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浙江省初中协作体2025-2026学年七年级下学期创新素养学科基础能力与创新思维水平考察数学试题（3月）
一、选择题（本题有6小题，每小题5分，共30分)
1．已知代数式的值为3，则的值为（　　）
A．10 B．11 C．12 D．13
【答案】B
【知识点】求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵由题意得，
∴，
∵，
∴把代入得，
原式=．
故
【分析】
先根据已知代数式的值求出的值，再将所求代数式变形为含有的形式，最后整体代入计算即可．
2．点A，B，C，D在同一平面，若，，，长的取值不可能的是（　　）
A．1 B．5 C．8 D．12
【答案】D
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：根据三角形三边关系，可得，
∵，，
∴，
根据三角形三边关系，可得，
∵，
∴．
∵，不在该取值范围内，
∴长度的取值不可能是12．
故答案为D
【分析】
根据三角形三边关系可确定BC的取值范围，再根据已知条件BD=2，同样根据三角形三边关系求得CD的取值范围，最后逐一判断各个选项即可.
3．如图， AB∥CD，点E在CD上，点F， G在AB上，设∠AFE=α， ∠EGB=β， ∠FEG=θ，则（　　)
A．α+β+θ=360° B．α+β+θ=210°
C．α+β-θ=180° D．α+β-θ=150°
【答案】C
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【解答】解：由条件可知
即
故选： C.
【分析】利用平行线的性质可得 .然后根据角的和差和邻补角的定义得到，整理解答即可.
4．方程|2x-3|+|3x+5|=6实数根的情况为（　　)
A．没有实数根 B．有1个实数根
C．有2个实数根 D．有无数个实数根
【答案】A
【知识点】解含绝对值符号的一元一次方程
【解析】【解答】解：分三种情况讨论：
当 时，
∵2x-3<0， 3x+5<0，
∴原方程化为(3-2x)+(-3x-5)=6，
整理得-5x=8，
解得
不满足 此解舍去，该区间无实根；
当 时，
∵2x-3≤0. 3x+5≥0.
∴原方程化为((2x-3)+(3x+5)=6，
整理得5x=4，
解得
不满足 此解舍去，该区间无实根；
综上，原方程没有实数根.
故选： A.
【分析】解含多个绝对值的方程，先求绝对值的零点，分区间去绝对值转化为一元一次方程求解，检验解是否在对应区间，即可判断根的情况.
5．如图，在线段上任取一点，点为的中点，以为圆心，分别以，，为半径作圆，设这三个圆从小到大的半径分别为，，，周长分别为，，，面积分别为，，、则以下结论：①，②，③，其中正确的是（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】A
【知识点】线段的中点；圆的周长；圆的面积
【解析】【解答】解：依题意，，，
∵点为的中点，
∴
∴，故①正确
，故②正确，
，
∴，故③错误．
故答案为A
【分析】
根据点M为AB的中点，利用线段的和差关系推导出半径R2与R1，R3的数量关系即可判断 ①；将半径关系代入圆的周长公式和面积公式可验证 ②和③ ．
6．已知m，n，p，q为整数，且q为负整数，满足，，，则的最小值为（　　）
A． B．7 C． D．5
【答案】B
【知识点】整式的加减运算；三元一次方程组的应用；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：根据题意，得，
将③代入①，得，化简得，
将代入②，得，
解得，
将代入③，得，
代入，
得，
∵q为负整数，
∴，且q为整数，
∴当q取最大负整数时，取得最小值，
∴最小值为：．
故答案为B
【分析】
先通过解方程组用q表示出m、n、p，再代入所求代数式化简，最后根据q为负整数求最小值即可．
二、填空题（本题有6小题，每小题6分，共36分)
7． 如图，AB∥CD，则x+y=　 　.
【答案】105
【知识点】锯齿模型；平行公理的推论；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：分别过点G， H， I作KL∥AB， MN∥AB， OP∥AB，
则KL∥MN∥OP∥AB∥CD，
由条件可知
由条件可知
故答案为：105.
【分析】分别过点G， H， I作KL∥AB， MN∥AB， OP∥AB，即可得到KL∥MN∥OP∥AB∥CD，然后根据两直线平行，内错角相等解答即可.
8．已知，，若的值与x无关，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】整式的加减运算；多项式的项、系数与次数；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵，，
∴
∵的值与x无关，
∴，，
解得：，，
∴．
故答案为
【分析】
先求出的表达式，根据的值与x无关这一条件，可求得，，最后代入代数式进行计算即可．
9． 如图，AD在∠BAC内部， 已知∠BAC=α， ∠DAC=β，AE平分∠BAC，AF平分. 则 　 　.
【答案】
【知识点】角平分线的概念；角的双角平分线差型
【解析】【解答】解：AE平分
AF 平分
故答案为：
【分析】根据角平分线定义得 即得根据角的和差解答即可
10． 实数x，y满足则 xy=　 　.
【答案】3或15
【知识点】解二元一次方程组；化简含绝对值有理数
【解析】【解答】解：设
原方程组转化为：
将第一个方程乘2得2a+2b=10，
用第二个方程减该式得a=2，
代入得b=3，
即：
当x=3时， 即3-y=2或3-y=-2，
解得：y=1或y=5
或xy=3×5=15
当x=-3时， 即-3-y=2或-3-y=-2，
解得：y=-1或y=-5
或
综上， xy的值为3或15.
故答案为：3或15.
【分析】设原方程组转化为： ，进而得出| 分类讨论，即可求解.
11． 如图，点F在△ABC内，∠C=90°，FE⊥AC于点E，FD⊥BC于点D， 且 四边形CDFE的面积分别为3，9，6，则△ABF的面积为　 　.
【答案】6
【知识点】三角形的面积；几何图形的面积计算-割补法；平行四边形的面积
【解析】【解答】解： 于点E， 于点D，且 四边形CDFE的面积分别为3，9，6，
∴△AEF的面积 的面积
四边形CDFE的面积=CE·EF=CD·DF=CD·CE=6，
设CD=a， CE=b，则AE=b， BD=3a， ab=6，
∴AC=AE+CE=2b， BC=BD+CD=4a，
∴24
∴△ABF的面积为 .
故答案为：6.
【分析】由题意可得 的面积 DF的面积 四边形CDFE的面积 设CD=a，CE=b，则AE=b，BD=3a，ab=6，求出 的面积为24，即可得出结果.
12． 已知a，b为正整数，且5a+b整除5b+a，则b2的最大值与最小值之和为　 　.
【答案】20
【知识点】数的整除性；枚举法
【解析】【解答】解：由题意得，设 (k为正整数)，
5b+a=5ak+bk，
5b-bk=5ak-a，
b(5-k)=a(5k-1)，
∵k为正整数，且a，b为正整数，
∴k=1， 2， 3， 4，
∴当k=4时，
当k=1时，
当k=2时，
当k=3时，
当k=1时，
∴最小值为1，最大值为19，
∴两者之和为1+19=20.
故答案为：20.
【分析】设 整理得 由a，b为正整数，得5-k>0且5k-1>0，即 故k=1，2， 3， 4.代入到 中进行计算，进而即可求解.
三、解答题（本题有4小题,分别为12, 14, 14, 14分,共54分)
13． 已知m，n是有理数，关于x的方程m（x-3)+n（3x+1)=5（x+1)
（1） 当m=2时，解该方程.
（2）若该方程有无理数解，求m，n的值.
【答案】（1）解：当m=2时，原方程为2(x-3)+n(3x+1)=5(x+1)，
整理可得：(3n-3)x=11-n，
∴当3n-3=0，即n=1时，方程变为 此方程无解，
当3n-3≠0，即n≠1时，方程的解为
（2）解：由条件可知mx-3m+3nx+n=5x+5，
∵该方程有无数解，且m，n是有理数，
解得：m=-1，n=2.
【知识点】已知一元一次方程的解求参数；解系数含参的一元一次方程
【解析】【分析】(1)当m=2时，原方程为2(x-3)+n(3x+1)=5(x+1)，整理可得((3n-3)x=11-n，分情况求解即可得出结果；
(2)将原方程整理可得((m+3n-5)x=3m-n+5，再结合该方程有无数解，且m，n是有理数，得出
求解即可得出结果.
14．
（1）在平面上画3条直线，依据同旁内角对数的多少分类画出示意图，并指出每种情况同旁内角的对数.
（2）在平面上画5条直线，最多有多少对同旁内角 并说明你的推理过程.
【答案】（1）解：(1)当三条直线平行或相交于一点，没有同旁内角，如图所示，当其中两条直线平行与第三条直线相交，则有2对同旁内角，如图所示，当三条直线两两相交，则有6对同旁内角，如图所示，
（2）解：任取3条直线同旁内角最多有6对，5条直线中任取3条直线有10组，
∴最多共有6×10=60对同旁内角.
【知识点】同旁内角的概念；分类讨论
【解析】【分析】(1)分类讨论3条直线的位置关系，分别是三条直线平行或相交于一点、两条直线平行与第三条直线相交、三条直线两两相交，即可得出同旁内角的对数；
(2)需先确定5条直线最多形成同旁内角的条件(两两相交且不交于同一点)，再计算任取3条直线的组合数，乘以每组最大的同旁内角对数.
15． 定义： 若实数对 （a，b) 满足 ab=a+b，则称其为“等积和数对”.
（1） 若是“等积和数对”，求a的值.
（2）若（a，b)是“等积和数对”，求a的取值范围.
（3） 若（x1， y1)， （x2， y2)， （x3， y3)，……， （x2026， y2026)这2026个数对都是“等积和数对”，求的值.
【答案】（1）解：由新定义可知
（2）解：由新定义可知ab=a+b，
∵对b有解，
（3）解：由新定义可知ab=a+b，且ab≠0时，
同理可得：
∴
=
=2026.
【知识点】分母有理化；解系数含参的一元一次方程；整式条件求值
【解析】【分析】(1)根据“等积和数对”的定义计算即可得出结果；
(2)根据“等积和数对”的定义计算即可得出结果；
(3)根据“等积和数对”的定义可得ab=a+b，从而得出 同理可得 由此计算即可得出结果.
16．如图，在四边形ABCD中，AD（1）求证：
（2）若 都是整数，且四边形ABCD的面积是25，求 的值.
【答案】（1）证明：作 交AB于点F，
则
（2）解：∵△ADE与△ABE等高，
同理可得
由题意可得：
由于 且 都是整数，5+6+6+8=25，5+7+7+8=27，6+7+7+8=28，5+6+6+7=24，均不符合题意，
当 时，没有满足题意的 故不符合题意；
当 时，此时 符合题意；
当 时，没有满足题意的 故不符合题意；
当 时，此时 符合题意；综上所述， 或4.
【知识点】三角形的面积；平行公理的推论；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】(1)作 交AB于点F，证明出 得出 即可得证；
(2)由题意可得 从而得出 由于 且 都是整数，6+7+7+8=28，5+6+6+7=24，5+7+7+8=27，均不符合题意，进而得出 分情况计算即可得出结果.
1 / 1浙江省初中协作体2025-2026学年七年级下学期创新素养学科基础能力与创新思维水平考察数学试题（3月）
一、选择题（本题有6小题，每小题5分，共30分)
1．已知代数式的值为3，则的值为（　　）
A．10 B．11 C．12 D．13
2．点A，B，C，D在同一平面，若，，，长的取值不可能的是（　　）
A．1 B．5 C．8 D．12
3．如图， AB∥CD，点E在CD上，点F， G在AB上，设∠AFE=α， ∠EGB=β， ∠FEG=θ，则（　　)
A．α+β+θ=360° B．α+β+θ=210°
C．α+β-θ=180° D．α+β-θ=150°
4．方程|2x-3|+|3x+5|=6实数根的情况为（　　)
A．没有实数根 B．有1个实数根
C．有2个实数根 D．有无数个实数根
5．如图，在线段上任取一点，点为的中点，以为圆心，分别以，，为半径作圆，设这三个圆从小到大的半径分别为，，，周长分别为，，，面积分别为，，、则以下结论：①，②，③，其中正确的是（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
6．已知m，n，p，q为整数，且q为负整数，满足，，，则的最小值为（　　）
A． B．7 C． D．5
二、填空题（本题有6小题，每小题6分，共36分)
7． 如图，AB∥CD，则x+y=　 　.
8．已知，，若的值与x无关，则的值为　 　．
9． 如图，AD在∠BAC内部， 已知∠BAC=α， ∠DAC=β，AE平分∠BAC，AF平分. 则 　 　.
10． 实数x，y满足则 xy=　 　.
11． 如图，点F在△ABC内，∠C=90°，FE⊥AC于点E，FD⊥BC于点D， 且 四边形CDFE的面积分别为3，9，6，则△ABF的面积为　 　.
12． 已知a，b为正整数，且5a+b整除5b+a，则b2的最大值与最小值之和为　 　.
三、解答题（本题有4小题,分别为12, 14, 14, 14分,共54分)
13． 已知m，n是有理数，关于x的方程m（x-3)+n（3x+1)=5（x+1)
（1） 当m=2时，解该方程.
（2）若该方程有无理数解，求m，n的值.
14．
（1）在平面上画3条直线，依据同旁内角对数的多少分类画出示意图，并指出每种情况同旁内角的对数.
（2）在平面上画5条直线，最多有多少对同旁内角 并说明你的推理过程.
15． 定义： 若实数对 （a，b) 满足 ab=a+b，则称其为“等积和数对”.
（1） 若是“等积和数对”，求a的值.
（2）若（a，b)是“等积和数对”，求a的取值范围.
（3） 若（x1， y1)， （x2， y2)， （x3， y3)，……， （x2026， y2026)这2026个数对都是“等积和数对”，求的值.
16．如图，在四边形ABCD中，AD（1）求证：
（2）若 都是整数，且四边形ABCD的面积是25，求 的值.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵由题意得，
∴，
∵，
∴把代入得，
原式=．
故
【分析】
先根据已知代数式的值求出的值，再将所求代数式变形为含有的形式，最后整体代入计算即可．
2．【答案】D
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：根据三角形三边关系，可得，
∵，，
∴，
根据三角形三边关系，可得，
∵，
∴．
∵，不在该取值范围内，
∴长度的取值不可能是12．
故答案为D
【分析】
根据三角形三边关系可确定BC的取值范围，再根据已知条件BD=2，同样根据三角形三边关系求得CD的取值范围，最后逐一判断各个选项即可.
3．【答案】C
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【解答】解：由条件可知
即
故选： C.
【分析】利用平行线的性质可得 .然后根据角的和差和邻补角的定义得到，整理解答即可.
4．【答案】A
【知识点】解含绝对值符号的一元一次方程
【解析】【解答】解：分三种情况讨论：
当 时，
∵2x-3<0， 3x+5<0，
∴原方程化为(3-2x)+(-3x-5)=6，
整理得-5x=8，
解得
不满足 此解舍去，该区间无实根；
当 时，
∵2x-3≤0. 3x+5≥0.
∴原方程化为((2x-3)+(3x+5)=6，
整理得5x=4，
解得
不满足 此解舍去，该区间无实根；
综上，原方程没有实数根.
故选： A.
【分析】解含多个绝对值的方程，先求绝对值的零点，分区间去绝对值转化为一元一次方程求解，检验解是否在对应区间，即可判断根的情况.
5．【答案】A
【知识点】线段的中点；圆的周长；圆的面积
【解析】【解答】解：依题意，，，
∵点为的中点，
∴
∴，故①正确
，故②正确，
，
∴，故③错误．
故答案为A
【分析】
根据点M为AB的中点，利用线段的和差关系推导出半径R2与R1，R3的数量关系即可判断 ①；将半径关系代入圆的周长公式和面积公式可验证 ②和③ ．
6．【答案】B
【知识点】整式的加减运算；三元一次方程组的应用；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：根据题意，得，
将③代入①，得，化简得，
将代入②，得，
解得，
将代入③，得，
代入，
得，
∵q为负整数，
∴，且q为整数，
∴当q取最大负整数时，取得最小值，
∴最小值为：．
故答案为B
【分析】
先通过解方程组用q表示出m、n、p，再代入所求代数式化简，最后根据q为负整数求最小值即可．
7．【答案】105
【知识点】锯齿模型；平行公理的推论；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：分别过点G， H， I作KL∥AB， MN∥AB， OP∥AB，
则KL∥MN∥OP∥AB∥CD，
由条件可知
由条件可知
故答案为：105.
【分析】分别过点G， H， I作KL∥AB， MN∥AB， OP∥AB，即可得到KL∥MN∥OP∥AB∥CD，然后根据两直线平行，内错角相等解答即可.
8．【答案】
【知识点】整式的加减运算；多项式的项、系数与次数；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵，，
∴
∵的值与x无关，
∴，，
解得：，，
∴．
故答案为
【分析】
先求出的表达式，根据的值与x无关这一条件，可求得，，最后代入代数式进行计算即可．
9．【答案】
【知识点】角平分线的概念；角的双角平分线差型
【解析】【解答】解：AE平分
AF 平分
故答案为：
【分析】根据角平分线定义得 即得根据角的和差解答即可
10．【答案】3或15
【知识点】解二元一次方程组；化简含绝对值有理数
【解析】【解答】解：设
原方程组转化为：
将第一个方程乘2得2a+2b=10，
用第二个方程减该式得a=2，
代入得b=3，
即：
当x=3时， 即3-y=2或3-y=-2，
解得：y=1或y=5
或xy=3×5=15
当x=-3时， 即-3-y=2或-3-y=-2，
解得：y=-1或y=-5
或
综上， xy的值为3或15.
故答案为：3或15.
【分析】设原方程组转化为： ，进而得出| 分类讨论，即可求解.
11．【答案】6
【知识点】三角形的面积；几何图形的面积计算-割补法；平行四边形的面积
【解析】【解答】解： 于点E， 于点D，且 四边形CDFE的面积分别为3，9，6，
∴△AEF的面积 的面积
四边形CDFE的面积=CE·EF=CD·DF=CD·CE=6，
设CD=a， CE=b，则AE=b， BD=3a， ab=6，
∴AC=AE+CE=2b， BC=BD+CD=4a，
∴24
∴△ABF的面积为 .
故答案为：6.
【分析】由题意可得 的面积 DF的面积 四边形CDFE的面积 设CD=a，CE=b，则AE=b，BD=3a，ab=6，求出 的面积为24，即可得出结果.
12．【答案】20
【知识点】数的整除性；枚举法
【解析】【解答】解：由题意得，设 (k为正整数)，
5b+a=5ak+bk，
5b-bk=5ak-a，
b(5-k)=a(5k-1)，
∵k为正整数，且a，b为正整数，
∴k=1， 2， 3， 4，
∴当k=4时，
当k=1时，
当k=2时，
当k=3时，
当k=1时，
∴最小值为1，最大值为19，
∴两者之和为1+19=20.
故答案为：20.
【分析】设 整理得 由a，b为正整数，得5-k>0且5k-1>0，即 故k=1，2， 3， 4.代入到 中进行计算，进而即可求解.
13．【答案】（1）解：当m=2时，原方程为2(x-3)+n(3x+1)=5(x+1)，
整理可得：(3n-3)x=11-n，
∴当3n-3=0，即n=1时，方程变为 此方程无解，
当3n-3≠0，即n≠1时，方程的解为
（2）解：由条件可知mx-3m+3nx+n=5x+5，
∵该方程有无数解，且m，n是有理数，
解得：m=-1，n=2.
【知识点】已知一元一次方程的解求参数；解系数含参的一元一次方程
【解析】【分析】(1)当m=2时，原方程为2(x-3)+n(3x+1)=5(x+1)，整理可得((3n-3)x=11-n，分情况求解即可得出结果；
(2)将原方程整理可得((m+3n-5)x=3m-n+5，再结合该方程有无数解，且m，n是有理数，得出
求解即可得出结果.
14．【答案】（1）解：(1)当三条直线平行或相交于一点，没有同旁内角，如图所示，当其中两条直线平行与第三条直线相交，则有2对同旁内角，如图所示，当三条直线两两相交，则有6对同旁内角，如图所示，
（2）解：任取3条直线同旁内角最多有6对，5条直线中任取3条直线有10组，
∴最多共有6×10=60对同旁内角.
【知识点】同旁内角的概念；分类讨论
【解析】【分析】(1)分类讨论3条直线的位置关系，分别是三条直线平行或相交于一点、两条直线平行与第三条直线相交、三条直线两两相交，即可得出同旁内角的对数；
(2)需先确定5条直线最多形成同旁内角的条件(两两相交且不交于同一点)，再计算任取3条直线的组合数，乘以每组最大的同旁内角对数.
15．【答案】（1）解：由新定义可知
（2）解：由新定义可知ab=a+b，
∵对b有解，
（3）解：由新定义可知ab=a+b，且ab≠0时，
同理可得：
∴
=
=2026.
【知识点】分母有理化；解系数含参的一元一次方程；整式条件求值
【解析】【分析】(1)根据“等积和数对”的定义计算即可得出结果；
(2)根据“等积和数对”的定义计算即可得出结果；
(3)根据“等积和数对”的定义可得ab=a+b，从而得出 同理可得 由此计算即可得出结果.
16．【答案】（1）证明：作 交AB于点F，
则
（2）解：∵△ADE与△ABE等高，
同理可得
由题意可得：
由于 且 都是整数，5+6+6+8=25，5+7+7+8=27，6+7+7+8=28，5+6+6+7=24，均不符合题意，
当 时，没有满足题意的 故不符合题意；
当 时，此时 符合题意；
当 时，没有满足题意的 故不符合题意；
当 时，此时 符合题意；综上所述， 或4.
【知识点】三角形的面积；平行公理的推论；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】(1)作 交AB于点F，证明出 得出 即可得证；
(2)由题意可得 从而得出 由于 且 都是整数，6+7+7+8=28，5+6+6+7=24，5+7+7+8=27，均不符合题意，进而得出 分情况计算即可得出结果.
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