容量；扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：本次调查的样本容量是，
故答案为：．
（2）解：在扇形统计图中，“B武术”对应的圆心角的度数是：
，
故答案为：．
【分析】（1）根据C项目的人数与占比可得总人数，求出B项目的人数，再补全图形即可.
（2）根据360°乘以B项目的占比即可求出答案.
（3）根据1000乘以A项目的占比即可求出答案.
（1）解：本次调查的样本容量是，
B项目的人数为：
补全条形统计图如下：
故答案为：．
（2）解：在扇形统计图中，“B武术”对应的圆心角的度数是：
，
故答案为：．
（3）解：(名)，
∴估计该校最喜欢“A乒乓球”的学生人数大约名．
20．如图，反比例函数和的图象分别与直线依次相交于，，三点．
（1）求出直线对应的函数表达式；
（2）分别以点，为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧相交于点和点．直线交轴于点，连接，．试判断的形状，并说明理由；
（3）请直接写出关于的不等式的解集．
【答案】（1）解：把代入得，
∴点A的坐标为，
把代入得，
∴点C的坐标为，
把点和代入得：
，解得，
∴直线对应的函数表达式；
（2）解：是等腰直角三角形，理由如下：
由作图可得，即，设点D的坐标为，
则，
解得，
∴，，
∴，
∴是等腰直角三角形；
（3）或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；线段垂直平分线的性质；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】（3）解：令，
解得，，
由图像可得关于的不等式的解集为或．
【分析】本题考查运用待定系数法求一次函数解析式，作线段垂直平分线，线段垂直平分线的性质，勾股定理的逆定理以及反比例函数和一次函数的综合，解答本题的关键．
（1）把点 代入 反比例函数，可求出，得到点；
把代入得得把点，再运用待定系数法可求出 直线对应的函数表达式；
（2）由作图可知，直线是线段的垂直平分线，可得，是等腰三角形，设点D的坐标为，根据可列方程，求出，从而可得出，可判断是等腰直角三角形；
（3）联立方程并求解得出，，先求出点B的横坐标，再根据 反比例函数在一次函数图象上方的自变量的取值范围即可解答．
（1）解：把代入得，
∴点A的坐标为，
把代入得，
∴点C的坐标为，
把点和代入得：
，解得，
∴直线对应的函数表达式；
（2）解：由作图可得，即，
设点D的坐标为，
则，
解得，
∴，，
∴，
∴是等腰直角三角形；
（3）解：令，
解得，，
由图像可得关于的不等式的解集为或．
21．如图，已知是的外接圆，，点，分别是，的中点，连接并延长至点，使，连接．
（1）求证：与相切；
（2）若，，求的半径．
【答案】（1）证明：，分别是，的中点，
是的中位线，
，．
，
，
，
四边形是平行四边形，
．
如图，连接，，，
，
，即是的垂直平分线．
，
点在的垂直平分线上，即点，，共线．
，
，
又是的半径，
与相切．
（2）解：，，
，．
，
．
在中，，
，解之，得．
，
的半径为10．
【知识点】平行四边形的判定与性质；圆周角定理；切线的判定；解直角三角形；三角形的中位线定理
【解析】【分析】本题考查三角形的中位线定理，平行四边形的判定和性质，圆周角定理，切线的判定，解直角三角形，熟练掌握相关知识点，是解题的关键．（1）根据题意得是的中位线，可得，．结合可得，即可证明四边形是平行四边形，得到，连接，，，证明点，，共线．可得，即可得证；
（2）由圆周角定理推出，解得，由勾股定理可得即可．
（1）证明：，分别是，的中点，
是的中位线，
，．
，
，
，
四边形是平行四边形，
．
如图，连接，，，
，
，即是的垂直平分线．
，
点在的垂直平分线上，即点，，共线．
，
，
又是的半径，
与相切．
（2）解：，，
，．
，
．
在中，，
，解之，得．
，
的半径为10．
22．综合与实践
问题情境：如图1，矩形是学校花园的示意图，其中一个花坛的轮廓可近似看成由抛物线的一部分与线段组成的封闭图形，点A，B在矩形的边上．现要对该花坛内种植区域进行划分，以种植不同花卉，学校面向全体同学征集设计方案．
方案设计：如图2，米，的垂直平分线与抛物线交于点P，与交于点O，点P是抛物线的顶点，且米．欣欣设计的方案如下：
第一步：在线段上确定点C，使，用篱笆沿线段分隔出区域，种植串串红；
第二步：在线段上取点F（不与C，P重合），过点F作的平行线，交抛物线于点D，E．用篱笆沿将线段与抛物线围成的区域分隔成三部分，分别种植不同花色的月季．
方案实施：学校采用了欣欣的方案，在完成第一步区域的分隔后，发现仅剩6米篱笆材料．若要在第二步分隔中恰好用完6米材料，需确定与的长．为此，欣欣在图2中以所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系．请按照她的方法解决问题：
（1）在图2中画出坐标系，并求抛物线的函数表达式；
（2）求6米材料恰好用完时与的长；
（3）种植区域分隔完成后，欣欣又想用灯带对该花坛进行装饰，计划将灯带围成一个矩形．她尝试借助图2设计矩形四个顶点的位置，其中两个顶点在抛物线上，另外两个顶点分别在线段上．直接写出符合设计要求的矩形周长的最大值．
【答案】（1）解：建立如图所示的平面直角坐标系，
∵所在直线是的垂直平分线，且，
∴．
∴点B的坐标为，
∵，
∴点P的坐标为，
∵点P是抛物线的顶点，
∴设抛物线的函数表达式为，
∵点在抛物线上，
∴，
解得：．
∴抛物线的函数表达式为.
（2）解：∵点D，E在抛物线 上，
∴设点E的坐标为，
∵，交y轴于点F，
∴，，
∴．
∵在中，，
∴．
∴，
根据题息，得，
∴，
解得：（不符合题意，舍去），
∴．
∴，
答：的长为4米，的长为2米．
（3）矩形周长的最大值为米
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】（3）解：如图矩形灯带为，
，，点C在y轴的正半轴，点A在x轴的负半轴，
∴，，
设直线解析式为，
将，代入，
得：，
解得，
∴直线解析式为，
同理可得，直线的表达式，
设点、、、，
则矩形周长，
故矩形周长的最大值为米．
【分析】（1）先建立平面直角坐标系，再利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）设点E的坐标为，先求出，再结合，列出方程求解即可；
（3）先利用待定系数法求出直线AC和BC的表达式，再设点、、、，求出GH和GL的长，最后利用矩形的周长公式列出算式，最后利用二次函数的性质求解即可.
（1）解：建立如图所示的平面直角坐标系，
∵所在直线是的垂直平分线，且，
∴．
∴点B的坐标为，
∵，
∴点P的坐标为，
∵点P是抛物线的顶点，
∴设抛物线的函数表达式为，
∵点在抛物线上，
∴，
解得：．
∴抛物线的函数表达式为；
（2）解：∵点D，E在抛物线 上，
∴设点E的坐标为，
∵，交y轴于点F，
∴，，
∴．
∵在中，，
∴．
∴，
根据题息，得，
∴，
解得：（不符合题意，舍去），
∴．
∴，
答：的长为4米，的长为2米．
（3）解：如图矩形灯带为，
，，点C在y轴的正半轴，点A在x轴的负半轴，
∴，，
设直线解析式为，
将，代入，得：，
解得，
∴直线解析式为，
同理可得，直线的表达式，
设点、、、，
则矩形周长，
故矩形周长的最大值为米．
23．综合与探究
问题情境：如图，在纸片中，，点D在边上，．沿过点D的直线折叠该纸片，使的对应线段与平行，且折痕与边交于点E，得到，然后展平．
猜想证明：（1）判断四边的形状，并说明理由
拓展延伸：（2）如图，继续沿过点D的直线折叠该纸片，使点A的对应点落在射线上，且折痕与边交于点F，然后展平．连接交边于点G，连接．
①若，判断与的位置关系，并说明理由；
②若，，，当是以为腰的等腰三角形时，请直接写出的长
【答案】（1）解：四边形是菱形，理由如下：
由折叠的性质可得，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形；
（2）证明：①，理由如下：
由（1）知四边形是菱形，
∴，
由折叠的性质得到，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
②5或
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；菱形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（2）②∵，，，
∴，
当是以为腰为底的等腰三角形时，如图，延长交于点H，设交点为，则，
∵，，
∴，
∴，
由折叠的性质得，，，
∴，
∴；
∵，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴；
当是以为腰为底的等腰三角形时，如图，则，
同理得，，
设，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
∵是以为腰为底的等腰三角形，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴；
综上，的长为或．
【分析】（1）根据折叠性质可得，，根据直线平行性质可得，则，再根据等角对等边可得，再根据菱形判定定理即可求出答案.
（2）①根据菱形性质可得，由折叠的性质得到，根据边之间的关系可得，根据等边对等角可得，再根据角之间的关系即可求出答案.
②根据勾股定理可得AC，分情况讨论：当是以为腰为底的等腰三角形时，延长交于点H，设交点为，则，根据直线平行性质可得，由折叠的性质得，，，再根据全等三角形判定定理可得，则，根据角之间的关系可得，再根据相似三角形判定定理可得，则，则，根据全等三角形判定定理可得，则，设，根据边之间的关系可得AM，根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算可得AD，再根据边之间的关系可得CG，根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算即可求出答案；当是以为腰为底的等腰三角形时，则，同理得，，设，根据边之间的关系可得AM，根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算可得AD，根据边之间的关系可得CE，根据等腰三角形三线合一性质可得，再根据边之间的关系可得CG，根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算即可求出答案.
1 / 1广东省珠海市九洲中学2025-2026学年第二学期九年级第一次模拟考试 数学试卷
1．的相反数是（　　）
A． B． C． D．
2．下列运算中，正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．2023年9月9日，上海微电子研发的28浸没式光刻机的成功问世，标志着我国在光刻机领域迈出了坚实的一步．已知28为0.000000028米，数据0.000000028用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
4．掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，观察向上一面的点数．下列说法正确的是（　　）
A．出现点数为6的概率是 B．出现点数为0是随机事件
C．出现点数为偶数是必然事件 D．出现点数为奇数是不可能事件
5．一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力方向的夹角的度数为（　　）
A． B． C． D．
6．函数的图象为(　　)
A． B．
C． D．
7．施工队要铺设一段全长3000米的管道，因在中考期间需停工3天，实际每天施工需比原来计划多50米，才能按时完成任务，求实际每天施工多少米 设实际每天施工x米，则根据题意所列方程正确的是 （　　）
A． B．
C． D．
8．如图，已知，以为直径的交于点D，与相切于点A，连接．若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
9．如图，在中，，分别以点为圆心、的长为半径画弧，与的延长线分别交于点．若，则图中阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
10．如图，在中，相交于点O，．过点A作的垂线交于点E，记长为x，长为y．当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（　　）
A． B． C． D．
11．若 在实数范围内有意义，则实数 的取值范围是　 　.
12．分解因式：　 　.
13．如图，E，F，G，H分别为矩形各边的中点．若，，则四边形的周长为　 　．
14．珠海有百岛之市的美誉，甲、乙两游客来到珠海旅游，两人分别从A，B，C三个海岛中随机选择一个海岛游览，甲、乙两人同时选择海岛B的概率为　 　．
15．如图1是一个立方体纸盒的示意图，图2是该立方体纸盒的表面展开图，连结，交于点P，则的值为　 　．
16．计算：
17．先化简，再求值：，其中满足．
18．小丽同学用测角仪测量一棵树的高度，先在该树前平地上选择一点A，站立此处，测得树顶端D的仰角为，再测得点A离树底端B的距离为20米，并测得眼睛所在位置点C离点A的距离为米，请根据这些数据，求出树的高度．（参考数据：，，）
19．为落实国家“双减”政策，某校开展了课后服务，其中在体育类活动中开设了四种运动项目：A乒乓球，B武术，C篮球，D足球．为了解学生最喜欢哪一种运动项目，随机抽取部分学生进行调查（每位学生仅选一种），并将调查结果制成如图尚不完整的统计图表．
（1）本次调查的样本容量是 ，并补全条形统计图；
（2）在扇形统计图中，“B武术”对应的圆心角的度数是 ；
（3）若该校共有1000名学生，请你估计该校最喜欢“A乒乓球”的学生人数．
20．如图，反比例函数和的图象分别与直线依次相交于，，三点．
（1）求出直线对应的函数表达式；
（2）分别以点，为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧相交于点和点．直线交轴于点，连接，．试判断的形状，并说明理由；
（3）请直接写出关于的不等式的解集．
21．如图，已知是的外接圆，，点，分别是，的中点，连接并延长至点，使，连接．
（1）求证：与相切；
（2）若，，求的半径．
22．综合与实践
问题情境：如图1，矩形是学校花园的示意图，其中一个花坛的轮廓可近似看成由抛物线的一部分与线段组成的封闭图形，点A，B在矩形的边上．现要对该花坛内种植区域进行划分，以种植不同花卉，学校面向全体同学征集设计方案．
方案设计：如图2，米，的垂直平分线与抛物线交于点P，与交于点O，点P是抛物线的顶点，且米．欣欣设计的方案如下：
第一步：在线段上确定点C，使，用篱笆沿线段分隔出区域，种植串串红；
第二步：在线段上取点F（不与C，P重合），过点F作的平行线，交抛物线于点D，E．用篱笆沿将线段与抛物线围成的区域分隔成三部分，分别种植不同花色的月季．
方案实施：学校采用了欣欣的方案，在完成第一步区域的分隔后，发现仅剩6米篱笆材料．若要在第二步分隔中恰好用完6米材料，需确定与的长．为此，欣欣在图2中以所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系．请按照她的方法解决问题：
（1）在图2中画出坐标系，并求抛物线的函数表达式；
（2）求6米材料恰好用完时与的长；
（3）种植区域分隔完成后，欣欣又想用灯带对该花坛进行装饰，计划将灯带围成一个矩形．她尝试借助图2设计矩形四个顶点的位置，其中两个顶点在抛物线上，另外两个顶点分别在线段上．直接写出符合设计要求的矩形周长的最大值．
23．综合与探究
问题情境：如图，在纸片中，，点D在边上，．沿过点D的直线折叠该纸片，使的对应线段与平行，且折痕与边交于点E，得到，然后展平．
猜想证明：（1）判断四边的形状，并说明理由
拓展延伸：（2）如图，继续沿过点D的直线折叠该纸片，使点A的对应点落在射线上，且折痕与边交于点F，然后展平．连接交边于点G，连接．
①若，判断与的位置关系，并说明理由；
②若，，，当是以为腰的等腰三角形时，请直接写出的长
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】相反数的意义与性质
【解析】【解答】解：∵互为相反数的两个数只有符号不同，
∴的相反数是，
故答案为：D．
【分析】本题考查相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，根据符号不同，绝对值相同的两个数互为相反数即可解答．
2．【答案】D
【知识点】同底数幂的除法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：
A、，A不符合题意；
B、，B不符合题意；
C、，C不符合题意；
D、，D符合题意；
故答案为：D
【分析】根据合并同类项、完全平方公式、同底数幂的除法、幂的乘方即可求解。
3．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：0.000000028．
故答案为：C．
【分析】本题主要考查用科学记数法表示绝对值小于1的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为0的数字前面0的个数所决定，有几个0，为负几，由此即可得到答案．
4．【答案】A
【知识点】概率公式；事件发生的可能性；概率的简单应用
【解析】【解答】解答：解：A．出现的点数是6的概率是，故A正确，符合题意；
B．出现的点数为0是不可能事件，故B错误，不符合题意；
C．掷一枚质地均匀的正方体骰子，向上一面的点数为偶数是随机事件，故C错误，不符合题意；
D．出现的点数为奇数是随机事件，故D错误，不符合题意；
故答案为：A．
【分析】利用必然事件的定义、不可能事件的定义、随机事件的定义以及概率的计算方法逐项分析判断即可.
5．【答案】C
【知识点】平行线的性质；三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解：重力的方向竖直向下，
重力与水平方向夹角为，
摩擦力的方向与斜面平行，，
，
故选：C．
【分析】根据三角形外角性质即可求出答案.
6．【答案】A
【知识点】一次函数的图象；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：函数为一次函数，其图象是一条直线，可通过求与坐标轴的交点判断选项．
令，则，解得，即函数与x轴的交点为；
令，则，即函数与y轴的交点为；
观察图像，只有A选项与计算结果匹配．
故选：A．
【分析】根据坐标轴上点的坐标特征求出与x，y轴的交点坐标，再根据描点法作出函数图象即可.
7．【答案】D
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：由实际每天施工x米，则原计划每天施工米，
由题意，得：，
故选：D．
【分析】由实际每天施工x米，则原计划每天施工米，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
8．【答案】D
【知识点】圆周角定理；切线的性质；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：∵，
∴．
∵以为直径的与相切于点A，
∴，
∴．
故选：D．
【分析】根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得∠B，根据圆周角定理可得∠BAC，再根据直角三角形两锐角互余即可求出答案.
9．【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质；扇形面积的计算；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
，
故答案为：．
【分析】本题考查了求不规则图形的面积、扇形的面积、勾股定理、三角形定理等知识，由三角形定理可求出，再根据勾股定理求出，再根据，代入相关数据进行计算即可求出答案．
10．【答案】C
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】 解：过点D作交的延长线于点F，
∵的垂线交于点E，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴
∴，
由勾股定理可得，，
，
∴，
∴
∴
即，解得，
∴当x，y的值发生变化时，代数式的值不变的是，
故答案为：C
【分析】过点D作交的延长线于点F，根据平行四边形判定定理可得四边形是平行四边形，则，由直线平行性质可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据勾股定理建立方程，解方程可得，则当x，y的值发生变化时，代数式的值不变的是，即可求出答案.
11．【答案】x≥3
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵ 在实数范围内有意义，
∴x-3≥0
∴x≥3
故填：x≥3.
【分析】 由二次根式有意义的条件可得x-3≥0，求解即可.
12．【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：x3-25x=x(x2-25)=x(x+5)(x-5).
故答案为：x(x+5)(x-5).
【分析】先提取各项的公因式x，再将剩下的商式利用平方差公式进行第二次分解即可.
13．【答案】20
【知识点】矩形的性质；线段的中点；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：在矩形中，，，，
∵E，F，G，H分别为矩形各边的中点，
∴，，
∴在中，，
同理可得，
∴．
故答案为 ：20．
【分析】本题考查了中点的性质，矩形的性质以及勾股定理，根据矩形的性质可得到，，根据各边的中点可得到，，再由勾股定理可求出，即可求出 四边形的周长．
14．【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：由题意可画树状图如下：
由树状图可知，共有9种等可能的情况，其中甲、乙两人同时选择海岛B的情况有1种，
∴所求概率为．
故答案为：．
【分析】本题主要考查画树状图法或列表法、概率公式，先根据题意画出树状图，得出所有等可能的情况以及 甲、乙两人同时选择海岛B的结果数，再利用概率公式进行计算即可得出结果．
15．【答案】
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；正方体的几种展开图的识别；含图案的正方体的展开图
【解析】【解答】解：如图，记与交于点A，则点A是的中点，
∵，，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
又、、是立方体的棱，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
设，，则，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】本题主要考查正方体的展开图，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，如图，根据证明，得，根据正方体的棱长相等可得 ，，再证明，得到，根据，即可求出结果．
16．【答案】解：原式
【知识点】零指数幂；求特殊角的三角函数值；实数的绝对值；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先根据零指数幂的性质“任何一个不为零的数的零次幂都等于1”、二次格式的性质、特殊锐角三角函数值、绝对值的性质分别化简，再计算乘法，最后计算有理数的减法及合并同类二次根式即可.
17．【答案】解：原式
，
，
，
∴原式
．
【知识点】分式的混合运算；分式的化简求值-整体代入
【解析】【分析】根据分式的混合运算，结合完全平方公式化简，由题意可得，再代入原式，化简即可求出答案.
18．【答案】解：由题意，得，，
，，
在中，，
，
．
答：树的高度为米．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】本题主要考查解直角三角形的应用，根据题意得四边形是矩形，可得，，在中由正切函数得，求出，再由即可求解．
19．【答案】（1），
B项目的人数为：
补全条形统计图如下：
（2）18
（3）解：(名)，
∴估计该校最喜欢“A乒乓球”的学生人数大约名．
【知识点】总体、个体、样本、样本容量；扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：本次调查的样本容量是，
故答案为：．
（2）解：在扇形统计图中，“B武术”对应的圆心角的度数是：
，
故答案为：．
【分析】（1）根据C项目的人数与占比可得总人数，求出B项目的人数，再补全图形即可.
（2）根据360°乘以B项目的占比即可求出答案.
（3）根据1000乘以A项目的占比即可求出答案.
（1）解：本次调查的样本容量是，
B项目的人数为：
补全条形统计图如下：
故答案为：．
（2）解：在扇形统计图中，“B武术”对应的圆心角的度数是：
，
故答案为：．
（3）解：(名)，
∴估计该校最喜欢“A乒乓球”的学生人数大约名．
20．【答案】（1）解：把代入得，
∴点A的坐标为，
把代入得，
∴点C的坐标为，
把点和代入得：
，解得，
∴直线对应的函数表达式；
（2）解：是等腰直角三角形，理由如下：
由作图可得，即，设点D的坐标为，
则，
解得，
∴，，
∴，
∴是等腰直角三角形；
（3）或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；线段垂直平分线的性质；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】（3）解：令，
解得，，
由图像可得关于的不等式的解集为或．
【分析】本题考查运用待定系数法求一次函数解析式，作线段垂直平分线，线段垂直平分线的性质，勾股定理的逆定理以及反比例函数和一次函数的综合，解答本题的关键．
（1）把点 代入 反比例函数，可求出，得到点；
把代入得得把点，再运用待定系数法可求出 直线对应的函数表达式；
（2）由作图可知，直线是线段的垂直平分线，可得，是等腰三角形，设点D的坐标为，根据可列方程，求出，从而可得出，可判断是等腰直角三角形；
（3）联立方程并求解得出，，先求出点B的横坐标，再根据 反比例函数在一次函数图象上方的自变量的取值范围即可解答．
（1）解：把代入得，
∴点A的坐标为，
把代入得，
∴点C的坐标为，
把点和代入得：
，解得，
∴直线对应的函数表达式；
（2）解：由作图可得，即，
设点D的坐标为，
则，
解得，
∴，，
∴，
∴是等腰直角三角形；
（3）解：令，
解得，，
由图像可得关于的不等式的解集为或．
21．【答案】（1）证明：，分别是，的中点，
是的中位线，
，．
，
，
，
四边形是平行四边形，
．
如图，连接，，，
，
，即是的垂直平分线．
，
点在的垂直平分线上，即点，，共线．
，
，
又是的半径，
与相切．
（2）解：，，
，．
，
．
在中，，
，解之，得．
，
的半径为10．
【知识点】平行四边形的判定与性质；圆周角定理；切线的判定；解直角三角形；三角形的中位线定理
【解析】【分析】本题考查三角形的中位线定理，平行四边形的判定和性质，圆周角定理，切线的判定，解直角三角形，熟练掌握相关知识点，是解题的关键．（1）根据题意得是的中位线，可得，．结合可得，即可证明四边形是平行四边形，得到，连接，，，证明点，，共线．可得，即可得证；
（2）由圆周角定理推出，解得，由勾股定理可得即可．
（1）证明：，分别是，的中点，
是的中位线，
，．
，
，
，
四边形是平行四边形，
．
如图，连接，，，
，
，即是的垂直平分线．
，
点在的垂直平分线上，即点，，共线．
，
，
又是的半径，
与相切．
（2）解：，，
，．
，
．
在中，，
，解之，得．
，
的半径为10．
22．【答案】（1）解：建立如图所示的平面直角坐标系，
∵所在直线是的垂直平分线，且，
∴．
∴点B的坐标为，
∵，
∴点P的坐标为，
∵点P是抛物线的顶点，
∴设抛物线的函数表达式为，
∵点在抛物线上，
∴，
解得：．
∴抛物线的函数表达式为.
（2）解：∵点D，E在抛物线 上，
∴设点E的坐标为，
∵，交y轴于点F，
∴，，
∴．
∵在中，，
∴．
∴，
根据题息，得，
∴，
解得：（不符合题意，舍去），
∴．
∴，
答：的长为4米，的长为2米．
（3）矩形周长的最大值为米
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】（3）解：如图矩形灯带为，
，，点C在y轴的正半轴，点A在x轴的负半轴，
∴，，
设直线解析式为，
将，代入，
得：，
解得，
∴直线解析式为，
同理可得，直线的表达式，
设点、、、，
则矩形周长，
故矩形周长的最大值为米．
【分析】（1）先建立平面直角坐标系，再利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）设点E的坐标为，先求出，再结合，列出方程求解即可；
（3）先利用待定系数法求出直线AC和BC的表达式，再设点、、、，求出GH和GL的长，最后利用矩形的周长公式列出算式，最后利用二次函数的性质求解即可.
（1）解：建立如图所示的平面直角坐标系，
∵所在直线是的垂直平分线，且，
∴．
∴点B的坐标为，
∵，
∴点P的坐标为，
∵点P是抛物线的顶点，
∴设抛物线的函数表达式为，
∵点在抛物线上，
∴，
解得：．
∴抛物线的函数表达式为；
（2）解：∵点D，E在抛物线 上，
∴设点E的坐标为，
∵，交y轴于点F，
∴，，
∴．
∵在中，，
∴．
∴，
根据题息，得，
∴，
解得：（不符合题意，舍去），
∴．
∴，
答：的长为4米，的长为2米．
（3）解：如图矩形灯带为，
，，点C在y轴的正半轴，点A在x轴的负半轴，
∴，，
设直线解析式为，
将，代入，得：，
解得，
∴直线解析式为，
同理可得，直线的表达式，
设点、、、，
则矩形周长，
故矩形周长的最大值为米．
23．【答案】（1）解：四边形是菱形，理由如下：
由折叠的性质可得，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形；
（2）证明：①，理由如下：
由（1）知四边形是菱形，
∴，
由折叠的性质得到，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
②5或
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；菱形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（2）②∵，，，
∴，
当是以为腰为底的等腰三角形时，如图，延长交于点H，设交点为，则，
∵，，
∴，
∴，
由折叠的性质得，，，
∴，
∴；
∵，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴；
当是以为腰为底的等腰三角形时，如图，则，
同理得，，
设，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
∵是以为腰为底的等腰三角形，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴；
综上，的长为或．
【分析】（1）根据折叠性质可得，，根据直线平行性质可得，则，再根据等角对等边可得，再根据菱形判定定理即可求出答案.
（2）①根据菱形性质可得，由折叠的性质得到，根据边之间的关系可得，根据等边对等角可得，再根据角之间的关系即可求出答案.
②根据勾股定理可得AC，分情况讨论：当是以为腰为底的等腰三角形时，延长交于点H，设交点为，则，根据直线平行性质可得，由折叠的性质得，，，再根据全等三角形判定定理可得，则，根据角之间的关系可得，再根据相似三角形判定定理可得，则，则，根据全等三角形判定定理可得，则，设，根据边之间的关系可得AM，根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算可得AD，再根据边之间的关系可得CG，根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算即可求出答案；当是以为腰为底的等腰三角形时，则，同理得，，设，根据边之间的关系可得AM，根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算可得AD，根据边之间的关系可得CE，根据等腰三角形三线合一性质可得，再根据边之间的关系可得CG，根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算即可求出答案.
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