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玉溪一中2025--2026学年下学期高二年级期中考
数学学科试卷
总分：150分，考试时间：120分钟 命题人：
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确选项填涂在答题卡相应的位置上.
1. 等比数列的公比为，则
A. B. C. D.
2. 已知向量，，若，则
A.2 B. C.3 D.
在中，已知为60°，则BC的长度为
A. B. C.12 D.28
4. 一个圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，轴截面的面积为9，则该圆台的体积为
A. B.2π C.7π D.
5. 已知，则
A． B．
C． D．
6.如图，是抛物线上一点，是抛物线的焦点，，则
A.8 B.4 C. D.
规定工厂产生的废气必须过滤后才能排放，已知在过滤过程中，废气中的污染物P(单位:mg/L)与过滤时间t(单位:h)之间的函数关系式为P(t)=P0e-kt(e为自然对数的底数，P0为污染物的初始含量)，过滤2 h后检测，发现污染物的含量为原来的，要使污染物的含量不超过初始值的，则至少需要过滤(参考数据:lg 2≈0.3)
A.10 h B.20 h C.30 h D.40 h
8.设若函数，则
A. -2 B. -1 C. 0 D. 1
二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知圆：和圆：，则下列说法正确的是
A．若，则圆和圆相离
B．若，则圆和圆的公共弦所在直线的方程是
C．若圆和圆内切，则
D．若圆和圆外切，则
10. 已知函数，则下列说法正确的是
A．的周期为
B．的图象关于直线对称
C．在区间上单调递减
D．是的一个对称中心
1688年，笛卡尔根据塔索研究的一簇花瓣与叶形曲线特征，提出了笛卡尔叶形线方程，则下列选项中正确的是
A．笛卡尔叶形线与坐标轴只有一个交点
B．笛卡尔叶形线关于直线对称
C．当时，若点是笛卡尔叶形线上第一象限内的点，则的最大值为
D．当时，若点是笛卡尔叶形线上第一象限内的点，则的最大值为4
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 在三棱柱中，，，，则异面直线所成角的余弦值为________.
13. 函数的最小值为________.
14. 笼子里有6只蝴蝶，每次打开笼子随机地飞出一只蝴蝶，再把飞出的蝴蝶放回笼子，重复3次，记至少飞出一次的蝴蝶的只数为X，则数学期望 .
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（本小题13分）已知数列的前n项和为．
(1)求数列的通项公式；
(2)记，若，求；
16.（本小题15分）海水稻的灌溉是将海水稀释后进行灌溉.某试验基地为了研究海水浓度x(‰)对亩产量y(吨)的影响，通过在试验田的种植实验，测得了某种海水稻的亩产量与海水浓度的数据如表.绘制散点图发现，可用线性回归模型拟合亩产量y与海水浓度x之间的相关关系，用最小二乘法计算得y与x之间的经验回归方程为.
海水浓度（‰） 3 4 5 6 7
亩产量 (吨) 0.62 0.58 0.49 0.4 0.31
残差
(1)请你估计：当浇灌海水浓度为8‰时，该品种海水稻的亩产量；
(2)（i）完成上述残差表；
（ii）在统计学中，常用决定系数来刻画回归效果，越大，模型拟合效果越好，并用它来说明响应变量与解释变量的相关性.你能否利用以上表格中的数据，计算决定系数，并判断模型的拟合效果.(计算中数据精确到0.01)
（参考公式：残差，决定系数
参考数据：）
17.（本小题15分）在正三棱锥中，平面，垂足为点，过作平面与棱，，，交于点D，E，F，G.
(1)求证：E，O，F三点共线；
(2)若四边形为平行四边形，求的值.
18.（本小题17分）已知函数．
(1)求证：；
(2)若函数无零点，求实数a的取值范围．
19.（本小题17分）已知椭圆的离心率为，短轴长为2．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若动点为椭圆外一点，过P作椭圆C的切线，切点分别为M，N，直线OP与椭圆交于A，B两点（点A在PO延长线上）．
（ⅰ）求直线MN的方程；
（ⅱ）的面积是否存在最大值，若存在，求出此时动点P的轨迹，若不存在，请说明理由．2027届高二数学期中考试参考答案
单选题
1 2 3 4 5 6 7 8
B D A C A D B C
8、解：由题意可知：的定义域为，
令解得；令解得；
则当时，，故，所以；
时，，故，所以；
故， 所以.
多选题
9 10 11
BC ABC ABD
11、解：对于A，在中，令，得，令，得，
所以笛卡尔叶形线与坐标轴只有一个交点，故A正确；
对于B，在中，将点代入可得，
显然方程不变，所以笛卡尔叶形线关于直线对称，故B正确；
对于C，当时，方程，
由B可知，笛卡尔叶形线关于直线对称，
将代入曲线可得，解得，即，
此时点是笛卡尔叶形线上第一象限内的点，，故C错误；
对于D，当时，方程，
由基本不等式可得，
当且仅当时等号成立，
所以，解得，此时，
经检验，点在曲线上，所以的最大值为4，故D正确.
三、填空题
12． 13. 3 14.
14．解：依题意，的可能取值为1、2、3，总的选取可能数为，
其中：三次飞出同一只蝴蝶，选择蝴蝶的情况有5种，
故，
：恰好两只不同蝴蝶飞出（即一只飞出两次，另一只飞出一次），
选取飞出两次的蝴蝶有6种方式，选取飞出一次的蝴蝶有5种方式，
其中选取飞出一次的蝴蝶的位置有3种可能，故事件的可能情况有种，
故，
：三只不同蝴蝶飞出，
由排列数可知事件的可能情况有种，
故，
所以
故答案为：.
四、解答题
15.（1）数列中，，
当时，，
而满足上式，
所以数列的通项公式是.
由（1）得，
，
而，
因此，
当为偶数时，；
当为奇数时，.
16、（1）根据题中数据可知，
，
将样本中心点的坐标代入经验回归方程得，
解得，
所以经验回归方程为.
当时，，
即当浇灌海水浓度为8‰时，该品种海水稻的亩产量为吨.
（i）由经验回归方程可得
，；
，；
，；
，；
，.
所以残差表如下：
海水浓度（‰） 3 4 5 6 7
亩产量 (吨) 0.62 0.58 0.49 0.4 0.31
残差
由上数据可知，
又，
所以决定系数，
与1比较接近，故拟合效果较好.
17.
因为平面，平面，
所以平面.
同理平面，
所以平面平面.
又因为平面，平面，
所以.
即E，O，F三点共线.
（2）若四边形为平行四边形，则.
又平面，平面，
所以平面.
又平面，平面平面，
所以.
在正三棱锥中，平面，
则为正三角形的中心，即为重心.
连接并延长交于点Q，则.
由（1）可知，.又，则.
所以.
18.
（1）依题意知，函数的定义域为， ，
令，则，解得；
令，则，解得或；
所以函数在上单调递增，在上单调递减.
当时，取得最大值为，
所以.
（2）依题意得，
，
当时，
，在定义域上无零点；满足题意.
当时，
，所以，令，得；令，得；
所以在上单调递增，在上单调递减. 当时，取得最大值为，因为无零点,所以，解得；
当时，
因为，所以，即，
所以在定义域上无零点；满足题意.
综上所述，实数a的取值范围
19.
（1）由椭圆的离心率为，短轴长为2，得，，
解得，所以椭圆C的方程为.
（2）（ⅰ）设点，
当时，设以点为切点的椭圆的切线方程为，
由
消去得，，
，
，
则，切线方程为，
又，整理得，
当时，切线方程为，满足上式，
因此以点为切点的椭圆的切线方程为，
同理以点为切点的椭圆的切线方程为，
而点在上述两条切线上，即，，
于是点的坐标是方程的两个解，
所以直线的方程为.
（ⅱ）由消去得，
，
当时，，
，
当时，
满足上式，
显然关于原点对称，则，即，
则，解得，
点到直线的距离，
当时，
，
当时，
满足上式，
因此，
的面积
，
令函数，
求导得，
当时，；
当时，，
函数在上递增，在上递减，
，
则当时，，，
所以的面积存在最大值，
此时动点P的轨迹为.
答案第1页，共3页
答案第1页，共3页

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