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浙江宁波市慈溪市2025-2026学年第二学期创新素养学科基础能力与创新思维水平考察七年级数学
1．已知代数式的值为3，则的值为（　　）
A．10 B．11 C．12 D．13
2．点A，B，C，D在同一平面，若，，，长的取值不可能的是（　　）
A．1 B．5 C．8 D．12
3．如图，，点E在上，点F，G在上，设，，，则（　　）
A． B．
C． D．
4．方程实数根的情况为（　　）
A．没有实数根 B．有1个实数根
C．有2个实数根 D．有无数个实数根
5．如图，在线段上任取一点，点为的中点，以为圆心，分别以，，为半径作圆，设这三个圆从小到大的半径分别为，，，周长分别为，，，面积分别为，，、则以下结论：①，②，③，其中正确的是（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
6．已知m，n，p，q为整数，且q为负整数，满足，，，则的最小值为（　　）
A． B．7 C． D．5
7．如图，，则　 　．
8．已知，，若的值与x无关，则的值为　 　．
9．如图，在内部，已知，，平分，平分，则　 　．
10．实数x，y满足，则　 　．
11．如图，点F在内，，于点E，于点D，且，，四边形的面积分别为3，9，6，则的面积为　 　．
12．已知a，b为正整数，且整除，则的最大值与最小值之和为　 　．
13．已知m，n是有理数，关于x的方程
（1）当时，解该方程．
（2）若该方程有无数解，求m，n的值．
14．解决下列问题
（1）在平面上画3条直线，依据同旁内角对数的多少分类画出示意图，并指出每种情况同旁内角的对数．
（2）在平面上画5条直线，最多有多少对同旁内角？并说明你的推理过程．
15．定义：若实数对满足，则称其为“等积和数对”．
（1）若是“等积和数对”，求的值．
（2）若是“等积和数对”，求的取值范围．
（3）若，，，…，这2026个数对都是“等积和数对”，求的值．
16．如图，在四边形中，，与交于点E，，设的面积为，的面积为，的面积为，的面积为．
（1）求证：
（2）若，，，都是整数，且四边形的面积是25，求的值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵由题意得，
∴，
∵，
∴把代入得，
原式=．
故
【分析】
先根据已知代数式的值求出的值，再将所求代数式变形为含有的形式，最后整体代入计算即可．
2．【答案】D
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：根据三角形三边关系，可得，
∵，，
∴，
根据三角形三边关系，可得，
∵，
∴．
∵，不在该取值范围内，
∴长度的取值不可能是12．
故答案为D
【分析】
根据三角形三边关系可确定BC的取值范围，再根据已知条件BD=2，同样根据三角形三边关系求得CD的取值范围，最后逐一判断各个选项即可.
3．【答案】C
【知识点】角的运算；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：∵，，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，即．
故
【分析】
利用平行线的性质(内错角相等、同旁内角互补）将已知角和转化为点E处，通过角的和差关系建立等量关系即可．
4．【答案】A
【知识点】解含绝对值符号的一元一次方程；化简含绝对值有理数
【解析】【解答】解：令，解得，
令，解得，
分三种情况讨论：
当时，
，，
∴原方程化为，
整理得，
解得，
，不满足，此解舍去，该区间无实根；
当时，
，，
∴原方程化为，
整理得，
解得，
，不满足，此解舍去，该区间无实根；
当时，
，，
∴原方程化为，
整理得，
解得，
，不满足，此解舍去，该区间无实根；
综上，原方程没有实数根．
故答案为A
【分析】
先确定绝对值表达式的零点，分区间讨论去掉绝对值符号，转化为普通方程求解并检验即可.
5．【答案】A
【知识点】线段的中点；圆的周长；圆的面积
【解析】【解答】解：依题意，，，
∵点为的中点，
∴
∴，故①正确
，故②正确，
，
∴，故③错误．
故答案为A
【分析】
根据点M为AB的中点，利用线段的和差关系推导出半径R2与R1，R3的数量关系即可判断 ①；将半径关系代入圆的周长公式和面积公式可验证 ②和③ ．
6．【答案】B
【知识点】整式的加减运算；三元一次方程组的应用；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：根据题意，得，
将③代入①，得，化简得，
将代入②，得，
解得，
将代入③，得，
代入，
得，
∵q为负整数，
∴，且q为整数，
∴当q取最大负整数时，取得最小值，
∴最小值为：．
故答案为B
【分析】
先通过解方程组用q表示出m、n、p，再代入所求代数式化简，最后根据q为负整数求最小值即可．
7．【答案】105
【知识点】平行线的应用-求角度；平行公理的推论
【解析】【解答】解：分别过点，，作，，，
则，
∵，
，
，
∵，
，
，
∵，
，
，
∵
，
，
．
故答案为105
【分析】
通过作平行线，我们利用平行线的性质推导角度，最后再建立等量关系即可求解．
8．【答案】
【知识点】整式的加减运算；多项式的项、系数与次数；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵，，
∴
∵的值与x无关，
∴，，
解得：，，
∴．
故答案为
【分析】
先求出的表达式，根据的值与x无关这一条件，可求得，，最后代入代数式进行计算即可．
9．【答案】
【知识点】角的运算；角平分线的概念；角的双角平分线和型
【解析】【解答】解：∵平分，，
∴，
∵ 平分，，
∴，
∴．
故答案为
【分析】
根据角平分线定义可得，，进而得．
10．【答案】或
【知识点】解二元一次方程组；绝对值的非负性
【解析】【解答】设，，原方程组转化为：
将第一个方程乘2得，
用第二个方程减该式得，
代入得，即：
当时，，即或，
解得或
∴或
当时，，即或，
解得或
∴或
综上，的值为或．
故
【分析】
先通过换元法将含有绝对值的方程组转化为二元一次方程组，求解得到和的值，再分情况讨论x的取值，进而求出y的值，最后计算xy即可.
11．【答案】6
【知识点】三角形的面积
【解析】【解答】解：由题意可得：的面积，的面积，四边形的面积，
设，，则，，，
∴，，
∴，
∴的面积为．
故答案为6
【分析】
利用四边形CDFE为矩形，设出边长CD和CE，利用已知的小三角形面积，反推出AE和BD与CD，CE的数量关系，进而求出大三角形的面积，最后利用面积割补法即可求解.
12．【答案】20
【知识点】分式的值；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：由题意得，设（为正整数），
∴
∴，
∵为正整数，且为正整数，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
∴最小值为1，最大值为19，
∴两者之和为．
故答案为20
【分析】
先设倍数关系，通过等式变形得到关于k的表达式，再根据正整数条件确定k的取值，进而求出的最值并求和即可．
13．【答案】（1）解：当时，原方程为，
整理可得：，
∴当，即时，方程变为，此方程无解，
当，即时，方程的解为；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵该方程有无数解，且m，n是有理数，
∴，
解得：，．
【知识点】一元一次方程的解；已知一元一次方程的解求参数
【解析】【分析】（1）先将代入原方程为，然后通过去括号、移项、合并同类项解方程，最后分情况求解即可；
（2）将原方程化为一般式，再根据该方程有无数解的条件，得出，进而求解即可．
（1）解：当时，原方程为，
整理可得：，
∴当，即时，方程变为，此方程无解，
当，即时，方程的解为；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵该方程有无数解，且m，n是有理数，
∴，
解得：，．
14．【答案】（1）解：第1种情况：三条直线平行或交于一点，则没有同旁内角；
第2种情况：其中两条直线平行与第三直线相交，则有2对同旁内角；
第3种情况：三条直线两两相交，且不交于同一点，则有6对同旁内角；
；
（2）解：任取3条直线同旁内角最多有6对，5条直线中任取3条直线有10组，则最多共有对同旁内角．
【知识点】同旁内角的概念；分类讨论
【解析】【分析】（1）需分类讨论三种情况（平行、相交于一点、两条平行与第三条相交、三条两两相交），并结合同旁内角的定义即可得出结果；
（2）先确定5条直线最多形成同旁内角的条件，再计算任取3条直线的组合数，乘以每组最大同旁内角对数即可解答．
（1）解：第1种情况：三条直线平行或交于一点，则没有同旁内角；
第2种情况：其中两条直线平行与第三直线相交，则有2对同旁内角；
第3种情况：三条直线两两相交，且不交于同一点，则有6对同旁内角；
；
（2）解：任取3条直线同旁内角最多有6对，5条直线中任取3条直线有10组，则最多共有对同旁内角．
15．【答案】（1）解：∵是“等积和数对”，
∴，
∴，
∴

（2）解：∵是“等积和数对”，
∴，
∴，
∵对有解，
∴，
∴；

（3）解：∵是“等积和数对”，
∴，且时，
∴，
同理可得：，，……，
∴
．

【知识点】分母有理化；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】（1）根据“等积和数对”的定义，将（a，)代入ab=a+b，得到关于a的方程，求解即可；
（2）根据“等积和数对”的定义，将（a，b）代入ab=a+b得到关于a、b的等式，再根据b的取值求解a的范围即可；
（3）根据“等积和数对”的定义可得，从而得出，同理可得，，……，由此计算即可得出结果．
（1）解：∵是“等积和数对”，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵是“等积和数对”，
∴，
∴，
∵对有解，
∴，
∴；
（3）解：∵是“等积和数对”，
∴，且时，
∴，
同理可得：，，……，
∴
．
16．【答案】（1）证明：作交于点，
则，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵与等高，
∴，
同理可得，
∴，
由题意可得：，
∴，
由于，且，，，都是整数，，，，，均不符合题意，
∴，
当时，此时，，符合题意；
当时，没有满足题意的，，，故不符合题意；
当时，没有满足题意的，，，故不符合题意；
当时，此时，，符合题意；
综上所述，或．

【知识点】平行线的应用-证明问题；利用三角形的中线求面积；三角形的外角和
【解析】【分析】（1）通过作辅助线，作交于点，利用三角形的外角性质和已知角度关系可证明ADBC，从而利用“同底等高”证明与面积相等，进而得出结论；
（2）利用平行线得出的相似三角形性质，建立，，从而得出，结合总面积为25及整数条件，通过代数变形和分类讨论求出结果．
（1）证明：作交于点，
则，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵与等高，
∴，
同理可得，
∴，
由题意可得：，
∴，
由于，且，，，都是整数，，，，，均不符合题意，
∴，
当时，此时，，符合题意；
当时，没有满足题意的，，，故不符合题意；
当时，没有满足题意的，，，故不符合题意；
当时，此时，，符合题意；
综上所述，或．
1 / 1浙江宁波市慈溪市2025-2026学年第二学期创新素养学科基础能力与创新思维水平考察七年级数学
1．已知代数式的值为3，则的值为（　　）
A．10 B．11 C．12 D．13
【答案】B
【知识点】求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵由题意得，
∴，
∵，
∴把代入得，
原式=．
故
【分析】
先根据已知代数式的值求出的值，再将所求代数式变形为含有的形式，最后整体代入计算即可．
2．点A，B，C，D在同一平面，若，，，长的取值不可能的是（　　）
A．1 B．5 C．8 D．12
【答案】D
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：根据三角形三边关系，可得，
∵，，
∴，
根据三角形三边关系，可得，
∵，
∴．
∵，不在该取值范围内，
∴长度的取值不可能是12．
故答案为D
【分析】
根据三角形三边关系可确定BC的取值范围，再根据已知条件BD=2，同样根据三角形三边关系求得CD的取值范围，最后逐一判断各个选项即可.
3．如图，，点E在上，点F，G在上，设，，，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】角的运算；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：∵，，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，即．
故
【分析】
利用平行线的性质(内错角相等、同旁内角互补）将已知角和转化为点E处，通过角的和差关系建立等量关系即可．
4．方程实数根的情况为（　　）
A．没有实数根 B．有1个实数根
C．有2个实数根 D．有无数个实数根
【答案】A
【知识点】解含绝对值符号的一元一次方程；化简含绝对值有理数
【解析】【解答】解：令，解得，
令，解得，
分三种情况讨论：
当时，
，，
∴原方程化为，
整理得，
解得，
，不满足，此解舍去，该区间无实根；
当时，
，，
∴原方程化为，
整理得，
解得，
，不满足，此解舍去，该区间无实根；
当时，
，，
∴原方程化为，
整理得，
解得，
，不满足，此解舍去，该区间无实根；
综上，原方程没有实数根．
故答案为A
【分析】
先确定绝对值表达式的零点，分区间讨论去掉绝对值符号，转化为普通方程求解并检验即可.
5．如图，在线段上任取一点，点为的中点，以为圆心，分别以，，为半径作圆，设这三个圆从小到大的半径分别为，，，周长分别为，，，面积分别为，，、则以下结论：①，②，③，其中正确的是（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】A
【知识点】线段的中点；圆的周长；圆的面积
【解析】【解答】解：依题意，，，
∵点为的中点，
∴
∴，故①正确
，故②正确，
，
∴，故③错误．
故答案为A
【分析】
根据点M为AB的中点，利用线段的和差关系推导出半径R2与R1，R3的数量关系即可判断 ①；将半径关系代入圆的周长公式和面积公式可验证 ②和③ ．
6．已知m，n，p，q为整数，且q为负整数，满足，，，则的最小值为（　　）
A． B．7 C． D．5
【答案】B
【知识点】整式的加减运算；三元一次方程组的应用；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：根据题意，得，
将③代入①，得，化简得，
将代入②，得，
解得，
将代入③，得，
代入，
得，
∵q为负整数，
∴，且q为整数，
∴当q取最大负整数时，取得最小值，
∴最小值为：．
故答案为B
【分析】
先通过解方程组用q表示出m、n、p，再代入所求代数式化简，最后根据q为负整数求最小值即可．
7．如图，，则　 　．
【答案】105
【知识点】平行线的应用-求角度；平行公理的推论
【解析】【解答】解：分别过点，，作，，，
则，
∵，
，
，
∵，
，
，
∵，
，
，
∵
，
，
．
故答案为105
【分析】
通过作平行线，我们利用平行线的性质推导角度，最后再建立等量关系即可求解．
8．已知，，若的值与x无关，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】整式的加减运算；多项式的项、系数与次数；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵，，
∴
∵的值与x无关，
∴，，
解得：，，
∴．
故答案为
【分析】
先求出的表达式，根据的值与x无关这一条件，可求得，，最后代入代数式进行计算即可．
9．如图，在内部，已知，，平分，平分，则　 　．
【答案】
【知识点】角的运算；角平分线的概念；角的双角平分线和型
【解析】【解答】解：∵平分，，
∴，
∵ 平分，，
∴，
∴．
故答案为
【分析】
根据角平分线定义可得，，进而得．
10．实数x，y满足，则　 　．
【答案】或
【知识点】解二元一次方程组；绝对值的非负性
【解析】【解答】设，，原方程组转化为：
将第一个方程乘2得，
用第二个方程减该式得，
代入得，即：
当时，，即或，
解得或
∴或
当时，，即或，
解得或
∴或
综上，的值为或．
故
【分析】
先通过换元法将含有绝对值的方程组转化为二元一次方程组，求解得到和的值，再分情况讨论x的取值，进而求出y的值，最后计算xy即可.
11．如图，点F在内，，于点E，于点D，且，，四边形的面积分别为3，9，6，则的面积为　 　．
【答案】6
【知识点】三角形的面积
【解析】【解答】解：由题意可得：的面积，的面积，四边形的面积，
设，，则，，，
∴，，
∴，
∴的面积为．
故答案为6
【分析】
利用四边形CDFE为矩形，设出边长CD和CE，利用已知的小三角形面积，反推出AE和BD与CD，CE的数量关系，进而求出大三角形的面积，最后利用面积割补法即可求解.
12．已知a，b为正整数，且整除，则的最大值与最小值之和为　 　．
【答案】20
【知识点】分式的值；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：由题意得，设（为正整数），
∴
∴，
∵为正整数，且为正整数，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
∴最小值为1，最大值为19，
∴两者之和为．
故答案为20
【分析】
先设倍数关系，通过等式变形得到关于k的表达式，再根据正整数条件确定k的取值，进而求出的最值并求和即可．
13．已知m，n是有理数，关于x的方程
（1）当时，解该方程．
（2）若该方程有无数解，求m，n的值．
【答案】（1）解：当时，原方程为，
整理可得：，
∴当，即时，方程变为，此方程无解，
当，即时，方程的解为；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵该方程有无数解，且m，n是有理数，
∴，
解得：，．
【知识点】一元一次方程的解；已知一元一次方程的解求参数
【解析】【分析】（1）先将代入原方程为，然后通过去括号、移项、合并同类项解方程，最后分情况求解即可；
（2）将原方程化为一般式，再根据该方程有无数解的条件，得出，进而求解即可．
（1）解：当时，原方程为，
整理可得：，
∴当，即时，方程变为，此方程无解，
当，即时，方程的解为；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵该方程有无数解，且m，n是有理数，
∴，
解得：，．
14．解决下列问题
（1）在平面上画3条直线，依据同旁内角对数的多少分类画出示意图，并指出每种情况同旁内角的对数．
（2）在平面上画5条直线，最多有多少对同旁内角？并说明你的推理过程．
【答案】（1）解：第1种情况：三条直线平行或交于一点，则没有同旁内角；
第2种情况：其中两条直线平行与第三直线相交，则有2对同旁内角；
第3种情况：三条直线两两相交，且不交于同一点，则有6对同旁内角；
；
（2）解：任取3条直线同旁内角最多有6对，5条直线中任取3条直线有10组，则最多共有对同旁内角．
【知识点】同旁内角的概念；分类讨论
【解析】【分析】（1）需分类讨论三种情况（平行、相交于一点、两条平行与第三条相交、三条两两相交），并结合同旁内角的定义即可得出结果；
（2）先确定5条直线最多形成同旁内角的条件，再计算任取3条直线的组合数，乘以每组最大同旁内角对数即可解答．
（1）解：第1种情况：三条直线平行或交于一点，则没有同旁内角；
第2种情况：其中两条直线平行与第三直线相交，则有2对同旁内角；
第3种情况：三条直线两两相交，且不交于同一点，则有6对同旁内角；
；
（2）解：任取3条直线同旁内角最多有6对，5条直线中任取3条直线有10组，则最多共有对同旁内角．
15．定义：若实数对满足，则称其为“等积和数对”．
（1）若是“等积和数对”，求的值．
（2）若是“等积和数对”，求的取值范围．
（3）若，，，…，这2026个数对都是“等积和数对”，求的值．
【答案】（1）解：∵是“等积和数对”，
∴，
∴，
∴

（2）解：∵是“等积和数对”，
∴，
∴，
∵对有解，
∴，
∴；

（3）解：∵是“等积和数对”，
∴，且时，
∴，
同理可得：，，……，
∴
．

【知识点】分母有理化；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】（1）根据“等积和数对”的定义，将（a，)代入ab=a+b，得到关于a的方程，求解即可；
（2）根据“等积和数对”的定义，将（a，b）代入ab=a+b得到关于a、b的等式，再根据b的取值求解a的范围即可；
（3）根据“等积和数对”的定义可得，从而得出，同理可得，，……，由此计算即可得出结果．
（1）解：∵是“等积和数对”，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵是“等积和数对”，
∴，
∴，
∵对有解，
∴，
∴；
（3）解：∵是“等积和数对”，
∴，且时，
∴，
同理可得：，，……，
∴
．
16．如图，在四边形中，，与交于点E，，设的面积为，的面积为，的面积为，的面积为．
（1）求证：
（2）若，，，都是整数，且四边形的面积是25，求的值．
【答案】（1）证明：作交于点，
则，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵与等高，
∴，
同理可得，
∴，
由题意可得：，
∴，
由于，且，，，都是整数，，，，，均不符合题意，
∴，
当时，此时，，符合题意；
当时，没有满足题意的，，，故不符合题意；
当时，没有满足题意的，，，故不符合题意；
当时，此时，，符合题意；
综上所述，或．

【知识点】平行线的应用-证明问题；利用三角形的中线求面积；三角形的外角和
【解析】【分析】（1）通过作辅助线，作交于点，利用三角形的外角性质和已知角度关系可证明ADBC，从而利用“同底等高”证明与面积相等，进而得出结论；
（2）利用平行线得出的相似三角形性质，建立，，从而得出，结合总面积为25及整数条件，通过代数变形和分类讨论求出结果．
（1）证明：作交于点，
则，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵与等高，
∴，
同理可得，
∴，
由题意可得：，
∴，
由于，且，，，都是整数，，，，，均不符合题意，
∴，
当时，此时，，符合题意；
当时，没有满足题意的，，，故不符合题意；
当时，没有满足题意的，，，故不符合题意；
当时，此时，，符合题意；
综上所述，或．
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