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广东深圳市布心中学2025—2026学年九年级下学期数学第一次质量检测试题
1．如图是简易高低柜示意图，它的左视图是（　　）
A． B．
C． D．
2．下列说法中正确的有（　　）
①所有的圆都是形状相同的图形；
②所有的正方形都是形状相同的图形；
③所有的等腰三角形都是形状相同的图形；
④所有的矩形都是形状相同的图形．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．如图，某一时刻两个建筑物和在太阳光照射下影子的端点刚好重合在地面的点E处，若米，米，米（点B、D、E在同一水平线上，A、B、C、D、E在同一平面内），则建筑物的高度为（　　）
A．8米 B．16米 C．24米 D．32米
4．有一种细胞分裂，1个细胞通过一次分裂后共有x个细胞．某一个细胞按前面方式经过两次分裂后，共得到225个细胞，那么根据题目条件求x，可以列方程为（　　）
A．x2＝225 B．1+x+x2＝225
C．1+x+x（1+x）＝225 D．x（1+x）＝225
5．在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，3），点B的坐标为（﹣2，2）．将二次函数y＝mx2﹣2mx+m﹣2（m≠0）的图象先向左平移a（a＞0）个单位长度，再向上平移b（b＞0）个单位长度得到图象M，使得图象M的顶点落在线段AB上．关于a，b的取值，三人的说法如下：
甲：a＝1，b＝5；乙：；丙：a＝3，b＝4．
下列判断正确的是（　　）
A．只有甲和乙对 B．只有甲和丙对
C．只有乙和丙对 D．甲、乙、丙都对
6．如图，在直角坐标系中，一次函数y1＝x﹣2与反比例函数y2的图象交于A，B两点，下列结论正确的是（　　）
A．当x＞3时，y1＜y2 B．当x＜﹣1时，y1＜y2
C．当0＜x＜3时，y1＞y2 D．当﹣1＜x＜0时，y1＜y2
7．《九章算术》是我国数学经典，上面记载：“今有邑方不知大小，各中开门．出北门三十步有木，出西门七百五十步见木．问邑方几何？”其意思是：如图，已知正方形小城ABCD，点E，G分别为CD，AD的中点，EF⊥CD，GH⊥AD，点F，D，H在一条直线上，EF＝30步，GH＝750步．正方形小城ABCD的边长是（　　）
A．150步 B．200步 C．250步 D．300步
8．春日暖阳，小宇去爬山，在出发点C处测得山顶部A的仰角为30度，在爬山过程中，每一段平路（CD、EF、GH）与水平线平行，每一段上坡路（DE、FG、HA）与水平线的夹角都是45度，在下山路线有一点B（B、C、D同一水平线上），斜坡AB的坡度为2：1，且AB长为900．若小宇走平路的速度为73米/分，走上坡路的速度为40米/分，走下坡路的速度为45米/分．小宇从C处出发到达坡顶A后，欣赏风景停留了40分钟，随后一路下坡到山脚另一边的B处，在整个行程中，小宇共耗时（　　）（参考值1.41，1.73，2.24）
A．83分钟 B．84分钟 C．123分钟 D．124分钟
9．若，则的值为　 　．
10．若x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣4＝0的两个实数根，则　 　 ．
11．已知点P是线段AB的黄金分割点，AP＞PB．若AB＝2，则BP＝　 　 ．
12．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，2），点C在x轴的负半轴上，点D在反比例函数的图象上，过点A作AE⊥x轴，交该反比例函数图象于点E，连接BE，则△ABE的面积为　 　 ．
13．如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，过点C作CE⊥AB，交AB的延长线于点E，连接EO并延长，交AD于点F，EF与BC相交于点G，若∠ABC＝120°，则下列结论：①∠CAB＝30°；②S△OBG：S四边形ABOF＝1：6；③OD2＝BG BC；④；⑤CE：EF＝2：3．其中结论正确的是 　 　 ．
14．
（1）计算：（）﹣1+（π﹣3.14）0cos45°；
（2）化简：（1+a）（1﹣a）+a（a﹣3）．
15．我市某学校落实立德树人根本任务，构建“五育并举”教育体系，开设了“厨艺、园艺、电工、木工、编织”五大类劳动课程．为了解七年级学生对每类课程的选择情况，随机抽取了七年级若干名学生进行调查（每人只选一类最喜欢的课程），将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图：
（1）本次随机调查的学生人数为 ▲ 人，并补全条形统计图；
（2）若该校七年级共有1200名学生，请估计该校七年级学生选择“厨艺”劳动课程的人数；
（3）七（1）班计划在“园艺、电工、木工、编织”四大类劳动课程中任选两类参加学校期末展示活动，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中“园艺、编织”这两类劳动课程的概率．
16．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（﹣2，2），B（﹣4，0），C（﹣4，﹣4），以原点O为位似中心，在y轴的右侧，画出△ABC的位似图形△A'B'C'，使它与△ABC的相似比为1：2．
（1）请画出△A'B'C'；
（2）若点M（a，b）为AC边上一点，则点M的对应点M'的坐标是　 　 ；
（3）△A'B'C'的面积为　 　 ．
17．某种油菜籽在相同条件下的发芽试验结果如表：
每批粒数n 100 150 200 500 800 1000
发芽的粒数m 65 111 136 345 560 700
发芽的频率 0.65 0.74 0.68 0.69 a b
（1）表中a＝　 　 ，b＝　 　 ．
（2）估计这种油菜籽发芽的概率，请简要说明理由．
（3）若该种油菜籽发芽后的成秧率为90%，则在相同条件下，种10000粒该种油菜籽大约可得到油菜秧苗多少棵？
18．如图，△ABC中，BA＝BC＝13，AC＝10，∠ABC的平分线与边AC交于点F，与外角∠ACD的平分线交于点E．
（1）求sinA的值；
（2）求点E到直线BD的距离．
19．有趣的“速叠杯”
“速叠杯”是一项好玩的手部运动．它的叠放方式如图：从下往上，最底层摆若干个杯子，每往上一层减少1个杯子，直到顶层只有1个杯子，形成一个“塔”形．
小丽在活动中记录了不同叠放情况下杯子的总数：
最底层杯子数 x 1 2 3 4 5
杯子总数 y 1 3 6 10 15
（1）观察表格，当最底层有6个杯子时，杯子的总数是　 　 个．
（2）通过观察杯子的摆放规律，用an表示图n的弹珠数，其中n＝1，2，3，…，表示图n的弹珠数，n＝1，2，3，…，小丽发现
当塔有1层时，杯子总数：个杯子
当塔有2层时，杯子总数：个杯子
当塔有3层时，杯子总数：个杯子
当塔有4层时，杯子总数：个杯子
…
根据以上规律：
①当塔有100层时，杯子总数是　 　 个；
②要摆一个n层的“速叠杯“塔，一共需要　 　 个杯子（用含n的式子表示）．
③若现有120个杯子，按照这种叠放方式，能恰好叠放成一个完整的“速叠杯”塔，n＝　 　 ．
（3）结合上面探究求值：．
（4）小丽想用这种杯子摆出一个高大的“速叠杯”塔．已知每个杯子的侧面展开图如图2所示，ND，MA分别为上、下底面圆的半径，MN＝20cm，弧AB的长为12π cm，将这样足够数量的杯子摆成“速叠杯”塔，但受桌面长度限制，最底层摆放杯子的总长度不超过96cm，求杯子叠放达到的最大高度和此时杯子的总数．（提示：杯子下底面圆周长与弧AB的长度相等）
20．综合与实践
在一节数学课上，张老师提出了这样一个问题：如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，D是边BC上一动点（不与点B重合），，BE⊥DE，DE交AB于点F．猜想线段BE，DF之间的数量关系并说明理由．
小聪与同桌小明讨论后，仍不得其解．张老师给出提示：“数学中常通过把一个问题特殊化来找到解题思路．”两人茅塞顿开，于是进行了如下讨论，请仔细阅读，并完成相应的任务．
小聪：已知点D是动点，因此可以将点D移动到一个特殊的位置．当点D与点C重合时， 如图2所示．此时可以分别延长BE，CA交于点H，如图3所示，可知△CBH是等腰三角形，证明△ABH≌△ACF，从而得出线段BE，DF之间的数量关系． 小明：对于图2，我有不同的证明方法，过点F分别作BE，AC的平行线，交边BC于点M， N，如图4所示，可知△BEF∽△CFM，且FN＝MN＝CN，又∵FN＝FB，可得△BEF与△CFM的相似比为1：2，从而得出线段BE，DF之间的数量关系．
任务一：如图2，猜想线段BE，DF之间的数量关系为 ▲ ；
任务二：通过阅读上述讨论，请在小聪与小明的方法中选择一种，就图1中的情形判断线段BE，DF之间的数量关系，并给出证明；
任务三：若AB＝4，其他条件不变，当△ADF是直角三角形时，直接写出BD的长．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：根据左视图特征可知：从左边看是一个矩形，矩形中部有一条横向的虚线．
故答案为：C．
【分析】左视图是从左边看得到的图形．据此解答即可．
2．【答案】B
【知识点】图形的相似；相似多边形
【解析】【解答】解：A、①所有的圆都是形状相同的图形，故①正确；
②所有的正方形都是形状相同的图形，故②正确；
③所有的等腰三角形不一定都是形状相同的图形，故③不正确；
④所有的矩形不一定都是形状相同的图形，故④不正确；
综上所述：上列说法中正确的有2个，
故答案为：B．
【分析】根据相似多边形的定义，逐一判断即可解答．
3．【答案】C
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：由题意得：，
∵米，米，米
∴
∴（米）．
故选：C．
【分析】根据平行线分线段成比例定理即可求出答案.
4．【答案】A
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：根据题意可得：x2＝225．
故答案为：A．
【分析】细胞分裂每次使细胞数量变为原来的x倍，经过两次分裂后细胞总数为x2，据此列方程即可．
5．【答案】D
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：∵y＝mx2 2mx＋m 2＝m（x 1）2 2，
∴二次函数的顶点坐标为（1， 2），
对于甲说法，将（1， 2）先向左平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度后，平移后顶点的坐标为（0，3），甲正确；
对于乙说法，将（1， 2）先向左平移2个单位长度，再向上平移个单位长度后，平移后顶点的坐标为( 1，)，
∵点A的坐标为（0，3），点B的坐标为（ 2，2），
∴线段AB的中点坐标为(，)，即( 1，)，
∴平移后该点恰好在AB的中点处，乙正确；
对于丙说法，将（1， 2）先向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度后，平移后点的坐标为（ 2，2），丙正确．
故答案为：D．
【分析】将二次函数一般式化为顶点式得到顶点坐标，结合题意的平移规律进行判定即可．
6．【答案】B
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：由题意得：
当x＞3时，y1＞y2，故选项A结论错误，不符合题意；
当x＜ 1时，y1＜y2，故选项B结论正确，符合题意；
当0＜x＜3时，y1＜y2，故选项C结论错误，不符合题意；
当 1＜x＜0时，y1＞y2，故选项D结论错误，不符合题意．
故答案为：B．
【分析】结合函数图象以及A、B的坐标解答即可．
7．【答案】D
【知识点】正方形的性质；相似三角形的实际应用
【解析】【解答】解：∵点E，G分别为CD，AD的中点，
∴，，
∴，
又题意可得，，
∴，
∴，
而EF＝30步，GH＝750步，
即，
∴，
解得：，
∴步；
故答案为：D.
【分析】先证出，再利用相似三角形的性质可得，再将数据代入求出，再求出步即可.
8．【答案】C
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：作AM⊥BC于点M，则∠AMC＝∠AMB＝90°，
∵斜坡AB的坡度为2：1，AB＝900米，
∴AM＝1800米，
由题意得：∠ACB＝30°，
∴CM＝1800米，
∵每一段上坡路（DE、FG、HA）与水平线的夹角都是45度，
∴DE＋GF＋AH＝AN，∠ANM＝45°，
∴MN＝AM＝1800米，AN＝1800米，
∴CN＝CM MN＝（1800 1800）米，
∵每一段平路（CD、EF、GH）与水平线平行，
∴CD＋EF＋GH＝CN＝（1800 1800）米，
∴小宇共耗时（分），
故答案为：C．
【分析】易得上坡路总长为AN的长度，平路总长为CN的长度，下坡路总长为AB的长度，分别除以相应的速度，加上欣赏风景的时间，即为总耗时．
9．【答案】
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：，
，
故答案为：．
【分析】根据比例的性质即可求出答案.
10．【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵x2 2x 4＝0，
∴a＝1，b＝ 2，c＝ 4，
∴x1＋x2＝ ＝2，x1x2＝＝ 4，
∴．
故答案为：．
【分析】由x2 2x 4＝0得a＝1，b＝ 2，c＝ 4，根据x1＋x2＝ ，x1x2＝即可．
11．【答案】
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：因为点P是线段AB的黄金分割点，AP＞PB，
所以．
因为AB＝2，
所以AP＝，
所以BP＝AB AP＝2 （ 1）＝．
故答案为：．
【分析】根据黄金分割的定义进行计算即可.
12．【答案】3
【知识点】三角形的面积；矩形的性质；坐标与图形变化﹣平移；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵矩形ABCD的顶点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，2），
∴∠ABC＝90°，OA＝4，OB＝2，
∵BO⊥AC，
∴OB2＝OC OA，
∴OC＝＝1，
∴C（ 1，0），
∵四边形ABCD是矩形，点B向下平移2个单位，向右平移4个单位得到点A，
∴C（ 1，0）向下平移2个单位，向右平移4个单位得到点D（3， 2），
∵点D在反比例函数y＝的图象上，
∵k＝3×（ 2）＝ 6，
∴y＝ ，
∵AE⊥x轴，交该反比例函数图象于点E，
∴点E的横坐标为4，
把x＝4代入y＝ ，得y＝ ，
∴E（4， ），
∴AE＝，
∴S△ABE＝AE OA＝××4＝3，
故答案为：3．
【分析】首先利用射影定理求得OC，即可求得C的坐标，然后根据矩形的性质求得点D的坐标，进而利用待定系数法求得反比例函数的解析式，从而求得点E的坐标，最后利用三角形面积公式即可求解．
13．【答案】①③⑤
【知识点】菱形的性质；解直角三角形；四边形的综合；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：①∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝120°，
∴BD＝2BO＝2DO，AB＝AD，AC⊥BD，∠ABD＝∠OBC＝∠ABC＝60°，AD∥BC，
∴△ABD是等边三角形，
∴AD＝BD，
∵∠ABC＝120°，AC⊥BD，
∴∠CBE＝60°，
∴∠CAB＝30°；故①正确；∠OBC＝∠CEB，
∵∠BOC＝∠BEC＝90°，BC＝BC，
∴△BOC≌△BEC（ASA），
∴BO＝BE，
∴BG⊥OE，
∵CE⊥AB，AD∥BC，
∴∠BOG＝30°，EF⊥AD，
∴∠OFD＝∠OGB＝90°，
设BG＝x，
∴BO＝2x，OG＝＝x，
∴BD＝2BO＝4x，
∴AD＝4x，
∴AD＝4x，
在△OFD和△OGB中，
，
∴△OFD≌△OGB（AAS），
∴OF＝OG＝x，
∴FG＝2x，
∴S△OBG＝BG OG＝x2，S△ODF＝x2，
S四边形ABOF＝S△ABD S△ODF＝AD FG x2＝4x2 x2＝
S△OBG：S四边形ABOF＝x2：＝1：7；故此项②错误；
②∵AC⊥BD，∠OBC＝60°，
∴∠OCB＝∠GOB＝30°，
∵∠OBG＝∠CBO，
∴△OBG∽△CBO，
∴，
∴OB2＝BG BC，
∴OD2＝BG BC 故此项③正确；
③由①得tan∠BOG＝tan30°＝，故此项④错误；
④由①得BE＝OB＝2x，DF＝x，AF＝3x，
∴CE＝＝，EF＝AF tan60°＝3x，
∴CE：EF＝2x：3x＝2：3，故此项⑤正确；
故答案为：①③⑤．
【分析】①由菱形的性质得出AC⊥BD，根据∠ABC＝120°，即可知∠CAB＝30°；
②由菱形的性质及等边三角形的判定方法得△ABD是等边三角形，由直角三角形的特征及勾股定理得设BG＝x，OG＝＝x，由S△OBG＝BG OG，S四边形ABOF＝S△ABD S△ODF，即可判断；
③由相似三角形的判定方法得△OBG∽△CBO，由相似三角形的性质得，即可判断；
④由②得tan∠BOG＝tan30°＝即可判断；
⑤由勾股定理得CE＝由三角函数得EF＝AF tan60°，即可判断．
14．【答案】（1）解：原式＝2+1﹣2
＝3﹣2
＝1；
（2）解：原式＝1﹣a2+a2﹣3a
＝1﹣3a.
【知识点】整式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】（1）先根据负整数指数幂、零指数幂的运算法则计算前两项，再化简根式并代入特殊角的三角函数值计算第三项，最后将三项结果进行加减运算得到最终结果；
（2）先利用平方差公式展开（1＋a）（1 a），再用单项式乘多项式的法则展开a（a 3），最后合并同类项完成化简．
15．【答案】（1）解：60； 60﹣15﹣18﹣9﹣6＝12（人），补全条形统计图如图所示：
（2）解：1200300（人），
答：该校七年级1200名学生中选择“厨艺”劳动课程的大约有300人；
（3）解：用列表法表示所有可能出现的结果如下：
第1项 第2项 园艺 电工 木工 编织
园艺 ﹣ 电工 园艺 木工 园艺 编织 园艺
电工 园艺 电工 ﹣ 木工 电工 编织 电工
木工 园艺 木工 电工 木工 ﹣ 编织 木工
编织 园艺 编织 电工 编织 木工 编织 ﹣
共有12种可能出现的结果，其中选中“园艺、编织”的有2种，
∴P（园艺、编织）．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：（1）18÷30%＝60（人），
故答案为：60；
【分析】（1）从两个统计图中可得，选择“园艺”的有18人，占调查人数的30%，可求出调查人数；求出选择“编制”的人数，即可补全条形统计图；
（2）样本中，选择“厨艺”的占，因此估计总体1200人的是选择“厨艺”的人数．
（3）用列表法表示所有可能出现的结果，进而计算选中“园艺、编织”的概率．
16．【答案】（1）解：如图，△A'B'C'即为所求；
（2）
（3）1
【知识点】三角形的面积；作图﹣相似变换；位似变换；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：（2）∵点M（a，b）为AC边上一点，△A'B'C'与△ABC的相似比为1：2．
∴点M'的坐标为，
故答案为：；
（3）△A'B'C'的面积为，
故答案为：1．
【分析】（1）根据位似的性质作图即可；
（2）由位似变换可得，点M的横纵坐标分别除以 2，即可得点M'的横纵坐标；
（3）利用长方形的面积减去两个直角三角形的面积即可得到△A'B'C'的面积．
17．【答案】（1）0.70；0.70
（2）解：这种油菜籽发芽的概率估计值是0.70，
（3）解：10000×0.70×90%＝6300（棵），
答：10000粒该种油菜籽可得到油菜秧苗6300棵．
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：（1）a0.70，b0.70，
故答案为：0.70，0.70；
【分析】（1）用发芽的粒数m÷每批粒数n即可得到发芽的频率；
（2）6批次种子粒数从100粒逐渐增加到1000粒时，种子发芽的频率趋近于0.7，所以估计当n很大时，频率将接近0.7；
（3）首先计算发芽的种子数，然后乘以90%计算得到油菜秧苗的棵数即可．
18．【答案】（1）解：∵AB＝BC＝13，AC＝10，∠ABC的平分线与边AC交于点F，
∴∠ABF＝∠FBC，BF⊥AC，AFAC＝5．
在Rt△ABF中，
BF12．
∴sinA
（2）解：过点E作EG⊥BD，垂足为G．
∵CE平分∠ACD，EF⊥AC，EG⊥BD，
∴EF＝EG．
在Rt△ABF中，
∵sin∠ABF，
在Rt△EBG中，
∵sin∠EBC＝sin∠ABF，
∴13EF＝5×12+5EF．
∴8EF＝60．
∴EF．
答：点E到直线BD的距离是．
【知识点】角平分线的性质；勾股定理；求正弦值
【解析】【分析】（1）利用等腰三角形的性质和勾股定理先求出BF，再求出∠A的正弦；
（2）过点E作EG⊥BD，在直角三角形ABF中先求出∠ABF的正弦，再利用角平分线的性质说明EF与EG、∠ABF与∠FBC的关系，利用直角三角形的边角间关系列方程求解得结论．
19．【答案】（1）21
（2）5050；；15
（3）解：
...
＝2×（...）
＝2×（1...）
＝2×（1）
＝2
（4）解：根据题意得：12π＝2π×MA，
解得：MA＝6cm；
∵第一层摆放杯子的总长度不超过96cm，
设第一层杯子的个数为x个，则6×2x≤96，
解得：x≤8，
∴x取最大值为8，
∴第一层摆放杯子8个，
∴杯子的总数为32（个）；
∵MN＝20cm，
∴最大高度为：8MN＝8×20＝160（cm）．
【知识点】用代数式表示图形变化规律；探索规律-图形的个数规律
【解析】【解答】解：（1）当最底层有6个杯子时，杯子的总数是：6+5+4+3+2+1＝21（个），
故答案为：21；
（2）当塔有1层时，杯子总数：个杯子
当塔有2层时，杯子总数：个杯子
当塔有3层时，杯子总数：个杯子
当塔有4层时，杯子总数：个杯子
…
根据以上规律：
①当塔有100层时，杯子总数是a100＝1+2+3+4+...+1005050（个）；
②要摆一个n层的“速叠杯“塔，一共需要；
③令120，
整理得：n2+n﹣240＝0，
解得：n1＝15，n2＝﹣16（舍去），
∴n＝15．
故答案为：①5050；②；③15；
【分析】（1）观察表格规律进行计算即可；
（2）①根据摆放规律填写即可；②根据摆放规律可得要摆一个n层的“速叠杯”塔，一共需要个杯子；③根据题意得＝120，求出n＝15即可；
（3）由（2）可得an＝，则＝＝2()，运用此规律可进行计算；
（4）求出杯子底面直径，可求出最底一层杯子的数量，得出杯子层数，从而可求杯子叠放达到的最大高度和此时杯子的总数．
20．【答案】解：任务一：2BE＝DF；任务二：选择小明的方法：2BE＝DF．
证明：如图4，过点F分别作BE，AC的平行线，交BC于点 M，N，
∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，
∴∠C＝∠ABC＝45°，
∵FN∥AC，∠BFN＝∠BAC＝90°，∠BNF＝∠C＝45°，
∴BF＝FN．
∵∠BNF＝∠NFD+∠EDB，，
∴．
∴FN＝DN．
∵FM∥BE．
∴∠EBF＝∠BFM，∠DFM＝∠DEB．
∵BE⊥DE，
∴∠DEB＝∠DFM＝∠EFM＝90°．
∴∠BFN＝∠DFM＝90°，
即∠BFM+∠MFN＝∠MFN+∠NFD＝90°，
∴∠EBF＝∠BFM＝∠NFD＝∠EDB．
∴△EBF∽△FDM．
∴，∠BFE＝∠DMF．
∵∠EFM＝∠BFN＝90°，
即∠BFE+∠BFM＝∠BFM+∠MFN＝90°，
∴∠BFE＝∠MFN＝∠DMF．
∴BF＝FN＝MN＝DN．
∴，
∴2BE＝DF．
任务三： 或 ，
由题意，可分以下两种情况 进行讨论．
①如图5，当∠DAF＝90° 时，点D与点C重合，
∴BDAB＝4；
②如图6，当∠ADF＝90° 时，
∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，
∴∠C＝∠ABC＝45°，
∵，∠ADF＝90°，
∴∠ADC＝67.5°，
∴∠CAD＝180°﹣67 5°﹣45°＝67.5°，
∴∠CAD＝∠ADC．
∴AC＝CD． ，
综上所述，BD的长为 或 ．
【知识点】三角形全等的判定-ASA；三角形的综合；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：任务一：如图3，分别延长BE，CA交于点H，
∵，BE⊥DE，
∴∠ACF＝∠BCF，∠BEF＝∠CEH＝90°，
∵CE＝CE，
∴△CBE≌△CHE（ASA），
∴BE＝HE，
∴BH＝2BE；
∵∠BAC＝90°，
∴∠CAF＝∠BEF，
∵∠BFE＝∠AFC，
∴∠ABH＝∠ACF，
∵AB＝AC，
∴△ABH≌△ACF（ASA），
∴BH＝CF，
∴2BE＝DF；
故答案为：2BE＝DF；
【分析】任务一：如图3，分别延长BE，CA交于点H，根据等腰直角三角形的性质、角平分线的定义，全等三角形的判定和性质定理即可得到结论；
任务二：如图4，过点F分别作BE，AC的平行线，交BC于点 M，N，如解图1所示．根据等腰直角三角形 到现在得到∠C＝∠ABC＝45°，求得BF＝FN．推出FN＝DN．根据平行线的性质得到∠EBF＝∠BFM，∠DFM＝∠DEB．根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论；
任务三：由题意，可分以下两种情况 进行讨论．①如图5，当∠DAF＝90° 时，点D与点C重合，根据等腰直角三角形的性质得到BD＝AB＝4；②如图6，当∠ADF＝90° 时，根据等腰直角三角形的性质得到∠C＝∠ABC＝45°，求得∠ADC＝67.5°，得到∠CAD＝∠ADC．根据等腰三角形的性质得到AC＝CD，于是得到结论．
1 / 1广东深圳市布心中学2025—2026学年九年级下学期数学第一次质量检测试题
1．如图是简易高低柜示意图，它的左视图是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：根据左视图特征可知：从左边看是一个矩形，矩形中部有一条横向的虚线．
故答案为：C．
【分析】左视图是从左边看得到的图形．据此解答即可．
2．下列说法中正确的有（　　）
①所有的圆都是形状相同的图形；
②所有的正方形都是形状相同的图形；
③所有的等腰三角形都是形状相同的图形；
④所有的矩形都是形状相同的图形．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】图形的相似；相似多边形
【解析】【解答】解：A、①所有的圆都是形状相同的图形，故①正确；
②所有的正方形都是形状相同的图形，故②正确；
③所有的等腰三角形不一定都是形状相同的图形，故③不正确；
④所有的矩形不一定都是形状相同的图形，故④不正确；
综上所述：上列说法中正确的有2个，
故答案为：B．
【分析】根据相似多边形的定义，逐一判断即可解答．
3．如图，某一时刻两个建筑物和在太阳光照射下影子的端点刚好重合在地面的点E处，若米，米，米（点B、D、E在同一水平线上，A、B、C、D、E在同一平面内），则建筑物的高度为（　　）
A．8米 B．16米 C．24米 D．32米
【答案】C
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：由题意得：，
∵米，米，米
∴
∴（米）．
故选：C．
【分析】根据平行线分线段成比例定理即可求出答案.
4．有一种细胞分裂，1个细胞通过一次分裂后共有x个细胞．某一个细胞按前面方式经过两次分裂后，共得到225个细胞，那么根据题目条件求x，可以列方程为（　　）
A．x2＝225 B．1+x+x2＝225
C．1+x+x（1+x）＝225 D．x（1+x）＝225
【答案】A
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：根据题意可得：x2＝225．
故答案为：A．
【分析】细胞分裂每次使细胞数量变为原来的x倍，经过两次分裂后细胞总数为x2，据此列方程即可．
5．在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，3），点B的坐标为（﹣2，2）．将二次函数y＝mx2﹣2mx+m﹣2（m≠0）的图象先向左平移a（a＞0）个单位长度，再向上平移b（b＞0）个单位长度得到图象M，使得图象M的顶点落在线段AB上．关于a，b的取值，三人的说法如下：
甲：a＝1，b＝5；乙：；丙：a＝3，b＝4．
下列判断正确的是（　　）
A．只有甲和乙对 B．只有甲和丙对
C．只有乙和丙对 D．甲、乙、丙都对
【答案】D
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：∵y＝mx2 2mx＋m 2＝m（x 1）2 2，
∴二次函数的顶点坐标为（1， 2），
对于甲说法，将（1， 2）先向左平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度后，平移后顶点的坐标为（0，3），甲正确；
对于乙说法，将（1， 2）先向左平移2个单位长度，再向上平移个单位长度后，平移后顶点的坐标为( 1，)，
∵点A的坐标为（0，3），点B的坐标为（ 2，2），
∴线段AB的中点坐标为(，)，即( 1，)，
∴平移后该点恰好在AB的中点处，乙正确；
对于丙说法，将（1， 2）先向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度后，平移后点的坐标为（ 2，2），丙正确．
故答案为：D．
【分析】将二次函数一般式化为顶点式得到顶点坐标，结合题意的平移规律进行判定即可．
6．如图，在直角坐标系中，一次函数y1＝x﹣2与反比例函数y2的图象交于A，B两点，下列结论正确的是（　　）
A．当x＞3时，y1＜y2 B．当x＜﹣1时，y1＜y2
C．当0＜x＜3时，y1＞y2 D．当﹣1＜x＜0时，y1＜y2
【答案】B
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：由题意得：
当x＞3时，y1＞y2，故选项A结论错误，不符合题意；
当x＜ 1时，y1＜y2，故选项B结论正确，符合题意；
当0＜x＜3时，y1＜y2，故选项C结论错误，不符合题意；
当 1＜x＜0时，y1＞y2，故选项D结论错误，不符合题意．
故答案为：B．
【分析】结合函数图象以及A、B的坐标解答即可．
7．《九章算术》是我国数学经典，上面记载：“今有邑方不知大小，各中开门．出北门三十步有木，出西门七百五十步见木．问邑方几何？”其意思是：如图，已知正方形小城ABCD，点E，G分别为CD，AD的中点，EF⊥CD，GH⊥AD，点F，D，H在一条直线上，EF＝30步，GH＝750步．正方形小城ABCD的边长是（　　）
A．150步 B．200步 C．250步 D．300步
【答案】D
【知识点】正方形的性质；相似三角形的实际应用
【解析】【解答】解：∵点E，G分别为CD，AD的中点，
∴，，
∴，
又题意可得，，
∴，
∴，
而EF＝30步，GH＝750步，
即，
∴，
解得：，
∴步；
故答案为：D.
【分析】先证出，再利用相似三角形的性质可得，再将数据代入求出，再求出步即可.
8．春日暖阳，小宇去爬山，在出发点C处测得山顶部A的仰角为30度，在爬山过程中，每一段平路（CD、EF、GH）与水平线平行，每一段上坡路（DE、FG、HA）与水平线的夹角都是45度，在下山路线有一点B（B、C、D同一水平线上），斜坡AB的坡度为2：1，且AB长为900．若小宇走平路的速度为73米/分，走上坡路的速度为40米/分，走下坡路的速度为45米/分．小宇从C处出发到达坡顶A后，欣赏风景停留了40分钟，随后一路下坡到山脚另一边的B处，在整个行程中，小宇共耗时（　　）（参考值1.41，1.73，2.24）
A．83分钟 B．84分钟 C．123分钟 D．124分钟
【答案】C
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：作AM⊥BC于点M，则∠AMC＝∠AMB＝90°，
∵斜坡AB的坡度为2：1，AB＝900米，
∴AM＝1800米，
由题意得：∠ACB＝30°，
∴CM＝1800米，
∵每一段上坡路（DE、FG、HA）与水平线的夹角都是45度，
∴DE＋GF＋AH＝AN，∠ANM＝45°，
∴MN＝AM＝1800米，AN＝1800米，
∴CN＝CM MN＝（1800 1800）米，
∵每一段平路（CD、EF、GH）与水平线平行，
∴CD＋EF＋GH＝CN＝（1800 1800）米，
∴小宇共耗时（分），
故答案为：C．
【分析】易得上坡路总长为AN的长度，平路总长为CN的长度，下坡路总长为AB的长度，分别除以相应的速度，加上欣赏风景的时间，即为总耗时．
9．若，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：，
，
故答案为：．
【分析】根据比例的性质即可求出答案.
10．若x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣4＝0的两个实数根，则　 　 ．
【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵x2 2x 4＝0，
∴a＝1，b＝ 2，c＝ 4，
∴x1＋x2＝ ＝2，x1x2＝＝ 4，
∴．
故答案为：．
【分析】由x2 2x 4＝0得a＝1，b＝ 2，c＝ 4，根据x1＋x2＝ ，x1x2＝即可．
11．已知点P是线段AB的黄金分割点，AP＞PB．若AB＝2，则BP＝　 　 ．
【答案】
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：因为点P是线段AB的黄金分割点，AP＞PB，
所以．
因为AB＝2，
所以AP＝，
所以BP＝AB AP＝2 （ 1）＝．
故答案为：．
【分析】根据黄金分割的定义进行计算即可.
12．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，2），点C在x轴的负半轴上，点D在反比例函数的图象上，过点A作AE⊥x轴，交该反比例函数图象于点E，连接BE，则△ABE的面积为　 　 ．
【答案】3
【知识点】三角形的面积；矩形的性质；坐标与图形变化﹣平移；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵矩形ABCD的顶点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，2），
∴∠ABC＝90°，OA＝4，OB＝2，
∵BO⊥AC，
∴OB2＝OC OA，
∴OC＝＝1，
∴C（ 1，0），
∵四边形ABCD是矩形，点B向下平移2个单位，向右平移4个单位得到点A，
∴C（ 1，0）向下平移2个单位，向右平移4个单位得到点D（3， 2），
∵点D在反比例函数y＝的图象上，
∵k＝3×（ 2）＝ 6，
∴y＝ ，
∵AE⊥x轴，交该反比例函数图象于点E，
∴点E的横坐标为4，
把x＝4代入y＝ ，得y＝ ，
∴E（4， ），
∴AE＝，
∴S△ABE＝AE OA＝××4＝3，
故答案为：3．
【分析】首先利用射影定理求得OC，即可求得C的坐标，然后根据矩形的性质求得点D的坐标，进而利用待定系数法求得反比例函数的解析式，从而求得点E的坐标，最后利用三角形面积公式即可求解．
13．如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，过点C作CE⊥AB，交AB的延长线于点E，连接EO并延长，交AD于点F，EF与BC相交于点G，若∠ABC＝120°，则下列结论：①∠CAB＝30°；②S△OBG：S四边形ABOF＝1：6；③OD2＝BG BC；④；⑤CE：EF＝2：3．其中结论正确的是 　 　 ．
【答案】①③⑤
【知识点】菱形的性质；解直角三角形；四边形的综合；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：①∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝120°，
∴BD＝2BO＝2DO，AB＝AD，AC⊥BD，∠ABD＝∠OBC＝∠ABC＝60°，AD∥BC，
∴△ABD是等边三角形，
∴AD＝BD，
∵∠ABC＝120°，AC⊥BD，
∴∠CBE＝60°，
∴∠CAB＝30°；故①正确；∠OBC＝∠CEB，
∵∠BOC＝∠BEC＝90°，BC＝BC，
∴△BOC≌△BEC（ASA），
∴BO＝BE，
∴BG⊥OE，
∵CE⊥AB，AD∥BC，
∴∠BOG＝30°，EF⊥AD，
∴∠OFD＝∠OGB＝90°，
设BG＝x，
∴BO＝2x，OG＝＝x，
∴BD＝2BO＝4x，
∴AD＝4x，
∴AD＝4x，
在△OFD和△OGB中，
，
∴△OFD≌△OGB（AAS），
∴OF＝OG＝x，
∴FG＝2x，
∴S△OBG＝BG OG＝x2，S△ODF＝x2，
S四边形ABOF＝S△ABD S△ODF＝AD FG x2＝4x2 x2＝
S△OBG：S四边形ABOF＝x2：＝1：7；故此项②错误；
②∵AC⊥BD，∠OBC＝60°，
∴∠OCB＝∠GOB＝30°，
∵∠OBG＝∠CBO，
∴△OBG∽△CBO，
∴，
∴OB2＝BG BC，
∴OD2＝BG BC 故此项③正确；
③由①得tan∠BOG＝tan30°＝，故此项④错误；
④由①得BE＝OB＝2x，DF＝x，AF＝3x，
∴CE＝＝，EF＝AF tan60°＝3x，
∴CE：EF＝2x：3x＝2：3，故此项⑤正确；
故答案为：①③⑤．
【分析】①由菱形的性质得出AC⊥BD，根据∠ABC＝120°，即可知∠CAB＝30°；
②由菱形的性质及等边三角形的判定方法得△ABD是等边三角形，由直角三角形的特征及勾股定理得设BG＝x，OG＝＝x，由S△OBG＝BG OG，S四边形ABOF＝S△ABD S△ODF，即可判断；
③由相似三角形的判定方法得△OBG∽△CBO，由相似三角形的性质得，即可判断；
④由②得tan∠BOG＝tan30°＝即可判断；
⑤由勾股定理得CE＝由三角函数得EF＝AF tan60°，即可判断．
14．
（1）计算：（）﹣1+（π﹣3.14）0cos45°；
（2）化简：（1+a）（1﹣a）+a（a﹣3）．
【答案】（1）解：原式＝2+1﹣2
＝3﹣2
＝1；
（2）解：原式＝1﹣a2+a2﹣3a
＝1﹣3a.
【知识点】整式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】（1）先根据负整数指数幂、零指数幂的运算法则计算前两项，再化简根式并代入特殊角的三角函数值计算第三项，最后将三项结果进行加减运算得到最终结果；
（2）先利用平方差公式展开（1＋a）（1 a），再用单项式乘多项式的法则展开a（a 3），最后合并同类项完成化简．
15．我市某学校落实立德树人根本任务，构建“五育并举”教育体系，开设了“厨艺、园艺、电工、木工、编织”五大类劳动课程．为了解七年级学生对每类课程的选择情况，随机抽取了七年级若干名学生进行调查（每人只选一类最喜欢的课程），将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图：
（1）本次随机调查的学生人数为 ▲ 人，并补全条形统计图；
（2）若该校七年级共有1200名学生，请估计该校七年级学生选择“厨艺”劳动课程的人数；
（3）七（1）班计划在“园艺、电工、木工、编织”四大类劳动课程中任选两类参加学校期末展示活动，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中“园艺、编织”这两类劳动课程的概率．
【答案】（1）解：60； 60﹣15﹣18﹣9﹣6＝12（人），补全条形统计图如图所示：
（2）解：1200300（人），
答：该校七年级1200名学生中选择“厨艺”劳动课程的大约有300人；
（3）解：用列表法表示所有可能出现的结果如下：
第1项 第2项 园艺 电工 木工 编织
园艺 ﹣ 电工 园艺 木工 园艺 编织 园艺
电工 园艺 电工 ﹣ 木工 电工 编织 电工
木工 园艺 木工 电工 木工 ﹣ 编织 木工
编织 园艺 编织 电工 编织 木工 编织 ﹣
共有12种可能出现的结果，其中选中“园艺、编织”的有2种，
∴P（园艺、编织）．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：（1）18÷30%＝60（人），
故答案为：60；
【分析】（1）从两个统计图中可得，选择“园艺”的有18人，占调查人数的30%，可求出调查人数；求出选择“编制”的人数，即可补全条形统计图；
（2）样本中，选择“厨艺”的占，因此估计总体1200人的是选择“厨艺”的人数．
（3）用列表法表示所有可能出现的结果，进而计算选中“园艺、编织”的概率．
16．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（﹣2，2），B（﹣4，0），C（﹣4，﹣4），以原点O为位似中心，在y轴的右侧，画出△ABC的位似图形△A'B'C'，使它与△ABC的相似比为1：2．
（1）请画出△A'B'C'；
（2）若点M（a，b）为AC边上一点，则点M的对应点M'的坐标是　 　 ；
（3）△A'B'C'的面积为　 　 ．
【答案】（1）解：如图，△A'B'C'即为所求；
（2）
（3）1
【知识点】三角形的面积；作图﹣相似变换；位似变换；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：（2）∵点M（a，b）为AC边上一点，△A'B'C'与△ABC的相似比为1：2．
∴点M'的坐标为，
故答案为：；
（3）△A'B'C'的面积为，
故答案为：1．
【分析】（1）根据位似的性质作图即可；
（2）由位似变换可得，点M的横纵坐标分别除以 2，即可得点M'的横纵坐标；
（3）利用长方形的面积减去两个直角三角形的面积即可得到△A'B'C'的面积．
17．某种油菜籽在相同条件下的发芽试验结果如表：
每批粒数n 100 150 200 500 800 1000
发芽的粒数m 65 111 136 345 560 700
发芽的频率 0.65 0.74 0.68 0.69 a b
（1）表中a＝　 　 ，b＝　 　 ．
（2）估计这种油菜籽发芽的概率，请简要说明理由．
（3）若该种油菜籽发芽后的成秧率为90%，则在相同条件下，种10000粒该种油菜籽大约可得到油菜秧苗多少棵？
【答案】（1）0.70；0.70
（2）解：这种油菜籽发芽的概率估计值是0.70，
（3）解：10000×0.70×90%＝6300（棵），
答：10000粒该种油菜籽可得到油菜秧苗6300棵．
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：（1）a0.70，b0.70，
故答案为：0.70，0.70；
【分析】（1）用发芽的粒数m÷每批粒数n即可得到发芽的频率；
（2）6批次种子粒数从100粒逐渐增加到1000粒时，种子发芽的频率趋近于0.7，所以估计当n很大时，频率将接近0.7；
（3）首先计算发芽的种子数，然后乘以90%计算得到油菜秧苗的棵数即可．
18．如图，△ABC中，BA＝BC＝13，AC＝10，∠ABC的平分线与边AC交于点F，与外角∠ACD的平分线交于点E．
（1）求sinA的值；
（2）求点E到直线BD的距离．
【答案】（1）解：∵AB＝BC＝13，AC＝10，∠ABC的平分线与边AC交于点F，
∴∠ABF＝∠FBC，BF⊥AC，AFAC＝5．
在Rt△ABF中，
BF12．
∴sinA
（2）解：过点E作EG⊥BD，垂足为G．
∵CE平分∠ACD，EF⊥AC，EG⊥BD，
∴EF＝EG．
在Rt△ABF中，
∵sin∠ABF，
在Rt△EBG中，
∵sin∠EBC＝sin∠ABF，
∴13EF＝5×12+5EF．
∴8EF＝60．
∴EF．
答：点E到直线BD的距离是．
【知识点】角平分线的性质；勾股定理；求正弦值
【解析】【分析】（1）利用等腰三角形的性质和勾股定理先求出BF，再求出∠A的正弦；
（2）过点E作EG⊥BD，在直角三角形ABF中先求出∠ABF的正弦，再利用角平分线的性质说明EF与EG、∠ABF与∠FBC的关系，利用直角三角形的边角间关系列方程求解得结论．
19．有趣的“速叠杯”
“速叠杯”是一项好玩的手部运动．它的叠放方式如图：从下往上，最底层摆若干个杯子，每往上一层减少1个杯子，直到顶层只有1个杯子，形成一个“塔”形．
小丽在活动中记录了不同叠放情况下杯子的总数：
最底层杯子数 x 1 2 3 4 5
杯子总数 y 1 3 6 10 15
（1）观察表格，当最底层有6个杯子时，杯子的总数是　 　 个．
（2）通过观察杯子的摆放规律，用an表示图n的弹珠数，其中n＝1，2，3，…，表示图n的弹珠数，n＝1，2，3，…，小丽发现
当塔有1层时，杯子总数：个杯子
当塔有2层时，杯子总数：个杯子
当塔有3层时，杯子总数：个杯子
当塔有4层时，杯子总数：个杯子
…
根据以上规律：
①当塔有100层时，杯子总数是　 　 个；
②要摆一个n层的“速叠杯“塔，一共需要　 　 个杯子（用含n的式子表示）．
③若现有120个杯子，按照这种叠放方式，能恰好叠放成一个完整的“速叠杯”塔，n＝　 　 ．
（3）结合上面探究求值：．
（4）小丽想用这种杯子摆出一个高大的“速叠杯”塔．已知每个杯子的侧面展开图如图2所示，ND，MA分别为上、下底面圆的半径，MN＝20cm，弧AB的长为12π cm，将这样足够数量的杯子摆成“速叠杯”塔，但受桌面长度限制，最底层摆放杯子的总长度不超过96cm，求杯子叠放达到的最大高度和此时杯子的总数．（提示：杯子下底面圆周长与弧AB的长度相等）
【答案】（1）21
（2）5050；；15
（3）解：
...
＝2×（...）
＝2×（1...）
＝2×（1）
＝2
（4）解：根据题意得：12π＝2π×MA，
解得：MA＝6cm；
∵第一层摆放杯子的总长度不超过96cm，
设第一层杯子的个数为x个，则6×2x≤96，
解得：x≤8，
∴x取最大值为8，
∴第一层摆放杯子8个，
∴杯子的总数为32（个）；
∵MN＝20cm，
∴最大高度为：8MN＝8×20＝160（cm）．
【知识点】用代数式表示图形变化规律；探索规律-图形的个数规律
【解析】【解答】解：（1）当最底层有6个杯子时，杯子的总数是：6+5+4+3+2+1＝21（个），
故答案为：21；
（2）当塔有1层时，杯子总数：个杯子
当塔有2层时，杯子总数：个杯子
当塔有3层时，杯子总数：个杯子
当塔有4层时，杯子总数：个杯子
…
根据以上规律：
①当塔有100层时，杯子总数是a100＝1+2+3+4+...+1005050（个）；
②要摆一个n层的“速叠杯“塔，一共需要；
③令120，
整理得：n2+n﹣240＝0，
解得：n1＝15，n2＝﹣16（舍去），
∴n＝15．
故答案为：①5050；②；③15；
【分析】（1）观察表格规律进行计算即可；
（2）①根据摆放规律填写即可；②根据摆放规律可得要摆一个n层的“速叠杯”塔，一共需要个杯子；③根据题意得＝120，求出n＝15即可；
（3）由（2）可得an＝，则＝＝2()，运用此规律可进行计算；
（4）求出杯子底面直径，可求出最底一层杯子的数量，得出杯子层数，从而可求杯子叠放达到的最大高度和此时杯子的总数．
20．综合与实践
在一节数学课上，张老师提出了这样一个问题：如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，D是边BC上一动点（不与点B重合），，BE⊥DE，DE交AB于点F．猜想线段BE，DF之间的数量关系并说明理由．
小聪与同桌小明讨论后，仍不得其解．张老师给出提示：“数学中常通过把一个问题特殊化来找到解题思路．”两人茅塞顿开，于是进行了如下讨论，请仔细阅读，并完成相应的任务．
小聪：已知点D是动点，因此可以将点D移动到一个特殊的位置．当点D与点C重合时， 如图2所示．此时可以分别延长BE，CA交于点H，如图3所示，可知△CBH是等腰三角形，证明△ABH≌△ACF，从而得出线段BE，DF之间的数量关系． 小明：对于图2，我有不同的证明方法，过点F分别作BE，AC的平行线，交边BC于点M， N，如图4所示，可知△BEF∽△CFM，且FN＝MN＝CN，又∵FN＝FB，可得△BEF与△CFM的相似比为1：2，从而得出线段BE，DF之间的数量关系．
任务一：如图2，猜想线段BE，DF之间的数量关系为 ▲ ；
任务二：通过阅读上述讨论，请在小聪与小明的方法中选择一种，就图1中的情形判断线段BE，DF之间的数量关系，并给出证明；
任务三：若AB＝4，其他条件不变，当△ADF是直角三角形时，直接写出BD的长．
【答案】解：任务一：2BE＝DF；任务二：选择小明的方法：2BE＝DF．
证明：如图4，过点F分别作BE，AC的平行线，交BC于点 M，N，
∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，
∴∠C＝∠ABC＝45°，
∵FN∥AC，∠BFN＝∠BAC＝90°，∠BNF＝∠C＝45°，
∴BF＝FN．
∵∠BNF＝∠NFD+∠EDB，，
∴．
∴FN＝DN．
∵FM∥BE．
∴∠EBF＝∠BFM，∠DFM＝∠DEB．
∵BE⊥DE，
∴∠DEB＝∠DFM＝∠EFM＝90°．
∴∠BFN＝∠DFM＝90°，
即∠BFM+∠MFN＝∠MFN+∠NFD＝90°，
∴∠EBF＝∠BFM＝∠NFD＝∠EDB．
∴△EBF∽△FDM．
∴，∠BFE＝∠DMF．
∵∠EFM＝∠BFN＝90°，
即∠BFE+∠BFM＝∠BFM+∠MFN＝90°，
∴∠BFE＝∠MFN＝∠DMF．
∴BF＝FN＝MN＝DN．
∴，
∴2BE＝DF．
任务三： 或 ，
由题意，可分以下两种情况 进行讨论．
①如图5，当∠DAF＝90° 时，点D与点C重合，
∴BDAB＝4；
②如图6，当∠ADF＝90° 时，
∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，
∴∠C＝∠ABC＝45°，
∵，∠ADF＝90°，
∴∠ADC＝67.5°，
∴∠CAD＝180°﹣67 5°﹣45°＝67.5°，
∴∠CAD＝∠ADC．
∴AC＝CD． ，
综上所述，BD的长为 或 ．
【知识点】三角形全等的判定-ASA；三角形的综合；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：任务一：如图3，分别延长BE，CA交于点H，
∵，BE⊥DE，
∴∠ACF＝∠BCF，∠BEF＝∠CEH＝90°，
∵CE＝CE，
∴△CBE≌△CHE（ASA），
∴BE＝HE，
∴BH＝2BE；
∵∠BAC＝90°，
∴∠CAF＝∠BEF，
∵∠BFE＝∠AFC，
∴∠ABH＝∠ACF，
∵AB＝AC，
∴△ABH≌△ACF（ASA），
∴BH＝CF，
∴2BE＝DF；
故答案为：2BE＝DF；
【分析】任务一：如图3，分别延长BE，CA交于点H，根据等腰直角三角形的性质、角平分线的定义，全等三角形的判定和性质定理即可得到结论；
任务二：如图4，过点F分别作BE，AC的平行线，交BC于点 M，N，如解图1所示．根据等腰直角三角形 到现在得到∠C＝∠ABC＝45°，求得BF＝FN．推出FN＝DN．根据平行线的性质得到∠EBF＝∠BFM，∠DFM＝∠DEB．根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论；
任务三：由题意，可分以下两种情况 进行讨论．①如图5，当∠DAF＝90° 时，点D与点C重合，根据等腰直角三角形的性质得到BD＝AB＝4；②如图6，当∠ADF＝90° 时，根据等腰直角三角形的性质得到∠C＝∠ABC＝45°，求得∠ADC＝67.5°，得到∠CAD＝∠ADC．根据等腰三角形的性质得到AC＝CD，于是得到结论．
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