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广东省梅州市兴宁市中考2026年数学一模试卷
1．下列图形中，不是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形；
B、不是轴对称图形；
C、是轴对称图形；
D、是轴对称图形；
故答案为：B．
【分析】本题考查了轴对称图形的定义，解题的关键是掌握轴对称图形的定义．根据轴对称图形的定义：将图形沿某条直线对称，直线两旁的部分能够完全重合，则该图形为轴对称图形，据此求解即可．
2．某校九年级5个班一学年完成数学实践作业的次数分别为7，8，9，9，10.这组数据的众数为（　　）
A．10 B．9 C．8 D．7
【答案】B
【知识点】众数
【解析】【解答】解：数据中9出现的次数最多，
所以众数为9，
故答案为：B．
【分析】根据众数的定义来解答．
3．如图，几何体的左视图是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：从左面看，几何体的左视图是：
．
故答案为：C．
【分析】根据从左面看得到的图形是左视图，可得答案．
4． 1月26日，西安至延安高铁迎来开通“满月”.自2025年12月26日开通运营以来，西延高铁日均开行动车组列车38列，节假日及客流高峰期最多开行48列，累计发送旅客63万人次.将数据“63万”用科学记数法可以表示为（　　）
A．63×104 B．6.3×105 C．0.63×106 D．6.3×107
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：63万＝630000＝6.3×105，
∴数据“63万”用科学记数法可以表示为6.3×105．
故答案为：B．
【分析】根据科学记数法的表示方法解答即可．
5．已知实数a，b满足，则点（a+2，b+5）位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：根据题意可知，
∴a 3＝0，b a＋6＝0，
解得：a＝3，b＝ 3，
∴a＋2＝5＞0，b＋5＝2＞0，
∴点（a＋2，b＋5）即（5，2）位于第一象限．
故答案为：A．
【分析】根据二次根式和四次根式的非负性得到a＝3，b＝ 3，求出点的坐标即可得到答案．
6．如图，BD是等腰直角三角形ABC斜边AC上的中线，DE⊥BC于点E，则图中等腰直角三角形的个数是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【知识点】等腰直角三角形
【解析】【解答】解：∵AB＝CB，∠ACB＝90°，AD＝DC，
∴BD⊥AB，CD＝AD＝DB，
∴△ADB，△CDB都是等腰直角三角形，
∵DB＝DC，∠BDC＝90°，DE⊥BC，
∴BE＝EC＝DE，
∴△CED，△DEB都是等腰三角形，
∴△ABC，△ADB，△CDB，△ECD，△DEB都是等腰三角形，
故答案为：C．
【分析】根据等腰直角三角形的判定和性质解决问题即可．
7．《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到800里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为x天，则下列分式方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：由题意可得，
，
故答案五位：A．
【分析】设规定时间为x天，则慢马送达所需时间为(x+1)天，快马送达所需时间为(x-2)天，利用速度等于路程除以时间表示出慢马于快马的速度，最后根据快马速度是慢马速度的倍，即可列出方程.
8．在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下结论：①abc＜0；②c+2a＜0；③9a-3b+c=0；④a-b≥m（am+b）（m为实数）；⑤4ac-b2＜0.其中错误的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图所示，则：
①由抛物线开口向上，a＞0，抛物线与y轴交点在x轴下方，c＜0，
对称轴为：直线x＝ ＜0，
∴b＞0，
∴abc＜0，故①正确；
②由对称轴可知： ＝ 1，
∴b＝2a，
∵x＝1时，y＝a＋b＋c＝0，
∴c＋3a＝0，
∴c＋2a＝ 3a＋2a＝ a＜0，故②正确；
③（1，0）关于直线x＝ 1的对称点为（ 3，0），
∴x＝ 3时，y＝9a 3b＋c＝0，故③正确；
④当x＝ 1时，y的最小值为a b＋c，
∴x＝m时，y＝am2＋bm＋c，
∴am2＋bm＋c≥a b＋c，
即a b≤m（am＋b），故④错误；
⑤抛物线与x轴有两个交点，
∴Δ＞0，
即b2 4ac＞0，
∴4ac b2＜0，故⑤正确．
故答案为：A．
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行一一分析判断．
9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，点E为此三角形的重心，连接BE并延长交AC于点D，过点E作EF⊥AB于点F，则EF的长为（　　）
A． B． C． D．2
【答案】A
【知识点】三角形的重心及应用；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：过D作DH⊥AB于H，
∵E为此三角形的重心，
∴AD＝AC＝×8＝4，，
∵∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，
∴AB＝＝10，
∵∠AHD＝∠ACB＝90°，
∵∠DAH＝∠BAC，
∴△ADH∽△ABC，
∴DH：BC＝AD：AB，
∴DH：6＝4：10，
∴DH＝，
∵EF⊥AB，DH⊥AB，
∴EF∥DH，
∴△BEF∽△BDH，
∴EF：DH＝BE：BD，
∴EF：＝2：3，
∴EF＝．
故答案为：A．
【分析】由三角形重心的性质得到AD＝AC＝4，，由勾股定理求出AB＝＝10，由△ADH∽△ABC，得到DH：BC＝AD：AB，即可求出DH＝，由△BEF∽△BDH，推出EF：DH＝BE：BD，即可得EF＝．
10．如图，正方形ABCD的顶点B在x轴上，点A，点C在反比例函数图象上.若直线BC交y轴负半轴于点G，且tan∠OGB=2，则直线BC的函数表达式为（　　）
A．y=2x-4 B． C． D．
【答案】C
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数图象上点的坐标特征；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：过A作AE⊥x轴于E，过C作CF⊥x轴于F，
在Rt△BOG中，tan∠OGB＝＝2，
∴设OB＝2m，OG＝m（m＞0），
∵∠BOG＝∠BFC＝90°，∠OBG＝∠CBF，
∴△OBG∽△FBC，
∴＝2，
∴设BF＝2n，CF＝n（n＞0），
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠EAB＋∠ABE＝∠ABE＋∠CBF＝90°，
∴∠EAB＝∠CBF，
在△AEB与△BFC中，
，
∴△AEB≌△BFC（AAS），
∴AE＝BF＝2n，BE＝CF＝n，
∴OF＝OB＋BF＝2m＋2n，OE＝OB BE＝2m n，
∴C（2m＋2n，n），A（2m n，2n），
∵点A，点C在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）图象上，
∴，
解得或（舍去），
∴G（0 4），B（8，0），
设直线BC的解析式为y＝kx＋b，
把B，G坐标代入解析式得：
，
解得，
∴直线BC的解析式为y＝x 4，
故答案为：C．
【分析】过A作AE⊥x轴于E，过C作CF⊥x轴于F，根据已知条件设OB＝2m，OG＝m（m＞0），根据相似三角形的判定得出△OBG∽△FBC，然后得出＝2，从而设BF＝2n，CF＝n（n＞0），再根据正方形的性质和三角形全等的判定得出△AEB≌△BFC，从而得出AE＝BF＝2n，BE＝CF＝n，然后得出A，C坐标，再根据A，C在反比例函数y＝上列出关于m，n的方程组，解方程组求出m，n的值，从而得出B，G坐标，然后再用待定系数法求出直线BC的函数解析式．
11．若点A（3，a）在抛物线y=-x2上，则a=　 　．
【答案】-9
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²的图象
【解析】【解答】解：当x＝3时，a＝ 32，即a＝ 9．
故答案为： 9．
【分析】将A（3，a）代入y＝ x2即可求解．
12．方程 =1的解是　 　．
【答案】x=3
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】去分母得：x﹣1=2，
解得：x=3，
经检验x=3是分式方程的解，
故答案为：x=3
【分析】解分式方程的基本步骤是去分母、移项、合并同类项，检验.
13．如图，将△ABC沿AB方向平移得到△EFD，DE交BC于点M，若∠ACB=50°，∠F=80°，则∠MEB=　 　.
【答案】50°
【知识点】平移的性质；图形的平移
【解析】【解答】解：∵将△ABC沿AB方向平移得到△EFD，
∴∠D＝∠ACB＝50°．
在△DEF中，∠D＝50°，∠F＝80°，
∴∠DEF＝180° ∠D ∠F＝180° 50° 80°＝50°，
∴∠MEB＝50°．
故答案为：50°．
【分析】利用平移的性质，可得出∠D＝∠ACB＝50°，在△DEF中，利用三角形内角和定理，可求出∠DEF（即∠MEB）的度数．
14．如图，直线AB∥CD∥EF，如果，BD=6，那么BF的长是　 　 .
【答案】14
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵AB∥CD∥EF，
∴，
∵BD＝6，
∴如果，BD＝6，那么BF＝BD＝×6＝14，
故答案为14．
【分析】由，得，由AB∥CD∥EF，得即可解答．
15．如图，正方形ABCD中，AD=4，E是AB上一点，且EB=1，F是BC上一动点，若将△EBF沿EF对折后，点B落在点P处，则点P到点D的最短距离为　 　 .
【答案】4
【知识点】勾股定理；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：如图，连接PD，DE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝90°，
∵AB＝AD＝4，BE＝1，
∴AE＝3，
∴DE＝＝＝5，
由折叠得：EB＝EP＝1，
∵EP＋DP≥ED，
∴当E、P、D共线时，DP最小，
∴DP＝DE EP＝5 1＝4；
∴点P到点D的最短距离为4，
故答案为：4．
【分析】先根据勾股定理计算ED的长，当E、P、D共线时，DP最小，即最短距离是此时PD的长．
16．解方程组：.
【答案】解：，
①×2得：2x 4y＝8③，
② ③得：7y＝ 9，
得：y＝ ，
将y＝ 代入①得：x＝，
方程组的解为：．
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】方程①×2 ③消去x，求出y，然后代入①求出x即可．
17．
（1）计算：；
（2）已知一次函数y=kx+b的图象经过点（4，5）与点（2，1），求该一次函数的表达式.
【答案】（1）解：原式=1+2-
=1+2-1
=2．
（2）将点（4，5）与点（2，1）代入y=kx+b得，
，
解得，
所以一次函数的表达式为y=2x-3．
【知识点】零指数幂；待定系数法求一次函数解析式；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】（1）根据实数的运算法则进行计算即可．
（2）利用待定系数法即可解决问题．
18．某抛物线型拱桥侧面示意图如图所示.水面宽AB与桥长CD均为24米，在距离D点6米的E处，测得桥面到桥拱的距离EF为1.5米，以桥拱顶点O为原点，桥面所在直线为x轴建立平面直角坐标系.如图2，桥面上方有3根高度均为4米的支柱CG、OH、DI，过相邻支柱顶端的两根钢缆可以近似看作两条形状相同的抛物线，其最低点到桥面距离为2米.
（1）求其中一条钢缆抛物线的函数表达式；
（2）春节前夕，市政打算在钢缆和桥拱之间沿竖直方向装饰若干条灯带（见图2），请你求出可以在竖直方向安装的灯带中最短的灯带长度.
【答案】（1）解：①水面宽AB与桥长CD均为24米，在距离D点6米的E处，测得桥面到桥拱的距离EF为1.5米，
由题意得H（0，4），I（12，4），右边钢缆的抛物线顶点为（6，2），
设右边钢缆的抛物线表达式为y1＝a1(x 6)2＋2，
∵H（0，4），
∴4＝a1(0 6)2＋2，
∴a1＝，
∴y1＝(x 6)2＋2．
②由题意得H（0，4），G（ 12，4），左边钢缆的抛物线顶点为（ 6，2），
设左边钢缆的抛物线表达式为y1＝a1(x＋6)2＋2，
∵H（0，4），
∴4＝a1(0＋6)2＋2，
∴a1＝，
∴y1＝(x＋6)2＋2．
（2）解：设拱桥侧面抛物线表达式为y2＝a2x2，
由题意得F（6， 1.5），
∴ 1.5＝36a2，
∴a2＝ ，
∴y2＝ x2，
设灯带长度为h，则h＝y1 y2＝(x 6)2＋2 ( x2)＝x2 x＋4，
∵＞0，
∴当x＝( 12＜＜12)时，h有最小值为．
答：灯带长度的最小值是米．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【分析】（1）①右边：根据钢缆抛物线的顶点为（6，2），设其顶点式y1＝a1(x 6)2＋2，再将已知点H（0，4）代入解析式，求解出系数a1的值，进而确定钢缆抛物线的完整解析式；②左边：根据钢缆抛物线的顶点为（ 6，2），设其顶点式y1＝a1(x＋6)2＋2，再将已知点H（0，4）代入解析式，求解出系数a1的值，进而确定钢缆抛物线的完整解析式；
（2）先根据拱桥侧面抛物线的特征设解析式y2＝a2x2，将已知点B（6， 1.5）代入求出a2，得到y2的解析式；再根据h＝y1 y2列出关于的函数表达式，求出该函数的最小值，即彩带长度h的最小值．
19．如图，射线AM交一圆于点B、C，射线AN交该圆于点D、E，且．
（1）求证：AC=AE；
（2）利用尺规作图，分别作线段CE的垂直平分线与∠MCE的平分线，两线交于点F（保留作图痕迹，不写作法），求证：EF平分∠CEN．
【答案】（1）证明：作OP⊥AM于P，OQ⊥AN于Q，连接AO，BO，DO．
∵，
∴BC=DE，
∴BP=DQ，
又∵OB=OD，
∴△OBP≌△ODQ，
∴OP=OQ．
∴BP=DQ=CP=EQ．
直角三角形APO和AQO中，
AO=AO，OP=OQ，
∴△APO≌△AQO．
∴AP=AQ．
∵CP=EQ，
∴AC=AE．
（2）∵AC=AE，
∴∠ACE=∠AEC．
∴∠ECM=∠CEN．
由于AF是CE的垂直平分线，
∴CF=EF．
∴∠FCE=∠FEC=∠MCE=∠CEN．
因此EF平分∠CEN．
【知识点】线段垂直平分线的性质；圆心角、弧、弦的关系；角平分线的概念；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）作OP⊥AM，OQ⊥AN于Q，连接AO，BO，DO．证△APO≌△AQO，由BC＝CD，得CP＝EQ后得证；
（2）同AC＝AE得∠ECM＝∠CEN，由CE＝EF得∠FCE＝∠FEC＝∠MCE＝∠CEN得证．
20．我国航天技术飞速发展，我校以“探航天奥秘，立报国之志，做追梦少年”为主题，组织学生开展了航天知识科普竞赛活动.为了解学生对航天知识的掌握情况，我校随机抽取了部分学生的竞赛成绩，将成绩分为A，B，C，D四个等级，并绘制成如图所示的两幅不完整的统计图：
（1）本次共抽取了 ▲ 名学生的竞赛成绩，并补全条形统计图；
（2）若该校共有1500名学生参加本次竞赛活动，估计竞赛成绩为B等级的学生人数；
（3）学校在航天知识科普竞赛成绩为A等级中的甲、乙、丙、丁这4名同学中，随机抽取2人担任校园航天文化节的主持人，用画树状图或列表法求出甲、乙两人同时被选中的概率.
【答案】（1）400；
补全条形统计图，如图即为所求；

（2）解：（名）
答：竞赛成绩为B等级的学生人数为600名；
（3）解：树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中甲乙两人同时被选中的结果有2种，
∴P（甲乙两人同时被选中）．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：抽取总人数为（名），
等级D的人数为（名），
故答案为：40；
【分析】（1）由C等级的人数除以它的占比可得抽取人数，再由总人数减去其它等级人数得到D等级人数，补全条形统计图即可；
（2）用1500乘以样本中B等级人数占比即可解答；
（3）画树状图得到所有等可能的结果数，然后得到甲乙两人同时被选中的结果数，利用概率公式解答．
21．某商品的进价为每件10元，售价为每件16元，每个月可卖出100件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月就会少卖出10件，但每件售价不能高于20元，设每件商品的售价上涨x元（x为整数），每个月的销售利润为y元.
（1）求y与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；
（2）每件商品的售价为多少元时，每个月可获得最大利润？最大利润是多少？
（3）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰好是550元？
【答案】（1）解：根据题意可得单件利润为16＋x 10＝（6＋x）元，销量为（100 10x）件，
可得函数关系式为y＝（6＋x）（100 10x）＝ 10x2＋40x＋600，
∵每件售价不能高于20元，
∴0≤x≤20 16，即0≤x≤4且x为整数，
∴y＝ 10x2＋40x＋600（0≤x≤4且x为整数）；
（2）解：y＝ 10x2＋40x＋600＝ 10（x 2）2＋640，
因为a＝ 10＜0，
所以当x＝2时，有最大值640，此时售价为16＋2＝18元，
答：每件商品的售价为18元时，每个月可获得最大利润，最大利润是640元.
（3）解：当y＝550时，可得 10x2＋40x＋600＝550，
解得x1＝5，x2＝ 1，
∵0≤x≤4且x为整数，
∴得x1＝5，x2＝ 1均不符合自变量的取值范围，
∴不存在符合条件的售价．
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据销售利润＝单件利润×销量即可列出函数关系式，再根据每件售价不能高于20元得到x的取值；
（2）将二次函数的解析式转化为顶点式，即可解答；
（3）令y＝550，得到一元二次方程，解方程，即可解答，
22．如图，AB为⊙O的直径，BF切⊙O于点B，AF交⊙O于点D，点C在DF上，BC交⊙O于点E，且∠BAF=2∠CBF，CG⊥BF于点G，连接AE．
（1）请判断AE与BC的位置关系，并说明理由；
（2）求证：△ABC是等腰三角形；
（3）若∠F=60°，GF=1，求⊙O的半径长．
【答案】（1）解：AE⊥BC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
∴AE⊥BC．
（2）证明：∵BF与⊙O相切，
∴∠ABF=90°，
∴∠CBF=90°-∠ABE，
∵∠AEB=90°，
∴∠BAE=90°-∠ABE，
∴∠BAE=∠CBF，
∵∠BAF=2∠CBF，
∴∠BAF=2∠BAE，
∴∠BAE=∠CAE，
∵AE⊥BC，
∴∠AEB=∠AEC=90°，
在△AEB和△AEC中，
∵，
∴△AEB≌△AEC（ASA），
∴AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形
（3）连接BD．
∵∠DAE=∠DBE，∠DAE=∠CBF，
∴∠DBE=∠CBF，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴BD⊥CD．
∵CG⊥BF，且∠DBC=∠CBF，
∴CD=CG．
∵∠F=60°，∠CGF=90°，
∴∠FCG=30°，
∵GF=1，
∴CF=2，
∴，
∴，
设⊙O的半径为r，则AC=AB=2r，
∵∠ADB=90°，∠BAD=30°，
∴BD=r，．
∴，
∴．
∴⊙O的半径长为．
【知识点】等腰三角形的判定；含30°角的直角三角形；勾股定理；切线的性质；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）由圆周角定理可得出结论；
（2）由切线的性质得出∠ABF＝90°，证出∠AEB＝∠AEC＝90°，证明△AEB≌△AEC（ASA），由全等三角形的性质得出AB＝AC，则可得出结论；
（3）连接BD．证明CG＝CD，由直角三角形的性质求出CF＝2，由勾股定理求出CG的长，则可求出答案．
23．已知一次函数y1=ax-1与x轴交于点A，与反比例函数在第一、三象限分别交于C、B两点，其中，点C的横坐标为2.
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）将直线y1向左平移个单位长度得直线y3，y3与y2在第一象限交于点E，在第三象限交于点F，求△AEF的面积；
（3）当y3＞y2＞y1时，请直接写出符合条件的x的取值范围.
【答案】（1）一次函数的解析式为y1=2x-1，反比例函数的解析式为
解：∵OA＝，
∴A（，0），
将A（，0）代入y1＝ax 1，得
0＝a 1，
解得a＝2，
∴一次函数的解析式为y1＝2x 1，
∵点C的横坐标为2，
∴将x＝2代入y1＝2x 1，得
y＝3，
∴C（2，3）．
将C（2，3）代入y2＝，得
k＝6，
∴反比例函数的解析式为y2＝．
（2）解：∵直线y1向左平移个单位长度得直线y3，
∴y3＝2（x＋） 1＝2x＋．
∵y3与y2在第一象限交于点E，在第三象限交于点F，
∴，
解得：或，
∴E（，8），F（ 4， ）．
设直线EF的解析式为y＝mx＋n，
∴将E（，8），F（ 4， ）代入y＝mx＋n，
得：，
解得：．
∴y＝2x＋．
设直线EF与x轴相交于点D，
令y＝0，得x＝ ，
得D（ ，0），
∴AD＝ ( )＝．
∴S△AEF＝S△AED＋S△ADF＝××＋××8＝17．
（3）或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积
【解析】【解答】解：（3）当y3＞y2＞y1时，＜x＜2或 4＜ x＜ ．
【分析】（1）由OA＝，得出点A的坐标，代入一次函数的解析式，解得一次函数的解析式后，再求出点C的坐标，将点C的坐标代入反比例函数的解析式即可得出答案；
（2）先求出y3的解析式，结合反比例函数y2求出点E，F的坐标，再求出△AEF的面积；
（3）根据图象求出x的取值范围．
1 / 1广东省梅州市兴宁市中考2026年数学一模试卷
1．下列图形中，不是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．某校九年级5个班一学年完成数学实践作业的次数分别为7，8，9，9，10.这组数据的众数为（　　）
A．10 B．9 C．8 D．7
3．如图，几何体的左视图是（　　）
A． B． C． D．
4． 1月26日，西安至延安高铁迎来开通“满月”.自2025年12月26日开通运营以来，西延高铁日均开行动车组列车38列，节假日及客流高峰期最多开行48列，累计发送旅客63万人次.将数据“63万”用科学记数法可以表示为（　　）
A．63×104 B．6.3×105 C．0.63×106 D．6.3×107
5．已知实数a，b满足，则点（a+2，b+5）位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
6．如图，BD是等腰直角三角形ABC斜边AC上的中线，DE⊥BC于点E，则图中等腰直角三角形的个数是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到800里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为x天，则下列分式方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
8．在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下结论：①abc＜0；②c+2a＜0；③9a-3b+c=0；④a-b≥m（am+b）（m为实数）；⑤4ac-b2＜0.其中错误的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，点E为此三角形的重心，连接BE并延长交AC于点D，过点E作EF⊥AB于点F，则EF的长为（　　）
A． B． C． D．2
10．如图，正方形ABCD的顶点B在x轴上，点A，点C在反比例函数图象上.若直线BC交y轴负半轴于点G，且tan∠OGB=2，则直线BC的函数表达式为（　　）
A．y=2x-4 B． C． D．
11．若点A（3，a）在抛物线y=-x2上，则a=　 　．
12．方程 =1的解是　 　．
13．如图，将△ABC沿AB方向平移得到△EFD，DE交BC于点M，若∠ACB=50°，∠F=80°，则∠MEB=　 　.
14．如图，直线AB∥CD∥EF，如果，BD=6，那么BF的长是　 　 .
15．如图，正方形ABCD中，AD=4，E是AB上一点，且EB=1，F是BC上一动点，若将△EBF沿EF对折后，点B落在点P处，则点P到点D的最短距离为　 　 .
16．解方程组：.
17．
（1）计算：；
（2）已知一次函数y=kx+b的图象经过点（4，5）与点（2，1），求该一次函数的表达式.
18．某抛物线型拱桥侧面示意图如图所示.水面宽AB与桥长CD均为24米，在距离D点6米的E处，测得桥面到桥拱的距离EF为1.5米，以桥拱顶点O为原点，桥面所在直线为x轴建立平面直角坐标系.如图2，桥面上方有3根高度均为4米的支柱CG、OH、DI，过相邻支柱顶端的两根钢缆可以近似看作两条形状相同的抛物线，其最低点到桥面距离为2米.
（1）求其中一条钢缆抛物线的函数表达式；
（2）春节前夕，市政打算在钢缆和桥拱之间沿竖直方向装饰若干条灯带（见图2），请你求出可以在竖直方向安装的灯带中最短的灯带长度.
19．如图，射线AM交一圆于点B、C，射线AN交该圆于点D、E，且．
（1）求证：AC=AE；
（2）利用尺规作图，分别作线段CE的垂直平分线与∠MCE的平分线，两线交于点F（保留作图痕迹，不写作法），求证：EF平分∠CEN．
20．我国航天技术飞速发展，我校以“探航天奥秘，立报国之志，做追梦少年”为主题，组织学生开展了航天知识科普竞赛活动.为了解学生对航天知识的掌握情况，我校随机抽取了部分学生的竞赛成绩，将成绩分为A，B，C，D四个等级，并绘制成如图所示的两幅不完整的统计图：
（1）本次共抽取了 ▲ 名学生的竞赛成绩，并补全条形统计图；
（2）若该校共有1500名学生参加本次竞赛活动，估计竞赛成绩为B等级的学生人数；
（3）学校在航天知识科普竞赛成绩为A等级中的甲、乙、丙、丁这4名同学中，随机抽取2人担任校园航天文化节的主持人，用画树状图或列表法求出甲、乙两人同时被选中的概率.
21．某商品的进价为每件10元，售价为每件16元，每个月可卖出100件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月就会少卖出10件，但每件售价不能高于20元，设每件商品的售价上涨x元（x为整数），每个月的销售利润为y元.
（1）求y与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；
（2）每件商品的售价为多少元时，每个月可获得最大利润？最大利润是多少？
（3）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰好是550元？
22．如图，AB为⊙O的直径，BF切⊙O于点B，AF交⊙O于点D，点C在DF上，BC交⊙O于点E，且∠BAF=2∠CBF，CG⊥BF于点G，连接AE．
（1）请判断AE与BC的位置关系，并说明理由；
（2）求证：△ABC是等腰三角形；
（3）若∠F=60°，GF=1，求⊙O的半径长．
23．已知一次函数y1=ax-1与x轴交于点A，与反比例函数在第一、三象限分别交于C、B两点，其中，点C的横坐标为2.
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）将直线y1向左平移个单位长度得直线y3，y3与y2在第一象限交于点E，在第三象限交于点F，求△AEF的面积；
（3）当y3＞y2＞y1时，请直接写出符合条件的x的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形；
B、不是轴对称图形；
C、是轴对称图形；
D、是轴对称图形；
故答案为：B．
【分析】本题考查了轴对称图形的定义，解题的关键是掌握轴对称图形的定义．根据轴对称图形的定义：将图形沿某条直线对称，直线两旁的部分能够完全重合，则该图形为轴对称图形，据此求解即可．
2．【答案】B
【知识点】众数
【解析】【解答】解：数据中9出现的次数最多，
所以众数为9，
故答案为：B．
【分析】根据众数的定义来解答．
3．【答案】C
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：从左面看，几何体的左视图是：
．
故答案为：C．
【分析】根据从左面看得到的图形是左视图，可得答案．
4．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：63万＝630000＝6.3×105，
∴数据“63万”用科学记数法可以表示为6.3×105．
故答案为：B．
【分析】根据科学记数法的表示方法解答即可．
5．【答案】A
【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：根据题意可知，
∴a 3＝0，b a＋6＝0，
解得：a＝3，b＝ 3，
∴a＋2＝5＞0，b＋5＝2＞0，
∴点（a＋2，b＋5）即（5，2）位于第一象限．
故答案为：A．
【分析】根据二次根式和四次根式的非负性得到a＝3，b＝ 3，求出点的坐标即可得到答案．
6．【答案】C
【知识点】等腰直角三角形
【解析】【解答】解：∵AB＝CB，∠ACB＝90°，AD＝DC，
∴BD⊥AB，CD＝AD＝DB，
∴△ADB，△CDB都是等腰直角三角形，
∵DB＝DC，∠BDC＝90°，DE⊥BC，
∴BE＝EC＝DE，
∴△CED，△DEB都是等腰三角形，
∴△ABC，△ADB，△CDB，△ECD，△DEB都是等腰三角形，
故答案为：C．
【分析】根据等腰直角三角形的判定和性质解决问题即可．
7．【答案】A
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：由题意可得，
，
故答案五位：A．
【分析】设规定时间为x天，则慢马送达所需时间为(x+1)天，快马送达所需时间为(x-2)天，利用速度等于路程除以时间表示出慢马于快马的速度，最后根据快马速度是慢马速度的倍，即可列出方程.
8．【答案】A
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图所示，则：
①由抛物线开口向上，a＞0，抛物线与y轴交点在x轴下方，c＜0，
对称轴为：直线x＝ ＜0，
∴b＞0，
∴abc＜0，故①正确；
②由对称轴可知： ＝ 1，
∴b＝2a，
∵x＝1时，y＝a＋b＋c＝0，
∴c＋3a＝0，
∴c＋2a＝ 3a＋2a＝ a＜0，故②正确；
③（1，0）关于直线x＝ 1的对称点为（ 3，0），
∴x＝ 3时，y＝9a 3b＋c＝0，故③正确；
④当x＝ 1时，y的最小值为a b＋c，
∴x＝m时，y＝am2＋bm＋c，
∴am2＋bm＋c≥a b＋c，
即a b≤m（am＋b），故④错误；
⑤抛物线与x轴有两个交点，
∴Δ＞0，
即b2 4ac＞0，
∴4ac b2＜0，故⑤正确．
故答案为：A．
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行一一分析判断．
9．【答案】A
【知识点】三角形的重心及应用；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：过D作DH⊥AB于H，
∵E为此三角形的重心，
∴AD＝AC＝×8＝4，，
∵∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，
∴AB＝＝10，
∵∠AHD＝∠ACB＝90°，
∵∠DAH＝∠BAC，
∴△ADH∽△ABC，
∴DH：BC＝AD：AB，
∴DH：6＝4：10，
∴DH＝，
∵EF⊥AB，DH⊥AB，
∴EF∥DH，
∴△BEF∽△BDH，
∴EF：DH＝BE：BD，
∴EF：＝2：3，
∴EF＝．
故答案为：A．
【分析】由三角形重心的性质得到AD＝AC＝4，，由勾股定理求出AB＝＝10，由△ADH∽△ABC，得到DH：BC＝AD：AB，即可求出DH＝，由△BEF∽△BDH，推出EF：DH＝BE：BD，即可得EF＝．
10．【答案】C
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数图象上点的坐标特征；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：过A作AE⊥x轴于E，过C作CF⊥x轴于F，
在Rt△BOG中，tan∠OGB＝＝2，
∴设OB＝2m，OG＝m（m＞0），
∵∠BOG＝∠BFC＝90°，∠OBG＝∠CBF，
∴△OBG∽△FBC，
∴＝2，
∴设BF＝2n，CF＝n（n＞0），
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠EAB＋∠ABE＝∠ABE＋∠CBF＝90°，
∴∠EAB＝∠CBF，
在△AEB与△BFC中，
，
∴△AEB≌△BFC（AAS），
∴AE＝BF＝2n，BE＝CF＝n，
∴OF＝OB＋BF＝2m＋2n，OE＝OB BE＝2m n，
∴C（2m＋2n，n），A（2m n，2n），
∵点A，点C在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）图象上，
∴，
解得或（舍去），
∴G（0 4），B（8，0），
设直线BC的解析式为y＝kx＋b，
把B，G坐标代入解析式得：
，
解得，
∴直线BC的解析式为y＝x 4，
故答案为：C．
【分析】过A作AE⊥x轴于E，过C作CF⊥x轴于F，根据已知条件设OB＝2m，OG＝m（m＞0），根据相似三角形的判定得出△OBG∽△FBC，然后得出＝2，从而设BF＝2n，CF＝n（n＞0），再根据正方形的性质和三角形全等的判定得出△AEB≌△BFC，从而得出AE＝BF＝2n，BE＝CF＝n，然后得出A，C坐标，再根据A，C在反比例函数y＝上列出关于m，n的方程组，解方程组求出m，n的值，从而得出B，G坐标，然后再用待定系数法求出直线BC的函数解析式．
11．【答案】-9
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²的图象
【解析】【解答】解：当x＝3时，a＝ 32，即a＝ 9．
故答案为： 9．
【分析】将A（3，a）代入y＝ x2即可求解．
12．【答案】x=3
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】去分母得：x﹣1=2，
解得：x=3，
经检验x=3是分式方程的解，
故答案为：x=3
【分析】解分式方程的基本步骤是去分母、移项、合并同类项，检验.
13．【答案】50°
【知识点】平移的性质；图形的平移
【解析】【解答】解：∵将△ABC沿AB方向平移得到△EFD，
∴∠D＝∠ACB＝50°．
在△DEF中，∠D＝50°，∠F＝80°，
∴∠DEF＝180° ∠D ∠F＝180° 50° 80°＝50°，
∴∠MEB＝50°．
故答案为：50°．
【分析】利用平移的性质，可得出∠D＝∠ACB＝50°，在△DEF中，利用三角形内角和定理，可求出∠DEF（即∠MEB）的度数．
14．【答案】14
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵AB∥CD∥EF，
∴，
∵BD＝6，
∴如果，BD＝6，那么BF＝BD＝×6＝14，
故答案为14．
【分析】由，得，由AB∥CD∥EF，得即可解答．
15．【答案】4
【知识点】勾股定理；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：如图，连接PD，DE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝90°，
∵AB＝AD＝4，BE＝1，
∴AE＝3，
∴DE＝＝＝5，
由折叠得：EB＝EP＝1，
∵EP＋DP≥ED，
∴当E、P、D共线时，DP最小，
∴DP＝DE EP＝5 1＝4；
∴点P到点D的最短距离为4，
故答案为：4．
【分析】先根据勾股定理计算ED的长，当E、P、D共线时，DP最小，即最短距离是此时PD的长．
16．【答案】解：，
①×2得：2x 4y＝8③，
② ③得：7y＝ 9，
得：y＝ ，
将y＝ 代入①得：x＝，
方程组的解为：．
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】方程①×2 ③消去x，求出y，然后代入①求出x即可．
17．【答案】（1）解：原式=1+2-
=1+2-1
=2．
（2）将点（4，5）与点（2，1）代入y=kx+b得，
，
解得，
所以一次函数的表达式为y=2x-3．
【知识点】零指数幂；待定系数法求一次函数解析式；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】（1）根据实数的运算法则进行计算即可．
（2）利用待定系数法即可解决问题．
18．【答案】（1）解：①水面宽AB与桥长CD均为24米，在距离D点6米的E处，测得桥面到桥拱的距离EF为1.5米，
由题意得H（0，4），I（12，4），右边钢缆的抛物线顶点为（6，2），
设右边钢缆的抛物线表达式为y1＝a1(x 6)2＋2，
∵H（0，4），
∴4＝a1(0 6)2＋2，
∴a1＝，
∴y1＝(x 6)2＋2．
②由题意得H（0，4），G（ 12，4），左边钢缆的抛物线顶点为（ 6，2），
设左边钢缆的抛物线表达式为y1＝a1(x＋6)2＋2，
∵H（0，4），
∴4＝a1(0＋6)2＋2，
∴a1＝，
∴y1＝(x＋6)2＋2．
（2）解：设拱桥侧面抛物线表达式为y2＝a2x2，
由题意得F（6， 1.5），
∴ 1.5＝36a2，
∴a2＝ ，
∴y2＝ x2，
设灯带长度为h，则h＝y1 y2＝(x 6)2＋2 ( x2)＝x2 x＋4，
∵＞0，
∴当x＝( 12＜＜12)时，h有最小值为．
答：灯带长度的最小值是米．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【分析】（1）①右边：根据钢缆抛物线的顶点为（6，2），设其顶点式y1＝a1(x 6)2＋2，再将已知点H（0，4）代入解析式，求解出系数a1的值，进而确定钢缆抛物线的完整解析式；②左边：根据钢缆抛物线的顶点为（ 6，2），设其顶点式y1＝a1(x＋6)2＋2，再将已知点H（0，4）代入解析式，求解出系数a1的值，进而确定钢缆抛物线的完整解析式；
（2）先根据拱桥侧面抛物线的特征设解析式y2＝a2x2，将已知点B（6， 1.5）代入求出a2，得到y2的解析式；再根据h＝y1 y2列出关于的函数表达式，求出该函数的最小值，即彩带长度h的最小值．
19．【答案】（1）证明：作OP⊥AM于P，OQ⊥AN于Q，连接AO，BO，DO．
∵，
∴BC=DE，
∴BP=DQ，
又∵OB=OD，
∴△OBP≌△ODQ，
∴OP=OQ．
∴BP=DQ=CP=EQ．
直角三角形APO和AQO中，
AO=AO，OP=OQ，
∴△APO≌△AQO．
∴AP=AQ．
∵CP=EQ，
∴AC=AE．
（2）∵AC=AE，
∴∠ACE=∠AEC．
∴∠ECM=∠CEN．
由于AF是CE的垂直平分线，
∴CF=EF．
∴∠FCE=∠FEC=∠MCE=∠CEN．
因此EF平分∠CEN．
【知识点】线段垂直平分线的性质；圆心角、弧、弦的关系；角平分线的概念；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）作OP⊥AM，OQ⊥AN于Q，连接AO，BO，DO．证△APO≌△AQO，由BC＝CD，得CP＝EQ后得证；
（2）同AC＝AE得∠ECM＝∠CEN，由CE＝EF得∠FCE＝∠FEC＝∠MCE＝∠CEN得证．
20．【答案】（1）400；
补全条形统计图，如图即为所求；

（2）解：（名）
答：竞赛成绩为B等级的学生人数为600名；
（3）解：树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中甲乙两人同时被选中的结果有2种，
∴P（甲乙两人同时被选中）．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：抽取总人数为（名），
等级D的人数为（名），
故答案为：40；
【分析】（1）由C等级的人数除以它的占比可得抽取人数，再由总人数减去其它等级人数得到D等级人数，补全条形统计图即可；
（2）用1500乘以样本中B等级人数占比即可解答；
（3）画树状图得到所有等可能的结果数，然后得到甲乙两人同时被选中的结果数，利用概率公式解答．
21．【答案】（1）解：根据题意可得单件利润为16＋x 10＝（6＋x）元，销量为（100 10x）件，
可得函数关系式为y＝（6＋x）（100 10x）＝ 10x2＋40x＋600，
∵每件售价不能高于20元，
∴0≤x≤20 16，即0≤x≤4且x为整数，
∴y＝ 10x2＋40x＋600（0≤x≤4且x为整数）；
（2）解：y＝ 10x2＋40x＋600＝ 10（x 2）2＋640，
因为a＝ 10＜0，
所以当x＝2时，有最大值640，此时售价为16＋2＝18元，
答：每件商品的售价为18元时，每个月可获得最大利润，最大利润是640元.
（3）解：当y＝550时，可得 10x2＋40x＋600＝550，
解得x1＝5，x2＝ 1，
∵0≤x≤4且x为整数，
∴得x1＝5，x2＝ 1均不符合自变量的取值范围，
∴不存在符合条件的售价．
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据销售利润＝单件利润×销量即可列出函数关系式，再根据每件售价不能高于20元得到x的取值；
（2）将二次函数的解析式转化为顶点式，即可解答；
（3）令y＝550，得到一元二次方程，解方程，即可解答，
22．【答案】（1）解：AE⊥BC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
∴AE⊥BC．
（2）证明：∵BF与⊙O相切，
∴∠ABF=90°，
∴∠CBF=90°-∠ABE，
∵∠AEB=90°，
∴∠BAE=90°-∠ABE，
∴∠BAE=∠CBF，
∵∠BAF=2∠CBF，
∴∠BAF=2∠BAE，
∴∠BAE=∠CAE，
∵AE⊥BC，
∴∠AEB=∠AEC=90°，
在△AEB和△AEC中，
∵，
∴△AEB≌△AEC（ASA），
∴AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形
（3）连接BD．
∵∠DAE=∠DBE，∠DAE=∠CBF，
∴∠DBE=∠CBF，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴BD⊥CD．
∵CG⊥BF，且∠DBC=∠CBF，
∴CD=CG．
∵∠F=60°，∠CGF=90°，
∴∠FCG=30°，
∵GF=1，
∴CF=2，
∴，
∴，
设⊙O的半径为r，则AC=AB=2r，
∵∠ADB=90°，∠BAD=30°，
∴BD=r，．
∴，
∴．
∴⊙O的半径长为．
【知识点】等腰三角形的判定；含30°角的直角三角形；勾股定理；切线的性质；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）由圆周角定理可得出结论；
（2）由切线的性质得出∠ABF＝90°，证出∠AEB＝∠AEC＝90°，证明△AEB≌△AEC（ASA），由全等三角形的性质得出AB＝AC，则可得出结论；
（3）连接BD．证明CG＝CD，由直角三角形的性质求出CF＝2，由勾股定理求出CG的长，则可求出答案．
23．【答案】（1）一次函数的解析式为y1=2x-1，反比例函数的解析式为
解：∵OA＝，
∴A（，0），
将A（，0）代入y1＝ax 1，得
0＝a 1，
解得a＝2，
∴一次函数的解析式为y1＝2x 1，
∵点C的横坐标为2，
∴将x＝2代入y1＝2x 1，得
y＝3，
∴C（2，3）．
将C（2，3）代入y2＝，得
k＝6，
∴反比例函数的解析式为y2＝．
（2）解：∵直线y1向左平移个单位长度得直线y3，
∴y3＝2（x＋） 1＝2x＋．
∵y3与y2在第一象限交于点E，在第三象限交于点F，
∴，
解得：或，
∴E（，8），F（ 4， ）．
设直线EF的解析式为y＝mx＋n，
∴将E（，8），F（ 4， ）代入y＝mx＋n，
得：，
解得：．
∴y＝2x＋．
设直线EF与x轴相交于点D，
令y＝0，得x＝ ，
得D（ ，0），
∴AD＝ ( )＝．
∴S△AEF＝S△AED＋S△ADF＝××＋××8＝17．
（3）或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积
【解析】【解答】解：（3）当y3＞y2＞y1时，＜x＜2或 4＜ x＜ ．
【分析】（1）由OA＝，得出点A的坐标，代入一次函数的解析式，解得一次函数的解析式后，再求出点C的坐标，将点C的坐标代入反比例函数的解析式即可得出答案；
（2）先求出y3的解析式，结合反比例函数y2求出点E，F的坐标，再求出△AEF的面积；
（3）根据图象求出x的取值范围．
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