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广东省云浮市2024—2025学年下学期期末质量监测七年级数学试题
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下边的四个图案中，能由已知图案经过平移得到的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】图形的平移
【解析】【解答】解：选项A、B、D中图案与原图案方向不一样，不能通过平移得到，故A、B、D不符合题意；选项C的图案与原图案形状、大小和方向均一样，能通过平移得到，符合题意；
故答案为：C．
【分析】平移不改变图形的形状、大小和方向，只有选项C与原图方向一致，故选C.
2．如图，在铁路旁有一李庄，现要建一火车站，为了使李庄人乘车最方便，请你在铁路线上选一点来建火车站，应建在（　　）
A．点A B．点B C．点C D．点D
【答案】A
【知识点】垂线段最短及其应用
【解析】【解答】解：根据垂线段最短可得：应建在A处，故选：A．
【分析】本题主要考查了垂线段的性质，根据从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短，结合题设中的图形，即可得到答案.
3．下列调查中，调查方式选择合理的是（　　）
A．若要调查某班同学的视力水平，则采用抽样调查方式
B．若要调查某品牌手机的使用满意度，则采用普查的方式
C．若要调查某热门景区游客的体验情况，则采用普查的方式
D．若要了解某批次包装食品的质量情况，则采用抽样调查的方式
【答案】D
【知识点】全面调查与抽样调查
【解析】【解答】解：A、班级人数较少，全面调查（普查）更易实施且结果准确，无需抽样，错误；
B、某品牌手机用户群体庞大，全面调查成本高、难度大，应采用抽样调查，错误；
C、热门景区游客数量多且流动性大，全面调查不可行，应采用抽样调查，错误；
D、某批次食品质量检查通常需破坏性测试（如拆包装），抽样调查既能反映整体质量又避免全部损毁，正确．
故答案为：D．
【分析】本题主要考查全面调查与抽样调查的适用场景选择.需要根据调查对象的数量、是否具有破坏性、以及调查的可行性来判断哪种调查方式更合理.
4．在一次数学实践活动中，小明绘制了校园周边区域示意图．已知家所在位置的坐标为，体育馆所在位置的坐标为，则学校所在位置的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】用坐标表示地理位置
【解析】【解答】解：根据题意可建立如下坐标系，则学校所在位置的坐标为，
故答案为：A．
【分析】本题主要考查根据已知点的坐标确定平面直角坐标系的原点和坐标轴方向，进而求其它点的坐标.解题关键是：已知两个点的坐标家（-2，1）、体育馆（-1，-2），可确定原点的位置和单位长度，再根据图中各点的相对位置，推断学校的坐标.
5．若一个正方形的面积是10，则它的边长大小在（　　）
A．1与2之间 B．2与3之间 C．3与4之间 D．4与5之间
【答案】C
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵ 正方形的面积为10，
∴ 边长为，
∵，
∴，
∴在3与4之间．
故答案为：C．
【分析】本题主要考查算术平方根的概念以及无理数的估值方法.已知正方形面积求边长，需要用到算术平方根，再通过比较平方数来确定无理数的整数部分.即先确定10在9和16之间，即可确定在3和4之间．
6．若是关于的一元一次不等式．则的值为（　　）
A． B． C． D．或
【答案】C
【知识点】一元一次不等式的概念；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：∵是关于的一元一次不等式，
∴且，
解得：．
故答案为：C．
【分析】只含有一个未知数，未知数项的次数为1，系数不为0，且不等式两边都是整式的不等式，就是一元一次不等式，据此列出关于字母a的混合组，求解即可.
7．将一副三角尺按如图所示的方式摆放在桌面上，能够判定的依据是（　　）
A．内错角相等，两直线平行 B．两直线平行，内错角相等
C．同位角相等，两直线平行 D．两直线平行，同旁内角互补
【答案】A
【知识点】内错角相等，两直线平行
【解析】【解答】解：由图可知：，
∴（内错角相等，两直线平行）；
故答案为：A．
【分析】本题考查平行线的判定“内错角相等，两直线平行”．观察两个三角尺摆放的位置，可以看出∠A与∠ACB是内错角，且，得以判断.
8．某地区为推进垃圾分类教育，对初中生进行垃圾分类知识普及效果调查．在该地区6000名初中生中随机抽取200名初中生，发现其中有60名学生能正确回答“废旧电池属于有害垃圾”．据此样本，估计该地区掌握这一垃圾分类知识的初中学生大约有（　　）
A．1200名 B．1500名 C．1800名 D．2000名
【答案】C
【知识点】用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（名）
∴估计该地区掌握这一垃圾分类知识的初中学生大约有1800名．
故答案为：C．
【分析】本题考查了用样本的百分比估计总体的数量.先计算样本中掌握垃圾分类知识的学生比例，再用该比例乘以该地区初中生总人数，得到估计值.
9．兴趣小组利用激光和平面镜进行平行光的反射实验．如图，一组平行光线a，b经过平面镜反射后得到一组互相平行的反射光线．若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：如图：
∵一组平行光线a，b经过平面镜反射后得到一组互相平行的反射光线，
∴，，
∴
∴，
故答案为：B．
【分析】本题主要考查三角形内角和定理，平行线性质和对顶角性质.根据两组平行线可得：，，然后利用三角形内角和定计算出，再根据对顶角相等，即可解答．
10．已知关于x的不等式组至少有2个整数解，则的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：解第一个不等式得，
解第二个不等式得，
∴不等式组的解集为，
∵关于x的不等式组至少有2个整数解，
∴，
即，
∴，
故选：B
【分析】分别求出两个不等式的解集，再求出不等式组的解集，再根据题意建立关于a的不等式，解不等式即可求出答案.
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．
11．16的平方根是　 　．
【答案】±4
【知识点】平方根
【解析】【解答】解：∵（±4）2=16，
∴16的平方根是±4．
故答案为：±4．
【分析】根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2=a，则x就是a的平方根，由此即可解决问题．
12．在平面直角坐标系中，P为第二象限内一点，且点P到x轴、y轴的距离分别为2，5，则点P的坐标为　 　．
【答案】
【知识点】点的坐标；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵点P到x轴、y轴的距离分别为2，5，
∴点P的横坐标的绝对值为5，纵坐标的绝对值为2，
∵P为第二象限内一点，
∴点P的横坐标为负，纵坐标为正，
∴点P的坐标为，
故答案为：．
【分析】本题主要考查平面直角坐标系中点的坐标与到坐标轴距离的关系，以及各象限内点的坐标符号特征.解题关键是理清“距离”与“坐标绝对值”之间的对应关系，并结合象限确定符号.坐标系中，点到y轴的距离为该点横坐标的绝对值，到x轴的距离为该点纵坐标的绝对值，再结合第二象限内的点横坐标为负，纵坐标为正即可得到答案.
13．若，则x－y的值为　 　．
【答案】0
【知识点】偶次方的非负性；绝对值的非负性；加减消元法解二元一次方程组；求代数式的值-化简代入求值
【解析】【解答】解：∵，，，
∴，，
∴，解得：，
∴．
故答案为：0．
【分析】本题综合考查非负数的性质与二元一次方程组的解法.解题关键是识别出绝对值和平方运算的结果均具有非负性，进而利用“多个非负数相加为零，则每个都为零”这一核心结论建立方程组，求得x、y的值，最后代入x-y求值即可．
14．如图，班级为布置图书角购买了一个长度为的简易书架，打算在上面摆放辅导书和名著阅读．已知每本辅导书厚度为，每本名著阅读厚度为，为了营造阅读氛围，先摆放了50本名著阅读，剩余空间最多还能摆放　 　本辅导书．
【答案】22
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【解答】解：设剩余空间还能摆放本辅导书，
则，
解得：，
为整数，
剩余空间最多还能摆放本辅导书，
故答案为：．
【分析】本题主要考查一元一次不等式的实际应用，涉及“不超过”关系的数学建模以及整数解取整的处理.明确“剩余空间”的含义，列出不等式：设剩余空间还能摆放本辅导书，则可列，结果取最大整数解即可.
15．如图，将直角三角形沿边的方向平移至三角形的位置，交于点G，，．若三角形的面积为6，则四边形的面积为　 　．
【答案】24
【知识点】三角形的面积；梯形；平移的性质
【解析】【解答】解：的是沿着斜边的方向平移后得到的，且、、、四点在同一条直线上，
，，
，，
，
的面积等于6，
，
，
四边形的面积，
∴四边形的面积为．
故答案为：24.
【分析】本题综合考查平移的性质、三角形面积公式以及图形面积之间的等量转换.需明确平移前后对应线段相等、对应图形全等，通过面积的等量转换求出未知图形的面积.根据“直角三角形沿边的方向平移至三角形”得到，，再根据的面积为6，得到，利用梯形公式求出四边形的面积，即可得出结果.
三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分．
16．计算：．
【答案】解：
．
【知识点】实数的绝对值；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【分析】本题考查算术平方根、立方根和绝对值的化简与运算.关键在于正确计算，负数的立方根，以及根据绝对值内数值的正负去掉绝对值符号：因为，所以，最后进行加减计算即可.
17．解不等式组：．
【答案】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴原不等式组的解集为．
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】本题主要考查解一元一次不等式组，需熟练掌握去括号、移项、合并同类项、系数化为1等基本操作.分别求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可．
18．如图，这是某自行车的结构示意图，其中，，，平分．求证：．
【答案】证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴.
【知识点】角平分线的概念；平行线的应用-证明问题
【解析】【分析】本题结合了平行线的性质与判定及角平分线的定义.由平行线的性质“两直线平行，同旁内角互补”可得的度数，再由角平分线的定义可得的度数，求出的度数即可根据“内错角相等，两直线平行”判定.
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分．
19．某校举办“科技筑梦，创新未来”校园科技节主题日活动．为了解学生对不同科技领域的兴趣，该校随机抽取部分学生进行问卷调查．
【收集数据】
“科技筑梦，创新未来”主题日学生感兴趣科技领域意向调查问卷 请选择你感兴趣的领域，并在其后的“□”内打“√”（必选且只能选择其中一项）． A．人工智能机器人□ B．鸿蒙系统□ C．的接入□ D．《哪吒2》的层级渲染□
【整理数据】所有问卷全部收回且有效，根据调查数据绘制成如下两幅不完整的统计图．
【分析数据】请根据统计图提供的信息，解答下列问题．
（1）本次调查所抽取的学生有 ▲ 人，并直接补全条形统计图；
（2）扇形统计图中领域“A”对应扇形的圆心角的度数为　 　；
（3）学校有600名学生参加本次活动，估计选择C．的接入的学生人数．
【答案】（1）解：50；补全条形统计图如下：
（2）
（3）解：人，
答：估计选择C．的接入的学生人数为人．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解（1）解：人，
即本次调查所抽取的学生有50人；
领域“B”的人数为人，补全条形统计图如下：
；
（2）解：，
即扇形统计图中领域“A”对应扇形的圆心角的度数为；
【分析】本题综合考查扇形统计图与条形统计图的阅读、样本估计总体以及圆心角的计算.
（1）根据扇形统计图可知领域“D”的占比为10％，从条形统计图可知领域“D”人数为5，根据总人数=部分人数÷该部分人数占比，即可求出总人数；再求出领域“B”的人数，补全条形统计图即可；
（2）先求出领域“A”的人数占比，再乘圆周角360°求解即可；
（3）用学生总人数乘以“选择C．的接入的学生”人数占比即可．
（1）解：人，
即本次调查所抽取的学生有50人，
领域“B”的人数为人，
补全条形统计图如下：
（2）解：，
即扇形统计图中领域“A”对应扇形的圆心角的度数为；
（3）解：人，
即估计选择C．的接入的学生人数为人．
20．“文房四宝”是中国独有的书法绘画工具．某校为了落实“双减”政策，丰富学生的课后服务活动，开设了书法社团，计划为学生购买甲、乙两种型号的“文房四宝”共100套．已知甲型号的“文房四宝”的售价为每套80元，乙型号的“文房四宝”的售价为每套100元．
（1）若学校从商场购进甲、乙两种型号的“文房四宝”共用去8500元，问学校从商场购进甲、乙两种型号的“文房四宝”各多少套？
（2）若学校准备用不多于8400元从商场购进这两种型号的“文房四宝”，问学校从商场购进甲种型号的“文房四宝”至少多少套？
【答案】（1）解：设学校从商场购进甲型号的“文房四宝”套，乙型号的“文房四宝”套，
根据题意可列：，
解得：，
答：学校从商场购进甲型号的“文房四宝”套，乙型号的“文房四宝”套；
（2）解：设学校从商场购进甲种型号的“文房四宝”套，
根据题意可列：，
解得：，
为正整数，
学校从商场购进甲种型号的“文房四宝”至少套．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】本题综合考查二元一次方程组的实际应用和一元一次不等式的实际应用.解题关键是根据题意正确建立方程（组）或不等式模型，并准确求解.
（1）设学校从商场购进甲型号的“文房四宝”套，乙型号的“文房四宝”套，根据“购买甲、乙两种型号的“文房四宝”共100套，共用去8500元”，列二元一次方程组求解即可；
（2）设学校从商场购进甲种型号的“文房四宝”套，根据“学校准备用不多于8400元从商场购进这两种型号的“文房四宝””列一元一次不等式，明确“不多于”对应“”，最后取最小正整数解即可.
（1）解：设学校从商场购进甲型号的“文房四宝”套，乙型号的“文房四宝”套，
则，解得：，
答：学校从商场购进甲型号的“文房四宝”套，乙型号的“文房四宝”套；
（2）解：设学校从商场购进甲种型号的“文房四宝”套，
则，
解得：，
为正整数，
学校从商场购进甲种型号的“文房四宝”至少套．
21．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系．已知三角形的顶点A的坐标为，顶点B的坐标为，顶点C的坐标为．
（1）将三角形向右平移5个单位长度，再向下平移4个单位长度得到三角形，请你画出三角形；
（2）在（1）的条件下，若三角形内有一点，则平移后点坐标为______；
（3）若在x轴上存在一点Q，使得三角形的面积为三角形面积的2倍，求点Q的坐标．
【答案】（1）解：如图，三角形即为所求：
（2）
（3）解：三角形的面积为：，
∵在x轴上存在一点Q，使得三角形的面积为三角形面积的2倍，
∴设，
∴，
解得：，
∴或 .
【知识点】三角形的面积；坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：（1）∵三角形向右平移5个单位长度，再向下平移4个单位长度得到三角形，且点A、B、C的坐标分别为、、，
∴平移后点的坐标为，，，
在坐标系中描出三点并连接，如图所示：
（2）∵三角形向右平移5个单位长度，再向下平移4个单位长度得到三角形，，
∴平移后的点的坐标为：，即，
故答案为：.
【分析】（1）、（2）小题考查平面直角坐标系中的平移变换.解题关键是掌握点的平移规律：向右平移m个单位，横坐标加m；向下平移n个单位，纵坐标减n，并能根据顶点坐标画出平移后的图形；
（3）本题考查求平面直角坐标系中三角形的面积，利用割补法：把三角形的面积看成矩形的面积减去周围的三个三角形面积，求出△ABC面积；根据“在x轴上存在一点Q”可设，建立方程求解.
（1）解：如图，三角形即为所求；
（2）∵三角形向右平移5个单位长度，再向下平移4个单位长度得到三角形，，
∴平移后的点的坐标为：即，
故答案为：
（3）解：三角形的面积为：，
∵在x轴上存在一点Q，使得三角形的面积为三角形面积的2倍，
∴设，
∴，
解得：，
∴或 ．
五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分．
22．“滨滨”和“妮妮”是2025年第九届亚冬会的吉祥物，分别代表冰上运动和雪上运动．请根据以下材料，完成相应的任务．
亚冬会的吉祥物数学问题
素材1 某超市计划销售这两种吉祥物造型的钥匙扣挂件，已知“滨滨”钥匙扣售价16元/个，进价a元/个；“妮妮”钥匙扣售价18元/个，进价b元/个．
素材2 超市在进货时发现，购进10个“滨滨”钥匙扣和5个“妮妮”钥匙扣，共需170元；购进6个“滨滨”钥匙扣和10个“妮妮”钥匙扣，共需200元．
任务：
（1）求a，b的值；
（2）超市决定每天购进“滨滨”和“妮妮”钥匙扣共100个，投入资金不少于1160元，且“滨滨”钥匙扣的购进数量不少于58个．设购进“滨滨”钥匙扣m个，求有几种购买方案；
（3）在（2）的条件下，超市决定每售出一个钥匙扣捐出2元给福利院，用捐款后的利润全部再次购进“滨滨”和“妮妮”钥匙扣，求获得最大利润时再次购进两种钥匙扣的方案有几种．
【答案】（1）解：根据题意可列：，
解得：，
答：a的值为10，b的值为14；
（2）解：根据题意可列：，
解得：，
∵为正整数
∴可以取58，59，60，100-m=42，41，40，
∴有3种购买方案．
方案1：购买“滨滨”造型钥匙扣挂件58个，“妮妮”造型钥匙扣挂件42个；
方案2：购买“滨滨”造型钥匙扣挂件59个，“妮妮”造型钥匙扣挂件41个；
方案3：购买“滨滨”造型钥匙扣挂件60个，“妮妮”造型钥匙扣挂件40个；
（3）解：购买方案1可获得的总利润为（元；
购买方案2可获得的总利润为（元；
购买方案3可获得的总利润为（元；
设再次购进“滨滨”造型钥匙扣挂件x个，“妮妮”造型钥匙扣挂件y个，
∴当获得的总利润为320元时，，
，
又，y均为正整数，
或或或，
再次购进两种钥匙扣的方案有4种．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-方案问题
【解析】【分析】（1）本题是二元一次方程组在销售问题中的应用.解题的关键是根据两次进货的数量与总价关系，分别建立关于a，b的两个二元一次方程，再通过消元法解方程组，求出单个进价.
（2）本题是一元一次不等式组在进货方案中的应用.解题的关键是根据“进货总价不少于1160元”这一条件，结合“进货总价进货单价进货数量”建立关于m的不等式，并结合 m 为正整数确定其取值范围，即可得出各购买方案；
（3）利用总利润每个的销售数量购进数量，分别求出（2）中各方案可获得的总利润，比较得出最大利润；以最大利润为投资金额，设再次购进“滨滨”造型钥匙扣挂件x个，“妮妮”造型钥匙扣挂件y个，可列出关于x，y的二元一次方程，结合x，y均为正整数，求出方程的解的个数，即为新的购进方案．
（1）解：根据题意得：，
解得：．
答：a的值为10，b的值为14；
（2）解：根据题意得：，
解得：，
∴可以取58，59，60，，41，40，
∴有3种购买方案．
方案1：购买“滨滨”造型钥匙扣挂件58个，“妮妮”造型钥匙扣挂件42个；
方案2：购买“滨滨”造型钥匙扣挂件59个，“妮妮”造型钥匙扣挂件41个；
方案3：购买“滨滨”造型钥匙扣挂件60个，“妮妮”造型钥匙扣挂件40个；
（3）解：购买方案1可获得的总利润为（元；
购买方案2可获得的总利润为（元；
购买方案3可获得的总利润为（元；
设再次购进“滨滨”造型钥匙扣挂件x个，“妮妮”造型钥匙扣挂件y个，
∴当获得的总利润为320元时，，
，
又，y均为正整数，
或或或，
再次购进两种钥匙扣的方案有4种．
23．【图形理解】
两根平行线，一根截线穿，角的关系藏中间，图形不全别着急，辅助线来补完整，转化思想帮你赢！
【建立模型】
（1）如图1，，点P在直线之间，，则的度数为______；
（2）如图2，，点P在直线之间，猜想与之间的关系，并说明理由；
【拓展迁移】
（3）如图3，，线段与线段相交于点E，．过点D作交直线于点G，平分，平分，求的度数．
【答案】解：（1）；
（2），理由如下：
如图2所示，过点P作，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）如图所示，点M为延长线上一点，
∵，，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
同理可得．
【知识点】角平分线的概念；猪蹄模型；铅笔头模型；平行线的应用-求角度；平行线的应用-证明问题
【解析】【解答】解；（1）如图1所示，过点P作，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
【分析】（1）本小题考查平行线间拐点问题的常用辅助线作法.当两条平行线被一条折线连接时，过拐点作平行线可将分散的角集中到同一组平行线中，利用“两直线平行，内错角相等”实现角度转移. 过点P作，则，由平行线的性质得到，则可证明；
（2）与第（1）问类似，仍通过作辅助线将∠APC分割，但此处∠BAP和∠DCP分别与被分割的角是同旁内角而非内错角，因此需利用“两直线平行，同旁内角互补”进行解答.过点P作，则，由平行线的性质得到，再根据即可得到结论；
（3）本小题综合考查平行线的性质、角平分线的定义以及对前两问所发现的规律的灵活运用.解题的关键是已知平行关系，逐步求出相关角的度数，最后直接利用第一问的模型求出目标角.由平行线的性质得到，，由角平分线的定义得到，，则由平角的定义可得，根据第一问的规律直接得出．
1 / 1广东省云浮市2024—2025学年下学期期末质量监测七年级数学试题
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下边的四个图案中，能由已知图案经过平移得到的是（　　）
A． B． C． D．
2．如图，在铁路旁有一李庄，现要建一火车站，为了使李庄人乘车最方便，请你在铁路线上选一点来建火车站，应建在（　　）
A．点A B．点B C．点C D．点D
3．下列调查中，调查方式选择合理的是（　　）
A．若要调查某班同学的视力水平，则采用抽样调查方式
B．若要调查某品牌手机的使用满意度，则采用普查的方式
C．若要调查某热门景区游客的体验情况，则采用普查的方式
D．若要了解某批次包装食品的质量情况，则采用抽样调查的方式
4．在一次数学实践活动中，小明绘制了校园周边区域示意图．已知家所在位置的坐标为，体育馆所在位置的坐标为，则学校所在位置的坐标为（　　）
A． B． C． D．
5．若一个正方形的面积是10，则它的边长大小在（　　）
A．1与2之间 B．2与3之间 C．3与4之间 D．4与5之间
6．若是关于的一元一次不等式．则的值为（　　）
A． B． C． D．或
7．将一副三角尺按如图所示的方式摆放在桌面上，能够判定的依据是（　　）
A．内错角相等，两直线平行 B．两直线平行，内错角相等
C．同位角相等，两直线平行 D．两直线平行，同旁内角互补
8．某地区为推进垃圾分类教育，对初中生进行垃圾分类知识普及效果调查．在该地区6000名初中生中随机抽取200名初中生，发现其中有60名学生能正确回答“废旧电池属于有害垃圾”．据此样本，估计该地区掌握这一垃圾分类知识的初中学生大约有（　　）
A．1200名 B．1500名 C．1800名 D．2000名
9．兴趣小组利用激光和平面镜进行平行光的反射实验．如图，一组平行光线a，b经过平面镜反射后得到一组互相平行的反射光线．若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
10．已知关于x的不等式组至少有2个整数解，则的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．
11．16的平方根是　 　．
12．在平面直角坐标系中，P为第二象限内一点，且点P到x轴、y轴的距离分别为2，5，则点P的坐标为　 　．
13．若，则x－y的值为　 　．
14．如图，班级为布置图书角购买了一个长度为的简易书架，打算在上面摆放辅导书和名著阅读．已知每本辅导书厚度为，每本名著阅读厚度为，为了营造阅读氛围，先摆放了50本名著阅读，剩余空间最多还能摆放　 　本辅导书．
15．如图，将直角三角形沿边的方向平移至三角形的位置，交于点G，，．若三角形的面积为6，则四边形的面积为　 　．
三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分．
16．计算：．
17．解不等式组：．
18．如图，这是某自行车的结构示意图，其中，，，平分．求证：．
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分．
19．某校举办“科技筑梦，创新未来”校园科技节主题日活动．为了解学生对不同科技领域的兴趣，该校随机抽取部分学生进行问卷调查．
【收集数据】
“科技筑梦，创新未来”主题日学生感兴趣科技领域意向调查问卷 请选择你感兴趣的领域，并在其后的“□”内打“√”（必选且只能选择其中一项）． A．人工智能机器人□ B．鸿蒙系统□ C．的接入□ D．《哪吒2》的层级渲染□
【整理数据】所有问卷全部收回且有效，根据调查数据绘制成如下两幅不完整的统计图．
【分析数据】请根据统计图提供的信息，解答下列问题．
（1）本次调查所抽取的学生有 ▲ 人，并直接补全条形统计图；
（2）扇形统计图中领域“A”对应扇形的圆心角的度数为　 　；
（3）学校有600名学生参加本次活动，估计选择C．的接入的学生人数．
20．“文房四宝”是中国独有的书法绘画工具．某校为了落实“双减”政策，丰富学生的课后服务活动，开设了书法社团，计划为学生购买甲、乙两种型号的“文房四宝”共100套．已知甲型号的“文房四宝”的售价为每套80元，乙型号的“文房四宝”的售价为每套100元．
（1）若学校从商场购进甲、乙两种型号的“文房四宝”共用去8500元，问学校从商场购进甲、乙两种型号的“文房四宝”各多少套？
（2）若学校准备用不多于8400元从商场购进这两种型号的“文房四宝”，问学校从商场购进甲种型号的“文房四宝”至少多少套？
21．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系．已知三角形的顶点A的坐标为，顶点B的坐标为，顶点C的坐标为．
（1）将三角形向右平移5个单位长度，再向下平移4个单位长度得到三角形，请你画出三角形；
（2）在（1）的条件下，若三角形内有一点，则平移后点坐标为______；
（3）若在x轴上存在一点Q，使得三角形的面积为三角形面积的2倍，求点Q的坐标．
五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分．
22．“滨滨”和“妮妮”是2025年第九届亚冬会的吉祥物，分别代表冰上运动和雪上运动．请根据以下材料，完成相应的任务．
亚冬会的吉祥物数学问题
素材1 某超市计划销售这两种吉祥物造型的钥匙扣挂件，已知“滨滨”钥匙扣售价16元/个，进价a元/个；“妮妮”钥匙扣售价18元/个，进价b元/个．
素材2 超市在进货时发现，购进10个“滨滨”钥匙扣和5个“妮妮”钥匙扣，共需170元；购进6个“滨滨”钥匙扣和10个“妮妮”钥匙扣，共需200元．
任务：
（1）求a，b的值；
（2）超市决定每天购进“滨滨”和“妮妮”钥匙扣共100个，投入资金不少于1160元，且“滨滨”钥匙扣的购进数量不少于58个．设购进“滨滨”钥匙扣m个，求有几种购买方案；
（3）在（2）的条件下，超市决定每售出一个钥匙扣捐出2元给福利院，用捐款后的利润全部再次购进“滨滨”和“妮妮”钥匙扣，求获得最大利润时再次购进两种钥匙扣的方案有几种．
23．【图形理解】
两根平行线，一根截线穿，角的关系藏中间，图形不全别着急，辅助线来补完整，转化思想帮你赢！
【建立模型】
（1）如图1，，点P在直线之间，，则的度数为______；
（2）如图2，，点P在直线之间，猜想与之间的关系，并说明理由；
【拓展迁移】
（3）如图3，，线段与线段相交于点E，．过点D作交直线于点G，平分，平分，求的度数．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】图形的平移
【解析】【解答】解：选项A、B、D中图案与原图案方向不一样，不能通过平移得到，故A、B、D不符合题意；选项C的图案与原图案形状、大小和方向均一样，能通过平移得到，符合题意；
故答案为：C．
【分析】平移不改变图形的形状、大小和方向，只有选项C与原图方向一致，故选C.
2．【答案】A
【知识点】垂线段最短及其应用
【解析】【解答】解：根据垂线段最短可得：应建在A处，故选：A．
【分析】本题主要考查了垂线段的性质，根据从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短，结合题设中的图形，即可得到答案.
3．【答案】D
【知识点】全面调查与抽样调查
【解析】【解答】解：A、班级人数较少，全面调查（普查）更易实施且结果准确，无需抽样，错误；
B、某品牌手机用户群体庞大，全面调查成本高、难度大，应采用抽样调查，错误；
C、热门景区游客数量多且流动性大，全面调查不可行，应采用抽样调查，错误；
D、某批次食品质量检查通常需破坏性测试（如拆包装），抽样调查既能反映整体质量又避免全部损毁，正确．
故答案为：D．
【分析】本题主要考查全面调查与抽样调查的适用场景选择.需要根据调查对象的数量、是否具有破坏性、以及调查的可行性来判断哪种调查方式更合理.
4．【答案】A
【知识点】用坐标表示地理位置
【解析】【解答】解：根据题意可建立如下坐标系，则学校所在位置的坐标为，
故答案为：A．
【分析】本题主要考查根据已知点的坐标确定平面直角坐标系的原点和坐标轴方向，进而求其它点的坐标.解题关键是：已知两个点的坐标家（-2，1）、体育馆（-1，-2），可确定原点的位置和单位长度，再根据图中各点的相对位置，推断学校的坐标.
5．【答案】C
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵ 正方形的面积为10，
∴ 边长为，
∵，
∴，
∴在3与4之间．
故答案为：C．
【分析】本题主要考查算术平方根的概念以及无理数的估值方法.已知正方形面积求边长，需要用到算术平方根，再通过比较平方数来确定无理数的整数部分.即先确定10在9和16之间，即可确定在3和4之间．
6．【答案】C
【知识点】一元一次不等式的概念；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：∵是关于的一元一次不等式，
∴且，
解得：．
故答案为：C．
【分析】只含有一个未知数，未知数项的次数为1，系数不为0，且不等式两边都是整式的不等式，就是一元一次不等式，据此列出关于字母a的混合组，求解即可.
7．【答案】A
【知识点】内错角相等，两直线平行
【解析】【解答】解：由图可知：，
∴（内错角相等，两直线平行）；
故答案为：A．
【分析】本题考查平行线的判定“内错角相等，两直线平行”．观察两个三角尺摆放的位置，可以看出∠A与∠ACB是内错角，且，得以判断.
8．【答案】C
【知识点】用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（名）
∴估计该地区掌握这一垃圾分类知识的初中学生大约有1800名．
故答案为：C．
【分析】本题考查了用样本的百分比估计总体的数量.先计算样本中掌握垃圾分类知识的学生比例，再用该比例乘以该地区初中生总人数，得到估计值.
9．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：如图：
∵一组平行光线a，b经过平面镜反射后得到一组互相平行的反射光线，
∴，，
∴
∴，
故答案为：B．
【分析】本题主要考查三角形内角和定理，平行线性质和对顶角性质.根据两组平行线可得：，，然后利用三角形内角和定计算出，再根据对顶角相等，即可解答．
10．【答案】B
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：解第一个不等式得，
解第二个不等式得，
∴不等式组的解集为，
∵关于x的不等式组至少有2个整数解，
∴，
即，
∴，
故选：B
【分析】分别求出两个不等式的解集，再求出不等式组的解集，再根据题意建立关于a的不等式，解不等式即可求出答案.
11．【答案】±4
【知识点】平方根
【解析】【解答】解：∵（±4）2=16，
∴16的平方根是±4．
故答案为：±4．
【分析】根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2=a，则x就是a的平方根，由此即可解决问题．
12．【答案】
【知识点】点的坐标；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵点P到x轴、y轴的距离分别为2，5，
∴点P的横坐标的绝对值为5，纵坐标的绝对值为2，
∵P为第二象限内一点，
∴点P的横坐标为负，纵坐标为正，
∴点P的坐标为，
故答案为：．
【分析】本题主要考查平面直角坐标系中点的坐标与到坐标轴距离的关系，以及各象限内点的坐标符号特征.解题关键是理清“距离”与“坐标绝对值”之间的对应关系，并结合象限确定符号.坐标系中，点到y轴的距离为该点横坐标的绝对值，到x轴的距离为该点纵坐标的绝对值，再结合第二象限内的点横坐标为负，纵坐标为正即可得到答案.
13．【答案】0
【知识点】偶次方的非负性；绝对值的非负性；加减消元法解二元一次方程组；求代数式的值-化简代入求值
【解析】【解答】解：∵，，，
∴，，
∴，解得：，
∴．
故答案为：0．
【分析】本题综合考查非负数的性质与二元一次方程组的解法.解题关键是识别出绝对值和平方运算的结果均具有非负性，进而利用“多个非负数相加为零，则每个都为零”这一核心结论建立方程组，求得x、y的值，最后代入x-y求值即可．
14．【答案】22
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【解答】解：设剩余空间还能摆放本辅导书，
则，
解得：，
为整数，
剩余空间最多还能摆放本辅导书，
故答案为：．
【分析】本题主要考查一元一次不等式的实际应用，涉及“不超过”关系的数学建模以及整数解取整的处理.明确“剩余空间”的含义，列出不等式：设剩余空间还能摆放本辅导书，则可列，结果取最大整数解即可.
15．【答案】24
【知识点】三角形的面积；梯形；平移的性质
【解析】【解答】解：的是沿着斜边的方向平移后得到的，且、、、四点在同一条直线上，
，，
，，
，
的面积等于6，
，
，
四边形的面积，
∴四边形的面积为．
故答案为：24.
【分析】本题综合考查平移的性质、三角形面积公式以及图形面积之间的等量转换.需明确平移前后对应线段相等、对应图形全等，通过面积的等量转换求出未知图形的面积.根据“直角三角形沿边的方向平移至三角形”得到，，再根据的面积为6，得到，利用梯形公式求出四边形的面积，即可得出结果.
16．【答案】解：
．
【知识点】实数的绝对值；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【分析】本题考查算术平方根、立方根和绝对值的化简与运算.关键在于正确计算，负数的立方根，以及根据绝对值内数值的正负去掉绝对值符号：因为，所以，最后进行加减计算即可.
17．【答案】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴原不等式组的解集为．
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】本题主要考查解一元一次不等式组，需熟练掌握去括号、移项、合并同类项、系数化为1等基本操作.分别求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可．
18．【答案】证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴.
【知识点】角平分线的概念；平行线的应用-证明问题
【解析】【分析】本题结合了平行线的性质与判定及角平分线的定义.由平行线的性质“两直线平行，同旁内角互补”可得的度数，再由角平分线的定义可得的度数，求出的度数即可根据“内错角相等，两直线平行”判定.
19．【答案】（1）解：50；补全条形统计图如下：
（2）
（3）解：人，
答：估计选择C．的接入的学生人数为人．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解（1）解：人，
即本次调查所抽取的学生有50人；
领域“B”的人数为人，补全条形统计图如下：
；
（2）解：，
即扇形统计图中领域“A”对应扇形的圆心角的度数为；
【分析】本题综合考查扇形统计图与条形统计图的阅读、样本估计总体以及圆心角的计算.
（1）根据扇形统计图可知领域“D”的占比为10％，从条形统计图可知领域“D”人数为5，根据总人数=部分人数÷该部分人数占比，即可求出总人数；再求出领域“B”的人数，补全条形统计图即可；
（2）先求出领域“A”的人数占比，再乘圆周角360°求解即可；
（3）用学生总人数乘以“选择C．的接入的学生”人数占比即可．
（1）解：人，
即本次调查所抽取的学生有50人，
领域“B”的人数为人，
补全条形统计图如下：
（2）解：，
即扇形统计图中领域“A”对应扇形的圆心角的度数为；
（3）解：人，
即估计选择C．的接入的学生人数为人．
20．【答案】（1）解：设学校从商场购进甲型号的“文房四宝”套，乙型号的“文房四宝”套，
根据题意可列：，
解得：，
答：学校从商场购进甲型号的“文房四宝”套，乙型号的“文房四宝”套；
（2）解：设学校从商场购进甲种型号的“文房四宝”套，
根据题意可列：，
解得：，
为正整数，
学校从商场购进甲种型号的“文房四宝”至少套．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】本题综合考查二元一次方程组的实际应用和一元一次不等式的实际应用.解题关键是根据题意正确建立方程（组）或不等式模型，并准确求解.
（1）设学校从商场购进甲型号的“文房四宝”套，乙型号的“文房四宝”套，根据“购买甲、乙两种型号的“文房四宝”共100套，共用去8500元”，列二元一次方程组求解即可；
（2）设学校从商场购进甲种型号的“文房四宝”套，根据“学校准备用不多于8400元从商场购进这两种型号的“文房四宝””列一元一次不等式，明确“不多于”对应“”，最后取最小正整数解即可.
（1）解：设学校从商场购进甲型号的“文房四宝”套，乙型号的“文房四宝”套，
则，解得：，
答：学校从商场购进甲型号的“文房四宝”套，乙型号的“文房四宝”套；
（2）解：设学校从商场购进甲种型号的“文房四宝”套，
则，
解得：，
为正整数，
学校从商场购进甲种型号的“文房四宝”至少套．
21．【答案】（1）解：如图，三角形即为所求：
（2）
（3）解：三角形的面积为：，
∵在x轴上存在一点Q，使得三角形的面积为三角形面积的2倍，
∴设，
∴，
解得：，
∴或 .
【知识点】三角形的面积；坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：（1）∵三角形向右平移5个单位长度，再向下平移4个单位长度得到三角形，且点A、B、C的坐标分别为、、，
∴平移后点的坐标为，，，
在坐标系中描出三点并连接，如图所示：
（2）∵三角形向右平移5个单位长度，再向下平移4个单位长度得到三角形，，
∴平移后的点的坐标为：，即，
故答案为：.
【分析】（1）、（2）小题考查平面直角坐标系中的平移变换.解题关键是掌握点的平移规律：向右平移m个单位，横坐标加m；向下平移n个单位，纵坐标减n，并能根据顶点坐标画出平移后的图形；
（3）本题考查求平面直角坐标系中三角形的面积，利用割补法：把三角形的面积看成矩形的面积减去周围的三个三角形面积，求出△ABC面积；根据“在x轴上存在一点Q”可设，建立方程求解.
（1）解：如图，三角形即为所求；
（2）∵三角形向右平移5个单位长度，再向下平移4个单位长度得到三角形，，
∴平移后的点的坐标为：即，
故答案为：
（3）解：三角形的面积为：，
∵在x轴上存在一点Q，使得三角形的面积为三角形面积的2倍，
∴设，
∴，
解得：，
∴或 ．
22．【答案】（1）解：根据题意可列：，
解得：，
答：a的值为10，b的值为14；
（2）解：根据题意可列：，
解得：，
∵为正整数
∴可以取58，59，60，100-m=42，41，40，
∴有3种购买方案．
方案1：购买“滨滨”造型钥匙扣挂件58个，“妮妮”造型钥匙扣挂件42个；
方案2：购买“滨滨”造型钥匙扣挂件59个，“妮妮”造型钥匙扣挂件41个；
方案3：购买“滨滨”造型钥匙扣挂件60个，“妮妮”造型钥匙扣挂件40个；
（3）解：购买方案1可获得的总利润为（元；
购买方案2可获得的总利润为（元；
购买方案3可获得的总利润为（元；
设再次购进“滨滨”造型钥匙扣挂件x个，“妮妮”造型钥匙扣挂件y个，
∴当获得的总利润为320元时，，
，
又，y均为正整数，
或或或，
再次购进两种钥匙扣的方案有4种．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-方案问题
【解析】【分析】（1）本题是二元一次方程组在销售问题中的应用.解题的关键是根据两次进货的数量与总价关系，分别建立关于a，b的两个二元一次方程，再通过消元法解方程组，求出单个进价.
（2）本题是一元一次不等式组在进货方案中的应用.解题的关键是根据“进货总价不少于1160元”这一条件，结合“进货总价进货单价进货数量”建立关于m的不等式，并结合 m 为正整数确定其取值范围，即可得出各购买方案；
（3）利用总利润每个的销售数量购进数量，分别求出（2）中各方案可获得的总利润，比较得出最大利润；以最大利润为投资金额，设再次购进“滨滨”造型钥匙扣挂件x个，“妮妮”造型钥匙扣挂件y个，可列出关于x，y的二元一次方程，结合x，y均为正整数，求出方程的解的个数，即为新的购进方案．
（1）解：根据题意得：，
解得：．
答：a的值为10，b的值为14；
（2）解：根据题意得：，
解得：，
∴可以取58，59，60，，41，40，
∴有3种购买方案．
方案1：购买“滨滨”造型钥匙扣挂件58个，“妮妮”造型钥匙扣挂件42个；
方案2：购买“滨滨”造型钥匙扣挂件59个，“妮妮”造型钥匙扣挂件41个；
方案3：购买“滨滨”造型钥匙扣挂件60个，“妮妮”造型钥匙扣挂件40个；
（3）解：购买方案1可获得的总利润为（元；
购买方案2可获得的总利润为（元；
购买方案3可获得的总利润为（元；
设再次购进“滨滨”造型钥匙扣挂件x个，“妮妮”造型钥匙扣挂件y个，
∴当获得的总利润为320元时，，
，
又，y均为正整数，
或或或，
再次购进两种钥匙扣的方案有4种．
23．【答案】解：（1）；
（2），理由如下：
如图2所示，过点P作，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）如图所示，点M为延长线上一点，
∵，，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
同理可得．
【知识点】角平分线的概念；猪蹄模型；铅笔头模型；平行线的应用-求角度；平行线的应用-证明问题
【解析】【解答】解；（1）如图1所示，过点P作，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
【分析】（1）本小题考查平行线间拐点问题的常用辅助线作法.当两条平行线被一条折线连接时，过拐点作平行线可将分散的角集中到同一组平行线中，利用“两直线平行，内错角相等”实现角度转移. 过点P作，则，由平行线的性质得到，则可证明；
（2）与第（1）问类似，仍通过作辅助线将∠APC分割，但此处∠BAP和∠DCP分别与被分割的角是同旁内角而非内错角，因此需利用“两直线平行，同旁内角互补”进行解答.过点P作，则，由平行线的性质得到，再根据即可得到结论；
（3）本小题综合考查平行线的性质、角平分线的定义以及对前两问所发现的规律的灵活运用.解题的关键是已知平行关系，逐步求出相关角的度数，最后直接利用第一问的模型求出目标角.由平行线的性质得到，，由角平分线的定义得到，，则由平角的定义可得，根据第一问的规律直接得出．
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