资源简介

浙江省金华市第四中学2025-2026学年八年级下学期数学期中阶段测试
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．中国经典纹样，千古流传，深受人们喜爱.下列纹样示意图中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．下列计算中正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．一个多边形的内角和是外角和的3倍，这个多边形的边数为（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
4．利用反证法证明命题“在△ABC中，若AB=AC，则∠B<90°”时，应假设（　　）
A．∠B≥90° B．∠B>90° C．∠B<90° D．∠B≤90°
5．已知一班和二班人数相等，在一次考试中两班成绩（分）的箱线图如图所示，则下列说法正确的是（　　）
A．一班成绩比二班成绩集中
B．一班成绩的下四分位数是80分
C．一班有同学的成绩超过140分
D．一班的平均分高于二班的平均分
6．如图，在锐角三角形ABC中，AC>AB>CB，AD是BC边上的中线，以点D为圆心，DA长为半径在BC的右侧作弧，延长AD交此弧于点E，连结BE，CE.四边形ABEC是平行四边形的依据是（　　）
A．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
C．两组对边分别平行的四边形是平行四边形
D．对角线互相平分的四边形是平行四边形
7． 如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为 570m2. 设道路的宽为 xm，则下面所列方程正确的是 （　　)
A．（32-x) （20-x) =32×20-570
B．32x+2×20x=32×20-570
C．（32-2x) （20-x) =570
D．
8．若关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是（　　）
A． B．且m≠1 C．且m≠1 D．且m≠1
9．如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，各小正方形的顶点称为格点，点A，B，C，P都在格点上，且点P在△ABC的外部，△PAB，△PBC，△PAC的面积都相等，则满足条件的点P的个数为（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
10．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，BC=5，点P为BC边上任意一点，连接PA，将PA沿BC方向平移至CQ，连接AQ、PQ，则当PQ取得最小值时，BP的长为（　　）
A． B． C． D．2
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．若是二次根式，则的取值范围是　 　．
12．若点与点关于坐标原点对称，则的值为　 　．
13．若x=m是方程的一个根，则2m2+4m-3=　 　.
14．样本数据5，9，1，3，7，6，10的m75是　 　.
15．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=13，AC=5，点D是AB上一动点，作DE∥AC，且DE=2，连接BE、CD，P、Q分别是BE、DC的中点，连接PQ，则PQ长为　 　.
16．如图，在 ABCD中，AB=6，BC=4，∠ABC=60°，点E是AB上的一点，点F是边CD上一点，将平行四边形ABCD沿EF折叠，使得点A与点C重合，得到四边形EFGC，点D的对应点为点G，则FG的长度为　 　.
三、解答题（本大题有8小题，共72分）
17．计算：
（1）；
（2）
18．解下列方程：
（1）
（2）
19．各顶点都在方格纸格点（横竖格子线的交错点）上的四边形称为格点四边形.在6×6的正方形方格纸中，点A，B，O均为格点（如图所示），按下列要求画格点四边形.
（1）请在图1中画一个平行四边形ABCD，使点O在它的一边上，且不与顶点重合.
（2）请在图2中画一个平行四边形ABCD，使点O在它的对角线上.
20．某学校从九年级同学中任意选取40人，随机分成甲、乙两个小组（每组20人）进行“引体向上”体能测试，根据测试成绩绘制出下面的统计表和统计图.乙组成绩统计图
甲组成绩统计表
成绩 7 8 9 10
人数 1 9 5 5
请根据上面的信息，解答下列问题：
（1）甲组成绩的中位数是　 　，乙组成绩的众数是　 　；
（2）请求出乙组成绩的平均数；
（3）已知甲组成绩的方差为，请求乙组成绩的方差，并判断哪个小组的成绩更加稳定.
21．如图，在 ABCD中，点E是BC边的中点，连接AE并延长，与DC的延长线交于F.
（1）求证：四边形ABFC是平行四边形；
（2）若AF平分∠BAD，∠D=60°，AD=8，求 ABCD的周长.
22． 某商城在“双11”期间举行促销活动，一种热销商品进货价为每个 12元，标价为每个20元.
（1）商城举行了“感恩老用户”活动，对于老客户，商城对甲商品连续进行两次降价，每次降价的百分率相同，最后以每个 16.2元售出，求每次降价的百分率；
（2）市场调研表明：当甲商品每个标价20元时，平均每天能售出40个，当每个售价每降1元时，平均每天就能多售出10个.
①在保证甲每个商品的售价不低于进价的前提下，若商城要想销售甲商品每天的销售额为1190元，则每个应降价多少元
②若要使甲商品每天的销售利润最大，每个应该降价多少元 此时最大利润为多少元
23．定义：已知x1，x2是关于x的一元二次方程的两个实数根，若x1<0，且则称这个方程为“限根方程”.如：一元二次方程的两根为x1=-10，x2=-3，因为，所以一元二次方程为“限根方程”.
请阅读以上材料，回答下列问题：
（1）判断一元二次方程是否为“限根方程”，并说明理由；
（2）若关于x的一元二次方程是“限根方程”，且两根x1、x2满足x1+x2+x1x2=-1，求k的值；
（3）若关于x的一元二次方程是“限根方程”，求m的取值范围.
24．在平行四边形ABCD中，点E在平行四边形ABCD内，连接EC，ED，EB，△ECD是等腰直角三角形，∠ECD=90°，其中EB=EC.
（1）如图①求∠DAE的度数；
（2）如图②，在BC上取点F使得AB=AF，求证：；
（3）如图③，在2问的条件下，若B、E、D在同一直线上，当时，求平行四边形ABCD的面积.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A中图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，则A不符合题意；
B中图形不是轴对称图形，是中心对称图形，则B不符合题意；
C中图形不是轴对称图形，是中心对称图形，则C不符合题意；
D中图形是轴对称图形，也是中心对称图形，则D符合题意；
故答案为：D.
【分析】一个平画内，如果一个图形沿一条直线折叠，若直线两旁的图形能够完全重合，那么这个图形即为轴对称图形；一个平面内，如果一个图形绕某个点旋转 若旋转后的图形与原来的图形完全重合，那么这个图形即为中心对称图形；据此进行判断即可.
2．【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的加减法；二次根式的除法
【解析】【解答】解： 原计算错误，不符合题意；
原计算错误，不符合题意；
正确，符合题意；
与 不是同类二次根式，不能合并，原计算错误，不符合题意.
故选： C.
【分析】根据二次根式除法、加法、减法法则，二次根式的化简进行计算即可.
3．【答案】D
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设这个多边形的变数为x，
由题意得：，
解得：x=8.
故答案为：D.
【分析】设这个多边形的变数为x，根据多边形的外角和为360°，根据内角和公式可得其内角和为(x-2)×180°，进而根据“ 多边形的内角和是外角和的3倍 ”列方程，计算求解即可.
4．【答案】A
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：用反证法证明命题“在 中，若AB=AC，则 时，应假设若AB=AC，则
故答案为：A.
【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，据此进行解答.
5．【答案】B
【知识点】平均数及其计算；箱线图；四分位数
【解析】【解答】解：A.观察箱线图知：二班成绩的箱线图宽度较窄，则二班成绩比一班成绩集中，故错误；
B.观察箱线图知：一班成绩的下四分位数是80分，故正确；
C.观察箱线图知：一班没有同学的成绩超过140分，故错误；
D.观察箱线图知：一班的平均分低于二班的平均分，故错误；
故答案为：B.
【分析】根据箱线图的相关概念，对每一个所涉及到的统计量进行分析判断即可.
6．【答案】D
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：∵AD是BC边上的中线，
由作图知AD=DE，
∴四边形ABEC是平行四边形，
∴四边形ABEC是平行四边形的依据是对角线互相平分的四边形是平行四边形，
故答案为：D.
【分析】由作图过程可知，BE=AC，CE=AB， 结合平行四边形的判定可得答案.
7．【答案】C
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：道路的宽为，
种植草坪的部分可合成长为，宽为的矩形，
根据题意得，．
故答案为：C.
【分析】设道路的宽为，根据“草坪的面积为”列一元二次方程解答即可．
8．【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程( 有实数根，
且m-1≠0，即 且m≠1，
解得 且m≠1，
故选： C.
【分析】由方程根的情况可得且m-1≠0，求出m的取值范围即可.
9．【答案】B
【知识点】三角形的面积；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：如图所示，
由网格可得，
∴四边形ABCP是平行四边形，
的面积等于 的面积，
同理可得，四边形 是平行四边形，
的面积等于 的面积，
的面积都相等，
∴满足条件的点P的个数为3个，
故答案为：C.
【分析】根据网格的特点得到 证明出四边形 是平行四边形，得到 的面积等于△ 的面积，同理得到C的面积都相等，进而求解即可.
10．【答案】A
【知识点】三角形的面积；勾股定理；平行四边形的性质；等积变换
【解析】【解答】解：在 中，
由勾股定理得：
∵将PA沿BC方向平移至CQ，
∴四边形APCQ是平行四边形，
∵PQ最短也就是PO最短，
∴过O作BC的垂线OP，连接BO，
，即
在直角三角形AOB中，由勾股定理得：OB=
在直角三角形BOP中，由勾股定理得：BP=
故答案为：A.
【分析】根据平行四边形的性质，得知OP最短即为PQ最短，利用垂线段最短得到点P的位置，再根据 得到OP的长度；继而由勾股定理求得OP，BP的长度.
11．【答案】
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵x+3≥0，
∴x≥-3，
故答案为：x≥-3.
【分析】二次根式有意义的条件：被开方数非负，列不等式解不等式即可.
12．【答案】2
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：由题意可知，a-1=-1，解得a=2，
故答案为：2.
【分析】本题主要考察原点对称的点的坐标特征，关于原点对称的点的坐标规律是： 若两点关于原点对称，则横、纵坐标都互为相反数 ，在本题中，利用该规律建立等式求解a的值.
13．【答案】-1
【知识点】求代数式的值-整体代入求值；已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解： 是方程 的一个根，
故答案为：B.
【分析】先根据一元二次方程根的定义得到 再把 变形为 然后利用整体代入的方法计算.
14．【答案】9
【知识点】百分位数
【解析】【解答】解：由题知，将所给各数从小到大排序得：1，3，5，6，7，9，10，
则i=7×0.75=5.25，
所以取这列数的第6个数，即为9，
所以样本数据5， 9， 1， 3， 7， 6， 10的是9.
故答案为：9.
【分析】根据百分位数的求解方法进行计算即可.
15．【答案】
【知识点】勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】在 中， ，
由勾股定理得
取BD的中点F，连接PF，QF，如图，
∵P，Q分别是BE，DC的中点，
∴PF 是 的中位线，FQ是 的中位线，
在 中，由勾股定理得
故答案为
【分析】根据勾股定理求出BC长，取BD的中点F，连接PF，QF，即可得到PF 是 的中位线，FQ是 的中位线，即可得到PF⊥FQ，然后根据勾股定理求出PQ长解答即可.
16．【答案】
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；菱形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：连接AC交EF于点O，连接FA，过点E作EH⊥BC于点H，如图所示：
∴△EHB和△EHC都是直角三角形，
∵四边形ABCD是平行四边形，且AB=6，
∴CD=AB=6， AB∥CD，
∴∠OAE=∠OCF，
由折叠性质得：EF是线段AC的垂直平分线，FG=FD，
∴EA=FA， EC=FC， OA=OC， ∠AOE=∠COF=90°，
在△AOE和△COF中，
∴△AOE≌△COF(ASA)，
∴EA=FC，
∴EA=FA=EC=FC，
∴四边形AECF是菱形，
在Rt△EHB中， ∠ABC=60°，
∴∠BEH=90°-∠ABC=30°，
设BH=a，则BE=2BH=2a，
由勾股定理得：
∵AE=AB-BE=6-2a，
∴CE=CF=AE=6-2a，
∴FG=FD=CD-CF=6-(6-2a)=2a，
在 中，由勾股定理得：
解得：
即FG的长度为
故答案为：
【分析】连接AC交EF于点O，连接FA，过点E作 于点H，由平行四边形性质得由折叠性质得EF是线段AC的垂直平分线，FG=FD，由此得 证明 和 全等得EA=FC，由此得四边形AECF是菱形，在 中，根据 设BH=a，则BE=2BH=2a，EH= 进而得CE=CF=AE=6-2a，则FG=FD=2a，CH=4-a，在 中，由勾股定理求出 继而可得FG的长.
17．【答案】（1）解：
（2）解：
.
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】(1)先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可；
(2)先根据二次根式的乘法和除法法则运算，然后化简二次根式后进行有理数的减法运算.
18．【答案】（1）解：
x(x-6)=0，
或x-6=0，
（2）解：
(x-2)(x-3)=0，
或x-3=0，
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】(1)先移项，利用因式分解法解方程即可；
(2)利用因式分解法求解即可.
19．【答案】（1）解：如图1中，四边形ABCD即为所求；
（2）解：如图2中，四边形ABCD即为所求.

【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的面积
【解析】【分析】(1)根据平行四边形的定义以及题目要求画出四边形ABCD即可；
(2)根据平行四边形的定义以及题目要求画出四边形ABCD即可.
20．【答案】（1）8.5；8
（2）乙组成绩的平均数为（分）
（3）乙组的方差是：
∴乙组的成绩更加稳定.
【知识点】统计表；条形统计图；平均数及其计算；方差；分析数据的波动程度
【解析】【解答】(1)把甲组成绩从小到大排列，中位数是第 10，11个数的平均数，则中位数是
乙组成绩中8出现的次数最多，则乙组成绩的众数是8.
故答案为8.5，8.
【分析】（1）根据中位数和众数的定义解答即可；
（2）根据加权平均数的计算公式计算即可；
（3）根据方差公式求出乙组的方差，然后比较方差，根据方差小的数据稳定解答即可.
21．【答案】（1）证明：∵点E是BC边的中点，
∴BE=CE，
∵四边形ABCD是平行四边形，AE的延长线与DC的延长线交于F，
∴AB∥FC，
∴∠BAE=∠CFE，
在△AEB和△FEC中，
∴△AEB≌△FEC（AAS），
∴AB=FC，
∴四边形ABFC是平行四边形.
（2）解：∵四边形ABFC和四边形ABCD都是平行四边形，
∴FC=AB=DC，
∵AF平分∠BAD，
∴∠BAF=∠DAF，
∵∠BAF=∠DFA，
∴∠DAF=∠DFA，
∴FD=AD=8，
∴AB+BC+DC+AD=4+8+4+8=24，
∴ ABCD的周长为24.
【知识点】等腰三角形的判定；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS；角平分线的概念；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】(1)根据中点可得BE=CE，由平行四边形的性质可得∠BAE=∠CFE，即可得到∠AEB=∠FEC，根据“AAS”得到△AEB≌△FEC，即可得到AB=FC，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明结论即可.
(2)由平行四边形的性质可得FC=AB=DC，根据∠BAF=∠DAF， ∠BAF=∠DFA得到∠DAF=∠DFA，即可得到FD=AD=8，所以 求出平行四边形ABCD的周长即可.
22．【答案】（1）解：设每次降价的百分率是，
根据题意得：，
解得或（不符合题意，舍去），
每次降价的百分率是；
（2）解：设每个应降价x元，
①根据题意得：，
解得或，
售价不低于进价，
舍去，
，
每个应降价3元；
②设甲商品每天的销售利润为W元，
根据题意得
，当时，W取最大值，最大值为360，
每个应该降价2元，此时最大利润为360元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设每次降价的百分率为，根据“ 商品 标价为每个20元 ，商城对甲商品连续进行两次降价，每次降价的百分率相同，最后以每个 16.2元售出 ”列一元二次方程，解出m%的值并检验解答即可；
（2）①设每个应降价x元，根据“销售总额销售单价销售数量”列关于x的一元二次方程，求出x的值检验解答即可；
②设每个应降价x元，利润为W元，根据“销售总额销售单价销售数量”列函数关系式，配方后根据完全平方式的非负性解答即可．
23．【答案】（1）解：（1）此方程为“限根方程”，理由如下：
（x+2）（x+7）=0，
解得x1=-7，x2=-2，
∴此方程为“限根方程”
（2）由根与系数的关系，得
∴k=2或-1；
①当k=2时，
∴k=2符合题意；
②当k=-1时，x1=-2，x2=-1，
∴k=-1（不合题意，舍去）.
∴k的值为2
（3）解此方程得：x=-1或m，
∵此方程为“限根方程”，
∴△>0，且m<0，即
∴m<0且m≠-1；
①当-1<0时，x1=-1，x2=m，
②当m<-1时，x1=m，x2=-1，
∴-4综上所述，m的取值范围为或-4【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】(1)解得方程后即可利用“限根方程”的定义进行判断；
(2)由根与系数的关系，得 根据 可得k=2或-1，再分两种情况讨论即可求解；
(3)解此方程得：x=-1或m，分两种情况：①当-124．【答案】（1）解：设∠ECB=x°；
∵EB=EC，
∴∠EBC=∠ECB=x°，
∵△ECD为等腰直角三角形，
∴∠ECD=90°，∠CED=∠CDE=45°，
即
∵四边形ABCD是平行四边形，
∵AB=EB，
∴∠DAE=∠BAD-∠BAE=45°.
（2）证明：如图，在AD上截取DG=BF，连接EG，CG；
∵AD=BC，
∴AD-DG=BC-BF，即AG=CF.
∵AD∥BC，
∴四边形AFCG是平行四边形，
∴AF∥CG，AF=CG，
∴∠GCB=∠AFB，
∵AB=AF，
∴AB=GC，∠ABC=∠AFB，
∴∠GCB=∠ABC，
∵BE=CE，
∴∠EBC=∠ECB，
∴∠ABE=∠GCE，
∴△ABE≌△GCE.
∴AE=EG，
∴∠GAE=∠AGE=45°，
∴△AEG是等腰直角三角形，
（3）解：过点E作PQ⊥AD于P，交BC于Q.
∵∠CED=45°，
∴∠BEC=135°，
∴∠EBC=∠ECB=22.5°，
∴∠ABF=∠AFB=67.5°，
即∠BAF=45°，
∵∠ABF=∠ADC，∠CBD=∠ADB，
∴∠ABK=∠EDC=45°，
即∠AKB=90°.
设AK=BK=x，
∵AE=1，
在中，
解得
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质；几何图形的面积计算-割补法；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）设 即可得到 根据平行四边形的性质得到即可得到 再根据等边对等角和三角形的内角和得到 即可求出∠BAD的度数，利用角的和差解答即可；
(2)在AD上截取DG=BF， 连接EG、CG；可得四边形AFCG是平行四边形，进而得到 根据等边对等角得到 即可得到 根据SAS可证 得到AE=EG， 则 △AEG是等腰直角三角形， 证明结论即可；
(3)得到∠EBC=∠ECB=22.5°， 即可得到∠ABF=∠AFB=67.5°，由于∠ABF=∠ADC，∠CBD=∠ADB， 可得∠ABK=∠EDC=45°， 即∠AKB=90°. 设AK=BK=x， 得到 已知AE=1， 在Rt△AKE中根据勾股定理 可得 根据 解答即可.
1 / 1浙江省金华市第四中学2025-2026学年八年级下学期数学期中阶段测试
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．中国经典纹样，千古流传，深受人们喜爱.下列纹样示意图中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A中图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，则A不符合题意；
B中图形不是轴对称图形，是中心对称图形，则B不符合题意；
C中图形不是轴对称图形，是中心对称图形，则C不符合题意；
D中图形是轴对称图形，也是中心对称图形，则D符合题意；
故答案为：D.
【分析】一个平画内，如果一个图形沿一条直线折叠，若直线两旁的图形能够完全重合，那么这个图形即为轴对称图形；一个平面内，如果一个图形绕某个点旋转 若旋转后的图形与原来的图形完全重合，那么这个图形即为中心对称图形；据此进行判断即可.
2．下列计算中正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的加减法；二次根式的除法
【解析】【解答】解： 原计算错误，不符合题意；
原计算错误，不符合题意；
正确，符合题意；
与 不是同类二次根式，不能合并，原计算错误，不符合题意.
故选： C.
【分析】根据二次根式除法、加法、减法法则，二次根式的化简进行计算即可.
3．一个多边形的内角和是外角和的3倍，这个多边形的边数为（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】D
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设这个多边形的变数为x，
由题意得：，
解得：x=8.
故答案为：D.
【分析】设这个多边形的变数为x，根据多边形的外角和为360°，根据内角和公式可得其内角和为(x-2)×180°，进而根据“ 多边形的内角和是外角和的3倍 ”列方程，计算求解即可.
4．利用反证法证明命题“在△ABC中，若AB=AC，则∠B<90°”时，应假设（　　）
A．∠B≥90° B．∠B>90° C．∠B<90° D．∠B≤90°
【答案】A
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：用反证法证明命题“在 中，若AB=AC，则 时，应假设若AB=AC，则
故答案为：A.
【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，据此进行解答.
5．已知一班和二班人数相等，在一次考试中两班成绩（分）的箱线图如图所示，则下列说法正确的是（　　）
A．一班成绩比二班成绩集中
B．一班成绩的下四分位数是80分
C．一班有同学的成绩超过140分
D．一班的平均分高于二班的平均分
【答案】B
【知识点】平均数及其计算；箱线图；四分位数
【解析】【解答】解：A.观察箱线图知：二班成绩的箱线图宽度较窄，则二班成绩比一班成绩集中，故错误；
B.观察箱线图知：一班成绩的下四分位数是80分，故正确；
C.观察箱线图知：一班没有同学的成绩超过140分，故错误；
D.观察箱线图知：一班的平均分低于二班的平均分，故错误；
故答案为：B.
【分析】根据箱线图的相关概念，对每一个所涉及到的统计量进行分析判断即可.
6．如图，在锐角三角形ABC中，AC>AB>CB，AD是BC边上的中线，以点D为圆心，DA长为半径在BC的右侧作弧，延长AD交此弧于点E，连结BE，CE.四边形ABEC是平行四边形的依据是（　　）
A．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
C．两组对边分别平行的四边形是平行四边形
D．对角线互相平分的四边形是平行四边形
【答案】D
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：∵AD是BC边上的中线，
由作图知AD=DE，
∴四边形ABEC是平行四边形，
∴四边形ABEC是平行四边形的依据是对角线互相平分的四边形是平行四边形，
故答案为：D.
【分析】由作图过程可知，BE=AC，CE=AB， 结合平行四边形的判定可得答案.
7． 如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为 570m2. 设道路的宽为 xm，则下面所列方程正确的是 （　　)
A．（32-x) （20-x) =32×20-570
B．32x+2×20x=32×20-570
C．（32-2x) （20-x) =570
D．
【答案】C
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：道路的宽为，
种植草坪的部分可合成长为，宽为的矩形，
根据题意得，．
故答案为：C.
【分析】设道路的宽为，根据“草坪的面积为”列一元二次方程解答即可．
8．若关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是（　　）
A． B．且m≠1 C．且m≠1 D．且m≠1
【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程( 有实数根，
且m-1≠0，即 且m≠1，
解得 且m≠1，
故选： C.
【分析】由方程根的情况可得且m-1≠0，求出m的取值范围即可.
9．如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，各小正方形的顶点称为格点，点A，B，C，P都在格点上，且点P在△ABC的外部，△PAB，△PBC，△PAC的面积都相等，则满足条件的点P的个数为（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【知识点】三角形的面积；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：如图所示，
由网格可得，
∴四边形ABCP是平行四边形，
的面积等于 的面积，
同理可得，四边形 是平行四边形，
的面积等于 的面积，
的面积都相等，
∴满足条件的点P的个数为3个，
故答案为：C.
【分析】根据网格的特点得到 证明出四边形 是平行四边形，得到 的面积等于△ 的面积，同理得到C的面积都相等，进而求解即可.
10．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，BC=5，点P为BC边上任意一点，连接PA，将PA沿BC方向平移至CQ，连接AQ、PQ，则当PQ取得最小值时，BP的长为（　　）
A． B． C． D．2
【答案】A
【知识点】三角形的面积；勾股定理；平行四边形的性质；等积变换
【解析】【解答】解：在 中，
由勾股定理得：
∵将PA沿BC方向平移至CQ，
∴四边形APCQ是平行四边形，
∵PQ最短也就是PO最短，
∴过O作BC的垂线OP，连接BO，
，即
在直角三角形AOB中，由勾股定理得：OB=
在直角三角形BOP中，由勾股定理得：BP=
故答案为：A.
【分析】根据平行四边形的性质，得知OP最短即为PQ最短，利用垂线段最短得到点P的位置，再根据 得到OP的长度；继而由勾股定理求得OP，BP的长度.
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．若是二次根式，则的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵x+3≥0，
∴x≥-3，
故答案为：x≥-3.
【分析】二次根式有意义的条件：被开方数非负，列不等式解不等式即可.
12．若点与点关于坐标原点对称，则的值为　 　．
【答案】2
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：由题意可知，a-1=-1，解得a=2，
故答案为：2.
【分析】本题主要考察原点对称的点的坐标特征，关于原点对称的点的坐标规律是： 若两点关于原点对称，则横、纵坐标都互为相反数 ，在本题中，利用该规律建立等式求解a的值.
13．若x=m是方程的一个根，则2m2+4m-3=　 　.
【答案】-1
【知识点】求代数式的值-整体代入求值；已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解： 是方程 的一个根，
故答案为：B.
【分析】先根据一元二次方程根的定义得到 再把 变形为 然后利用整体代入的方法计算.
14．样本数据5，9，1，3，7，6，10的m75是　 　.
【答案】9
【知识点】百分位数
【解析】【解答】解：由题知，将所给各数从小到大排序得：1，3，5，6，7，9，10，
则i=7×0.75=5.25，
所以取这列数的第6个数，即为9，
所以样本数据5， 9， 1， 3， 7， 6， 10的是9.
故答案为：9.
【分析】根据百分位数的求解方法进行计算即可.
15．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=13，AC=5，点D是AB上一动点，作DE∥AC，且DE=2，连接BE、CD，P、Q分别是BE、DC的中点，连接PQ，则PQ长为　 　.
【答案】
【知识点】勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】在 中， ，
由勾股定理得
取BD的中点F，连接PF，QF，如图，
∵P，Q分别是BE，DC的中点，
∴PF 是 的中位线，FQ是 的中位线，
在 中，由勾股定理得
故答案为
【分析】根据勾股定理求出BC长，取BD的中点F，连接PF，QF，即可得到PF 是 的中位线，FQ是 的中位线，即可得到PF⊥FQ，然后根据勾股定理求出PQ长解答即可.
16．如图，在 ABCD中，AB=6，BC=4，∠ABC=60°，点E是AB上的一点，点F是边CD上一点，将平行四边形ABCD沿EF折叠，使得点A与点C重合，得到四边形EFGC，点D的对应点为点G，则FG的长度为　 　.
【答案】
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；菱形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：连接AC交EF于点O，连接FA，过点E作EH⊥BC于点H，如图所示：
∴△EHB和△EHC都是直角三角形，
∵四边形ABCD是平行四边形，且AB=6，
∴CD=AB=6， AB∥CD，
∴∠OAE=∠OCF，
由折叠性质得：EF是线段AC的垂直平分线，FG=FD，
∴EA=FA， EC=FC， OA=OC， ∠AOE=∠COF=90°，
在△AOE和△COF中，
∴△AOE≌△COF(ASA)，
∴EA=FC，
∴EA=FA=EC=FC，
∴四边形AECF是菱形，
在Rt△EHB中， ∠ABC=60°，
∴∠BEH=90°-∠ABC=30°，
设BH=a，则BE=2BH=2a，
由勾股定理得：
∵AE=AB-BE=6-2a，
∴CE=CF=AE=6-2a，
∴FG=FD=CD-CF=6-(6-2a)=2a，
在 中，由勾股定理得：
解得：
即FG的长度为
故答案为：
【分析】连接AC交EF于点O，连接FA，过点E作 于点H，由平行四边形性质得由折叠性质得EF是线段AC的垂直平分线，FG=FD，由此得 证明 和 全等得EA=FC，由此得四边形AECF是菱形，在 中，根据 设BH=a，则BE=2BH=2a，EH= 进而得CE=CF=AE=6-2a，则FG=FD=2a，CH=4-a，在 中，由勾股定理求出 继而可得FG的长.
三、解答题（本大题有8小题，共72分）
17．计算：
（1）；
（2）
【答案】（1）解：
（2）解：
.
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】(1)先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可；
(2)先根据二次根式的乘法和除法法则运算，然后化简二次根式后进行有理数的减法运算.
18．解下列方程：
（1）
（2）
【答案】（1）解：
x(x-6)=0，
或x-6=0，
（2）解：
(x-2)(x-3)=0，
或x-3=0，
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】(1)先移项，利用因式分解法解方程即可；
(2)利用因式分解法求解即可.
19．各顶点都在方格纸格点（横竖格子线的交错点）上的四边形称为格点四边形.在6×6的正方形方格纸中，点A，B，O均为格点（如图所示），按下列要求画格点四边形.
（1）请在图1中画一个平行四边形ABCD，使点O在它的一边上，且不与顶点重合.
（2）请在图2中画一个平行四边形ABCD，使点O在它的对角线上.
【答案】（1）解：如图1中，四边形ABCD即为所求；
（2）解：如图2中，四边形ABCD即为所求.

【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的面积
【解析】【分析】(1)根据平行四边形的定义以及题目要求画出四边形ABCD即可；
(2)根据平行四边形的定义以及题目要求画出四边形ABCD即可.
20．某学校从九年级同学中任意选取40人，随机分成甲、乙两个小组（每组20人）进行“引体向上”体能测试，根据测试成绩绘制出下面的统计表和统计图.乙组成绩统计图
甲组成绩统计表
成绩 7 8 9 10
人数 1 9 5 5
请根据上面的信息，解答下列问题：
（1）甲组成绩的中位数是　 　，乙组成绩的众数是　 　；
（2）请求出乙组成绩的平均数；
（3）已知甲组成绩的方差为，请求乙组成绩的方差，并判断哪个小组的成绩更加稳定.
【答案】（1）8.5；8
（2）乙组成绩的平均数为（分）
（3）乙组的方差是：
∴乙组的成绩更加稳定.
【知识点】统计表；条形统计图；平均数及其计算；方差；分析数据的波动程度
【解析】【解答】(1)把甲组成绩从小到大排列，中位数是第 10，11个数的平均数，则中位数是
乙组成绩中8出现的次数最多，则乙组成绩的众数是8.
故答案为8.5，8.
【分析】（1）根据中位数和众数的定义解答即可；
（2）根据加权平均数的计算公式计算即可；
（3）根据方差公式求出乙组的方差，然后比较方差，根据方差小的数据稳定解答即可.
21．如图，在 ABCD中，点E是BC边的中点，连接AE并延长，与DC的延长线交于F.
（1）求证：四边形ABFC是平行四边形；
（2）若AF平分∠BAD，∠D=60°，AD=8，求 ABCD的周长.
【答案】（1）证明：∵点E是BC边的中点，
∴BE=CE，
∵四边形ABCD是平行四边形，AE的延长线与DC的延长线交于F，
∴AB∥FC，
∴∠BAE=∠CFE，
在△AEB和△FEC中，
∴△AEB≌△FEC（AAS），
∴AB=FC，
∴四边形ABFC是平行四边形.
（2）解：∵四边形ABFC和四边形ABCD都是平行四边形，
∴FC=AB=DC，
∵AF平分∠BAD，
∴∠BAF=∠DAF，
∵∠BAF=∠DFA，
∴∠DAF=∠DFA，
∴FD=AD=8，
∴AB+BC+DC+AD=4+8+4+8=24，
∴ ABCD的周长为24.
【知识点】等腰三角形的判定；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS；角平分线的概念；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】(1)根据中点可得BE=CE，由平行四边形的性质可得∠BAE=∠CFE，即可得到∠AEB=∠FEC，根据“AAS”得到△AEB≌△FEC，即可得到AB=FC，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明结论即可.
(2)由平行四边形的性质可得FC=AB=DC，根据∠BAF=∠DAF， ∠BAF=∠DFA得到∠DAF=∠DFA，即可得到FD=AD=8，所以 求出平行四边形ABCD的周长即可.
22． 某商城在“双11”期间举行促销活动，一种热销商品进货价为每个 12元，标价为每个20元.
（1）商城举行了“感恩老用户”活动，对于老客户，商城对甲商品连续进行两次降价，每次降价的百分率相同，最后以每个 16.2元售出，求每次降价的百分率；
（2）市场调研表明：当甲商品每个标价20元时，平均每天能售出40个，当每个售价每降1元时，平均每天就能多售出10个.
①在保证甲每个商品的售价不低于进价的前提下，若商城要想销售甲商品每天的销售额为1190元，则每个应降价多少元
②若要使甲商品每天的销售利润最大，每个应该降价多少元 此时最大利润为多少元
【答案】（1）解：设每次降价的百分率是，
根据题意得：，
解得或（不符合题意，舍去），
每次降价的百分率是；
（2）解：设每个应降价x元，
①根据题意得：，
解得或，
售价不低于进价，
舍去，
，
每个应降价3元；
②设甲商品每天的销售利润为W元，
根据题意得
，当时，W取最大值，最大值为360，
每个应该降价2元，此时最大利润为360元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设每次降价的百分率为，根据“ 商品 标价为每个20元 ，商城对甲商品连续进行两次降价，每次降价的百分率相同，最后以每个 16.2元售出 ”列一元二次方程，解出m%的值并检验解答即可；
（2）①设每个应降价x元，根据“销售总额销售单价销售数量”列关于x的一元二次方程，求出x的值检验解答即可；
②设每个应降价x元，利润为W元，根据“销售总额销售单价销售数量”列函数关系式，配方后根据完全平方式的非负性解答即可．
23．定义：已知x1，x2是关于x的一元二次方程的两个实数根，若x1<0，且则称这个方程为“限根方程”.如：一元二次方程的两根为x1=-10，x2=-3，因为，所以一元二次方程为“限根方程”.
请阅读以上材料，回答下列问题：
（1）判断一元二次方程是否为“限根方程”，并说明理由；
（2）若关于x的一元二次方程是“限根方程”，且两根x1、x2满足x1+x2+x1x2=-1，求k的值；
（3）若关于x的一元二次方程是“限根方程”，求m的取值范围.
【答案】（1）解：（1）此方程为“限根方程”，理由如下：
（x+2）（x+7）=0，
解得x1=-7，x2=-2，
∴此方程为“限根方程”
（2）由根与系数的关系，得
∴k=2或-1；
①当k=2时，
∴k=2符合题意；
②当k=-1时，x1=-2，x2=-1，
∴k=-1（不合题意，舍去）.
∴k的值为2
（3）解此方程得：x=-1或m，
∵此方程为“限根方程”，
∴△>0，且m<0，即
∴m<0且m≠-1；
①当-1<0时，x1=-1，x2=m，
②当m<-1时，x1=m，x2=-1，
∴-4综上所述，m的取值范围为或-4【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】(1)解得方程后即可利用“限根方程”的定义进行判断；
(2)由根与系数的关系，得 根据 可得k=2或-1，再分两种情况讨论即可求解；
(3)解此方程得：x=-1或m，分两种情况：①当-124．在平行四边形ABCD中，点E在平行四边形ABCD内，连接EC，ED，EB，△ECD是等腰直角三角形，∠ECD=90°，其中EB=EC.
（1）如图①求∠DAE的度数；
（2）如图②，在BC上取点F使得AB=AF，求证：；
（3）如图③，在2问的条件下，若B、E、D在同一直线上，当时，求平行四边形ABCD的面积.
【答案】（1）解：设∠ECB=x°；
∵EB=EC，
∴∠EBC=∠ECB=x°，
∵△ECD为等腰直角三角形，
∴∠ECD=90°，∠CED=∠CDE=45°，
即
∵四边形ABCD是平行四边形，
∵AB=EB，
∴∠DAE=∠BAD-∠BAE=45°.
（2）证明：如图，在AD上截取DG=BF，连接EG，CG；
∵AD=BC，
∴AD-DG=BC-BF，即AG=CF.
∵AD∥BC，
∴四边形AFCG是平行四边形，
∴AF∥CG，AF=CG，
∴∠GCB=∠AFB，
∵AB=AF，
∴AB=GC，∠ABC=∠AFB，
∴∠GCB=∠ABC，
∵BE=CE，
∴∠EBC=∠ECB，
∴∠ABE=∠GCE，
∴△ABE≌△GCE.
∴AE=EG，
∴∠GAE=∠AGE=45°，
∴△AEG是等腰直角三角形，
（3）解：过点E作PQ⊥AD于P，交BC于Q.
∵∠CED=45°，
∴∠BEC=135°，
∴∠EBC=∠ECB=22.5°，
∴∠ABF=∠AFB=67.5°，
即∠BAF=45°，
∵∠ABF=∠ADC，∠CBD=∠ADB，
∴∠ABK=∠EDC=45°，
即∠AKB=90°.
设AK=BK=x，
∵AE=1，
在中，
解得
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质；几何图形的面积计算-割补法；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）设 即可得到 根据平行四边形的性质得到即可得到 再根据等边对等角和三角形的内角和得到 即可求出∠BAD的度数，利用角的和差解答即可；
(2)在AD上截取DG=BF， 连接EG、CG；可得四边形AFCG是平行四边形，进而得到 根据等边对等角得到 即可得到 根据SAS可证 得到AE=EG， 则 △AEG是等腰直角三角形， 证明结论即可；
(3)得到∠EBC=∠ECB=22.5°， 即可得到∠ABF=∠AFB=67.5°，由于∠ABF=∠ADC，∠CBD=∠ADB， 可得∠ABK=∠EDC=45°， 即∠AKB=90°. 设AK=BK=x， 得到 已知AE=1， 在Rt△AKE中根据勾股定理 可得 根据 解答即可.
1 / 1

展开更多......

收起↑