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第2节　科学测量:电源的电动势和内阻
一、数据处理
1.公式法
依次记录的多组数据(一般6组)如表所示:
实验序号 1 2 3 4 5 6
I/A I1 I2 I3 I4 I5 I6
U/V U1 U2 U3 U4 U5 U6
分别将1、4组,2、5组,3、6组代入E=U+Ir,联立方程组解出E1、r1、E2、r2、E3、r3,求出它们的平均值作为测量结果。
E=,r=。
2.图像法
(1)根据多次测出的U、I值,作U-I图像。
(2)将图线两侧延长,纵轴截距的数值就是电源电动势E。
(3)横轴截距(路端电压U=0)的数值就是短路电流I短=。
(4)图线斜率的绝对值等于电源的内阻r,即r=||=,如图所示。
二、误差分析
1.偶然误差
主要来源于电压表和电流表的读数以及作U-I图像时描点不准确。
2.系统误差
由于电压表分流(IV),使电流表示数I小于电池的输出电流I真。I真=I+IV,IV=,U越大,IV越大,而当U=0时IV=0,此时I真=I,它们的关系可用下图表示。实测的图线为AB,经过修正后的图线为A′B,可看出AB的斜率绝对值和在纵轴上的截距都小于A′B,即实测的E和r都小于真实值。
三、注意事项
1.如果使用的是水果电池,它的内阻虽然比较大,但不够稳定,测量前要做好充分的准备,测量尽量迅速。
2.如果使用干电池,则选择内阻大些的、已使用过的旧电池。
3.在量程合适的前提下,选择内阻大一些的电压表。
4.每次读完U和I的数据后应立即断开电源。
5.在实验中不要将I调得过大,以免电池极化现象严重导致电动势下降甚至电池失效。
6.当电源的路端电压变化不很明显时,作图像时,纵轴单位可取得小一些,且纵轴起点可不从零开始。如图所示,此时纵轴截距仍为电源的电动势E,但横轴截距不再是短路电流,内阻要在直线上取较远的两点用r=||求出。
类型一　实验原理及操作过程
[例1] 某同学要测定电池的电动势E及内阻r,器材有待测电池(E约为6 V,r约为1.5 Ω)、量程为 0～3 V的理想电压表、量程为0～0.6 A的电流表(具有一定内阻)、定值电阻R(阻值为8.5 Ω)、滑动变阻器R′(阻值范围为0～10 Ω),开关S,导线若干。
(1)请画出实验电路原理图,图中各元件需用题目中给出的符号或字母标出。
(2)实验中,当电流表读数为I1时,电压表读数为U1;当电流表读数为I2时,电压表读数为U2。则可以求出E=　　　　,r=　　　　。(用I1、I2、U1、U2及R表示)
【答案】 (1)图见解析　(2)　-R
【解析】 (1)电路原理图如图所示。
(2)根据闭合电路欧姆定律得E=U1+I1(R+r),E=U2+I2(R+r),
解得E=,r=-R。
伏安法测电源电动势和内阻的基本思路
根据闭合电路欧姆定律E=U+Ir,改变外电路电阻R,用电流表和电压表测出I、U的两组数据,列出两个关于E、r的方程,从而解出E和r。
类型二　数据处理及误差分析
[例2] 在实验室内要测量一节干电池(电动势约为 1.5 V,内阻小于1 Ω)的电动势和内阻,实验室提供的用于实验的器材除了开关、导线外,还有:
电压表(0～3 V)
电流表(0～0.6 A)
滑动变阻器(0～20 Ω)
定值电阻R0(阻值2.0 Ω)
(1)实验采用的电路图如图甲所示,改变滑动变阻器,得到多组电流和对应的电压的数据。结果发现,当电流表示数逐渐增大到0.6 A的过程中,电压表示数变化范围很小。造成电压表示数变化不明显的原因是 　 。
(2)利用实验室提供的实验器材对图甲中的电路进行改进,可解决电压表示数变化范围比较小的问题,请在图乙虚线框内画出改进后的电路图。
(3)按照画出的电路图进行实验,重新测量得到7组U、I数据,在U-I图像中描点、画图,得到的U-I图像如图丙所示,由图像可得被测电池的电动势E=　　 　 V,电池内电阻r=　　　　 Ω。(结果均保留2位小数)
(4)由于实验存在误差,导致干电池的电动势和内电阻的测量值相对于真实值都有偏差,造成这种误差的原因是　　 　　。
A.电流表的分压作用 B.电流表的分流作用
C.电压表的分流作用 D.电压表的分压作用
【答案】 (1)电池内阻较小,导致电池内阻上的电势降落小　(2)图见解析　(3)1.55　0.58　(4)C
【解析】 (1)电压表的示数变化较小,而电流表的示数变化较大,根据闭合电路欧姆定律可知,电压表示数U=E-Ir=E-U内,可知造成电压表读数变化不明显的原因是电池内阻较小,导致电池内阻上的电势降落小。
(2)电源内阻小,可以在实验时,串联一个定值电阻R0充当电源的内阻,即可以解决测量时电压表示数变化小的问题,电路图如图所示。
(3)由U-I图像可得电池的电动势为纵轴截距,即E=1.55 V,U-I图像的斜率大小k=r+R0= Ω≈2.58 Ω,则电池内阻为r=2.58 Ω-2.0 Ω=0.58 Ω。
(4)由电路图可知,由于电压表的分流作用,导致流过电源的电流的测量值小于真实值,导致电动势和内电阻的测量值相对于真实值都有偏差,造成系统误差。
本实验的有关误差分析
(1)偶然误差:主要来源于电压表和电流表的读数以及作U-I图像时描点不准确。
(2)系统误差:主要原因是电压表的分流作用,使得电流表上读出的数值比流过电源的电流偏小一些。U越大,电流表的读数与流过电源的电流的偏差就越大,将测量结果与真实情况在U-I坐标系中表示出来,可以得到E测类型三　测电源电动势和内阻的其他方法
[例3] 为了测量一节干电池的电动势E和内阻r,除了一节干电池以外,实验室还提供了如下器材:
A.毫安表(量程0～600 mA、内阻为R0)
B.电阻箱R(最大阻值9 999.9 Ω)
C.开关一个、导线若干
(1)请你根据提供的器材,在虚线框中画出测量电路图。
(2)断开开关S,调整电阻箱的阻值,再闭合开关S,读取并记录电流表的示数I及电阻箱接入电路中的阻值R。多次重复上述操作,可得到多组电流值I及电阻箱的阻值R,并以为纵坐标,以R为横坐标,作出 -R 图像,如图所示。若直线的斜率为k,纵截距为b,由图像及题给条件可知,电源电动势的表达式E=　　 　　　　,电源内阻的表达式r=　　　　 　。(用字母表示)
(3)采用上述实验,测得的干电池的电动势和内阻与真实值相比,E测　　　E真,r测　　　r真。(均选填“>”“<”或“=”)
【答案】 (1)图见解析　(2)　-R0 (3)=　=
【解析】 (1)实验为“安阻法”测量电池电动势及内阻,电路设计如图所示。
(2)根据闭合电路欧姆定律,有E=I(R0+R+r),整理得 =R+,结合-R图像,有k=,=b,解得E=,r=-R0。
(3)由于实验中考虑了毫安表的内阻,其结果有E测=E真,r测=r真。
用电阻箱测电源电动势和内阻的两种方法
(1)用电流表和电阻箱测E、r(又叫安阻法)。如图甲所示,由E=IR+Ir可知,理论上如果能得到I、R的两组数据,就可以得到关于E和r的两个方程,于是能够从中解出E和r。
(2)用电压表和电阻箱测E、r(又叫伏阻法)。如图乙所示,由E=U+r可知,理论上如果能得到U、R的两组数据,同样能通过解方程组求出E和r。
课时作业
1.某同学用伏安法测一节干电池的电动势E和内阻r,所给的实验器材有:
A.电压表V:“0～3 V”“0～15 V”
B.电流表A:“0～0.6 A”“0～3 A”
C.滑动变阻器R:(20 Ω,1 A)　　
D.开关和导线若干
(1)实验中电压表应选用的量程为　　　　(选填“0～3 V”或“0～15 V”),电流表应选用的量程为　　　　(选填“0～0.6 A”或“0～3 A”)。
(2)根据实验要求在图甲虚线框中画出电路图,并补充连接实物电路图乙。
(3)测出几组电流、电压的数值,并画出图像如图丙所示,由图像知该电池的电动势
E=　 　 V,内阻r=　　 　 Ω。(结果均保留2位有效数字)
【答案】 (1)0～3 V　0～0.6 A (2)图见解析　图见解析　(3)1.5　2.5
【解析】 (1)由于一节干电池的电动势约为1.5 V,为了确保电压表的安全与精度,电压表量程选择0～3 V;干电池正常工作时电流一般不超过0.5 A,为了确保安全与测量精度,电流表量程选择0～0.6 A。
(2)干电池的内阻远小于电压表的内阻,而与电流表的内阻相差不大,因此实验中应减小电流表的影响,则电路图应采用电流表相对电源外接,如图a所示。
实物连线如图b所示。
(3)根据关系式U=E-Ir,可知电源的UI图像中纵轴截距表示电动势,斜率的绝对值表示内阻,则E=1.5 V,r= Ω=2.5 Ω。
2.某同学用伏安法测一节干电池的电动势和内阻,现备有下列器材:
A.待测干电池一节
B.电流表(量程0～0.6 A,内阻rA=0.2 Ω)
C.电流表(量程0～0.6 A,内阻约为0.1 Ω)
D.电压表(量程0～3 V,内阻未知)
E.电压表(量程0～15 V,内阻未知)
F.滑动变阻器(0～10 Ω,2 A)
G.滑动变阻器(0～100 Ω,1 A)
H.开关、导线若干
伏安法测电池电动势和内阻的实验中,由于电流表和电压表内阻的影响,测量结果存在系统误差。在现有器材的条件下,要尽可能准确地测量电池的电动势和内阻。
(1)在上述器材中,电压表应选择　　　 　,电流表应选择　　　 　,滑动变阻器应选择　　　　。(均填写仪器前的代号)
(2)实验电路图应选择　　　　(选填“甲”或“乙”)。
(3)根据实验中电流表和电压表的示数得到了如图丙所示的UI图像,干电池的内阻
r=　　　　 Ω。(结果保留2位有效数字)
【答案】 (1)D　B　F　(2)甲　(3)0.80
【解析】 (1)一节干电池电动势约为1.5 V,所以电压表应选择D。电流表B内阻已知,可以通过电流表相对电池的内接法来减小系统误差。滑动变阻器G最大阻值过大,不利于通过改变电阻使电压表和电流表示数发生明显变化,所以滑动变阻器应选F。
(2)根据前面分析可知电路图应选甲。
(3)当电流表相对电池内接时,UI图像斜率的绝对值表示电流表内阻与干电池内阻之和,即|k|=r+rA=1 Ω,解得r=0.80 Ω。
3.(2023·湖北卷,12)某实验小组为测量干电池的电动势和内阻,设计了如图甲所示电路,所用器材如下:
电压表(量程0～3 V,内阻很大);
电流表(量程0～0.6 A);
电阻箱(阻值0～999.9 Ω);
干电池一节、开关一个和导线若干。
(1)根据图甲,完成图乙中的实物图连线。
(2)调节电阻箱到最大阻值,闭合开关。逐次改变电阻箱的电阻,记录其阻值R、相应的电流表示数I和电压表示数U。根据记录数据作出的UI图像如图丙所示,则干电池的电动势为　　　 V(保留3位有效数字)、内阻为　　　　 Ω(保留2位有效数字)。
(3)该小组根据记录数据进一步探究,作出R图像如图丁所示。利用图丁中图像的纵轴截距,结合(2)问得到的电动势与内阻,还可以求出电流表内阻为　　 Ω(保留2位有效数字)。
(4)由于电压表内阻不是无穷大,本实验干电池内阻的测量值　　　(选填“偏大”或“偏小”)。
【答案】 (1)图见解析　(2)1.58　0.64　(3)2.5 (4)偏小
【解析】 (1)实物图连线如图所示。
(2)由电路结合闭合电路的欧姆定律可得U=E-Ir,由图像可知E=1.58 V,
内阻r= Ω=0.64 Ω。
(3)根据E=I(R+RA+r),可得=·R+,由图像可知=2 A-1,解得RA=2.5 Ω。
(4)由于电压表内阻不是无穷大,则实验测得的是电压表内阻与干电池内阻的并联值,即实验中测得的干电池内阻偏小。
4.某同学利用一个电流表和一个电阻箱测定电池的电动势和内阻,使用的器材还有开关
一个、导线若干,实验电路如图甲所示。
(1)在图乙的实物图中,已正确连接了部分电路,请完成其余电路的连接。
(2)调节电阻箱,示数如图丙所示,读得电阻值是　　　　 Ω。
(3)接通开关,多次改变电阻箱的阻值R,同时读出对应的电流表的示数I并记录,画出R关系图线,如图丁所示。则图线斜率的物理意义是　　　 　　　;若电流表内阻RA=0.2 Ω,由图线求得电池的电动势E=　　　　 V,内阻r=　　　　 Ω。
【答案】 (1)图见解析　(2) 2.3 (3)电池电动势　1.4　0.5
【解析】 (1)根据电路图可连接对应的实物图,如图所示。
(2)由题图丙所示电阻箱可知,其示数为R=2×1 Ω+3×0.1 Ω=2.3 Ω。
(3)根据闭合电路欧姆定律可知E=I(R+r+RA),整理得R=-r-RA,由此可知R图线斜率的物理意义是电池的电动势,即k=E=1.4 V,0.7 Ω=r+RA,即内阻为r=0.5 Ω。
5.如图甲所示为某兴趣小组测量电池组的电动势和内阻的实验原理图,已知电池组的电动势约3 V,内阻约2 Ω。现提供的器材如下:
A.电池组
B.电压表V1(量程0～10 V,内阻约10 kΩ)
C.电压表V2(量程0～3 V,内阻约3 kΩ)
D.电阻箱R(0～999.9 Ω)
E.定值电阻R1=2.0 Ω
F.定值电阻R2=100 Ω
G.开关和导线若干
(1)要尽可能精确测量电源的电动势和内阻,电压表V应选择　　　　　(选填“B”或“C”);定值电阻R0应选择　　　　　(选填“E”或“F”)。
(2)改变电阻箱的阻值R,记录对应电压表的读数U,作出的图像如图乙所示,图线与横、纵坐标轴的截距分别为-b、a,定值电阻的阻值用R0表示,则可得该电池组的电动势为　　,内阻为　　　　　。(用字母表示)
【答案】 (1)C　E　(2)　-R0
【解析】 (1)在选择电压表时应尽可能选择最大量程与电源电动势接近的电表,即电压表选C;该测量电路中定值电阻与电源串联,若定值电阻选择过大,则在调节电阻箱的过程中电压表的示数变化不明显,因此为了在调节电阻箱时增强调节的灵敏性,使电压表示数变化明显,则应选择阻值小且安全的定值电阻,经计算定值电阻R1满足要求,即定值电阻选E。
(2)根据闭合电路的欧姆定律有E=U+Ir,而I=,则E=(R+R0+r),整理可得=·+,结合图像可得=a,=,解得E=,r=-R0。(共29张PPT)
第2节　科学测量:电源的电动势和
内阻
探究·必备知识
归纳·科学思维
一、数据处理
1.公式法
依次记录的多组数据(一般6组)如表所示:
实验序号 1 2 3 4 5 6
I/A I1 I2 I3 I4 I5 I6
U/V U1 U2 U3 U4 U5 U6
2.图像法
(1)根据多次测出的U、I值,作U-I图像。
(2)将图线两侧延长,纵轴截距的数值就是电源电动势E。
二、误差分析
1.偶然误差
主要来源于电压表和电流表的读数以及作U-I图像时描点不准确。
2.系统误差
三、注意事项
1.如果使用的是水果电池,它的内阻虽然比较大,但不够稳定,测量前要做好充分的准备,测量尽量迅速。
2.如果使用干电池,则选择内阻大些的、已使用过的旧电池。
3.在量程合适的前提下,选择内阻大一些的电压表。
4.每次读完U和I的数据后应立即断开电源。
5.在实验中不要将I调得过大,以免电池极化现象严重导致电动势下降甚至电池失效。
突破·关键能力
类型一　实验原理及操作过程
(1)请画出实验电路原理图,图中各元件需用题目中给出的符号或字母标出。
【答案及解析】 (1)电路原理图如图所示。
(2)实验中,当电流表读数为I1时,电压表读数为U1;当电流表读数为I2时,电压表
读数为U2。则可以求出E=　　　 ,r=　 　　。(用I1、I2、U1、U2及R表示)
伏安法测电源电动势和内阻的基本思路
根据闭合电路欧姆定律E=U+Ir,改变外电路电阻R,用电流表和电压表测出I、U的两组数据,列出两个关于E、r的方程,从而解出E和r。
·名师点拨·
类型二　数据处理及误差分析
[例2] 在实验室内要测量一节干电池(电动势约为 1.5 V,内阻小于1 Ω)的电动势和内阻,实验室提供的用于实验的器材除了开关、导线外,还有:
电压表(0～3 V)
电流表(0～0.6 A)
滑动变阻器(0～20 Ω)
定值电阻R0(阻值2.0 Ω)
(1)实验采用的电路图如图甲所示,改变滑动变阻器,得到多组电流和对应的电压的数据。结果发现,当电流表示数逐渐增大到0.6 A的过程中,电压表示数变化范围很小。造成电压表示数变化不明显的原因是
　。
电池内阻较小,
导致电池内阻上的电势降落小
【解析】 (1)电压表的示数变化较小,而电流表的示数变化较大,根据闭合电路欧姆定律可知,电压表示数U=E-Ir=E-U内,可知造成电压表读数变化不明显的原因是电池内阻较小,导致电池内阻上的电势降落小。
(2)利用实验室提供的实验器材对图甲中的电路进行改进,可解决电压表示数变化范围比较小的问题,请在图乙虚线框内画出改进后的电路图。
【答案及解析】 (2)电源内阻小,可以在实验时,串联一个定值电阻R0充当电源的内阻,即可以解决测量时电压表示数变化小的问题,电路图如图所示。
(3)按照画出的电路图进行实验,重新测量得到7组U、I数据,在U-I图像中描点、画图,得到的U-I图像如图丙所示,由图像可得被测电池的电动势
E=　　 　 V,电池内电阻r=　　　　 Ω。(结果均保留2位小数)
1.55
0.58
(4)由于实验存在误差,导致干电池的电动势和内电阻的测量值相对于真实值都有偏差,造成这种误差的原因是　　　　。
A.电流表的分压作用 B.电流表的分流作用
C.电压表的分流作用 D.电压表的分压作用
C
【解析】 (4)由电路图可知,由于电压表的分流作用,导致流过电源的电流的测量值小于真实值,导致电动势和内电阻的测量值相对于真实值都有偏差,造成系统误差。
·名师点拨·
本实验的有关误差分析
(1)偶然误差:主要来源于电压表和电流表的读数以及作U-I图像时描点不准确。
(2)系统误差:主要原因是电压表的分流作用,使得电流表上读出的数值比流过电源的电流偏小一些。U越大,电流表的读数与流过电源的电流的偏差就越大,将测量结果与真实情况在U-I坐标系中表示出来,可以得到E测r测类型三　测电源电动势和内阻的其他方法
[例3] 为了测量一节干电池的电动势E和内阻r,除了一节干电池以外,实验室还提供了如下器材:
A.毫安表(量程0～600 mA、内阻为R0)
B.电阻箱R(最大阻值9 999.9 Ω)
C.开关一个、导线若干
(1)请你根据提供的器材,在虚线框中画出测量电路图。
【答案及解析】 (1)实验为“安阻法”测量电池电动势及内阻,电路设计如图所示。
(3)采用上述实验,测得的干电池的电动势和内阻与真实值相比,E测　　E真,
r测　　　r真。(均选填“>”“<”或“=”)
=
【解析】 (3)由于实验中考虑了毫安表的内阻,其结果有E测=E真,r测=r真。
=
用电阻箱测电源电动势和内阻的两种方法
(1)用电流表和电阻箱测E、r(又叫安阻法)。如图甲所示,由E=IR+Ir可知,理论上如果能得到I、R的两组数据,就可以得到关于E和r的两个方程,于是能够从中解出E和r。
·名师点拨·
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