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广西壮族自治区南宁市 南宁二中初中大学区2024-2025学年下学期期末考试七年级数学试题
一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．）
1．下列选项中是无理数的是（　　）
A． B． C．0 D．2025
【答案】A
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：A、无法表示为整数或分数，且是无限不循环小数，因此是无理数，符合题意；
B、是分数，属于有理数，不符合题意；
C、0为整数，属于有理数，不符合题意；
D、2025为整数，属于有理数，不符合题意；
故答案为：A．
【分析】本题主要考查无理数的定义.明确整数、分数、有限小数、无限循环小数为有理数；无限不循环小数为无理数.是开方开不尽的数，是无限不循环小数，即为无理数.
2．以下列各组数为边，能组成三角形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：A、由于，则本选项中的三条线段不能组成三角形，不符合题意；
B、由于，则本选项中的三条线段不能组成三角形，不符合题意；
C、由于，则本选项中的三条线段不能组成三角形，不符合题意；
D、由于，则本选项中的三条线段能组成三角形，符合题意．
故答案为：D.
【分析】本题考查三角形的三边关系“三角形的任意两边之和大于第三边”.判断时只需检验“最小两数之和 > 最大数”即可快速判断三条线段是否能组成三角形.
3．不等式的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：由得，
在数轴上表示为：
故选：D
【分析】先求出不等式的解集，再在数轴上表示解集即可解答，注意取等号在数轴上用实心的点表示．
4．如图，四个图形中，线段是的高的图是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】三角形的高
【解析】【解答】解：线段是的高，则过点作的垂线，垂足为；选项A、B、C中BE均没有垂直于AC，A、B、C均不符合题意；选项D中BE垂直于AC，故选项D符合题意.
故答案为：D.
【分析】本题考查对三角形高的定义的理解与图形识别能力，关键是准确识别出哪条线段是从一个顶点向对边所作的垂线段.
5．下列调查中，适合全面调查的是（　　）
A．调查市场上某种食品的合格情况
B．调查某批灯泡的使用寿命
C．调查某班全体学生的视力情况
D．调查某市居民的防火意识
【答案】C
【知识点】全面调查与抽样调查
【解析】【解答】解：A、调查市场上某种食品的合格情况，适合抽样调查，故本选项错误；
B、调查某批灯泡的使用寿命，适合抽样调查，故本选项错误；
C、调查某班全体学生的视力情况，适合全面调查，故本选项正确；
D、调查某市居民的防火意识，适合抽样调查，故本选项错误．
故答案为：C．
【分析】一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似解答．
6．在平面直角坐标系中，点在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵
∴点（-1，6）在第二象限
故答案为：B.
【分析】根据横纵坐标的正负可以很方便判断点在哪个象限，位于第一象限的点横纵坐标都为正数；位于第二象限的点横坐标为负，纵坐标为正；位于第三象限的点横纵坐标都为负数；位于第四象限的点横坐标为正，纵坐标为负。
7．若 ，则下列不等式正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、∵ ， ∴ ，故本选项不符合题意；
B、∵ ， ∴ ，故本选项不符合题意；
C、∵ ， ∴ ，故本选项符合题意；
D、∵ ， ∴ ，故本选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据不等式的性质逐个判断即可．
8．如图，经测量，处在处的南偏西的方向，处在处的南偏东方向，处在处的北偏东方向，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；方位角；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：如图，
∵B处在A处的南偏西的方向，C处在A处的南偏东方向，C处在B处的北偏东方向，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
故选：B．
【分析】根据题意可得，根据角之间的关系可得∠BAC，再根据直线平行性质可得，再根据三角形内角和定理即可求出答案.
9．如图，是的中线，是的中线，若的面积为12，则的面积为（　　）
A．3 B．4 C．6 D．8
【答案】A
【知识点】利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：∵是的的中线，且的面积为12，
∴，
又∵是的的中线，
∴，
故答案为：A．
【分析】本题考查了三角形中线的性质.利用中线平分面积的性质，先由AD得△ACD面积为6，再由CE得△CDE面积为3，即可得出答案.
10．我国古代著作《九章算术》中，一次方程组是由算筹布置而成．如图1，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x，y的系数与相应的常数项，得到方程组为，则根据图2所示的算筹图，列出方程组为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题；列二元一次方程组
【解析】【解答】解：根据图1所示的算筹的表示方法，
可推出图2所示的算筹表示的方程组：．
故答案为：A．
【分析】根据算筹表示方法，列二元一次方程组即可．
11．（数学文化）司南是中国古人利用磁铁制作的一种指南工具．如图，司南的形状像一把汤匙，它的长度与最大宽度之比为．若介于两个连续整数n和之间，则n的值是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：，
，即，
，
无理数的值介于两个连续整数和之间，
，
故答案为：B．
【分析】本题考查无理数的估算，通过找到与被开方数相邻的完全平方数来确定算术平方根的整数范围，即25＜26＜36，所以，即可得到.
12．如图a是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图b，再沿折叠成图c，则图c中的的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图：延长到H，由于纸条是长方形，
∴，
∴，
根据翻折不变性得，
∴，
又∵，
∴，．
在梯形中，，
根据翻折不变性，．
故选C．
【分析】延长到H，由于纸条是长方形，根据直线平行性质可得，根据折叠性质可得，则，再根据角之间的关系可得∠FGD，再根据折叠性质即可求出答案.
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．）
13．如图，要把河中的水引到村庄，小凡先作，垂足为点，然后沿开挖水渠，就能使所开挖的水渠最短，其依据是　 　．
【答案】垂线段最短
【知识点】垂线段最短及其应用
【解析】【解答】解：根据垂线段定理，连接直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短，
∴沿开挖水渠，就能使所开挖的水渠最短．
故答案为：垂线段最短．
【分析】根据垂线段最短解答即可．
14．如图，沿所在直线向右平移m个单位，得到，若，则　 　．
【答案】3
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：由平移的性质可得，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：3．
【分析】本题主要考查了平移的性质：平移前后，对应点所连线段平行且相等.可得，再根据线段的和差关系求出的长即为平移距离m．
15．生态学家用“捉放捉”的方法（也称为标记重捕法）估计某池塘中鲫鱼数量．先捕捉60条鲫鱼，分别给它们做上记号，然后放回；一段时间后，重新捕捉一些鲫鱼作为样本．多次这样捕捉到的鲫鱼中平均每50条有10条带有记号．该池塘中鲫鱼的总数约为　 　条．
【答案】300
【知识点】用样本所在的频率区间估计总体数量
【解析】【解答】解：根据题意，得（条）．
故答案为：300．
【分析】本题考查用样本估计总体（标记重捕法）：总体数量=第一次标记数÷（第二次捕获中标记数/第二次捕获数）.将题干中对应数据代入即可求解.
16．冰雹猜想描述了一个数学运算序列，任意取一个正整数，如果它是奇数，则将其乘以3再加1；如果它是偶数，则将其除以2，重复这个过程，经过有限次运算后最终会进入一个循环：，在平面直 角坐标系中，将点中的 和分别按照冰雹猜想同步进行运算，得到新的点的横、纵坐标，其中 和 均为正整数，例如点经过次运算得到点，经过次运算得到点，以此类 推，则点经过次运算后，得到的点坐标是 　 　．
【答案】
【知识点】点的坐标；探索数与式的规律；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：点，
第次，，得，
第次，，得，
第次，，得，
第次，，得，
，
∴每次一循环，
∴，
∴点经过次运算后，得到的点坐标是，
故答案为： ．
【分析】根据前4次点的变换，总结规律，即可求出答案.
三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（1）计算：．
（2）解方程组
【答案】（1）解：原式．
（2）解：，
得：，
将代入①得：，解得，
∴原方程组的解为．
【知识点】有理数的乘方法则；加减消元法解二元一次方程组；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【分析】（1）本小题主要考查实数的运算.涉及立方根、算术平方根和绝对值的计算：，，，最后计算加减即可；
（2）本小题考查解二元一次方程组——加减消元法.核心思路是通过加减法消去其中一个未知数，将方程组转化为一元一次方程来解.
18．平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，．
（1）向右平移2个单位长度得到，请在图中画出平移后的；
（2）求的面积；
（3）在（2）的条件下，点在轴上，当的面积是面积的时，请直接写出点的坐标．
【答案】（1）解：如图，即为所求作的三角形；
（2）解：；
（3）点的坐标为或
【知识点】点的坐标；三角形的面积；作图﹣平移；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：（3）解：∵点P在轴上，
∴设，则，
由（2）得：的面积为3，
∵的面积是的面积的，
∴的面积为：，
解得：或，
∴点P的坐标为或．
【分析】（1）本题考查图形的平移变换：将图形向右平移2个单位，即各点的横坐标加2，纵坐标不变.因此，，，在网格中描出各点连线即可；
（2）本题考查求坐标系中三角形的面积，可利用割补法（利用网格构造矩形减去多余三角形面积）求出的面积；
（3）本题考查坐标系中已知面积求点坐标，结合三角形面积公式分类讨论.设，则，由题意可得，然后求出y的值即可．
（1）解：如图，即为所求作的三角形；
（2）解：；
（3）解：∵点P在轴上，
∴设，则，
由（2）得：的面积为3，
∵的面积是的面积的，
∴的面积为：，
解得：或，
∴点P的坐标为或．
19．图为国家节水标志，节水标志各部分的含义为：灰色的圆形代表地球，标志留白部分像一只手托起一滴水，手又像一条蜿蜒的河流，象征滴水汇成江河．某市在实施居民用水定额管理前，对居民生活用水情况进行了调查，通过简单随机抽样调查获得了50个家庭去年的月均用水量（单位：吨）．以下是整理数据后的不完整统计表、统计图．
月均用水量频数分布表
分组 频数
4
12
9
5
4
2
合计 50
请根据图表中提供的信息解答下列问题：
（1）表中的值为______，请补全频数分布直方图；
（2）扇形统计图中，月均用水量为“E：”的扇形的圆心角是______°；
（3）为了鼓励节约用水，要确定一个用水量的标准，超出这个标准的部分按1.5倍价格收费．若要使的家庭水费支出不受影响，你觉得家庭月均用水量应该定为多少？为什么？
【答案】（1）解：，
补全频数分布直方图如图：
（2）36
（3）解：解：月均用水量应该定为5吨；
理由：∵，且A组，B组，C组之和为30个家庭，
∴若要使的家庭水费支出不受影响，我觉得家庭月均用水量应该定为5吨．
【知识点】频数（率）分布表；扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：由题意得：，
故答案为：14
（2）解：月均用水量为“E：”的扇形的圆心角是：，
故答案为：；
【分析】（1）根据总人数乘以C组占比可得a值，再补全图形即可.
（2）根据360°乘以E组占比即可求出答案.
（3）根据统计量进行判断即可求出答案.
（1）解：由题意得：，
补全频数分布直方图如图：
（2）解：月均用水量为“E：”的扇形的圆心角是：，
故答案为：；
（3）解：月均用水量应该定为5吨；
理由：∵，且A组，B组，C组之和为30个家庭，
∴若要使的家庭水费支出不受影响，我觉得家庭月均用水量应该定为5吨．
20．如图，与交于点，、分别是、上的点，，．
（1）求证：；
（2）若，，求的度数．
【答案】（1）证明：，
，
又，
，
；
（2）解：，
．
，
【知识点】三角形内角和定理；邻补角；平行线的应用-证明问题
【解析】【分析】（1）本题考查平行线的性质与判定.根据得到（两直线平行，同位角相等），再由已知等量代换得到，利用“内错角相等，两直线平行”证明平行；
（2）本题结合平行线性质与三角形内角和定理.由得到，再由三角形内角和定理以及邻补角即可求解．
（1）证明：，
．
又，
，
；
（2）解：，
．
，
．
21．我们已经学方根和立方根．若，则叫的二次方根（平方根），可表示为．若，则叫的三次方根（立方根），可表示为．平方根具有性质如：正数有两个平方根，它们互为相反数：0的平方根是0；负数没有平方根．请阅读材料，观察下表，类比上述的定义和性质完成以下问题：
… 1 16 81 …
… …
【定义】（1）若，则叫的________①_________，可表示为______②______；
【性质】（2）请概括①的性质；
【应用】（3）若，直接写出的值：
【拓展】（4）解方程：．
【答案】解：（1）①四次方根；②；
（2）正数有两个四次方根，它们互为相反数；0的四次方根是0；负数没有四次方根；
（3）若，则；
（4），
∴，
∴，
∴．
【知识点】实数的混合运算（含开方）；平方根的概念与表示；立方根的概念与表示
【解析】【解答】解：（1）根据表格可知：若，则叫的四次方根，可表示为；
【分析】
本题通过类比平方根、立方根的知识，引入四次方根的新定义，核心考查类比推理能力与新定义运算的应用.
（1）类比平方根的定义，直接推导四次方根的定义：若，则叫的四次方根，可表示为；
（2）仿照平方根的性质，总结四次方根的性质；
（3）直接根据四次方根的定义，求解，得到；
（4）解高次方程时，先通过移项、系数化为1，将方程化为的标准形式，再利用四次方根的定义求解，得到方程的解．
22．南宁市某商场为了迎接618购物节，采购了若干辆购物车
信息1 购物车的示意图如图1所示．为节省空间，工作人员常将购物车叠放在一起形成购物车列，如图2所示.3辆购物车叠放形成的购物车列长度为米．
信息2 购物车可以通过手扶电梯或直立电梯转运，其中手扶电梯总长18米．为安全起见，规定手扶电梯一次只能转运1列购物车，并且购物车列长度不能超过电梯总长度的．
信息3 使用手扶电梯转运一次的时间为分钟，直立电梯转运一次的时间为分钟．
请根据以上信息，完成下列问题：
（1）当辆购物车按图2的方式叠放时，形成购物车列的长度为米，则___________；（用含的代数式表示）
（2）该商场的手扶电梯一次最多能转运多少辆购物车？
（3）若手扶电梯每次转运购物车的数量为第（2）问所求结果，直立电梯每次转运20辆购物车，商场有110辆购物车需要转运．
①至少使用多少次电梯？现需同时使用两种电梯转运购物车，当电梯使用次数最少时，共有几种使用电梯的分配方案？
②为了方便顾客购物，商场要求工作人员转运购物车的时间不超过10分钟．在①的条件下，工作人员能否在限定的时间内完成任务？请通过计算说明．
【答案】（1）
（2）解：依题意得，
解得：，
答：该商场的手扶电梯一次最多能转运25辆购物车．
（3）解：①手扶电梯每次转运的购物车比直立电梯多，
，次数为正整数，
最少次数为5次，
设手扶电梯使用次，则直立电梯用次，依题意得：
，
解得：，
，
，
是正整数，
取2，3，4，
因此共有3种使用电梯的分配方案．
②当时，，所需时间为：（分钟）
当时，，所需时间为：（分钟）
当时，，所需时间为：（分钟）
，
使用手扶电梯2次，直立电梯3次时，工作人员能在限定的时间内完成任务．
【知识点】一元一次不等式的应用；用代数式表示实际问题中的数量关系
【解析】【解答】解：（1）根据题意得：，
车身总长与购物车辆数的表达式为；
【分析】（）本题考查列代数式，根据题意找出购物车列长度与车辆数的关系.根据“一辆购物车车身长1m，每增加一辆购物车，车身增加0.2m”，即可列出式子；
（2）本题考查一元一次不等式的应用，根据“ 购物车列长度不能超过电梯总长度的”列不等式，解不等式即可；
（3）本题考查方案设计与时间优化问题，综合运用不等式和整数规划思想.
①根据手扶电梯每次转运的购物车比直立电梯多，求出最少次数为5次；设手扶电梯使用次，则直立电梯用次，根据需要转运的购物车数量，列出不等式，解出不等式，根据次数应为整数，得到三种方案；
②分别求出①中三种方案中需要的运送时间，然后进行比较判断．
（1）解：根据题意得：，
车身总长与购物车辆数的表达式为；
（2）解：依题意得，
解得：，
答：该商场的手扶电梯一次最多能转运25辆购物车．
（3）解：①手扶电梯每次转运的购物车比直立电梯多，
，次数为正整数，
最少次数为5次，
设手扶电梯使用次，则直立电梯用次，依题意得：
，
解得：，
，
，
是正整数，
取2，3，4，
因此共有3种使用电梯的分配方案．
②当时，，所需时间为：（分钟）
当时，，所需时间为：（分钟）
当时，，所需时间为：（分钟）
，
使用手扶电梯2次，直立电梯3次时，工作人员能在限定的时间内完成任务．
23．某学校自主研制了一种椅子（实物如图所示），可适应上课、课间休息、午睡三种状态，该椅子的凳面始终与地面保持平行，小明作出了椅子在不同状态下的主视图（从正面看）．上课时椅背与凳面垂直，腿托与凳面成夹角（如图1），有利于学生坐直听课．按下开关1（安装在点处），可以控制椅背以顺时针旋转，按下开关2（安装在点处），可以控制腿托以顺时针旋转．
（1）课间可将椅背稍微调整一定的角度（如图2）作短时休息，此时腿托与椅背平行舒适度更佳，请在如图2中画出腿托；
（2）从生理健康层面考虑，椅背靠后时，人体的坐姿相对更加放松，身体对血管的压迫会减轻．如图3，某同学按下开关1，使椅背从与凳面垂直时的状态顺时针旋转，此时测得，求的度数；
（3）午休时，为了让学生得到充分休息，当椅背与腿托平行时达到最舒适状态（如图4），同时按下开关1和开关2，将椅子从上课状态调整到午休最舒适状态，需要多长时间？
【答案】（1）解：如图所示，直线即为所求，
∵，
∴；
∴直线即为所求；
（2）解法1：如图，延长，交于点，
当时，；
又∵，，
，
是三角形的外角，
，
即；
；
解法2：如图，过点作，
该椅子的凳面始终与地面保持平行；
∴，
∵，，
∴，
；
当时，；
；
∵，，
；
；
；
.
（3）解：设后椅背和腿托平行，则，
椅子是从上课状态调整到午休最舒适状态，
；
∵，
；
即；
解得．
答：将椅子从上课状态调整到午休最舒适状态，需要．
【知识点】平行线的判定与性质；三角形外角的概念及性质；尺规作图-作一个角等于已知角；平行公理
【解析】【分析】（1）本题考查尺规作图—作与已知角相等的角.根据“内错角相等，两直线平行”，以点为顶点，作，即可得到AD∥BC；
（2）解法1：延长，交于点，利结合外角的性质和两直线平行，同位角相等，进行求解即可；
解法2：过点作，利用两次“两直线平行，同旁内角互补”分别得到、，两角作差即可；
（3）由（1）知，椅子最舒适的状态为AD∥BC，设后椅背和腿托平行，根据，得出，解方程即可求解．
（1）解：如图所示，直线即为所求；
∵，
∴；
∴直线即为所求；
（2）解法1：延长，交于点，
当时，；
又∵，，
，
是三角形的外角，
，
即；
；
解法2：过点作，
该椅子的凳面始终与地面保持平行；
∴，
∵，，
∴，
；
当时，；
；
∵，，
；
；
；
；
（3）解：设后椅背和腿托平行，则，
椅子是从上课状态调整到午休最舒适状态，
；
∵，
；
即；
解得．
答：将椅子从上课状态调整到午休最舒适状态，需要．
1 / 1广西壮族自治区南宁市 南宁二中初中大学区2024-2025学年下学期期末考试七年级数学试题
一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．）
1．下列选项中是无理数的是（　　）
A． B． C．0 D．2025
2．以下列各组数为边，能组成三角形的是（　　）
A． B． C． D．
3．不等式的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．如图，四个图形中，线段是的高的图是（　　）
A． B．
C． D．
5．下列调查中，适合全面调查的是（　　）
A．调查市场上某种食品的合格情况
B．调查某批灯泡的使用寿命
C．调查某班全体学生的视力情况
D．调查某市居民的防火意识
6．在平面直角坐标系中，点在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7．若 ，则下列不等式正确的是（　　）
A． B． C． D．
8．如图，经测量，处在处的南偏西的方向，处在处的南偏东方向，处在处的北偏东方向，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
9．如图，是的中线，是的中线，若的面积为12，则的面积为（　　）
A．3 B．4 C．6 D．8
10．我国古代著作《九章算术》中，一次方程组是由算筹布置而成．如图1，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x，y的系数与相应的常数项，得到方程组为，则根据图2所示的算筹图，列出方程组为（　　）
A． B．
C． D．
11．（数学文化）司南是中国古人利用磁铁制作的一种指南工具．如图，司南的形状像一把汤匙，它的长度与最大宽度之比为．若介于两个连续整数n和之间，则n的值是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
12．如图a是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图b，再沿折叠成图c，则图c中的的度数是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．）
13．如图，要把河中的水引到村庄，小凡先作，垂足为点，然后沿开挖水渠，就能使所开挖的水渠最短，其依据是　 　．
14．如图，沿所在直线向右平移m个单位，得到，若，则　 　．
15．生态学家用“捉放捉”的方法（也称为标记重捕法）估计某池塘中鲫鱼数量．先捕捉60条鲫鱼，分别给它们做上记号，然后放回；一段时间后，重新捕捉一些鲫鱼作为样本．多次这样捕捉到的鲫鱼中平均每50条有10条带有记号．该池塘中鲫鱼的总数约为　 　条．
16．冰雹猜想描述了一个数学运算序列，任意取一个正整数，如果它是奇数，则将其乘以3再加1；如果它是偶数，则将其除以2，重复这个过程，经过有限次运算后最终会进入一个循环：，在平面直 角坐标系中，将点中的 和分别按照冰雹猜想同步进行运算，得到新的点的横、纵坐标，其中 和 均为正整数，例如点经过次运算得到点，经过次运算得到点，以此类 推，则点经过次运算后，得到的点坐标是 　 　．
三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（1）计算：．
（2）解方程组
18．平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，．
（1）向右平移2个单位长度得到，请在图中画出平移后的；
（2）求的面积；
（3）在（2）的条件下，点在轴上，当的面积是面积的时，请直接写出点的坐标．
19．图为国家节水标志，节水标志各部分的含义为：灰色的圆形代表地球，标志留白部分像一只手托起一滴水，手又像一条蜿蜒的河流，象征滴水汇成江河．某市在实施居民用水定额管理前，对居民生活用水情况进行了调查，通过简单随机抽样调查获得了50个家庭去年的月均用水量（单位：吨）．以下是整理数据后的不完整统计表、统计图．
月均用水量频数分布表
分组 频数
4
12
9
5
4
2
合计 50
请根据图表中提供的信息解答下列问题：
（1）表中的值为______，请补全频数分布直方图；
（2）扇形统计图中，月均用水量为“E：”的扇形的圆心角是______°；
（3）为了鼓励节约用水，要确定一个用水量的标准，超出这个标准的部分按1.5倍价格收费．若要使的家庭水费支出不受影响，你觉得家庭月均用水量应该定为多少？为什么？
20．如图，与交于点，、分别是、上的点，，．
（1）求证：；
（2）若，，求的度数．
21．我们已经学方根和立方根．若，则叫的二次方根（平方根），可表示为．若，则叫的三次方根（立方根），可表示为．平方根具有性质如：正数有两个平方根，它们互为相反数：0的平方根是0；负数没有平方根．请阅读材料，观察下表，类比上述的定义和性质完成以下问题：
… 1 16 81 …
… …
【定义】（1）若，则叫的________①_________，可表示为______②______；
【性质】（2）请概括①的性质；
【应用】（3）若，直接写出的值：
【拓展】（4）解方程：．
22．南宁市某商场为了迎接618购物节，采购了若干辆购物车
信息1 购物车的示意图如图1所示．为节省空间，工作人员常将购物车叠放在一起形成购物车列，如图2所示.3辆购物车叠放形成的购物车列长度为米．
信息2 购物车可以通过手扶电梯或直立电梯转运，其中手扶电梯总长18米．为安全起见，规定手扶电梯一次只能转运1列购物车，并且购物车列长度不能超过电梯总长度的．
信息3 使用手扶电梯转运一次的时间为分钟，直立电梯转运一次的时间为分钟．
请根据以上信息，完成下列问题：
（1）当辆购物车按图2的方式叠放时，形成购物车列的长度为米，则___________；（用含的代数式表示）
（2）该商场的手扶电梯一次最多能转运多少辆购物车？
（3）若手扶电梯每次转运购物车的数量为第（2）问所求结果，直立电梯每次转运20辆购物车，商场有110辆购物车需要转运．
①至少使用多少次电梯？现需同时使用两种电梯转运购物车，当电梯使用次数最少时，共有几种使用电梯的分配方案？
②为了方便顾客购物，商场要求工作人员转运购物车的时间不超过10分钟．在①的条件下，工作人员能否在限定的时间内完成任务？请通过计算说明．
23．某学校自主研制了一种椅子（实物如图所示），可适应上课、课间休息、午睡三种状态，该椅子的凳面始终与地面保持平行，小明作出了椅子在不同状态下的主视图（从正面看）．上课时椅背与凳面垂直，腿托与凳面成夹角（如图1），有利于学生坐直听课．按下开关1（安装在点处），可以控制椅背以顺时针旋转，按下开关2（安装在点处），可以控制腿托以顺时针旋转．
（1）课间可将椅背稍微调整一定的角度（如图2）作短时休息，此时腿托与椅背平行舒适度更佳，请在如图2中画出腿托；
（2）从生理健康层面考虑，椅背靠后时，人体的坐姿相对更加放松，身体对血管的压迫会减轻．如图3，某同学按下开关1，使椅背从与凳面垂直时的状态顺时针旋转，此时测得，求的度数；
（3）午休时，为了让学生得到充分休息，当椅背与腿托平行时达到最舒适状态（如图4），同时按下开关1和开关2，将椅子从上课状态调整到午休最舒适状态，需要多长时间？
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：A、无法表示为整数或分数，且是无限不循环小数，因此是无理数，符合题意；
B、是分数，属于有理数，不符合题意；
C、0为整数，属于有理数，不符合题意；
D、2025为整数，属于有理数，不符合题意；
故答案为：A．
【分析】本题主要考查无理数的定义.明确整数、分数、有限小数、无限循环小数为有理数；无限不循环小数为无理数.是开方开不尽的数，是无限不循环小数，即为无理数.
2．【答案】D
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：A、由于，则本选项中的三条线段不能组成三角形，不符合题意；
B、由于，则本选项中的三条线段不能组成三角形，不符合题意；
C、由于，则本选项中的三条线段不能组成三角形，不符合题意；
D、由于，则本选项中的三条线段能组成三角形，符合题意．
故答案为：D.
【分析】本题考查三角形的三边关系“三角形的任意两边之和大于第三边”.判断时只需检验“最小两数之和 > 最大数”即可快速判断三条线段是否能组成三角形.
3．【答案】D
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：由得，
在数轴上表示为：
故选：D
【分析】先求出不等式的解集，再在数轴上表示解集即可解答，注意取等号在数轴上用实心的点表示．
4．【答案】D
【知识点】三角形的高
【解析】【解答】解：线段是的高，则过点作的垂线，垂足为；选项A、B、C中BE均没有垂直于AC，A、B、C均不符合题意；选项D中BE垂直于AC，故选项D符合题意.
故答案为：D.
【分析】本题考查对三角形高的定义的理解与图形识别能力，关键是准确识别出哪条线段是从一个顶点向对边所作的垂线段.
5．【答案】C
【知识点】全面调查与抽样调查
【解析】【解答】解：A、调查市场上某种食品的合格情况，适合抽样调查，故本选项错误；
B、调查某批灯泡的使用寿命，适合抽样调查，故本选项错误；
C、调查某班全体学生的视力情况，适合全面调查，故本选项正确；
D、调查某市居民的防火意识，适合抽样调查，故本选项错误．
故答案为：C．
【分析】一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似解答．
6．【答案】B
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵
∴点（-1，6）在第二象限
故答案为：B.
【分析】根据横纵坐标的正负可以很方便判断点在哪个象限，位于第一象限的点横纵坐标都为正数；位于第二象限的点横坐标为负，纵坐标为正；位于第三象限的点横纵坐标都为负数；位于第四象限的点横坐标为正，纵坐标为负。
7．【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、∵ ， ∴ ，故本选项不符合题意；
B、∵ ， ∴ ，故本选项不符合题意；
C、∵ ， ∴ ，故本选项符合题意；
D、∵ ， ∴ ，故本选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据不等式的性质逐个判断即可．
8．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；方位角；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：如图，
∵B处在A处的南偏西的方向，C处在A处的南偏东方向，C处在B处的北偏东方向，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
故选：B．
【分析】根据题意可得，根据角之间的关系可得∠BAC，再根据直线平行性质可得，再根据三角形内角和定理即可求出答案.
9．【答案】A
【知识点】利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：∵是的的中线，且的面积为12，
∴，
又∵是的的中线，
∴，
故答案为：A．
【分析】本题考查了三角形中线的性质.利用中线平分面积的性质，先由AD得△ACD面积为6，再由CE得△CDE面积为3，即可得出答案.
10．【答案】A
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题；列二元一次方程组
【解析】【解答】解：根据图1所示的算筹的表示方法，
可推出图2所示的算筹表示的方程组：．
故答案为：A．
【分析】根据算筹表示方法，列二元一次方程组即可．
11．【答案】B
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：，
，即，
，
无理数的值介于两个连续整数和之间，
，
故答案为：B．
【分析】本题考查无理数的估算，通过找到与被开方数相邻的完全平方数来确定算术平方根的整数范围，即25＜26＜36，所以，即可得到.
12．【答案】C
【知识点】平行线的性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图：延长到H，由于纸条是长方形，
∴，
∴，
根据翻折不变性得，
∴，
又∵，
∴，．
在梯形中，，
根据翻折不变性，．
故选C．
【分析】延长到H，由于纸条是长方形，根据直线平行性质可得，根据折叠性质可得，则，再根据角之间的关系可得∠FGD，再根据折叠性质即可求出答案.
13．【答案】垂线段最短
【知识点】垂线段最短及其应用
【解析】【解答】解：根据垂线段定理，连接直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短，
∴沿开挖水渠，就能使所开挖的水渠最短．
故答案为：垂线段最短．
【分析】根据垂线段最短解答即可．
14．【答案】3
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：由平移的性质可得，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：3．
【分析】本题主要考查了平移的性质：平移前后，对应点所连线段平行且相等.可得，再根据线段的和差关系求出的长即为平移距离m．
15．【答案】300
【知识点】用样本所在的频率区间估计总体数量
【解析】【解答】解：根据题意，得（条）．
故答案为：300．
【分析】本题考查用样本估计总体（标记重捕法）：总体数量=第一次标记数÷（第二次捕获中标记数/第二次捕获数）.将题干中对应数据代入即可求解.
16．【答案】
【知识点】点的坐标；探索数与式的规律；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：点，
第次，，得，
第次，，得，
第次，，得，
第次，，得，
，
∴每次一循环，
∴，
∴点经过次运算后，得到的点坐标是，
故答案为： ．
【分析】根据前4次点的变换，总结规律，即可求出答案.
17．【答案】（1）解：原式．
（2）解：，
得：，
将代入①得：，解得，
∴原方程组的解为．
【知识点】有理数的乘方法则；加减消元法解二元一次方程组；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【分析】（1）本小题主要考查实数的运算.涉及立方根、算术平方根和绝对值的计算：，，，最后计算加减即可；
（2）本小题考查解二元一次方程组——加减消元法.核心思路是通过加减法消去其中一个未知数，将方程组转化为一元一次方程来解.
18．【答案】（1）解：如图，即为所求作的三角形；
（2）解：；
（3）点的坐标为或
【知识点】点的坐标；三角形的面积；作图﹣平移；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：（3）解：∵点P在轴上，
∴设，则，
由（2）得：的面积为3，
∵的面积是的面积的，
∴的面积为：，
解得：或，
∴点P的坐标为或．
【分析】（1）本题考查图形的平移变换：将图形向右平移2个单位，即各点的横坐标加2，纵坐标不变.因此，，，在网格中描出各点连线即可；
（2）本题考查求坐标系中三角形的面积，可利用割补法（利用网格构造矩形减去多余三角形面积）求出的面积；
（3）本题考查坐标系中已知面积求点坐标，结合三角形面积公式分类讨论.设，则，由题意可得，然后求出y的值即可．
（1）解：如图，即为所求作的三角形；
（2）解：；
（3）解：∵点P在轴上，
∴设，则，
由（2）得：的面积为3，
∵的面积是的面积的，
∴的面积为：，
解得：或，
∴点P的坐标为或．
19．【答案】（1）解：，
补全频数分布直方图如图：
（2）36
（3）解：解：月均用水量应该定为5吨；
理由：∵，且A组，B组，C组之和为30个家庭，
∴若要使的家庭水费支出不受影响，我觉得家庭月均用水量应该定为5吨．
【知识点】频数（率）分布表；扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：由题意得：，
故答案为：14
（2）解：月均用水量为“E：”的扇形的圆心角是：，
故答案为：；
【分析】（1）根据总人数乘以C组占比可得a值，再补全图形即可.
（2）根据360°乘以E组占比即可求出答案.
（3）根据统计量进行判断即可求出答案.
（1）解：由题意得：，
补全频数分布直方图如图：
（2）解：月均用水量为“E：”的扇形的圆心角是：，
故答案为：；
（3）解：月均用水量应该定为5吨；
理由：∵，且A组，B组，C组之和为30个家庭，
∴若要使的家庭水费支出不受影响，我觉得家庭月均用水量应该定为5吨．
20．【答案】（1）证明：，
，
又，
，
；
（2）解：，
．
，
【知识点】三角形内角和定理；邻补角；平行线的应用-证明问题
【解析】【分析】（1）本题考查平行线的性质与判定.根据得到（两直线平行，同位角相等），再由已知等量代换得到，利用“内错角相等，两直线平行”证明平行；
（2）本题结合平行线性质与三角形内角和定理.由得到，再由三角形内角和定理以及邻补角即可求解．
（1）证明：，
．
又，
，
；
（2）解：，
．
，
．
21．【答案】解：（1）①四次方根；②；
（2）正数有两个四次方根，它们互为相反数；0的四次方根是0；负数没有四次方根；
（3）若，则；
（4），
∴，
∴，
∴．
【知识点】实数的混合运算（含开方）；平方根的概念与表示；立方根的概念与表示
【解析】【解答】解：（1）根据表格可知：若，则叫的四次方根，可表示为；
【分析】
本题通过类比平方根、立方根的知识，引入四次方根的新定义，核心考查类比推理能力与新定义运算的应用.
（1）类比平方根的定义，直接推导四次方根的定义：若，则叫的四次方根，可表示为；
（2）仿照平方根的性质，总结四次方根的性质；
（3）直接根据四次方根的定义，求解，得到；
（4）解高次方程时，先通过移项、系数化为1，将方程化为的标准形式，再利用四次方根的定义求解，得到方程的解．
22．【答案】（1）
（2）解：依题意得，
解得：，
答：该商场的手扶电梯一次最多能转运25辆购物车．
（3）解：①手扶电梯每次转运的购物车比直立电梯多，
，次数为正整数，
最少次数为5次，
设手扶电梯使用次，则直立电梯用次，依题意得：
，
解得：，
，
，
是正整数，
取2，3，4，
因此共有3种使用电梯的分配方案．
②当时，，所需时间为：（分钟）
当时，，所需时间为：（分钟）
当时，，所需时间为：（分钟）
，
使用手扶电梯2次，直立电梯3次时，工作人员能在限定的时间内完成任务．
【知识点】一元一次不等式的应用；用代数式表示实际问题中的数量关系
【解析】【解答】解：（1）根据题意得：，
车身总长与购物车辆数的表达式为；
【分析】（）本题考查列代数式，根据题意找出购物车列长度与车辆数的关系.根据“一辆购物车车身长1m，每增加一辆购物车，车身增加0.2m”，即可列出式子；
（2）本题考查一元一次不等式的应用，根据“ 购物车列长度不能超过电梯总长度的”列不等式，解不等式即可；
（3）本题考查方案设计与时间优化问题，综合运用不等式和整数规划思想.
①根据手扶电梯每次转运的购物车比直立电梯多，求出最少次数为5次；设手扶电梯使用次，则直立电梯用次，根据需要转运的购物车数量，列出不等式，解出不等式，根据次数应为整数，得到三种方案；
②分别求出①中三种方案中需要的运送时间，然后进行比较判断．
（1）解：根据题意得：，
车身总长与购物车辆数的表达式为；
（2）解：依题意得，
解得：，
答：该商场的手扶电梯一次最多能转运25辆购物车．
（3）解：①手扶电梯每次转运的购物车比直立电梯多，
，次数为正整数，
最少次数为5次，
设手扶电梯使用次，则直立电梯用次，依题意得：
，
解得：，
，
，
是正整数，
取2，3，4，
因此共有3种使用电梯的分配方案．
②当时，，所需时间为：（分钟）
当时，，所需时间为：（分钟）
当时，，所需时间为：（分钟）
，
使用手扶电梯2次，直立电梯3次时，工作人员能在限定的时间内完成任务．
23．【答案】（1）解：如图所示，直线即为所求，
∵，
∴；
∴直线即为所求；
（2）解法1：如图，延长，交于点，
当时，；
又∵，，
，
是三角形的外角，
，
即；
；
解法2：如图，过点作，
该椅子的凳面始终与地面保持平行；
∴，
∵，，
∴，
；
当时，；
；
∵，，
；
；
；
.
（3）解：设后椅背和腿托平行，则，
椅子是从上课状态调整到午休最舒适状态，
；
∵，
；
即；
解得．
答：将椅子从上课状态调整到午休最舒适状态，需要．
【知识点】平行线的判定与性质；三角形外角的概念及性质；尺规作图-作一个角等于已知角；平行公理
【解析】【分析】（1）本题考查尺规作图—作与已知角相等的角.根据“内错角相等，两直线平行”，以点为顶点，作，即可得到AD∥BC；
（2）解法1：延长，交于点，利结合外角的性质和两直线平行，同位角相等，进行求解即可；
解法2：过点作，利用两次“两直线平行，同旁内角互补”分别得到、，两角作差即可；
（3）由（1）知，椅子最舒适的状态为AD∥BC，设后椅背和腿托平行，根据，得出，解方程即可求解．
（1）解：如图所示，直线即为所求；
∵，
∴；
∴直线即为所求；
（2）解法1：延长，交于点，
当时，；
又∵，，
，
是三角形的外角，
，
即；
；
解法2：过点作，
该椅子的凳面始终与地面保持平行；
∴，
∵，，
∴，
；
当时，；
；
∵，，
；
；
；
；
（3）解：设后椅背和腿托平行，则，
椅子是从上课状态调整到午休最舒适状态，
；
∵，
；
即；
解得．
答：将椅子从上课状态调整到午休最舒适状态，需要．
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