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浙江嘉兴市2025-2026学年八年级下学期3月素养测试数学试卷
1．若 则 　 　.
【答案】2
【知识点】分母有理化；二次根式的混合运算；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：，
∴
．
故答案为：2.
【分析】先将分母有理化，再将变形为，然后代入计算即可．
2．已知的周长是12，，则边的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】解一元一次不等式组；三角形三边关系
【解析】【解答】解：设，由可得，
又∵的周长为，
∴．
则，解得：，
根据三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，可列不等式组：，
解第一个不等式得，
解第二个不等式得，
解第三个不等式得，
综上得，，
即．
故
【分析】
设AC为x，用x表示AB和BC的长度，根据三角形三边的关系列出不等式组，即可得到AC的取值范围.
3．如图，题目中的部分文字被墨水污染无法辨认，导致题目因缺少条件而无法解答．经查看答案解析发现，若设第一次购买了x个魔方，则可列方程进行解答．则被墨水污染部分的文字为：这次商家每个魔方　 　5元（填“涨价”或“优惠”），结果比上次　 　买了10个（填“多”或“少”）．
【答案】优惠；少
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：∵设第一次购买了x个魔方，
∴方程中表示第二次购买魔方的数量，
∴第二次购买魔方的数量比第一次少10个，
∵表示第一次购买魔方时，魔方的单价，表示第二次购买魔方时，魔方的单价，且，
∴第二次购买魔方的单价比第一次购买魔方的单价少5元，
∴第二次购买魔方时，每个魔方优惠5元，结果比上次少买了10个．
故答案为：优惠；少
【分析】
根据方程分析两次购买的单价关系和数量关系，从而确定被污染的文字内容即可.
4．若，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】完全平方公式及运用；开平方（求平方根）
【解析】【解答】解：根据完全平方公式得：
，
，
，
∴．
故答案为：
【分析】
先利用完全平方公式展开（a+b)2和（a-b)2，结合已知条件求出它们的值，再计算比值的平方，最后开方得到结果即可.
5．已知不等式的自然数解有4个，则a的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】解一元一次不等式；一元一次不等式的特殊解
【解析】【解答】解：（1）当时，不等式的解集为：，
自然数解一定有无数个，故不满足条件．
（2）当时，不等式恒成立，其自然数解有无数个，不满足题意；
（3）当时，不等式的解集为：，
∵不等式的自然数解有4个，
∴不等式的自然数解是0，1，2，3，
，
解得：．
故的取值范围是．
【分析】
需分情况讨论a的取值（a0、a＝0、a0)，确定不等式解集，根据自然数解有4个，得出a的取值范围.
6．已知关于，的二元一次方程组，给出下列结论中正确的是　 　．
①当这个方程组的解，的值互为相反数时，；②当时，方程组的解也是方程的解；③无论取什么实数，的值始终不变；④若用表示，则
【答案】①③④
【知识点】二元一次方程的解；解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：
当这个方程组的解，的值互为相反数时，
即，
两方程相加，得，
，
解得；故正确；
当时，原方程组可化简为
解得
方程，
左边可化为：，
右边可化为：，
所以左边右边，
故错误；
可得：，
即，
所以无论取什么实数，的值始终为，故正确；
由知，
，故正确；
故答案为．
【分析】
先通过加减消元法求出x+y的表达式，解方程组可得到x，y关于a的表达式，再分别验证四个结论即可.
7．已知，点在射线上，以点为圆心，长为半径画弧，交射线于点．若分别以点，为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，连接，则的度数为　 　．
【答案】或
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：连接，，．
由作图可知：，．
是等边三角形
．
在中，，
．
分两种情况：
① 当点在靠近点一侧时．
．
② 当点在远离点一侧时．
．
故答案为：或
【分析】
先确定为等腰三角形并求出底角；再根据AC=AB、BC=AB判断为等边三角形，分点C在内部和外部两种情况，计算度数即可.
8．如图，在中，，，点D为边上一动点，将沿折叠得到，与交于点F，则的最大值为　 　．
【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形的面积；勾股定理；翻折变换（折叠问题）；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：过A点作于H点，如图，
∵，，
∴，
在中，
∵，
∴，
∵沿折叠得到，
∴，
∴，
∴当最短时，最大，
此时，
∵，
∴，
∴的最大值为，
故答案为：．
【分析】过A点作于H点，如图，根据等腰三角形的三线合一得到，再利用勾股定理计算出；由折叠的性质得到，由于，故最短时最大，根据垂线段最短，当时BF最短，然后利用等面积法求出此时的长，从而得到的最大值．
9．如图，在中，，分别以的三边为边在的同侧作三个正方形，顶点恰为的中点，若阴影部分（四边形）的面积为9，则正方形的面积为　 　．
【答案】45
【知识点】三角形的面积；直角三角形全等的判定-HL；勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：∵四边形和四边形都是正方形，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵点为的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，即，
∵，阴影部分（四边形）的面积为9，
∴，
∴，
∴正方形的面积为．
故
【分析】
通过证明三角形全等（和）来建立线段之间的数量关系（BC=2AC）及面积之间的数量关系，最后利用勾股定理求解正方形面积即可.
10．已知一次函数和正比例函数，过点作平行于y轴的直线分别交直线，于点B和点C，若在的范围内，恒成立，则k的取值范围为　 　．
【答案】且
【知识点】解一元一次不等式；不等式的性质；一次函数的实际应用-几何问题；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：过点作平行于轴的直线为．
将代入，得．
将代入，得．
∴．
由题意，时，恒成立，
即，化简得．
情况1：当时，，不等式恒成立．
情况2：当时，，
不等式两边同时除以（，不等号方向不变），得，
对于在范围内恒成立，
∵，越大，越大，当时，取得最大值，
∴，解得．
对于在范围内恒成立，解得．
又∵是一次函数，，
∴的取值范围为且．
故答案为：且
【分析】
先求出点B、C的坐标，计算BC的长度表达式，再根据绝对值不等式在给定的范围内恒成立的条件，分情况讨论求解k的取值范围.
11．北京风筝制作技艺是国家级非物质文化遗产．为制作一只京燕风筝，小明准备了五根直竹条（如图1）：一根门条、两根等长的膀条和两根等长的尾条．他将门条和膀条分别烤弯后与尾条一起扎成风筝的骨架（如图2），其头部高、胸腹高与尾部高的比是．已知单根膀条长是胸腹高的5倍，门条比单根膀条短10cm，图1中的长是门条长的，的长均等于胸腹高．求这只风筝的骨架的总高．
【答案】解：设胸腹高为，则单根膀条长为，门条的长度为，，，头部高为x，尾部高为，这只风筝的骨架的总高为，
由，可得：，解得：；
所以这只风筝的骨架的总高．
答：这只风筝的骨架的总高．
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【分析】设胸腹高为，则单根膀条长为，门条的长度为，，，头部高为x，尾部高为，这只风筝的骨架的总高为，根据建立方程，解方程即可求出答案.
12．如图，直线与x，y轴分别交于A，B两点，点M在线段上，将沿直线折叠，此时点B恰好落在点处．
（1）求a的值；
（2）求直线的解析式；
（3）若点C在坐标轴上，是等腰三角形，请直接写出点C的坐标．
【答案】（1）解：当时，，即，，
当时，，即，，
∴，
∵将沿直线折叠，此时点B恰好落在点处，
∴，
∴，
即；
（2）解：设，则，
将沿直线折叠，此时点B恰好落在点处，
∴，
在中，在中，
∴，
解得：，
即，
∴，
设直线的解析式为，
将、代入得，
解得：，
∴直线的解析式为；
（3）、；、；、．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；勾股定理；翻折变换（折叠问题）；坐标系中的两点距离公式；等腰三角形的概念
【解析】【解答】
（3）
解：①以为腰，点B为顶角顶点时，如图：
∵，
∴，，
即点C的坐标为、；
以为腰，点A为顶角顶点，如图：
同理可得点C的坐标为、；
以为底，如图：作的垂直平分线交轴于，交轴于，
设
∵，
∴，
解得：，
即，
设，
∵，
∴，解得，
∴；
综上所述，点C的坐标为、、、、、．
【分析】
（1）利用一次函数求出A，B坐标，结合勾股定理求出AB的长，根据折叠性质AB'=AB确定B'的坐标；
（2）设，在中，根据勾股定理列方程求出的值，再根据待定系数法求解即可；
（3）分类讨论为等腰三角形的三种情况（AB=AC，AB=BC，AC=BC），结合点C在坐标轴上的条件求解即可.
（1）解：当时，，即，，
当时，，即，，
∴，
∵将沿直线折叠，此时点B恰好落在点处，
∴，
∴，
即；
（2）解：设，则，
将沿直线折叠，此时点B恰好落在点处，
∴，
在中，在中，
∴，
解得：，
即，
∴，
设直线的解析式为，
将、代入得，
解得：，
∴直线的解析式为；
（3）解：①以为腰，点B为顶角顶点时，如图：
∵，
∴，，
即点C的坐标为、；
以为腰，点A为顶角顶点，如图：
同理可得点C的坐标为、；
以为底，如图：作的垂直平分线交轴于，交轴于，
设
∵，
∴，
解得：，
即，
设，
∵，
∴，解得，
∴；
综上所述，点C的坐标为、、、、、．
13．如图，在等腰中，，点在线段上，点在的延长线上，连接，并延长交于点，且．
（1）求证：；
（2）过点作，交于点，猜想线段满足的数量关系，并证明；
（3）若为中点，求的值．
【答案】（1）证明：∵等腰中，，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；

（2）解：，证明如下：
如图，∵，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
即；
（3）解：连接，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵为中点，，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∴．

【知识点】直角三角形全等的判定-HL；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理
【解析】【分析】（）利用“HL”判定直角三角形全等，进而利用全等三角形对应角相等证明垂直即可；
（）通过作辅助线，由条件可证明是等腰直角三角形，可得，再由全等三角形的性质得，即得，即可求证；
（）连接，由等腰直角三角形的性质得，由线段垂直平分线的性质得，即得，即可求解；
（1）证明：∵等腰中，，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：，证明如下：
如图，∵，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
即；
（3）解：连接，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵为中点，，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∴．
14．【综合实践】新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减少了二氧化碳等气体的排放，从而达到保护环境的目的．
【实验操作】为了解汽车电池需要多久能充满，以及充满电量状态下电动汽车的最大行驶里程，某综合实践小组设计两组实验．
实验：探究电池充电状态下电动汽车仪表盘增加的电量（）与时间（分钟）的关系，数据记录如表1：
电池充电状态
时间（分钟） 0 10 30 60
增加的电量（%） 0 10 30 60
实验Ⅱ：探究充满电量状态下电动汽车行驶过程中仪表盘显示剩余电量e（%）与行驶里程（千米）的关系，数据记录如表2：
汽车行驶过程
已行驶里程（千米） 0 160 200 280
显示剩余电量（%） 100 60 50 30
【建立模型】（1）观察表1、表2发现都是一次函数模型，请结合表1、表2的数据，直接写出函数关系式（不写自变量的取值范围）：关于的函数表达式为________；关于的函数表达式为________；
【解决问题】（2）某电动汽车在充满电量的状态下，从A地出发前往距出发点千米的B地，在途中服务区进行一次充电后继续行驶，其已行驶里程数（）和显示剩余电量（）函数关系如图所示；
①该车进入服务区充电前显示剩余电量的值为________；
②该车中途充电用了________分钟；
③当汽车显示剩余电量的值为时，该车距出发点地多少千米？
【答案】（1）；；
（2）①；②
③当汽车显示剩余电量的值为时，即：，解得：；
当汽车离开服务区时，剩余电量为时，
进入服务区充电前显示剩余电量的值为，增加的电量为，
离开服务区时剩余电量为，
汽车剩余电量为的时候，耗电量为，
每行驶千米，需要消耗的电量为，
耗电行驶的路程为：（千米），
故此时该车距离出发点地：（千米）．
答：当汽车显示剩余电量的值为时，该车距出发点地千米或者千米．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：（1）由题可知：两个函数都为一次函数，设，
将代入得：
，解得：，函数解析式为：；
将代入得：
，解得：，函数解析式为：；
故答案为：；．
（2）①由图可知，，将代入，得：．
故答案为：．
②由表2可知，行驶千米时，耗电为，，
∴每行驶千米，需要消耗的电量为，
∴离开服务区走完剩余路程千米时，耗电量为，
∵该车到达时，显示剩余电量为，
∴增加的电量为：，即，
∴．
故答案为：．
【分析】本题主要考查一次函数的应用。
（1）采用待定系数法确定函数关系式；
（2）解题步骤分解为：直接将给定值代入函数关系式计算；通过计算电量变化值确定所需充电时长；分两种情形讨论：若进服务区时电量为50，直接代入函数求解； 若出服务区后电量降至50，先计算行驶过程中的电量消耗，再求对应行驶距离，最终结果需加上到达服务区的初始距离，得到距出发点A地的总距离。
15．小滨、小江在探索“求代数式的值”时发现，在一定条件下，有些代数式的值始终相等，有些代数式存在最大值或最小值．已知．
小滨：的值始终等于1．
小江：尽管的值不能被确定，但能求出最小值．其说理过程如下：，由知，当时，存在最小值2．
（1）试判断小滨的说法是否正确，并说明理由．
（2）在的条件下，下列代数式：①；②；③；④（，n为整数）．
（i）值始终保持不变的代数式有：________（填序号）；
根据这些代数式的特点，写出一个类似的、值始终保持不变的代数式________．
（ii）上述分式中是否存在最大值或者最小值，若有，请求出此分式的最大（或最小）值；若没有，请说明理由．
【答案】（1）解：小滨的说法正确，理由如下：
∵，
∴
，
∴小滨的说法正确；
（2）（i）①②④；；
（ii）
；
，
，
∵，
∴当时，有最小值，最小值为9，
∴当时，有最大值，最大值为，
∴当时，有最小值，最小值为；
∵无最大值，
∴无最小值，即没有最大值，
∴有最小值，没有最大值．
【知识点】完全平方公式及运用；分式的加减法；约分
【解析】【分析】
（2）
解：（i）①∵，
∴
；
②
；
③当时，，
当时，，
∴的值不是定值；
④
；
∴①②④是定值，③不是定值；
满足题意的式子可以为，证明如下：
；
【分析】
（1）将代数式变形为，再进行化简即可得到结论；
（2）（i）分别对四个代数式在ab=1的条件下化简，判断是否为定值，根据定值代数式的结构特征构造类似代数式即可；
（ii）把通分得到，进一步得到；再证明，从而得到当时，有最小值，最小值为9，且无最大值，据此可得结论．
（1）解：小滨的说法正确，理由如下：
∵，
∴
，
∴小滨的说法正确；
（2）解：（i）①∵，
∴
；
②
；
③当时，，
当时，，
∴的值不是定值；
④
；
∴①②④是定值，③不是定值；
满足题意的式子可以为，证明如下：
；
（ii）
；
，
，
∵，
∴当时，有最小值，最小值为9，
∴当时，有最大值，最大值为，
∴当时，有最小值，最小值为；
∵无最大值，
∴无最小值，即没有最大值，
∴有最小值，没有最大值．
16．综合与实践
【问题背景】
（1）如图1，在和中，，点为边的中点，连结，，．求证：为等腰三角形．
【特例研究】
（2）在（1）的条件下，若，求证：平分．
【拓展延伸】
（3）如图2，在中，，点在边上，，，，点，分别为线段，的中点，连结，．若，，求线段的长．
【答案】【问题背景】
解：在中，，点为边的中点，
∴，
同理，可证，
∴，
∴为等腰三角形．
【特例研究】
解：∵，，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴平分．
【拓展延伸】
解：连接，，过点作交于点，过点作交于点，如下图所示：
∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，，，
令，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴为直角三角形，
令，则，
在中，，
即，
解得，
即，，
∵点为中点，
∴，
同理，可得，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，点为中点，
∴，
故为直角三角形，
∴，
故线段的长为．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】
【问题背景】
利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可证出，从而得到解答；
【特例研究】根据等腰三角形"三线合一“性质证明DOBC，结合=90°推出DOAB，再利用平行线性质和等腰三角形性质证明角相等即可；
【拓展延伸】连接，，过点作交于点，过点作交于点，先证明，根据角度关系，证明为直角三角形，并结合勾股定理，求出，的长度，即可得出的长度，再证明，根据勾股定理依次求出、、的长度，证明为直角三角形，即可根据勾股定理求出的长度．
1 / 1浙江嘉兴市2025-2026学年八年级下学期3月素养测试数学试卷
1．若 则 　 　.
2．已知的周长是12，，则边的取值范围是　 　．
3．如图，题目中的部分文字被墨水污染无法辨认，导致题目因缺少条件而无法解答．经查看答案解析发现，若设第一次购买了x个魔方，则可列方程进行解答．则被墨水污染部分的文字为：这次商家每个魔方　 　5元（填“涨价”或“优惠”），结果比上次　 　买了10个（填“多”或“少”）．
4．若，则的值为　 　．
5．已知不等式的自然数解有4个，则a的取值范围是　 　．
6．已知关于，的二元一次方程组，给出下列结论中正确的是　 　．
①当这个方程组的解，的值互为相反数时，；②当时，方程组的解也是方程的解；③无论取什么实数，的值始终不变；④若用表示，则
7．已知，点在射线上，以点为圆心，长为半径画弧，交射线于点．若分别以点，为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，连接，则的度数为　 　．
8．如图，在中，，，点D为边上一动点，将沿折叠得到，与交于点F，则的最大值为　 　．
9．如图，在中，，分别以的三边为边在的同侧作三个正方形，顶点恰为的中点，若阴影部分（四边形）的面积为9，则正方形的面积为　 　．
10．已知一次函数和正比例函数，过点作平行于y轴的直线分别交直线，于点B和点C，若在的范围内，恒成立，则k的取值范围为　 　．
11．北京风筝制作技艺是国家级非物质文化遗产．为制作一只京燕风筝，小明准备了五根直竹条（如图1）：一根门条、两根等长的膀条和两根等长的尾条．他将门条和膀条分别烤弯后与尾条一起扎成风筝的骨架（如图2），其头部高、胸腹高与尾部高的比是．已知单根膀条长是胸腹高的5倍，门条比单根膀条短10cm，图1中的长是门条长的，的长均等于胸腹高．求这只风筝的骨架的总高．
12．如图，直线与x，y轴分别交于A，B两点，点M在线段上，将沿直线折叠，此时点B恰好落在点处．
（1）求a的值；
（2）求直线的解析式；
（3）若点C在坐标轴上，是等腰三角形，请直接写出点C的坐标．
13．如图，在等腰中，，点在线段上，点在的延长线上，连接，并延长交于点，且．
（1）求证：；
（2）过点作，交于点，猜想线段满足的数量关系，并证明；
（3）若为中点，求的值．
14．【综合实践】新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减少了二氧化碳等气体的排放，从而达到保护环境的目的．
【实验操作】为了解汽车电池需要多久能充满，以及充满电量状态下电动汽车的最大行驶里程，某综合实践小组设计两组实验．
实验：探究电池充电状态下电动汽车仪表盘增加的电量（）与时间（分钟）的关系，数据记录如表1：
电池充电状态
时间（分钟） 0 10 30 60
增加的电量（%） 0 10 30 60
实验Ⅱ：探究充满电量状态下电动汽车行驶过程中仪表盘显示剩余电量e（%）与行驶里程（千米）的关系，数据记录如表2：
汽车行驶过程
已行驶里程（千米） 0 160 200 280
显示剩余电量（%） 100 60 50 30
【建立模型】（1）观察表1、表2发现都是一次函数模型，请结合表1、表2的数据，直接写出函数关系式（不写自变量的取值范围）：关于的函数表达式为________；关于的函数表达式为________；
【解决问题】（2）某电动汽车在充满电量的状态下，从A地出发前往距出发点千米的B地，在途中服务区进行一次充电后继续行驶，其已行驶里程数（）和显示剩余电量（）函数关系如图所示；
①该车进入服务区充电前显示剩余电量的值为________；
②该车中途充电用了________分钟；
③当汽车显示剩余电量的值为时，该车距出发点地多少千米？
15．小滨、小江在探索“求代数式的值”时发现，在一定条件下，有些代数式的值始终相等，有些代数式存在最大值或最小值．已知．
小滨：的值始终等于1．
小江：尽管的值不能被确定，但能求出最小值．其说理过程如下：，由知，当时，存在最小值2．
（1）试判断小滨的说法是否正确，并说明理由．
（2）在的条件下，下列代数式：①；②；③；④（，n为整数）．
（i）值始终保持不变的代数式有：________（填序号）；
根据这些代数式的特点，写出一个类似的、值始终保持不变的代数式________．
（ii）上述分式中是否存在最大值或者最小值，若有，请求出此分式的最大（或最小）值；若没有，请说明理由．
16．综合与实践
【问题背景】
（1）如图1，在和中，，点为边的中点，连结，，．求证：为等腰三角形．
【特例研究】
（2）在（1）的条件下，若，求证：平分．
【拓展延伸】
（3）如图2，在中，，点在边上，，，，点，分别为线段，的中点，连结，．若，，求线段的长．
答案解析部分
1．【答案】2
【知识点】分母有理化；二次根式的混合运算；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：，
∴
．
故答案为：2.
【分析】先将分母有理化，再将变形为，然后代入计算即可．
2．【答案】
【知识点】解一元一次不等式组；三角形三边关系
【解析】【解答】解：设，由可得，
又∵的周长为，
∴．
则，解得：，
根据三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，可列不等式组：，
解第一个不等式得，
解第二个不等式得，
解第三个不等式得，
综上得，，
即．
故
【分析】
设AC为x，用x表示AB和BC的长度，根据三角形三边的关系列出不等式组，即可得到AC的取值范围.
3．【答案】优惠；少
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：∵设第一次购买了x个魔方，
∴方程中表示第二次购买魔方的数量，
∴第二次购买魔方的数量比第一次少10个，
∵表示第一次购买魔方时，魔方的单价，表示第二次购买魔方时，魔方的单价，且，
∴第二次购买魔方的单价比第一次购买魔方的单价少5元，
∴第二次购买魔方时，每个魔方优惠5元，结果比上次少买了10个．
故答案为：优惠；少
【分析】
根据方程分析两次购买的单价关系和数量关系，从而确定被污染的文字内容即可.
4．【答案】
【知识点】完全平方公式及运用；开平方（求平方根）
【解析】【解答】解：根据完全平方公式得：
，
，
，
∴．
故答案为：
【分析】
先利用完全平方公式展开（a+b)2和（a-b)2，结合已知条件求出它们的值，再计算比值的平方，最后开方得到结果即可.
5．【答案】
【知识点】解一元一次不等式；一元一次不等式的特殊解
【解析】【解答】解：（1）当时，不等式的解集为：，
自然数解一定有无数个，故不满足条件．
（2）当时，不等式恒成立，其自然数解有无数个，不满足题意；
（3）当时，不等式的解集为：，
∵不等式的自然数解有4个，
∴不等式的自然数解是0，1，2，3，
，
解得：．
故的取值范围是．
【分析】
需分情况讨论a的取值（a0、a＝0、a0)，确定不等式解集，根据自然数解有4个，得出a的取值范围.
6．【答案】①③④
【知识点】二元一次方程的解；解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：
当这个方程组的解，的值互为相反数时，
即，
两方程相加，得，
，
解得；故正确；
当时，原方程组可化简为
解得
方程，
左边可化为：，
右边可化为：，
所以左边右边，
故错误；
可得：，
即，
所以无论取什么实数，的值始终为，故正确；
由知，
，故正确；
故答案为．
【分析】
先通过加减消元法求出x+y的表达式，解方程组可得到x，y关于a的表达式，再分别验证四个结论即可.
7．【答案】或
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：连接，，．
由作图可知：，．
是等边三角形
．
在中，，
．
分两种情况：
① 当点在靠近点一侧时．
．
② 当点在远离点一侧时．
．
故答案为：或
【分析】
先确定为等腰三角形并求出底角；再根据AC=AB、BC=AB判断为等边三角形，分点C在内部和外部两种情况，计算度数即可.
8．【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形的面积；勾股定理；翻折变换（折叠问题）；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：过A点作于H点，如图，
∵，，
∴，
在中，
∵，
∴，
∵沿折叠得到，
∴，
∴，
∴当最短时，最大，
此时，
∵，
∴，
∴的最大值为，
故答案为：．
【分析】过A点作于H点，如图，根据等腰三角形的三线合一得到，再利用勾股定理计算出；由折叠的性质得到，由于，故最短时最大，根据垂线段最短，当时BF最短，然后利用等面积法求出此时的长，从而得到的最大值．
9．【答案】45
【知识点】三角形的面积；直角三角形全等的判定-HL；勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：∵四边形和四边形都是正方形，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵点为的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，即，
∵，阴影部分（四边形）的面积为9，
∴，
∴，
∴正方形的面积为．
故
【分析】
通过证明三角形全等（和）来建立线段之间的数量关系（BC=2AC）及面积之间的数量关系，最后利用勾股定理求解正方形面积即可.
10．【答案】且
【知识点】解一元一次不等式；不等式的性质；一次函数的实际应用-几何问题；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：过点作平行于轴的直线为．
将代入，得．
将代入，得．
∴．
由题意，时，恒成立，
即，化简得．
情况1：当时，，不等式恒成立．
情况2：当时，，
不等式两边同时除以（，不等号方向不变），得，
对于在范围内恒成立，
∵，越大，越大，当时，取得最大值，
∴，解得．
对于在范围内恒成立，解得．
又∵是一次函数，，
∴的取值范围为且．
故答案为：且
【分析】
先求出点B、C的坐标，计算BC的长度表达式，再根据绝对值不等式在给定的范围内恒成立的条件，分情况讨论求解k的取值范围.
11．【答案】解：设胸腹高为，则单根膀条长为，门条的长度为，，，头部高为x，尾部高为，这只风筝的骨架的总高为，
由，可得：，解得：；
所以这只风筝的骨架的总高．
答：这只风筝的骨架的总高．
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【分析】设胸腹高为，则单根膀条长为，门条的长度为，，，头部高为x，尾部高为，这只风筝的骨架的总高为，根据建立方程，解方程即可求出答案.
12．【答案】（1）解：当时，，即，，
当时，，即，，
∴，
∵将沿直线折叠，此时点B恰好落在点处，
∴，
∴，
即；
（2）解：设，则，
将沿直线折叠，此时点B恰好落在点处，
∴，
在中，在中，
∴，
解得：，
即，
∴，
设直线的解析式为，
将、代入得，
解得：，
∴直线的解析式为；
（3）、；、；、．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；勾股定理；翻折变换（折叠问题）；坐标系中的两点距离公式；等腰三角形的概念
【解析】【解答】
（3）
解：①以为腰，点B为顶角顶点时，如图：
∵，
∴，，
即点C的坐标为、；
以为腰，点A为顶角顶点，如图：
同理可得点C的坐标为、；
以为底，如图：作的垂直平分线交轴于，交轴于，
设
∵，
∴，
解得：，
即，
设，
∵，
∴，解得，
∴；
综上所述，点C的坐标为、、、、、．
【分析】
（1）利用一次函数求出A，B坐标，结合勾股定理求出AB的长，根据折叠性质AB'=AB确定B'的坐标；
（2）设，在中，根据勾股定理列方程求出的值，再根据待定系数法求解即可；
（3）分类讨论为等腰三角形的三种情况（AB=AC，AB=BC，AC=BC），结合点C在坐标轴上的条件求解即可.
（1）解：当时，，即，，
当时，，即，，
∴，
∵将沿直线折叠，此时点B恰好落在点处，
∴，
∴，
即；
（2）解：设，则，
将沿直线折叠，此时点B恰好落在点处，
∴，
在中，在中，
∴，
解得：，
即，
∴，
设直线的解析式为，
将、代入得，
解得：，
∴直线的解析式为；
（3）解：①以为腰，点B为顶角顶点时，如图：
∵，
∴，，
即点C的坐标为、；
以为腰，点A为顶角顶点，如图：
同理可得点C的坐标为、；
以为底，如图：作的垂直平分线交轴于，交轴于，
设
∵，
∴，
解得：，
即，
设，
∵，
∴，解得，
∴；
综上所述，点C的坐标为、、、、、．
13．【答案】（1）证明：∵等腰中，，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；

（2）解：，证明如下：
如图，∵，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
即；
（3）解：连接，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵为中点，，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∴．

【知识点】直角三角形全等的判定-HL；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理
【解析】【分析】（）利用“HL”判定直角三角形全等，进而利用全等三角形对应角相等证明垂直即可；
（）通过作辅助线，由条件可证明是等腰直角三角形，可得，再由全等三角形的性质得，即得，即可求证；
（）连接，由等腰直角三角形的性质得，由线段垂直平分线的性质得，即得，即可求解；
（1）证明：∵等腰中，，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：，证明如下：
如图，∵，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
即；
（3）解：连接，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵为中点，，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∴．
14．【答案】（1）；；
（2）①；②
③当汽车显示剩余电量的值为时，即：，解得：；
当汽车离开服务区时，剩余电量为时，
进入服务区充电前显示剩余电量的值为，增加的电量为，
离开服务区时剩余电量为，
汽车剩余电量为的时候，耗电量为，
每行驶千米，需要消耗的电量为，
耗电行驶的路程为：（千米），
故此时该车距离出发点地：（千米）．
答：当汽车显示剩余电量的值为时，该车距出发点地千米或者千米．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：（1）由题可知：两个函数都为一次函数，设，
将代入得：
，解得：，函数解析式为：；
将代入得：
，解得：，函数解析式为：；
故答案为：；．
（2）①由图可知，，将代入，得：．
故答案为：．
②由表2可知，行驶千米时，耗电为，，
∴每行驶千米，需要消耗的电量为，
∴离开服务区走完剩余路程千米时，耗电量为，
∵该车到达时，显示剩余电量为，
∴增加的电量为：，即，
∴．
故答案为：．
【分析】本题主要考查一次函数的应用。
（1）采用待定系数法确定函数关系式；
（2）解题步骤分解为：直接将给定值代入函数关系式计算；通过计算电量变化值确定所需充电时长；分两种情形讨论：若进服务区时电量为50，直接代入函数求解； 若出服务区后电量降至50，先计算行驶过程中的电量消耗，再求对应行驶距离，最终结果需加上到达服务区的初始距离，得到距出发点A地的总距离。
15．【答案】（1）解：小滨的说法正确，理由如下：
∵，
∴
，
∴小滨的说法正确；
（2）（i）①②④；；
（ii）
；
，
，
∵，
∴当时，有最小值，最小值为9，
∴当时，有最大值，最大值为，
∴当时，有最小值，最小值为；
∵无最大值，
∴无最小值，即没有最大值，
∴有最小值，没有最大值．
【知识点】完全平方公式及运用；分式的加减法；约分
【解析】【分析】
（2）
解：（i）①∵，
∴
；
②
；
③当时，，
当时，，
∴的值不是定值；
④
；
∴①②④是定值，③不是定值；
满足题意的式子可以为，证明如下：
；
【分析】
（1）将代数式变形为，再进行化简即可得到结论；
（2）（i）分别对四个代数式在ab=1的条件下化简，判断是否为定值，根据定值代数式的结构特征构造类似代数式即可；
（ii）把通分得到，进一步得到；再证明，从而得到当时，有最小值，最小值为9，且无最大值，据此可得结论．
（1）解：小滨的说法正确，理由如下：
∵，
∴
，
∴小滨的说法正确；
（2）解：（i）①∵，
∴
；
②
；
③当时，，
当时，，
∴的值不是定值；
④
；
∴①②④是定值，③不是定值；
满足题意的式子可以为，证明如下：
；
（ii）
；
，
，
∵，
∴当时，有最小值，最小值为9，
∴当时，有最大值，最大值为，
∴当时，有最小值，最小值为；
∵无最大值，
∴无最小值，即没有最大值，
∴有最小值，没有最大值．
16．【答案】【问题背景】
解：在中，，点为边的中点，
∴，
同理，可证，
∴，
∴为等腰三角形．
【特例研究】
解：∵，，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴平分．
【拓展延伸】
解：连接，，过点作交于点，过点作交于点，如下图所示：
∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，，，
令，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴为直角三角形，
令，则，
在中，，
即，
解得，
即，，
∵点为中点，
∴，
同理，可得，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，点为中点，
∴，
故为直角三角形，
∴，
故线段的长为．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】
【问题背景】
利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可证出，从而得到解答；
【特例研究】根据等腰三角形"三线合一“性质证明DOBC，结合=90°推出DOAB，再利用平行线性质和等腰三角形性质证明角相等即可；
【拓展延伸】连接，，过点作交于点，过点作交于点，先证明，根据角度关系，证明为直角三角形，并结合勾股定理，求出，的长度，即可得出的长度，再证明，根据勾股定理依次求出、、的长度，证明为直角三角形，即可根据勾股定理求出的长度．
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