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浙江省金华市义乌市三校联考2025-2026学年八年级上学期月考数学试卷（10月份）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列各组中的三条线段能组成三角形的是（　　）
A．3，4，8 B．5，6，11 C．5，6，10 D．4，4，8
【答案】C
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】A、3+4<8，不能构成三角形.
B、5+6=11，不能构成三角形.
C、5+6>10，6-5<10，可以构成三角形.
D、4+4=8，不能构成三角形.
故答案为：C.
【分析】根据三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边进行判断即可.
2．围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史.下列由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、是轴对称图形，故本选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】把一个平面图形，沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的平面图形就是轴对称图形，根据定义即可一一判断得出答案.
3．下列说法正确的是（　　）
①有两组边对应相等，一组角对应相等的两个三角形全等；
②在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行；
③三角形的中线把三角形的面积平分；
④等腰三角形高所在的直线是对称轴；
A．①② B．②③ C．①②③ D．②③④
【答案】B
【知识点】平行线的判定；三角形全等的判定；等腰三角形的性质-三线合一；利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：① 有两组边对应相等，一组角对应相等的两个三角形全等：
∵ 该角若非夹角，则三角形不一定全等（如SSA情况），
∴①错误；
② 在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行：
∵ 根据平行线判定定理，垂直于同一直线的两直线平行，
∴②正确；
③ 三角形的中线把三角形的面积平分：
∵ 中线将三角形分为两个等底同高的三角形，面积相等，
∴③正确；
④ 等腰三角形高所在的直线是对称轴：
∵ 等腰三角形是轴对称图形，对称轴为底边上的高所在直线，
∴④错误．
综上，②③正确，
故选：B．
【分析】根据全等三角形的判定定理，平行线的判定方法，三角形中线与面积关系，等腰三角形的性质逐一判断每个说法的正确性．
4．如图用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图，由可得，由作图的过程可知，说明的依据是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形全等的判定-SSS
【解析】【解答】解：根据作图过程可知：，，
在和中，，
∴，
即说明的依据是，
故答案为：A．
【分析】根据题意可得，，再利用“SSS”证明三角形全等即可。
5．下列选项，可以用来证明命题“若a2>b2，则a>b”是假命题的反例是（　　）
A．a=-3， b=2 B．a=2， b=1 C．a=3， b=-2 D．a=-2， b=3
【答案】A
【知识点】举反例判断命题真假
【解析】【解答】解：当a=-3，b=2时， 则a当a=2，b=1时， 则a>b，故原命题是真命题；
当a=3，b=-2时， 则a>b，故原命题是真命题；
当a=-2，b=3时， 则a故答案为：A.
【分析】直接利用选项中数据代入求出答案.
6．如图，在中，，，，平分，则点到的距离等于（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点作于点，如图所示，
，，
.
，
，
，平分，
.
点到的距离等于2.
故答案为： C.
【分析】利用已知条件求出的长度，再根据角平分线的性质即可推出，从而求出点到的距离.
7．如图，△ABC与△AEF中，AB＝AE，BC＝EF，∠B＝∠E，AB交EF于D．给出下列结论：①∠AFC＝∠AFE﹔②BF＝DE，③∠BFE＝∠BAE：④∠BFD＝∠CAF．其中正确的结论有（　　）个
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：，，，
，
，，，
，
，故①符合题意，
，
，故④符合题意，
，
，
，故③符合题意，
由题意无法证明，故②不合题意，
故正确为：①③④，
故答案为：C．
【分析】根据三角形全等的判定（SAS）和性质，可得两个全等三角形对应的角相等；根据三角形外角的性质和等量代换原则，可得以及.
8．如图，在中，点是边上一点，，过点作交于，若是等腰三角形，则下列判断中正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】余角；等腰三角形的性质-等边对等角；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：，
，
从而
是等腰三角形，
，
故选B.
【分析】根据等腰三角形的性质得到根据垂直的性质得到根据等量代换得到又即可得到根据同角的余角相等即可得到结论.
9．如图，△ABC中，∠A＝56°，BD平分∠ABC，CD平分△ABC的外角∠ACE，BD、CD交于点D，则∠D的度数（　　）
A．28° B．56° C．30° D．26°
【答案】A
【知识点】三角形外角的概念及性质；角平分线的概念；三角形的一内一外角平分线模型
【解析】【解答】解∶设∠ABC=2m，
∵∠A＝56°，
∴∠ACE=∠A+∠ABC=56°+2m，
∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACE，
∴∠DBC=∠ABC=m，∠DCE=∠ACE=28°+m ．
∵∠DCE=∠DBC+∠D，
∴∠D=∠DCE-∠DBC=28°+m-m=28°．
故选∶A．
【分析】设∠ABC=2m，根据三角形的外角得到∠ACE=56°+2m，然后根据角平分呢西安的定义和三角形的外角解答即可．
10．如图，在《光的反射》活动课中，小明同学将支架平面镜放置在水平桌面b上，镜面的调节角（）的调节范围为，激光笔发出的光束射到平面镜上，若激光笔与水平天花板a的夹角，则反射光束与天花板所形成的角（）不可能取到的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：因为镜面的调节角（）的调节范围为，当调节角为时，，
所以当调节角在时，射到F点的左侧上，且，
则，那么；
当调节角在时，射到F点的右侧上，且，
则，那么；
当调节角为时，点E和F重合；
综上可得：或．
故选C．
【分析】当调节角为时，，所以当调节角在时，射到F点的左侧上，根据角的关系确定的范围；当调节角在时，射到F点的右侧上，根据角的关系确定的范围，最后根据的范围确定不可能取到的度数．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11．已知等腰三角形的顶角度数为，则底角的度数为　 　．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵等腰三角形的顶角的度数为，
∴等腰三角形的底角的度数为，
故答案为：．
【分析】根据等腰三角形的顶角的度数为，即可得等腰三角形的底角的度数为，即可得答案.
12．命题：“如果，那么”的逆命题是　 　．（填“真命题”或“假命题”）
【答案】假命题
【知识点】真命题与假命题；逆命题
【解析】【解答】解：由题意可知：逆命题为如果，那么，
绝对值相等的两个数，有可能相等也有可能互为相反数，故逆命题为假命题；
故答案为：假命题.
【分析】先根据题意交换题设和结论得到逆命题，再根据绝对值的概念得到结果即可.
13．如图，在中，，和的平分线分别交于点G，F．若，则的值为 　 　．
【答案】6
【知识点】等腰三角形的判定与性质；角平分线的概念；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
同理可得，
∴，
故答案为：6．
【分析】由角平分线与平行线易得，从而得到，同理可得，再根据即可得答案．
14．如图，是的角平分线，，垂足为D，，则　 　．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
∴．
故答案为：58°.
【分析】根据垂直得出直角三角形，利用直角三角形的两个锐角互余得到角的度数关系，然后利用三角形的内角和定理得出，求出，然后利用角平分线的定义和直角三角形的性质进行求解即可．
15．如图，将一张白纸一角折过去，使角的顶点A落在处，为折痕，再将另一角斜折过去，使边落在内部，折痕为，点D的对应点为，设，则的大小为　 　．
【答案】20
【知识点】翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵折叠，
∴，，
∴，即：，
∴；
故答案为：20．
【分析】根据折痕是角平分线，结合角的和差关系进行求解即可．
16．如图1，一副直角三角板△ABC和△DEF，∠BAC=∠EDF=90°，∠B=45°，∠F=30°，点B、D、C、F在同一直线上，点A在DE上．如图2，△ABC固定不动，将△EDF绕点D逆时针旋转α（0°＜α＜135°）得△E'DF'，当直线E'F'与直线AC、BC所围成的三角形为等腰三角形时，α的大小为　 　．
【答案】7.5°或75°或97.5°或120°
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；等腰三角形的判定与性质；分类讨论
【解析】【解答】解：设直线E'F'与直线AC、BC分别交于点P、Q，
∵△CPQ为等腰三角形，
∴∠PCQ为顶角或∠CPQ为顶角或∠CQP为顶角，
①当∠PCQ为顶角时，∠CPQ=∠CQP，如图1，
∵∠BAC=∠EDF=90°，∠B=45°，∠F=30°，
∴∠E'DF'=90°，∠ACB=45°，∠E'F'D=30°，
∵∠CPQ+∠CQP=∠ACB=45°，
∴∠CQP=22.5°，
∵∠E'F'D=∠CQP+∠F'DQ，
∴∠F'DQ=∠E'F'D-∠CQP=30°-22.5°=7.5°，
∴α=7.5°；
如图2，
∵△CPQ为等腰三角形中，∠PCQ为顶角，
∴∠CPQ=∠CQP=67.5°，
∵∠E'DF'=90°，∠F'=30°，
∴∠E'=60°，
∴∠E'DQ=∠CQP-∠E'=67.5°-60°=7.5°，
∴α=∠EDE'=90°+7.5°=97.5°；
②当∠CPQ为顶角时，∠CQP=∠PCQ=45°，
∴∠CPQ=90°，如图3，
∵∠DE'F'=∠CQP+∠QDE'，
∴∠QDE'=∠DE'F'-∠CQP=60°-45°=15°，
∴α=90°-15°=75°；
③如图4，
当∠CQP为顶角时，∠CPQ=∠PCQ=45°，
∴∠CQP=90°，
∴∠QDF'=90°-∠DF'E'=60°，
∴∠QDE'=∠E'DF'-∠QDF'=30°，
∴α=∠EDE'=∠EDQ+∠QDE'=90°+30°=120°；
综上所述，α的大小为7.5°或75°或97.5°或120°．
故答案为：7.5°或75°或97.5°或120°．
【分析】设直线E'F'与直线AC、BC分别交于点P、Q，根据△CPQ为等腰三角形，分三种情况：①当∠PCQ为顶角时，∠CPQ=∠CQP，如图1，可求得α=7.5°；如图2，△CPQ为等腰三角形中，∠PCQ为顶角，可求α的度数；②当∠CPQ为顶角时，∠CQP=∠PCQ=45°，可得∠CPQ=90°，如图3，进而求出α的度数；③如图4，当∠CQP为顶角时，∠CPQ=∠PCQ=45°，可得∠CQP=90°，进而得到α=∠EDE'解答．
三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．如图，是等腰三角形底边上的高线，，交于点，求证： 是等腰三角形．
证明：在中
∵，
∴　 　（等腰三角形　 　）
∵，
∴　 　（两直线平行，内错角相等）
　 　　 　（等量代换）
（在同一个三角形中，　 　）
即是等腰三角形．
【答案】2；三线合一；3；2；3；等角对等边
【知识点】等腰三角形的判定与性质；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】证明：，，
（等腰三角形三线合一），
∵（已知），
（两直线平行，内错角相等），
，
（在同一个三角形中，等角对等边），
是等腰三角形．
故答案为：2；三线合一；3； 2；3；等角对等边．
【分析】由，（已知）得到，是根据三线合一的性质证得的；由（已知），得到，是根据平行线的性质得到的，由等角对等边，可由，证得．
18．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．网格中有一个格点△ABC（即三角形的顶点都在格点上）．
（1）在图中画出△A1B1C1，使它与△ABC关于直线l对称；
（2）在直线l上找一点P，使得PA+PC最小；
（3）△ABC的面积为　 　．
【答案】（1）如图所示，△A1B1C1即为所求．
（2）连接AC1，则AC1与l的交点P即为所求的点．
（3）5
【知识点】作图﹣轴对称；轴对称的应用-最短距离问题；几何图形的面积计算-割补法；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】（1）解：△ABC的面积=3×4﹣×1×4﹣×2×2﹣×2×3＝5，
故答案为：5．
【分析】（1）分别作出点A，B，C关于y轴的对称点，再顺次连接即可得；
（2）连接AC1，与直线l的交点即为所求；
（3）利用割补法求解可得．
19．等腰三角形的周长为
（1）若已知腰长是底边长的倍，求各边长；
（2）若已知一边长为，求其他两边长．
【答案】（1）如图，设底边BC=a cm， 则AC=AB=3a cm，
∵等腰三角形的周长是21cm，
∴3a+3a+a=21，
∴a=3，
∴3a=9，
∴等腰三角形的三边长是3cm，9cm，9cm；
（2）①当等腰三角形的底边长为6cm时，腰长=（21-6）÷2=7.5（cm）；
则等腰三角形的三边长为6cm、7.5cm、7.5cm，能构成三角形；
②当等腰三角形的腰长为6cm时，底边长=21-2×6=9；
则等腰三角形的三边长为6cm，6cm、9cm，能构成三角形．
故等腰三角形其他两边的长为7.5cm，7.5cm或6cm、9cm.
【知识点】等腰三角形的概念；分类讨论
【解析】【分析】（）设底边，则，代入求出即可；
（）分类讨论，然后根据三角形三边关系定理判断求出的结果是否符合题意．
20．如图，点C、E在上，．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）证明：∵，
∴，即，
∵，
∴，
在和中，
，
∴．
（2）解：∵∠B=50°，∠B=∠F，
∴∠F=50°，
∵∠BED=145°，∠BED=∠D+∠F，
∴145°=∠D+50°，
∴∠D=95°，
∴∠D的度数是95°．
【知识点】三角形外角的概念及性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应角的关系；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】（1）根据，可得，再由，可得，即可求证；
（2）根据题意可得，再由三角形外角的性质，即可求解．
21．如图，在中，D是边上一点，G是边上一点，过点G作交于点F，E是边上一点，连接，．
（1）判断与是否平行，并说明理由．
（2）若平分，求的度数．
【答案】（1）AC∥DE，理由如下：
∵FG∥CD，
∴∠1+∠ACD=180°，
又∵∠1+∠2=180°，
∴∠ACD=∠2，
∴AC∥DE．
（2）设∠A=x°，
∵AC∥DE，
∴∠A=∠EDB=x°，
∵∠CED=3∠A+20°，
∴∠CED=3x°+20°，
又∵∠B=80°，
∴x+80=3x+20，
解得x=30，
又∵DE平分∠BDC，
∴∠2=∠BDE=30°，
又∵AC∥DE，
∴∠ACD=∠2=30°．
【知识点】三角形外角的概念及性质；角平分线的概念；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【分析】（1）利用平行线得出同旁内角互补，然后根据内错角相等得出两直线平行即可；
（2）设，表示出相关角的度数，利用三角形的外角列出方程求解即可．
22．已知：平分，点A，B分别在边上，且．
（1）如图1，当时，求证：；
（2）如图2，当时，作于点C．求证：
①；
②请直接写出之间的数量关系为　 　．
【答案】（1）证明：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）①证明：如图，过点作于点，∵平分，且，，∴，∵，，∴，∵，∴，∴；②OA-OB=2AC
【知识点】三角形全等的判定；角平分线的性质；角平分线的概念；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：（2）②∵，
∴，
∵，，
∴，
由①得，且，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：.
【分析】（1）根据角的和差得出，根据角平分线定义得出，证明，即可得出结论；
（2）①过点作于点，根据角平分线的性质和同角的补角相等，证明，即可得出结论；
②根据得出的相等线段，利用线段的和差即可表示出数量关系．
23．
（1）【问题提出】如图，在和，已知，，三点在一条直线上，，，则的长度为　 　．
（2）【问题提出】如图，在中，，，过点作，且，求的面积．
（3）【问题解决】某市打造国家级宜居城市，优化美化人居生态环境．如图所示，在河流的周边规划一个四边形巨无霸森林公园，按设计要求，在四边形中，，，面积为，且的长为，则河流另一边森林公园的面积为 　 　．
【答案】（1）
（2）解：如图，过作交延长线于，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴；
（3）6
【知识点】三角形的面积；全等三角形的实际应用；三角形全等的判定-AAS；同侧一线三垂直全等模型；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：（）∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
故答案为：；
（）如图，过作于，过作交延长线于，
∵面积为，且的长为，
∴，
∴，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴河流另一边森林公园的面积为，
故答案为：．
【分析】（）证明，得，，进而可以解决问题；
（）过作交延长线于，证明，得，进而可以求的面积；
（）过作于，过作交延长线于，根据面积为，且的长为，得，证明是等腰直角三角形，再根据，可得，，证明，可得，进而可以解决问题；【解答】（）
24．综合与探究：
如图1所示的是由两块三角板组成的图形，其中在中，，，在中，，，点B，E，D在同一条直线上，AC与BD交于点F，连接CD并延长，交BA的延长线于点G．
（1）当时，试用含的代数式表示∠BAE的度数．
（2）当时，试探究BC与BG的数量关系，并说明理由．
（3）过点C作，交BD的延长线于点H，如图2所示，在满足（2）的情况下，求∠DCH的度数，并直接写出与∠DCH相等的角（除∠G外，写两个即可）．
【答案】（1）解：∵∠DAE=∠BAC=90°，
∴∠BAE=∠DAC，
∵AD=AE，AC=AB，
∴△DAC≌△EAB（SAS），
∴∠ACD=∠ABE，
∵∠AED=45°，
∴∠BAE=∠AED-∠ABE=45°-∠ACD=45°-α；
（2）解：BC=BG，理由如下：
∵∠ACD=∠CBD，∠ACD=∠ABE，
∴∠CBD=∠ABE，
∵∠DFC=∠AFB，∠ACD=∠FBA，
∴∠FAB=∠CDF=90°，
∴∠CDB=∠GDB=90°，
∵DB=DB，
∴△CBD≌△GBD（ASA），
∴BC=BG；
（3）67.5°，∠DFC，∠DCB，∠DAG，∠AFE，∠FAE
【知识点】平行线的性质；三角形全等的判定；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：（3）∵BC=BG，∠CBD=∠GBD，
∴CD=GD，
∵∠GAC=90°，
∴CD=AD=GD，
∴∠G=∠DAG，∠ACD=∠DAC，
∵CH∥BG，
∴∠DCH=∠G=∠DAG，
∵∠DCH+∠DCF=90°，∠DCF+∠DFC=90°，
∴∠DCH=∠DFC，
又∵∠DFC=∠AFE，
∴∠DCH=∠AFE，
∵∠ACD=∠DAC，
∴∠FAE=∠DFC，
∴∠DCH=∠FAE．
故与∠DCH相等的角有∠DFC，∠DCB，∠DAG，∠AFE，∠FAE．
【分析】（1）证明△DAC≌△EAB（SAS），由全等三角形的性质可得出∠ACD=∠ABE，由三角形外角的性质可得出结论；
（2）证明△CBD≌△GBD（ASA），由全等三角形的性质可得出BC=BG；
（3）由平行线的性质及直角三角形的性质可得出结论．
1 / 1浙江省金华市义乌市三校联考2025-2026学年八年级上学期月考数学试卷（10月份）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列各组中的三条线段能组成三角形的是（　　）
A．3，4，8 B．5，6，11 C．5，6，10 D．4，4，8
2．围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史.下列由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
3．下列说法正确的是（　　）
①有两组边对应相等，一组角对应相等的两个三角形全等；
②在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行；
③三角形的中线把三角形的面积平分；
④等腰三角形高所在的直线是对称轴；
A．①② B．②③ C．①②③ D．②③④
4．如图用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图，由可得，由作图的过程可知，说明的依据是（　　）
A． B． C． D．
5．下列选项，可以用来证明命题“若a2>b2，则a>b”是假命题的反例是（　　）
A．a=-3， b=2 B．a=2， b=1 C．a=3， b=-2 D．a=-2， b=3
6．如图，在中，，，，平分，则点到的距离等于（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
7．如图，△ABC与△AEF中，AB＝AE，BC＝EF，∠B＝∠E，AB交EF于D．给出下列结论：①∠AFC＝∠AFE﹔②BF＝DE，③∠BFE＝∠BAE：④∠BFD＝∠CAF．其中正确的结论有（　　）个
A．1 B．2 C．3 D．4
8．如图，在中，点是边上一点，，过点作交于，若是等腰三角形，则下列判断中正确的是（　　）
A． B． C． D．
9．如图，△ABC中，∠A＝56°，BD平分∠ABC，CD平分△ABC的外角∠ACE，BD、CD交于点D，则∠D的度数（　　）
A．28° B．56° C．30° D．26°
10．如图，在《光的反射》活动课中，小明同学将支架平面镜放置在水平桌面b上，镜面的调节角（）的调节范围为，激光笔发出的光束射到平面镜上，若激光笔与水平天花板a的夹角，则反射光束与天花板所形成的角（）不可能取到的度数为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11．已知等腰三角形的顶角度数为，则底角的度数为　 　．
12．命题：“如果，那么”的逆命题是　 　．（填“真命题”或“假命题”）
13．如图，在中，，和的平分线分别交于点G，F．若，则的值为 　 　．
14．如图，是的角平分线，，垂足为D，，则　 　．
15．如图，将一张白纸一角折过去，使角的顶点A落在处，为折痕，再将另一角斜折过去，使边落在内部，折痕为，点D的对应点为，设，则的大小为　 　．
16．如图1，一副直角三角板△ABC和△DEF，∠BAC=∠EDF=90°，∠B=45°，∠F=30°，点B、D、C、F在同一直线上，点A在DE上．如图2，△ABC固定不动，将△EDF绕点D逆时针旋转α（0°＜α＜135°）得△E'DF'，当直线E'F'与直线AC、BC所围成的三角形为等腰三角形时，α的大小为　 　．
三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．如图，是等腰三角形底边上的高线，，交于点，求证： 是等腰三角形．
证明：在中
∵，
∴　 　（等腰三角形　 　）
∵，
∴　 　（两直线平行，内错角相等）
　 　　 　（等量代换）
（在同一个三角形中，　 　）
即是等腰三角形．
18．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．网格中有一个格点△ABC（即三角形的顶点都在格点上）．
（1）在图中画出△A1B1C1，使它与△ABC关于直线l对称；
（2）在直线l上找一点P，使得PA+PC最小；
（3）△ABC的面积为　 　．
19．等腰三角形的周长为
（1）若已知腰长是底边长的倍，求各边长；
（2）若已知一边长为，求其他两边长．
20．如图，点C、E在上，．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
21．如图，在中，D是边上一点，G是边上一点，过点G作交于点F，E是边上一点，连接，．
（1）判断与是否平行，并说明理由．
（2）若平分，求的度数．
22．已知：平分，点A，B分别在边上，且．
（1）如图1，当时，求证：；
（2）如图2，当时，作于点C．求证：
①；
②请直接写出之间的数量关系为　 　．
23．
（1）【问题提出】如图，在和，已知，，三点在一条直线上，，，则的长度为　 　．
（2）【问题提出】如图，在中，，，过点作，且，求的面积．
（3）【问题解决】某市打造国家级宜居城市，优化美化人居生态环境．如图所示，在河流的周边规划一个四边形巨无霸森林公园，按设计要求，在四边形中，，，面积为，且的长为，则河流另一边森林公园的面积为 　 　．
24．综合与探究：
如图1所示的是由两块三角板组成的图形，其中在中，，，在中，，，点B，E，D在同一条直线上，AC与BD交于点F，连接CD并延长，交BA的延长线于点G．
（1）当时，试用含的代数式表示∠BAE的度数．
（2）当时，试探究BC与BG的数量关系，并说明理由．
（3）过点C作，交BD的延长线于点H，如图2所示，在满足（2）的情况下，求∠DCH的度数，并直接写出与∠DCH相等的角（除∠G外，写两个即可）．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】A、3+4<8，不能构成三角形.
B、5+6=11，不能构成三角形.
C、5+6>10，6-5<10，可以构成三角形.
D、4+4=8，不能构成三角形.
故答案为：C.
【分析】根据三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边进行判断即可.
2．【答案】D
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、是轴对称图形，故本选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】把一个平面图形，沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的平面图形就是轴对称图形，根据定义即可一一判断得出答案.
3．【答案】B
【知识点】平行线的判定；三角形全等的判定；等腰三角形的性质-三线合一；利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：① 有两组边对应相等，一组角对应相等的两个三角形全等：
∵ 该角若非夹角，则三角形不一定全等（如SSA情况），
∴①错误；
② 在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行：
∵ 根据平行线判定定理，垂直于同一直线的两直线平行，
∴②正确；
③ 三角形的中线把三角形的面积平分：
∵ 中线将三角形分为两个等底同高的三角形，面积相等，
∴③正确；
④ 等腰三角形高所在的直线是对称轴：
∵ 等腰三角形是轴对称图形，对称轴为底边上的高所在直线，
∴④错误．
综上，②③正确，
故选：B．
【分析】根据全等三角形的判定定理，平行线的判定方法，三角形中线与面积关系，等腰三角形的性质逐一判断每个说法的正确性．
4．【答案】A
【知识点】三角形全等的判定-SSS
【解析】【解答】解：根据作图过程可知：，，
在和中，，
∴，
即说明的依据是，
故答案为：A．
【分析】根据题意可得，，再利用“SSS”证明三角形全等即可。
5．【答案】A
【知识点】举反例判断命题真假
【解析】【解答】解：当a=-3，b=2时， 则a当a=2，b=1时， 则a>b，故原命题是真命题；
当a=3，b=-2时， 则a>b，故原命题是真命题；
当a=-2，b=3时， 则a故答案为：A.
【分析】直接利用选项中数据代入求出答案.
6．【答案】C
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点作于点，如图所示，
，，
.
，
，
，平分，
.
点到的距离等于2.
故答案为： C.
【分析】利用已知条件求出的长度，再根据角平分线的性质即可推出，从而求出点到的距离.
7．【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：，，，
，
，，，
，
，故①符合题意，
，
，故④符合题意，
，
，
，故③符合题意，
由题意无法证明，故②不合题意，
故正确为：①③④，
故答案为：C．
【分析】根据三角形全等的判定（SAS）和性质，可得两个全等三角形对应的角相等；根据三角形外角的性质和等量代换原则，可得以及.
8．【答案】B
【知识点】余角；等腰三角形的性质-等边对等角；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：，
，
从而
是等腰三角形，
，
故选B.
【分析】根据等腰三角形的性质得到根据垂直的性质得到根据等量代换得到又即可得到根据同角的余角相等即可得到结论.
9．【答案】A
【知识点】三角形外角的概念及性质；角平分线的概念；三角形的一内一外角平分线模型
【解析】【解答】解∶设∠ABC=2m，
∵∠A＝56°，
∴∠ACE=∠A+∠ABC=56°+2m，
∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACE，
∴∠DBC=∠ABC=m，∠DCE=∠ACE=28°+m ．
∵∠DCE=∠DBC+∠D，
∴∠D=∠DCE-∠DBC=28°+m-m=28°．
故选∶A．
【分析】设∠ABC=2m，根据三角形的外角得到∠ACE=56°+2m，然后根据角平分呢西安的定义和三角形的外角解答即可．
10．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：因为镜面的调节角（）的调节范围为，当调节角为时，，
所以当调节角在时，射到F点的左侧上，且，
则，那么；
当调节角在时，射到F点的右侧上，且，
则，那么；
当调节角为时，点E和F重合；
综上可得：或．
故选C．
【分析】当调节角为时，，所以当调节角在时，射到F点的左侧上，根据角的关系确定的范围；当调节角在时，射到F点的右侧上，根据角的关系确定的范围，最后根据的范围确定不可能取到的度数．
11．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵等腰三角形的顶角的度数为，
∴等腰三角形的底角的度数为，
故答案为：．
【分析】根据等腰三角形的顶角的度数为，即可得等腰三角形的底角的度数为，即可得答案.
12．【答案】假命题
【知识点】真命题与假命题；逆命题
【解析】【解答】解：由题意可知：逆命题为如果，那么，
绝对值相等的两个数，有可能相等也有可能互为相反数，故逆命题为假命题；
故答案为：假命题.
【分析】先根据题意交换题设和结论得到逆命题，再根据绝对值的概念得到结果即可.
13．【答案】6
【知识点】等腰三角形的判定与性质；角平分线的概念；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
同理可得，
∴，
故答案为：6．
【分析】由角平分线与平行线易得，从而得到，同理可得，再根据即可得答案．
14．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
∴．
故答案为：58°.
【分析】根据垂直得出直角三角形，利用直角三角形的两个锐角互余得到角的度数关系，然后利用三角形的内角和定理得出，求出，然后利用角平分线的定义和直角三角形的性质进行求解即可．
15．【答案】20
【知识点】翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵折叠，
∴，，
∴，即：，
∴；
故答案为：20．
【分析】根据折痕是角平分线，结合角的和差关系进行求解即可．
16．【答案】7.5°或75°或97.5°或120°
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；等腰三角形的判定与性质；分类讨论
【解析】【解答】解：设直线E'F'与直线AC、BC分别交于点P、Q，
∵△CPQ为等腰三角形，
∴∠PCQ为顶角或∠CPQ为顶角或∠CQP为顶角，
①当∠PCQ为顶角时，∠CPQ=∠CQP，如图1，
∵∠BAC=∠EDF=90°，∠B=45°，∠F=30°，
∴∠E'DF'=90°，∠ACB=45°，∠E'F'D=30°，
∵∠CPQ+∠CQP=∠ACB=45°，
∴∠CQP=22.5°，
∵∠E'F'D=∠CQP+∠F'DQ，
∴∠F'DQ=∠E'F'D-∠CQP=30°-22.5°=7.5°，
∴α=7.5°；
如图2，
∵△CPQ为等腰三角形中，∠PCQ为顶角，
∴∠CPQ=∠CQP=67.5°，
∵∠E'DF'=90°，∠F'=30°，
∴∠E'=60°，
∴∠E'DQ=∠CQP-∠E'=67.5°-60°=7.5°，
∴α=∠EDE'=90°+7.5°=97.5°；
②当∠CPQ为顶角时，∠CQP=∠PCQ=45°，
∴∠CPQ=90°，如图3，
∵∠DE'F'=∠CQP+∠QDE'，
∴∠QDE'=∠DE'F'-∠CQP=60°-45°=15°，
∴α=90°-15°=75°；
③如图4，
当∠CQP为顶角时，∠CPQ=∠PCQ=45°，
∴∠CQP=90°，
∴∠QDF'=90°-∠DF'E'=60°，
∴∠QDE'=∠E'DF'-∠QDF'=30°，
∴α=∠EDE'=∠EDQ+∠QDE'=90°+30°=120°；
综上所述，α的大小为7.5°或75°或97.5°或120°．
故答案为：7.5°或75°或97.5°或120°．
【分析】设直线E'F'与直线AC、BC分别交于点P、Q，根据△CPQ为等腰三角形，分三种情况：①当∠PCQ为顶角时，∠CPQ=∠CQP，如图1，可求得α=7.5°；如图2，△CPQ为等腰三角形中，∠PCQ为顶角，可求α的度数；②当∠CPQ为顶角时，∠CQP=∠PCQ=45°，可得∠CPQ=90°，如图3，进而求出α的度数；③如图4，当∠CQP为顶角时，∠CPQ=∠PCQ=45°，可得∠CQP=90°，进而得到α=∠EDE'解答．
17．【答案】2；三线合一；3；2；3；等角对等边
【知识点】等腰三角形的判定与性质；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】证明：，，
（等腰三角形三线合一），
∵（已知），
（两直线平行，内错角相等），
，
（在同一个三角形中，等角对等边），
是等腰三角形．
故答案为：2；三线合一；3； 2；3；等角对等边．
【分析】由，（已知）得到，是根据三线合一的性质证得的；由（已知），得到，是根据平行线的性质得到的，由等角对等边，可由，证得．
18．【答案】（1）如图所示，△A1B1C1即为所求．
（2）连接AC1，则AC1与l的交点P即为所求的点．
（3）5
【知识点】作图﹣轴对称；轴对称的应用-最短距离问题；几何图形的面积计算-割补法；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】（1）解：△ABC的面积=3×4﹣×1×4﹣×2×2﹣×2×3＝5，
故答案为：5．
【分析】（1）分别作出点A，B，C关于y轴的对称点，再顺次连接即可得；
（2）连接AC1，与直线l的交点即为所求；
（3）利用割补法求解可得．
19．【答案】（1）如图，设底边BC=a cm， 则AC=AB=3a cm，
∵等腰三角形的周长是21cm，
∴3a+3a+a=21，
∴a=3，
∴3a=9，
∴等腰三角形的三边长是3cm，9cm，9cm；
（2）①当等腰三角形的底边长为6cm时，腰长=（21-6）÷2=7.5（cm）；
则等腰三角形的三边长为6cm、7.5cm、7.5cm，能构成三角形；
②当等腰三角形的腰长为6cm时，底边长=21-2×6=9；
则等腰三角形的三边长为6cm，6cm、9cm，能构成三角形．
故等腰三角形其他两边的长为7.5cm，7.5cm或6cm、9cm.
【知识点】等腰三角形的概念；分类讨论
【解析】【分析】（）设底边，则，代入求出即可；
（）分类讨论，然后根据三角形三边关系定理判断求出的结果是否符合题意．
20．【答案】（1）证明：∵，
∴，即，
∵，
∴，
在和中，
，
∴．
（2）解：∵∠B=50°，∠B=∠F，
∴∠F=50°，
∵∠BED=145°，∠BED=∠D+∠F，
∴145°=∠D+50°，
∴∠D=95°，
∴∠D的度数是95°．
【知识点】三角形外角的概念及性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应角的关系；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】（1）根据，可得，再由，可得，即可求证；
（2）根据题意可得，再由三角形外角的性质，即可求解．
21．【答案】（1）AC∥DE，理由如下：
∵FG∥CD，
∴∠1+∠ACD=180°，
又∵∠1+∠2=180°，
∴∠ACD=∠2，
∴AC∥DE．
（2）设∠A=x°，
∵AC∥DE，
∴∠A=∠EDB=x°，
∵∠CED=3∠A+20°，
∴∠CED=3x°+20°，
又∵∠B=80°，
∴x+80=3x+20，
解得x=30，
又∵DE平分∠BDC，
∴∠2=∠BDE=30°，
又∵AC∥DE，
∴∠ACD=∠2=30°．
【知识点】三角形外角的概念及性质；角平分线的概念；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【分析】（1）利用平行线得出同旁内角互补，然后根据内错角相等得出两直线平行即可；
（2）设，表示出相关角的度数，利用三角形的外角列出方程求解即可．
22．【答案】（1）证明：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）①证明：如图，过点作于点，∵平分，且，，∴，∵，，∴，∵，∴，∴；②OA-OB=2AC
【知识点】三角形全等的判定；角平分线的性质；角平分线的概念；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：（2）②∵，
∴，
∵，，
∴，
由①得，且，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：.
【分析】（1）根据角的和差得出，根据角平分线定义得出，证明，即可得出结论；
（2）①过点作于点，根据角平分线的性质和同角的补角相等，证明，即可得出结论；
②根据得出的相等线段，利用线段的和差即可表示出数量关系．
23．【答案】（1）
（2）解：如图，过作交延长线于，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴；
（3）6
【知识点】三角形的面积；全等三角形的实际应用；三角形全等的判定-AAS；同侧一线三垂直全等模型；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：（）∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
故答案为：；
（）如图，过作于，过作交延长线于，
∵面积为，且的长为，
∴，
∴，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴河流另一边森林公园的面积为，
故答案为：．
【分析】（）证明，得，，进而可以解决问题；
（）过作交延长线于，证明，得，进而可以求的面积；
（）过作于，过作交延长线于，根据面积为，且的长为，得，证明是等腰直角三角形，再根据，可得，，证明，可得，进而可以解决问题；【解答】（）
24．【答案】（1）解：∵∠DAE=∠BAC=90°，
∴∠BAE=∠DAC，
∵AD=AE，AC=AB，
∴△DAC≌△EAB（SAS），
∴∠ACD=∠ABE，
∵∠AED=45°，
∴∠BAE=∠AED-∠ABE=45°-∠ACD=45°-α；
（2）解：BC=BG，理由如下：
∵∠ACD=∠CBD，∠ACD=∠ABE，
∴∠CBD=∠ABE，
∵∠DFC=∠AFB，∠ACD=∠FBA，
∴∠FAB=∠CDF=90°，
∴∠CDB=∠GDB=90°，
∵DB=DB，
∴△CBD≌△GBD（ASA），
∴BC=BG；
（3）67.5°，∠DFC，∠DCB，∠DAG，∠AFE，∠FAE
【知识点】平行线的性质；三角形全等的判定；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：（3）∵BC=BG，∠CBD=∠GBD，
∴CD=GD，
∵∠GAC=90°，
∴CD=AD=GD，
∴∠G=∠DAG，∠ACD=∠DAC，
∵CH∥BG，
∴∠DCH=∠G=∠DAG，
∵∠DCH+∠DCF=90°，∠DCF+∠DFC=90°，
∴∠DCH=∠DFC，
又∵∠DFC=∠AFE，
∴∠DCH=∠AFE，
∵∠ACD=∠DAC，
∴∠FAE=∠DFC，
∴∠DCH=∠FAE．
故与∠DCH相等的角有∠DFC，∠DCB，∠DAG，∠AFE，∠FAE．
【分析】（1）证明△DAC≌△EAB（SAS），由全等三角形的性质可得出∠ACD=∠ABE，由三角形外角的性质可得出结论；
（2）证明△CBD≌△GBD（ASA），由全等三角形的性质可得出BC=BG；
（3）由平行线的性质及直角三角形的性质可得出结论．
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