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安徽蚌埠市求实中学等校2025-2026学年高一下学期4月期中质量检测数学（北师大版）
一、单选题
1．已知平面向量，若，则实数的值为（ ）
A． B．7 C．1 D．-1
2．若，则为（ ）
A．第一或第二象限角 B．第二或第三象限角 C．第二或第四象限角 D．第三或第四象限角
3．如图，在中，为的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
4．函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
5．已知，则（ ）
A． B．
C． D．
6．阻尼振动是指振动系统在振动过程中，由于受到摩擦、空气阻力等耗散力作用，其振幅随时间呈指数规律衰减的振动，假设一个弹簧振子在空气中进行阻尼振动，其相对于平衡位置的位移x与时间t的关系表示为：，其中是初始振幅，e是自然常数，k是阻尼系数，是角频率，该阻尼振动的角频率为，当时，振子的位移；当时，振子的位移.据此计算，当时，该振子的位移（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数，将的图象向右平移个单位长度，所得图象与原来的图象重合．当时，，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知平面向量，且，已知向量与所成的角为，且对任意实数恒成立，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知向量，则下列说法正确的有（ ）
A．
B．若，则
C．若，则
D．在上的投影向量坐标为
10．函数的部分图象如图，下列说法正确的有（ ）
A．
B．函数的图象关于直线对称
C．函数在上的值域为
D．要得到函数的图象，只需将函数的图象向右平移个长度单位
11．已知函数，则下列说法正确的有（ ）
A．
B．的值域为
C．在上单调递减
D．图象的对称轴为直线
三、填空题
12．若扇形圆心角为，面积为，则该扇形的弧长为__________.（结果保留）
13．已知函数在区间上有4个零点，则的取值范围是__________.
14．已知为的重心，，则__________.
四、解答题
15．已知函数，先将函数的图象所有的点纵坐标伸长为原来的两倍，横坐标缩短为原来的，再向右平移个单位长度后，得到函数的图象．
(1)求函数的解析式；
(2)若关于的方程在区间上恰有两个实数根，求实数的取值范围．
16．已知.
(1)化简并求的值；
(2)若，求.
17．在直角梯形中，//.

(1)求；
(2)若与共线，求的值；
(3)若为边上的动点（不包括端点），求的最小值.
18．已知是平面内两个不共线的向量，，且三点共线.
(1)求的值；
(2)若向量的夹角为，且，求向量与夹角的余弦值；
(3)已知，点的坐标为，若四边形为平行四边形，求点的坐标.
19．已知函数，其中.
(1)若两个相邻对称轴之间的距离为，求的值；
(2)若，将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，是的一个零点.
（i）若函数在且上恰好有8个零点，求的最小值；
（ii）已知函数，若对任意，存在，使得成立，求实数的取值范围.
参考答案
1．A
【详解】由向量，
因为，可得，即，解得.
2．B
【详解】由题知，，
若是第一象限角，则，，故，不满足题意；
若是第二象限角，则，，故，满足题意；
若是第三象限角，则，，故，满足题意；
若是第四象限角，则，，故，不满足题意.
综上，为第二或第三象限角.
故选:B.
3．C
【详解】由，得，
由为的中点，
得.
4．D
【详解】对任意的，，故函数的定义域为，定义域关于原点对称，
因为，故函数为偶函数，
函数的图象关于轴对称，排除AC选项，
当时，，则，此时，排除B选项，
选项D满足以上特点.
5．D
【详解】，即，.故选D.
6．D
【详解】依题意可得，所以，
又，即，
所以，即，则，，
所以，
则，
即当时，该振子的位移.
故选：D
7．D
【详解】将的图象向右平移个单位长度，所得图象与原来的图象重合．可得是函数的周期的整数倍.
即，即，
又，则，
故，
当时，，
则在上单调递减，
由，得，即，
则.
8．B
【详解】解：由题意得，，由，
得，即，化简得.
令，开口向上，要使恒成立，则，
解得. 又，
，
所以的最小值为.
9．ABD
【详解】，故A正确；
，
因为，则，解得，故B正确；
当时，可得，解得，故C错误；
在上的投影向量为，故D正确.
10．BC
【详解】设函数的最小正周期为，由图知，，故，则.
因为函数图象最高点为，所以，
所以，解得，因为，所以，故A错误；
，，故函数的图象关于直线对称，故B正确；
当时，，
故函数在上的值域为，故C正确；
由题意得，，
将函数的图象向右平移个长度单位得到，故D错误.
11．ABC
【详解】由函数，
对于A，由，所以A正确；
对于B，当时，；
当时，，
所以，
画出函数的图象，如图所示，则函数的值域为，故B正确；
对于C，当时，可得，此时在上单调递减，所以C正确；
对于D，由函数图象，可得的对称轴为，所以D错误.
12．
【详解】设扇形的半径为，则，解得，
故弧长为.
13．
【详解】因为，所以，
因为函数在区间上有4个零点，
所以，解得，
所以的取值范围是.
故答案为：.
14．
【详解】如图，延长交于点，则为的中点，
.
15．(1)
(2)
【详解】（1）将函数的图象的点纵坐标伸长为原来的两倍，得，
再把横坐标缩短为原来的，得，
再向右平移个单位长度，得，
则.
（2）函数，当时，
，，
函数的图象如下：
要使方程在区间上恰有两个实数根，
等价于函数在区间的图象与函数的图象有两个交点，
由图可知．
16．(1)；
(2)
【详解】（1）
，；
所以
；
（2）由（1）知，由，可得，
所以.
17．(1)；
(2)；
(3).
【详解】（1）过作，易知，又，故可得；
以为坐标原点，建立平面直角坐标系，如下所示：

则，，
故.
（2）由（1）可知，，
故，
若与共线，则，解得.
（3）设，则，易知，
则
则，
对，其对称轴，故其最小只能为；
故的最小值为.
18．(1)
(2)
(3).
【详解】（1）因为
且，
又因为三点共线，所以，
所以，即，
所以 ，解得，
所以.
（2）由题意得，，
，
所以，
，
所以.
（3）由（1）得，
所以，
，
由四边形为平行四边形得，
设，且点的坐标为，则，
所以，解得，
即.
19．(1)
(2)（i）；（ii）.
【详解】（1）因为两个相邻对称轴之间的距离为，
所以的最小正周期为，所以，解得.
（2）（i）由题意得，，
因为是的一个零点，
所以，
所以，
所以或，
解得或，
因为，所以，
所以.
令，则，
所以或，
解得或.
因为函数在且上恰好有8个零点，
要使最小，则需找到跨度最小的连续8个零点.
的零点为或，
通过比较不同起始零点的连续8个零点区间的长度，
区间的长度为，区间的长度为，
所以的最小值为.
（ii）由（i）知，，
设在上的值域为在上的值域为，
因为对任意，存在，使得成立，
所以
当时，，所以，
所以，所以
当时，，所以，
所以，
所以，
因为，所以，解得，
即实数的取值范围为.

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