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上海市奉贤区2025-2026学年第二学期高三练习数学试卷
1．已知集合，，若，则实数　 　．
2．不等式的解集为　 　．
3．在的展开式中，的系数为　 　．
4．若直线与直线平行，则实数a的值为　 　．
5．已知圆锥的高为8，底面半径为6，则该圆锥的侧面积为　 　．
6．已知函数是奇函数，则　 　．
7．某食品厂生产一种零食，该种零食每袋的质量X（单位：g）服从正态分布，记作．规定：这种零食的质量在62.8~69.4g之间的为合格品；则这种零食的合格率为　 　．（结果精确到0.001）；
参考数据：若，则，，．
8．点为抛物线的焦点，为上一点，若的面积为（为坐标原点），则　 　．
9．从6名男生和4名女生中选出3人参加人工智能技能培训．设事件至少抽到一名女生，事件恰好抽到一名男生，则　 　．
10．已知复数，，i是虚数单位，则的取值范围是　 　．
11．如图所示，A，B，C为山脚两侧共线的三点，在山顶P处测得三点的俯角分别为，，．计划沿直线AC开通穿山隧道，为了求出隧道DE的长度，还测得米，米，米，则根据以上数据，隧道DE的长度约为　 　米．（结果精确到1米）
12．在平面直角坐标系xOy中，点，，．若点满足：，，则xy的最大值是　 　．
13．已知，则下列不等式成立的是（　　）
A． B． C． D．
14．已知双曲线的方程为，则（　　）
A．渐近线与无关 B．实轴长与无关
C．焦距与无关 D．焦点与无关
15．音乐，是人类精神通过无意识计算而获得的愉悦享受，年法国数学家傅里叶发现代表任何周期性声音的公式是形如的简单正弦型函数之和，而且这些正弦型函数的频率都是其中一个最小频率的整数倍，比如用小提琴演奏的某音叉的声音图象是由下图三个函数图象组成的，则小提琴演奏的该音叉的声音函数可以为（　　）
A．
B．
C．
D．
16．已知函数的表达式为，，则下列命题正确的是（　　）
A．函数的零点的个数一定是3个
B．若集合的解集是，则实数对有2对
C．函数必存在极值
D．函数在处的切线方程为，则
17．已知函数的表达式为，．
（1），求的值；
（2）若，，依次成等比数列，求的值．
18．某工厂生产的某种产品的月产量（单位：千件）与单位成本（单位：元/件）的数据如下：
月份 产量（千件） 单位成本（元/件）
1 2 73
2 3 72
3 4 71
4 3 73
5 4 69
6 5 68
（1）计算产量与单位成本的相关系数（无需过程）；
（2）建立产量与单位成本的回归方程（写出必要的过程）：
（3）若该工厂计划7月份生产7千件该产品，则单位成本预计是多少？
附：相关系数的计算公式：；
回归系数计算公式：，
19．在四棱锥中，四边形是菱形，，，，点F为的中点，点E为上的点，，，平面与棱交于点G．
（1）求证：异面直线与垂直；
（2）当时，求与底面所成的线面角大小．
20．已知椭圆经过点，离心率为．过点，的动直线交椭圆于，两点．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线l与相切，求当时，的长；
（3）若以为直径的圆经过轴上方的定点，求点的坐标．
21．设定义域为的函数的表达式为，我们可以证明函数存在唯一的零点，设该零点为r．如图，过点作函数的切线与轴的交点为，设横坐标为，若，则过点作函数的切线与x轴的交点为，设横坐标为；若，则停止作切线．…依次类推，得到数列，记，．
（1）若，，求；
（2）求证：数列是严格递减数列；
（3）若，比较与的大小，并说明理由．
答案解析部分
1．【答案】
【知识点】集合中元素的确定性、互异性、无序性；集合关系中的参数取值问题
【解析】【解答】解：因为，所以或，解得，或，
当时，，集合中的元素不满足互异性，舍去；
当时，，满足题意，故.
故答案为：0.
【分析】根据集合的包含关系，结合集合中元素的特性求解即可.
2．【答案】
【知识点】其他不等式的解法
【解析】【解答】解：或，解得或，
则不等式的解集为.
故答案为：.
【分析】解绝对值不等式即可.
3．【答案】10
【知识点】二项展开式的通项
【解析】【解答】解：展开式通项公式为，
当时，，则的系数为10.
故答案为：10.
【分析】先写出展开式的通项，利用通项求解即可.
4．【答案】
【知识点】两条直线平行的判定；直线的一般式方程与直线的平行关系
【解析】【解答】解：直线与直线平行，则，解得，
因为直线的截距为1，直线的截距为0，不相等，所以．
故答案为：.
【分析】根据两直线平行的判定列式求解，注意验证排除重合.
5．【答案】
【知识点】棱柱/棱锥/棱台的侧面积、表面积及应用
【解析】【解答】解：因为圆锥的高为8，底面半径为，所以圆锥的母线长为，
则圆锥的侧面积.
故答案为：.
【分析】先计算圆锥的母线长，再根据圆锥的侧面积公式求解即可.
6．【答案】
【知识点】函数的奇偶性
【解析】【解答】解：函数，，
又函数是奇函数，所以，则，，
，，解得．
故答案为：-1.
【分析】根据函数的奇偶性求解即可.
7．【答案】
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：因为零食每袋的质量X（单位：g）服从正态分布，
所以
.
故答案为：.
【分析】根据正态分布的原则求解即可.
8．【答案】
【知识点】抛物线的定义；抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：易知抛物线的焦点为，准线方程为，
若的面积为， 则，解得，
由，解得，则.
故答案为：.
【分析】易知抛物线的焦点坐标和准线方程，根据的面积求出，代入抛物线方程求得，再由焦半径公式计算即可.
9．【答案】
【知识点】条件概率与独立事件
【解析】【解答】解：由题意可得，，
则.
故答案为：.
【分析】利用条件概率公式计算即可.
10．【答案】
【知识点】复数的模；含三角函数的复合函数的值域与最值；复数的三角形式；辅助角公式
【解析】【解答】解：
，
，设，
则，
当，，即，时，，
此时取最大值，
当，，即，时，，
此时取最小值，
则．
故答案为：.
【分析】根据复数模长公式，结合简单三角恒等变换、辅助角公式化简求得，再根据余弦函数的性质求解即可.
11．【答案】
【知识点】解三角形；正弦定理；解三角形的实际应用
【解析】【解答】解：在中，，，，
由正弦定理，可得，
在中，，
由正弦定理，可得，
则
.
故答案为：.
【分析】在中，利用正弦定理求得，在中，利用正弦定理求得，再根据求解即可.
12．【答案】
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；含三角函数的复合函数的值域与最值；辅助角公式
【解析】【解答】解：，，，
由题意得解得，
，，
当时，取最大值为，则y的最大值是.
【分析】根据向量数量积的坐标运算，结合正弦、余弦的二倍角公式以及辅助角公式，正弦函数的性质求解即可.
13．【答案】D
【知识点】不等关系与不等式
【解析】【解答】解：由，可得，因为，所以，故A错误；
由，可得，则，故B错误；
，
因为，所以，则，故C错误；
由，可得，因为，所以，故D正确.
故答案为：D.
【分析】根据不等式的性质即可判断ABD；利用作差法比较大小即可判断C.
14．【答案】A
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：已知双曲线的方程为，则，
当时，，焦点在轴，，渐近线方程为，实轴长为，焦距为，焦点为；
当时，，焦点在轴，，
渐近线方程为，实轴长为，
焦距为，焦点为；
则渐近线与无关，实轴长、焦距、焦点均与有关．
故答案为：A.
【分析】分和讨论求双曲线实轴长，焦距，焦点和渐近线判断即可.
15．【答案】C
【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【解答】解：由图1知，，，
所以，所以；
结合题意知，函数．
故答案为：．
【分析】由图1易知、周期、根据周期公式求的值，写出对应函数的解析式，再结合选项确定函数的解析式即可．
16．【答案】B
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的极值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：A、当时，，若当或时，零点个数不为3，故A错误；
B、若满足条件，则在处为零，且在时，
由，得，即或，
当时，，为满足条件，，
当时，同理可得，
当时不满足题意，
则实数对有对：和，故B正确；
C、求导，，接着判断，
把判别式看作关于的函数，则，，
当时，，，则有两个零点，有极值，
当时，，
此时当，，有两个零点，有极值，
当，，恒成立，函数在定义域上单调递增，
所以当取值时，，无极值，故C错误；
D、在处的切线方程为，
求导， 得，得或，故D错误.
故答案为：B.
【分析】令，求解，当或时，零点个数不为3即可判断A；若满足条件，则在处为零，且在时，由，得，即或，再讨论求解即可判断B；求导，利用导数判断函数的极值情况即可判断C；利用导数的几何意义求解即可判断D.
17．【答案】（1）解：函数，由，，可得，
则；
（2）解：由，，，
因为成等比数列，所以，
则，即；
若，，依次成等比数列，则，，，又因为，所以，
此时，，依次为，符合题意；
综上，.
【知识点】两角和与差的正弦公式；运用诱导公式化简求值；等比中项
【解析】【分析】（1）由，结合同角三角函数基本关系求得，再利用两角和的正弦公式化简求值即可；
（2）利用诱导公式分别求，，依 ，再根据，，依次成等比数列 ，可得，求得，验证即可得的值.
（1）由，，得，
则.
（2）由，，，
因成等比数列，故，
即，得；
若，，依次成等比数列，则；
所以，，又，故，此时，，依次
为，符合题意；
综上，.
18．【答案】（1）解：根据相关系数的公式，
由表格数据可得，，，
，，
于是；
（2）解：设回归直线方程为，
根据公式可得，
，
故回归直线方程为；
（3）解：根据（2）可知，，
当时，，则预计成本是元/件.
【知识点】线性回归方程；样本相关系数r及其数字特征
【解析】【分析】（1）根据相关系数公式计算即可；
（2）根据公式求，确定回归直线方程即可；
（3）根据（2）的回归方程，令进行预测即可.
（1）根据相关系数的公式，
由表格数据可得，，，
，，
于是.
（2）设回归直线方程为，
根据公式可得，
，
故回归直线方程为；
（3）根据（2）可知，，
当时，，
所以预计成本是元/件.
19．【答案】（1）证明：四边形是菱形，则，设，则是的中点，
因为，，所以，
因为，且平面，所以平面，
以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
，，，
，
，
因为为的中点，所以，
因为点为上的点，，，，则，
，，
因为，所以，
则异面直线与垂直；
（2）解：当时，，，
设为平面的法向量，则，令，则，
，则平面方程为：，即，
因为，所以，直线参数方程为：，
参数方程代入平面方程得，解得，可得，，
底面的法向量为，
设与底面所成角为，则，
即与底面所成的线面角为．
【知识点】用空间向量研究直线与直线的位置关系；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）由题意，根据线面垂直的判定证明平面，以以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求出，计算求出，即可证明异面直线与垂直；
（2）由（1）的空间直角坐标系，求出，进而求出点，进而求出，再利用向量夹角的余弦公式求出线面角的大小即可．
（1）已知四边形是菱形，则，设，则是的中点，
，，
，
，且平面，
平面，
以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立下图所示空间直角坐标系，
，，，
，
，
F为的中点，
，
点E为上的点，，，
，则，
，
，
，故，
异面直线与垂直．
（2）当时，，，
设为平面的法向量，则，令，
则，
，
平面方程为：，即，
，
，直线参数方程为：，
参数方程代入平面方程得，解得，
，故，
底面的法向量为，
设与底面所成角为，则
，
与底面所成的线面角为．
20．【答案】（1）解：由题意可得，解得，
故椭圆的方程为；
（2）解：由，则，可设直线，、，
因为直线与相切，所以，化简得，
联立，消去可得，
，
由韦达定理可得，，
则
；
（3）解：设直线，、，，
联立，消去可得，
，即，
，，
由点在以为直径的圆上，则，
由，，
则
，
即
故，则有，
由，故，则有，
即或，由，故，
即当且仅当时，以为直径的圆经过轴上方的定点，
且点坐标为.
【知识点】直线与圆的位置关系；椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由题意列关于的方程组，求解即可得椭圆方程；
（2）设直线，、，根据直线与圆相切，利用点到直线的距离公式列式求得，联立直线与曲线方程，利用韦达定理，结合弦长公式计算即可；
（3）设直线，、，，联立直线与曲线方程，利用韦达定理，结合圆上的点的性质，借助向量数量积，求得、、、有关等式，再利用定点性质计算即可.
（1）由题意可得，解得，
故椭圆的方程为；
（2）由，则，可设，、，
则由直线与相切，可得，化简得，
联立，消去可得，
，
则，，
则
；
（3）设，、，，
联立，消去可得，
，即，
，，
由点在以为直径的圆上，则，
由，，
则
，
即
故，则有，
由，故，则有，
即或，由，故，
即当且仅当时，以为直径的圆经过轴上方的定点，
且点坐标为.
21．【答案】（1）解：函数，，
当，，设切线斜率为，
则，直线为，
令，；
（2）证明：设，，，，所以，
，
则直线为，
令，则，
，
因为，且，
所以，
则数列是严格递减数列；
（3）解：当时，，，令，
则，
令，
所以，
构造函数，，
求导，
构造函数，，单调递增，且，，
则函数在上单调递增，
当，，
根据零点存在定理，存在唯一的使得，
所以结合数列的单调递减性，
当，，此时；
当，，此时；
当，，此时.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程；数列的函数特性
【解析】【分析】（1）求导，利用导数的几何意义，结合点斜式求得切线方程，再令，求解即可；
（2）设，，，，根据切线方程构造递推公式作差，再通过零点与交点横坐标的关系化简证明即可；
（3）先将条件作差，再将递推公式代入化简，构造函数，求导，利用导数判断函数的单调性，根据零点存在性定理，结合数列的单调递减性判断大小即可.
（1）已知，，
当，，设切线斜率为，
则，直线为，
令，.
（2）设，，，，所以，
，
则直线为.
令，则.
，
因为，且，
所以，
所以数列是严格递减数列.
（3）当时，，，令，
则，
令.
所以.
构造函数，令，，
求导，
构造函数，，所以单调递增，且，
所以，所以函数在上单调递增，
当，，
根据零点存在定理，存在唯一的使得，
所以结合数列的单调递减性，
当，，此时；
当，，此时；
当，，此时.
1 / 1上海市奉贤区2025-2026学年第二学期高三练习数学试卷
1．已知集合，，若，则实数　 　．
【答案】
【知识点】集合中元素的确定性、互异性、无序性；集合关系中的参数取值问题
【解析】【解答】解：因为，所以或，解得，或，
当时，，集合中的元素不满足互异性，舍去；
当时，，满足题意，故.
故答案为：0.
【分析】根据集合的包含关系，结合集合中元素的特性求解即可.
2．不等式的解集为　 　．
【答案】
【知识点】其他不等式的解法
【解析】【解答】解：或，解得或，
则不等式的解集为.
故答案为：.
【分析】解绝对值不等式即可.
3．在的展开式中，的系数为　 　．
【答案】10
【知识点】二项展开式的通项
【解析】【解答】解：展开式通项公式为，
当时，，则的系数为10.
故答案为：10.
【分析】先写出展开式的通项，利用通项求解即可.
4．若直线与直线平行，则实数a的值为　 　．
【答案】
【知识点】两条直线平行的判定；直线的一般式方程与直线的平行关系
【解析】【解答】解：直线与直线平行，则，解得，
因为直线的截距为1，直线的截距为0，不相等，所以．
故答案为：.
【分析】根据两直线平行的判定列式求解，注意验证排除重合.
5．已知圆锥的高为8，底面半径为6，则该圆锥的侧面积为　 　．
【答案】
【知识点】棱柱/棱锥/棱台的侧面积、表面积及应用
【解析】【解答】解：因为圆锥的高为8，底面半径为，所以圆锥的母线长为，
则圆锥的侧面积.
故答案为：.
【分析】先计算圆锥的母线长，再根据圆锥的侧面积公式求解即可.
6．已知函数是奇函数，则　 　．
【答案】
【知识点】函数的奇偶性
【解析】【解答】解：函数，，
又函数是奇函数，所以，则，，
，，解得．
故答案为：-1.
【分析】根据函数的奇偶性求解即可.
7．某食品厂生产一种零食，该种零食每袋的质量X（单位：g）服从正态分布，记作．规定：这种零食的质量在62.8~69.4g之间的为合格品；则这种零食的合格率为　 　．（结果精确到0.001）；
参考数据：若，则，，．
【答案】
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：因为零食每袋的质量X（单位：g）服从正态分布，
所以
.
故答案为：.
【分析】根据正态分布的原则求解即可.
8．点为抛物线的焦点，为上一点，若的面积为（为坐标原点），则　 　．
【答案】
【知识点】抛物线的定义；抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：易知抛物线的焦点为，准线方程为，
若的面积为， 则，解得，
由，解得，则.
故答案为：.
【分析】易知抛物线的焦点坐标和准线方程，根据的面积求出，代入抛物线方程求得，再由焦半径公式计算即可.
9．从6名男生和4名女生中选出3人参加人工智能技能培训．设事件至少抽到一名女生，事件恰好抽到一名男生，则　 　．
【答案】
【知识点】条件概率与独立事件
【解析】【解答】解：由题意可得，，
则.
故答案为：.
【分析】利用条件概率公式计算即可.
10．已知复数，，i是虚数单位，则的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】复数的模；含三角函数的复合函数的值域与最值；复数的三角形式；辅助角公式
【解析】【解答】解：
，
，设，
则，
当，，即，时，，
此时取最大值，
当，，即，时，，
此时取最小值，
则．
故答案为：.
【分析】根据复数模长公式，结合简单三角恒等变换、辅助角公式化简求得，再根据余弦函数的性质求解即可.
11．如图所示，A，B，C为山脚两侧共线的三点，在山顶P处测得三点的俯角分别为，，．计划沿直线AC开通穿山隧道，为了求出隧道DE的长度，还测得米，米，米，则根据以上数据，隧道DE的长度约为　 　米．（结果精确到1米）
【答案】
【知识点】解三角形；正弦定理；解三角形的实际应用
【解析】【解答】解：在中，，，，
由正弦定理，可得，
在中，，
由正弦定理，可得，
则
.
故答案为：.
【分析】在中，利用正弦定理求得，在中，利用正弦定理求得，再根据求解即可.
12．在平面直角坐标系xOy中，点，，．若点满足：，，则xy的最大值是　 　．
【答案】
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；含三角函数的复合函数的值域与最值；辅助角公式
【解析】【解答】解：，，，
由题意得解得，
，，
当时，取最大值为，则y的最大值是.
【分析】根据向量数量积的坐标运算，结合正弦、余弦的二倍角公式以及辅助角公式，正弦函数的性质求解即可.
13．已知，则下列不等式成立的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】不等关系与不等式
【解析】【解答】解：由，可得，因为，所以，故A错误；
由，可得，则，故B错误；
，
因为，所以，则，故C错误；
由，可得，因为，所以，故D正确.
故答案为：D.
【分析】根据不等式的性质即可判断ABD；利用作差法比较大小即可判断C.
14．已知双曲线的方程为，则（　　）
A．渐近线与无关 B．实轴长与无关
C．焦距与无关 D．焦点与无关
【答案】A
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：已知双曲线的方程为，则，
当时，，焦点在轴，，渐近线方程为，实轴长为，焦距为，焦点为；
当时，，焦点在轴，，
渐近线方程为，实轴长为，
焦距为，焦点为；
则渐近线与无关，实轴长、焦距、焦点均与有关．
故答案为：A.
【分析】分和讨论求双曲线实轴长，焦距，焦点和渐近线判断即可.
15．音乐，是人类精神通过无意识计算而获得的愉悦享受，年法国数学家傅里叶发现代表任何周期性声音的公式是形如的简单正弦型函数之和，而且这些正弦型函数的频率都是其中一个最小频率的整数倍，比如用小提琴演奏的某音叉的声音图象是由下图三个函数图象组成的，则小提琴演奏的该音叉的声音函数可以为（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【解答】解：由图1知，，，
所以，所以；
结合题意知，函数．
故答案为：．
【分析】由图1易知、周期、根据周期公式求的值，写出对应函数的解析式，再结合选项确定函数的解析式即可．
16．已知函数的表达式为，，则下列命题正确的是（　　）
A．函数的零点的个数一定是3个
B．若集合的解集是，则实数对有2对
C．函数必存在极值
D．函数在处的切线方程为，则
【答案】B
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的极值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：A、当时，，若当或时，零点个数不为3，故A错误；
B、若满足条件，则在处为零，且在时，
由，得，即或，
当时，，为满足条件，，
当时，同理可得，
当时不满足题意，
则实数对有对：和，故B正确；
C、求导，，接着判断，
把判别式看作关于的函数，则，，
当时，，，则有两个零点，有极值，
当时，，
此时当，，有两个零点，有极值，
当，，恒成立，函数在定义域上单调递增，
所以当取值时，，无极值，故C错误；
D、在处的切线方程为，
求导， 得，得或，故D错误.
故答案为：B.
【分析】令，求解，当或时，零点个数不为3即可判断A；若满足条件，则在处为零，且在时，由，得，即或，再讨论求解即可判断B；求导，利用导数判断函数的极值情况即可判断C；利用导数的几何意义求解即可判断D.
17．已知函数的表达式为，．
（1），求的值；
（2）若，，依次成等比数列，求的值．
【答案】（1）解：函数，由，，可得，
则；
（2）解：由，，，
因为成等比数列，所以，
则，即；
若，，依次成等比数列，则，，，又因为，所以，
此时，，依次为，符合题意；
综上，.
【知识点】两角和与差的正弦公式；运用诱导公式化简求值；等比中项
【解析】【分析】（1）由，结合同角三角函数基本关系求得，再利用两角和的正弦公式化简求值即可；
（2）利用诱导公式分别求，，依 ，再根据，，依次成等比数列 ，可得，求得，验证即可得的值.
（1）由，，得，
则.
（2）由，，，
因成等比数列，故，
即，得；
若，，依次成等比数列，则；
所以，，又，故，此时，，依次
为，符合题意；
综上，.
18．某工厂生产的某种产品的月产量（单位：千件）与单位成本（单位：元/件）的数据如下：
月份 产量（千件） 单位成本（元/件）
1 2 73
2 3 72
3 4 71
4 3 73
5 4 69
6 5 68
（1）计算产量与单位成本的相关系数（无需过程）；
（2）建立产量与单位成本的回归方程（写出必要的过程）：
（3）若该工厂计划7月份生产7千件该产品，则单位成本预计是多少？
附：相关系数的计算公式：；
回归系数计算公式：，
【答案】（1）解：根据相关系数的公式，
由表格数据可得，，，
，，
于是；
（2）解：设回归直线方程为，
根据公式可得，
，
故回归直线方程为；
（3）解：根据（2）可知，，
当时，，则预计成本是元/件.
【知识点】线性回归方程；样本相关系数r及其数字特征
【解析】【分析】（1）根据相关系数公式计算即可；
（2）根据公式求，确定回归直线方程即可；
（3）根据（2）的回归方程，令进行预测即可.
（1）根据相关系数的公式，
由表格数据可得，，，
，，
于是.
（2）设回归直线方程为，
根据公式可得，
，
故回归直线方程为；
（3）根据（2）可知，，
当时，，
所以预计成本是元/件.
19．在四棱锥中，四边形是菱形，，，，点F为的中点，点E为上的点，，，平面与棱交于点G．
（1）求证：异面直线与垂直；
（2）当时，求与底面所成的线面角大小．
【答案】（1）证明：四边形是菱形，则，设，则是的中点，
因为，，所以，
因为，且平面，所以平面，
以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
，，，
，
，
因为为的中点，所以，
因为点为上的点，，，，则，
，，
因为，所以，
则异面直线与垂直；
（2）解：当时，，，
设为平面的法向量，则，令，则，
，则平面方程为：，即，
因为，所以，直线参数方程为：，
参数方程代入平面方程得，解得，可得，，
底面的法向量为，
设与底面所成角为，则，
即与底面所成的线面角为．
【知识点】用空间向量研究直线与直线的位置关系；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）由题意，根据线面垂直的判定证明平面，以以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求出，计算求出，即可证明异面直线与垂直；
（2）由（1）的空间直角坐标系，求出，进而求出点，进而求出，再利用向量夹角的余弦公式求出线面角的大小即可．
（1）已知四边形是菱形，则，设，则是的中点，
，，
，
，且平面，
平面，
以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立下图所示空间直角坐标系，
，，，
，
，
F为的中点，
，
点E为上的点，，，
，则，
，
，
，故，
异面直线与垂直．
（2）当时，，，
设为平面的法向量，则，令，
则，
，
平面方程为：，即，
，
，直线参数方程为：，
参数方程代入平面方程得，解得，
，故，
底面的法向量为，
设与底面所成角为，则
，
与底面所成的线面角为．
20．已知椭圆经过点，离心率为．过点，的动直线交椭圆于，两点．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线l与相切，求当时，的长；
（3）若以为直径的圆经过轴上方的定点，求点的坐标．
【答案】（1）解：由题意可得，解得，
故椭圆的方程为；
（2）解：由，则，可设直线，、，
因为直线与相切，所以，化简得，
联立，消去可得，
，
由韦达定理可得，，
则
；
（3）解：设直线，、，，
联立，消去可得，
，即，
，，
由点在以为直径的圆上，则，
由，，
则
，
即
故，则有，
由，故，则有，
即或，由，故，
即当且仅当时，以为直径的圆经过轴上方的定点，
且点坐标为.
【知识点】直线与圆的位置关系；椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由题意列关于的方程组，求解即可得椭圆方程；
（2）设直线，、，根据直线与圆相切，利用点到直线的距离公式列式求得，联立直线与曲线方程，利用韦达定理，结合弦长公式计算即可；
（3）设直线，、，，联立直线与曲线方程，利用韦达定理，结合圆上的点的性质，借助向量数量积，求得、、、有关等式，再利用定点性质计算即可.
（1）由题意可得，解得，
故椭圆的方程为；
（2）由，则，可设，、，
则由直线与相切，可得，化简得，
联立，消去可得，
，
则，，
则
；
（3）设，、，，
联立，消去可得，
，即，
，，
由点在以为直径的圆上，则，
由，，
则
，
即
故，则有，
由，故，则有，
即或，由，故，
即当且仅当时，以为直径的圆经过轴上方的定点，
且点坐标为.
21．设定义域为的函数的表达式为，我们可以证明函数存在唯一的零点，设该零点为r．如图，过点作函数的切线与轴的交点为，设横坐标为，若，则过点作函数的切线与x轴的交点为，设横坐标为；若，则停止作切线．…依次类推，得到数列，记，．
（1）若，，求；
（2）求证：数列是严格递减数列；
（3）若，比较与的大小，并说明理由．
【答案】（1）解：函数，，
当，，设切线斜率为，
则，直线为，
令，；
（2）证明：设，，，，所以，
，
则直线为，
令，则，
，
因为，且，
所以，
则数列是严格递减数列；
（3）解：当时，，，令，
则，
令，
所以，
构造函数，，
求导，
构造函数，，单调递增，且，，
则函数在上单调递增，
当，，
根据零点存在定理，存在唯一的使得，
所以结合数列的单调递减性，
当，，此时；
当，，此时；
当，，此时.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程；数列的函数特性
【解析】【分析】（1）求导，利用导数的几何意义，结合点斜式求得切线方程，再令，求解即可；
（2）设，，，，根据切线方程构造递推公式作差，再通过零点与交点横坐标的关系化简证明即可；
（3）先将条件作差，再将递推公式代入化简，构造函数，求导，利用导数判断函数的单调性，根据零点存在性定理，结合数列的单调递减性判断大小即可.
（1）已知，，
当，，设切线斜率为，
则，直线为，
令，.
（2）设，，，，所以，
，
则直线为.
令，则.
，
因为，且，
所以，
所以数列是严格递减数列.
（3）当时，，，令，
则，
令.
所以.
构造函数，令，，
求导，
构造函数，，所以单调递增，且，
所以，所以函数在上单调递增，
当，，
根据零点存在定理，存在唯一的使得，
所以结合数列的单调递减性，
当，，此时；
当，，此时；
当，，此时.
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