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浙江省杭州市西湖区十三中2025-2026学年八年级上学期期中数学卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列图形中，是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：选项A、B、D均不能找到这样的一条直线使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
选项C能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故答案为：C.
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形.
2．若一个三角形的两边长分别为6cm和8cm，则第三边的长可能是（　　）
A．1cm B．2cm C．12cm D．14cm
【答案】C
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：设三角形第三边长是xcm，
由三角形三边关系定理得：8-6∴2∴第三边长可能是12cm.
故答案为：C.
【分析】三角形两边之和大于第三边，三角形两边的差小于第三边，设三角形第三边长是xcm，得到23．若a>b，则下列不等式一定成立的是（　　）
A．3a>b+1 B．a+1>b+1 C．-2a>-2b D．|a|>|b|
【答案】B
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：a>b，不妨设a=0.2，b=0.1，则3aa>b，不妨设a=1，b=-2，则a∵a>b，
∴a+1>b+1，-2a<-2b，
故选项B符合题意，选项C不符合题意，
故答案为：B.
【分析】根据不等式的基本性质，即可求解.
4．下列命题中，是真命题的是（　　）
A．无理数的相反数是有理数 B．相等的角是对顶角
C．若|a|=1， 则a=1 D．0的平方根和立方根都是0
【答案】D
【知识点】对顶角及其性质；相反数的意义与性质；绝对值的概念与意义；平方根的概念与表示；立方根的概念与表示
【解析】【解答】解：A、无理数的相反数是无理数，本选项说法是假命题；
B、相等的角不一定是对顶角，本选项说法是假命题；
C、若|a|=1，则a=±1，本选项说法是假命题；
D、0的平方根和立方根都是0，本选项说法是真命题；
故答案为：D.
【分析】根据相反数的概念、对顶角的概念、绝对值的性质、平方根与立方根的概念判断即可.
5．如图，Rt△ABC一直角边 AB在数轴上，A 点对应的数为-1，B 点对应的数为2，BC=1，以点A 为圆心，AC长为半径画圆弧，交数轴于点 P，则点P在数轴上所表示的数是（　　）
A． B． C．2.3 D．
【答案】A
【知识点】实数在数轴上表示；勾股定理
【解析】【解答】解：由题意得，AB=2-(-1)=3，
由勾股定理，得：
∴
∵点A表示的数为-1
∴点P表示的数为，
故答案为：A.
【分析】利用勾股定理求出AC的长，进而得到AP的长，即可得出结果.
6． 如图， 在△ABC中， ∠C=90°， ∠A=30°， AB的垂直平分线交AC于点D， 交AB 于点E， 若CD=3，则AC等于（　　）
A．5 B．6 C．8 D．9
【答案】D
【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：连接BD，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴BD=AD，
∴∠ABD=∠A=30°
∴∠CBD=180°-90°-30°×2=30°
∴∠CBD=∠ABD
∴DE=CD=3
又∵∠C=90°，∠A=30°
∴AD=2DE=2×3=6，
∴AC=AD+CD=6+3=9
故答案为：D.
【分析】连接BD，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得BD=AD，再根据等边对等角求出∠ABD=∠A=30°，然后求出∠CBD=30°，然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等求出DE=CD，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AD，即可得解.
7．若方程组 的解为x， y， 且2A． B．
C．- 3【答案】A
【知识点】已知二元一次方程组的解求参数
【解析】【解答】解：
①-②得，7x-7y=k+1-3
整理得
又因为2所以
即
故答案为：A.
【分析】在本题中，结果为x-y，而在原题中两个式子相减后正好会出现关于7x-7y的一个等式，把x-y当成一个整体进行解答即可.
8． 如图， AE是△ABC的中线， AD⊥BC， AE=a， 则下列结论错误的是（　　）
A．若AB=AC， 则AE=AD B．若∠C=60°， 则
C．若AE=AC， 则BD=3CD D．若BC=2a， 则∠BAC=90°
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质-等边对等角；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：若AB=AC，则△ABC是等腰三角形，
∴△ABC底边上的中线和高共线，则AE=AD
故选项A正确；
若AE=AC，则△AEC是等腰三角形，又AD⊥BC
∴DE=DC，
∵AE是△ABC的中线
∴BE=CE=2CD，
∴BD=3CD，故选项C正确；
若BC=2a，又AE=a，
∴EB=EA，EC=EA.
∴∠B=∠EAB，∠C=∠EAC
∴
故选项D正确；
若∠C=60°，不能得到，故选项B错误；
故答案为：B.
【分析】根据等腰三角形三线合一的性质即可判断选项A；根据等腰三角形三线合一的性质求得DE=DC，即可判断选项C；根据等边对等角求得∠B=∠EAB，∠C=∠EAC，再利用三角形内角和定理即可判断选项D；由现有条件不能判断选项B正确.
9． 如图， 在△ABC中， 过点B， A作BD⊥AC， AE⊥BC， BD， AE交于点 F， 若 CD=2， 则线段BF的长度为（　　）
A．2 B． C．3 D．
【答案】C
【知识点】三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：∵BD⊥AC，AE⊥BC
∴∠BDA=∠AEC=90°，
∵∠BAC=45°
∴∠ABD=90°-∠BAD=45°，
∴∠BAD=∠ABD，
∴AD=BD=5，
∵∠FAD+∠AFD=90°，∠DBC+∠BFE=90°，∠AFD=∠BFE
∴∠FAD=∠DBC，
在△ADF与△BDC中，
∴△ADF≌△BDC(ASA)，
∴DF=CD
∴BF=BD-DF=AD-CD=5-2=3，
故答案为：C.
【分析】根据ASA证明△ADF与△BDC全等，进而利用全等三角形的性质解答即可.
10． 如图， A、B、C、D四个点顺次在直线l上， AC=a， BD=b， 以AC为底向下作等腰直角 以BD为底向上作等腰△BDF，且 连结AF， DE， 当BC的长度变化时， △ABF与△CDE的面积之差保持不变，则a与b需满足（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：如图，过点E作EM⊥AD于点M，过点F作FN⊥AD于点N，
∵△ACE是等腰直角三角形，且AC=a，
∴
∵△BDF 是等腰三角形，且BD=b
∴
∴
∴
∴△ABF与△CDE的面积之差为
当BC的长度变化时，△ABF与△CDE的面积之差保持不变，
∴
∴
故答案为：A.
【分析】过点E作EM⊥AD于点M，过点F作FN⊥AD于点N，先根据等腰三角形的性质可得，，利用勾股定理可得，再利用三角形的面积公式可得△ABF与△CDE的面积之差，然后根据“当BC的长度变化时，△ABF与△CDE的面积之差保持不变”建立等式，化简即可得.
二、填空题（本大题有6个小题，每小题3分，共18分）
11．“x的3倍与2的差大于-1”可列不等式为　 　。
【答案】3x-2>-1
【知识点】列一元一次不等式
【解析】【解答】解：根据题意得：3x-2>-1
故答案为：3x-2>-1.
【分析】x的3倍与2的差表示为3x-2，大于-1表示为>-1，进而可列出不等式.
12．写出命题“在同一个三角形中，等边对等角”的逆命题：　 　。
【答案】在同一个三角形中，等角对等边
【知识点】逆命题
【解析】【解答】解：命题“在同一个三角形中，等边对等角”的逆命题是：“在同一个三角形中，等角对等边”，
故答案为：在同一个三角形中，等角对等边.
【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题.
13．如图，点A、F、C、D在同一条直线上，△ABC≌△DEF，AC=5. FC=3，则AD的长为　 　。
【答案】7
【知识点】全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：∵△ABC≌△DEF，
∴AC=DF=5
∴AD=AF+DF=2+5=7.
故答案为：7.
【分析】根据全等三角形的性质得到AC=DF=5，进而计算即可.
14．已知关于x的不等式组 的解集是-1【答案】-6
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：
解不等式①得，
解不等式②得，x>2b+3
∵不等式的解集为-1∴，2b+3=-1，
解得：a=1，b=-2，
∴(a+1)(b-1)=(1+1)(-2-1)=-6.
故答案为：-6.
【分析】先用a、b表示出每个不等式的解集，然后确定不等式组的解集，然后根据-115．已知一个直角三角形的周长是 ，斜边上中线长为2，则这个三角形的面积为　 　。
【答案】2
【知识点】三角形的面积；勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：设两直角边分别为a，b，斜边为c，
根据直角三角形的性质知：c=4，
整理得
∴，即a2+2ab+b2=24，
∴2ab=24-(a2+b2)=24-16=8，
∴ab=4，
∴这个三角形的面积
故答案为：2.
【分析】根据直角三角形的性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，可求得斜边的长，再根据直角三角形的周长和勾股定理，可求得两直角边的长的乘积，由此可求出这个三角形的面积.
16．如图， 在△ABC中， AB=AC=26， BC=20， AD⊥BC， 点P 是直线AD上一点， 点Q是边AC上一点，连结PQ、PC，则下列结论正确是　 　（填上正确的序号）。
①线段AD=24；②直线AD 上有且只有4个不同的点 P使得△APC 是等腰三角形；
③点P 在直线AD上运动， 若PD=DC， 则PA【答案】①②④
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；等积变换
【解析】【解答】解：∵AB=AC=26，BC=20，AD⊥BC，
∴，
∴，①正确；
以A为顶点的等腰三角形有2个，以C为顶点的等腰三角形有1个，以AC为底边的等腰三角形有1个，
∴直线AD上有且只有4个不同的点P使得△APC是等腰三角形，②正确；
∵AD⊥BC，PD=DC=10，
∴
当点P在BC下方时，
，③错误；
作DQ⊥AC于点Q，交AD于点P，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴AD是线段BC的垂直平分线，
∴PB=PC
∴PC+PQ=PB+PQ=BQ，即PC+PQ的最小值为线段BQ的长，
∵，
∴，④正确；
综上，①②④正确，
故答案为：①②④.
【分析】利用等腰三角形的性质和勾股定理计算可判断①正确；画出图形结合等腰三角形的性质可判断②正确；当点P在BC下方时，可判断③错误；作DQ⊥AC于点Q，交AD于点P，此时PC+PQ的最小值为线段BQ的长，利用等积法求解可判断④正确.
三、解答题（共8小题，共72分）
17．
（1）解不等式3（2x-1）>4x+1；
（2）解不等式组
【答案】（1）解：去括号得：6x-3>4x+1
移项合并同类项得：2x>4
系数化为1得：x>2
（2）解：解不等式x+2≤3得：x≤1，
解不等式得：x<4
∴不等式组的解集为：x≤1
【知识点】解一元一次不等式；解一元一次不等式组
【解析】【分析】(1)先去括号，再移项合并同类项，最后系数化为1即可；
(2)先求出两个不等式的解集，然后再求出不等式组的解集即可.
18．如图，△ABC的顶点A、B、C都在小正方形的顶点上，完成下列各题：
（1）画出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1：
（2）若网格上每个小正方形边长为1，求△ABC的面积。
【答案】（1）解：如图，△A1B1C1为所求：
（2）解：△ABC的面积为：.
【知识点】三角形的面积；作图﹣轴对称；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】(1)分别标出A、B、C关于l的对称点A1、B1、C1，然后依次连接得到△A1B1C1；
(2)利用割补法计算得出答案.
19．已知： 如图， AC=BD， ∠CAB=∠DBA。
（1）求证： △ABC≌△BAD；
（2）若∠ACB=70°， ∠DBC=45°， 求∠AOB 的度数。
【答案】（1）证明：在△ABC和△BAD中，
∴△ABC≌△BAD(SAS)；
（2）解：∵△ABC≌△BAD
∴∠D=∠ACB=70°，
∴∠AOB=∠D+∠DBC=70°+45°=115°
【知识点】三角形外角的概念及性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】(1)根据SAS直接证明△ABC≌△BAD即可；
(2)根据全等三角形的性质解答即可.
20．如图， 已知△ABC， AB（1）用直尺和圆规作出 BC边的中垂线，交AC于点D，交BC于点E，标出点D、E的位置（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的基础上， 连结AE， 若CB=CA， △ABC的周长是25， AE将△ABC的周长分成3：2， 求AB的长。
【答案】（1）解：如图：
（2）解：连接AE，
由作图知，BE=CE，
设BE=CE=a，AB=x，
∵CB=CA，
∴CA=CB=2a
∵AE将△ABC的周长分成3：2，
∴3(AB+BE)=2(AC+CE)，即3(x+a)=2(2a+a)
解得x=a，
∵△ABC的周长是25
∴x+2a+2a=25，即5x=25，
解得x=5，
即AB的长为5.
【知识点】线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】(1)用尺规作图法作出边BC的垂直平分线；
(2)由作图知，BE=CE，设BE=CE=a，AB=x，再根据AE将△ABC的周长分成3：2结合△ABC的周长是25求解即可.
21．如图， 在△ABC中， ∠C=90°， AD是. 的平分线， 于点E， 点F在AC上， BD=DF。
（1）求证： CF=BE：
（2）若AC=6， AB=10， 求AF 的长。
【答案】（1）证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C=90°，
∴CD=DE， ∠BED=∠C=90°.
在Rt△CDF和Rt△EDB中，
∴Rt△CDF≌Rt△EDB(HL) ，
∴CF=BE.
（2）解：在Rt△ACD和Rt△AED中，
AD=ADCD=DE
∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL)
∴AC=AE.
∵AC=6，AB=10，
∴BE=AB-AE=AB-AC=4.
∴AF=AC-CF=AC-BE=2.
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】(1)利用角平分线的性质可得DC=DE，再利用HL证明Rt△CDF≌Rt△EDB，即可证明CF=BE；
(2)利用HL证明Rt△ACD≌Rt△AED，可得AC=AE，根据BE=AB-AE求出BE的长，进而可求出 AF 的长.
22．随着AI技术的高速发展，无人配送车在快递领域迅速普及。某快递运营区有40名揽投员和2辆无人配送车。若每位揽投员的日均投递量是每辆无人车的25%，3位揽投员和2辆无人车每天可配送快递共计4400件。
（1）求Ⅰ辆无人车和Ⅰ位揽投员的日均投递量各为多少件；
（2）通过A1 预测，今年“双12”购物节活动期间，该运营区每天的投递量至少达到32000件才能不产生快递积压的现象，因此，该运营区准备增加m台无人配送车和n名投递员，且满足m+n=10.m和n均为正整数。请求出满足条件的所有方案。
【答案】（1）解：设1辆无人车的日均投递量为x件，则1位投递员的日均投递量为25%x件.
若每位揽投员的日均投递量是每辆无人车的25%，3位揽投员和2辆无人车每天可配送快递共计4400件
由题意得3×25%x+2x=4400
整理得2.75x=4400.
解得x=1600
25%x=400.
答：1辆无人车的日均投递量为1600件，1位揽投员的日均投递量为400件.
（2）解：设增加m辆无人车，则增加n=10-m名投递员(m为正整数，n为正整数).
1600(m+2)+400(10-m+40)≥32000
解得
∵m为正整数，n为正整数
∴m=8，n=2或m=9，n=1
答：满足条件的方案有2种：①增加8台无人配送车和2名投递员；②增加9台无人配送车和1名投递员.
【知识点】一元一次方程的其他应用；一元一次方程的实际应用-方案选择问题
【解析】【分析】(1)设1辆无人车的日均投递量为x件，则1位投递员的日均投递量为25%x件，根据“3位揽投员和2辆无人车每天可配送快递共计4400件”列方程求解即可；
(2)设增加m辆无人车，则增加n=10-m名投递员，根据“运营区每天的投递量至少达到32000件”列不等式，求解即可.
23．在Rt△ABC中， ∠ACB=90°， 点D， E分别是AB， BC上的点， 连接DE.
（1）【基础考察】如图1，若点E为BC的中点，BC=8，DE=3，BD=5，则 是　 　三角形；（填“锐角”，“直角”或“钝角”）
（2）【能力巩固】如图2， 连接AE， 若AE平分 ，求BE的长：
（3）【素养提升】如图3，点P在线段AC上运动，始终保持PA=PD，EF是BD的垂直平分线，交BD于点F。若AC=4， BC=7， PA=1， 求线段DE的长。
【答案】（1）直角
（2）解：∵AE平分∠BAC，ED⊥AB，∠ACB=90°，
∴DE=CE.
∵ED⊥AB，
∴∠EDB=90°
设BE=a，则DE=CE=8-a，
在Rt△EDB中，DE2+BD2=BE2
∴(8-a)2+42=a2，
解得，a=5，
即BE=5.
答：BE的长为5.
（3）解：如图，
连接PE，
∵PA=PD，
∴∠A=∠PDA
∵EF是BD的垂直平分线
∴DE=EB，
∴∠B=∠EDB
∵∠A+∠B=180°-∠ACB=180°-90°=90°，
∴∠PDA+∠EDB=90°，
∴∠PDE=180°-(∠PDA+∠EDB)=90°
设DE=EB=x，则CE=7-x，
∵AC=4，PA=1
∴PC=3，PD=1
在Rt△PCE中，由勾股定理得，
PE2=PC2+CE2=32+(7-x)2
在Rt△PDE中，由勾股定理得，PE2=PD2+DE2=12+x2
∴32+(7-x)2=12+x2，
解得，
即
答：线段DE的长为
【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：(1)∵点E为BC的中点，BC=8，DE=3，BD=5
∴
∵DE2+BE2=32+42=25=BD2
∴△BDE是直角三角形.
故答案为：直角.
【分析】(1)先根据中点的定义得，再利用勾股定理的逆定理求解即可；
(2)先根据角平分线的性质得DE=CE，再设BE=a，最后利用勾股定理列方程求解即可；
(3)先求得∠PDE=90°，再根据勾股定理列方程求解即可.
24．如图， AD为△ABC的角平分线， 交AD的延长线于点E，
（1）求证： △ABD为等腰三角形；
（2）若DA=DC，BD=4，求DE的长：
（3）求证： AD+AC=2AE。
【答案】（1）证明：∵∠BAD=2∠DCE=2α
∴∠DCE=α
∵CE⊥AD交AD的延长线于点E，
∴∠E=90°，
∴∠CDE=90°-α，
∴∠ADB=∠CDE=90°-α
在△ABD中，∠ABD+∠ADB+∠BAD=180°
∴∠ABD=180°-∠BAD-∠ADB=180°-2α-(90°-α)=90°-α
∴∠ABD=∠ADB
∴AB=AD
（2）解：如下图所示，过点A作AF⊥BD，
由(1)可知∠ABD=90°-α，
∵AD为△ABC的角平分线
∴∠BAD=∠DAC=2α
∴∠BAC=4α，
∵DA=DC，
∴∠DAC=∠DCA=2α，
在△ABC中，∠ABC+∠BAC+∠ACB=180°
∴4α+2α+90°-α=180°，
解得：α=18°，
∴∠ABC=90°-α=72°，∠BAC=4α=72°，∠ACB=2α=36°，
∴∠BAD=∠DAC=36°
∴∠ADB=∠DAC+∠ACB=72°
∴∠ABC=∠ADB，
∴AB=AD，
∵BD=4，
∴
在△ADF和△CDE中，
∴△ADF≌△CDE(AAS)，
∴DE=DF=2
（3）证明：如下图所示，过点C作CM//AB，
∴∠BAD=∠M，
∵∠BAD=∠CAD=∠ACD，
∴∠ACB=∠M
由(2)可知AB=AD=DC，∠ABC=∠ADB=∠CDE
在△CAB和△MCD中，
∴△CAB≌△MCD(AAS)，
∴AC=DM，
∴AM= AD+DM= AD+AC=AE+ME
∴∠M=∠ACB=∠CAD，
∴CA=CM
∵CE⊥AM，
∴AM=2AE
∴AD+AC=2AE
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】(1)利用三角形内角和定理可证∠ABD=∠ADB，根据等角对等边可证结论成立；
(2)过点A作AF⊥BD，利用三角形内角和定理可证∠ABC=∠ADB，根据等腰三角形的三线合一定理可知DF=4，利用AAS可证△ADF≌△CDE，根据全等三角形的性质求知DE=2；
(3)过点C作CM//AB，利用AAS可证△CAB≌△MCD，根据全等三角形的性质可证AM=AD+AC，根据等等腰三角形的三线合一定理可证结论成立.
1 / 1浙江省杭州市西湖区十三中2025-2026学年八年级上学期期中数学卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列图形中，是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．若一个三角形的两边长分别为6cm和8cm，则第三边的长可能是（　　）
A．1cm B．2cm C．12cm D．14cm
3．若a>b，则下列不等式一定成立的是（　　）
A．3a>b+1 B．a+1>b+1 C．-2a>-2b D．|a|>|b|
4．下列命题中，是真命题的是（　　）
A．无理数的相反数是有理数 B．相等的角是对顶角
C．若|a|=1， 则a=1 D．0的平方根和立方根都是0
5．如图，Rt△ABC一直角边 AB在数轴上，A 点对应的数为-1，B 点对应的数为2，BC=1，以点A 为圆心，AC长为半径画圆弧，交数轴于点 P，则点P在数轴上所表示的数是（　　）
A． B． C．2.3 D．
6． 如图， 在△ABC中， ∠C=90°， ∠A=30°， AB的垂直平分线交AC于点D， 交AB 于点E， 若CD=3，则AC等于（　　）
A．5 B．6 C．8 D．9
7．若方程组 的解为x， y， 且2A． B．
C．- 38． 如图， AE是△ABC的中线， AD⊥BC， AE=a， 则下列结论错误的是（　　）
A．若AB=AC， 则AE=AD B．若∠C=60°， 则
C．若AE=AC， 则BD=3CD D．若BC=2a， 则∠BAC=90°
9． 如图， 在△ABC中， 过点B， A作BD⊥AC， AE⊥BC， BD， AE交于点 F， 若 CD=2， 则线段BF的长度为（　　）
A．2 B． C．3 D．
10． 如图， A、B、C、D四个点顺次在直线l上， AC=a， BD=b， 以AC为底向下作等腰直角 以BD为底向上作等腰△BDF，且 连结AF， DE， 当BC的长度变化时， △ABF与△CDE的面积之差保持不变，则a与b需满足（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题有6个小题，每小题3分，共18分）
11．“x的3倍与2的差大于-1”可列不等式为　 　。
12．写出命题“在同一个三角形中，等边对等角”的逆命题：　 　。
13．如图，点A、F、C、D在同一条直线上，△ABC≌△DEF，AC=5. FC=3，则AD的长为　 　。
14．已知关于x的不等式组 的解集是-115．已知一个直角三角形的周长是 ，斜边上中线长为2，则这个三角形的面积为　 　。
16．如图， 在△ABC中， AB=AC=26， BC=20， AD⊥BC， 点P 是直线AD上一点， 点Q是边AC上一点，连结PQ、PC，则下列结论正确是　 　（填上正确的序号）。
①线段AD=24；②直线AD 上有且只有4个不同的点 P使得△APC 是等腰三角形；
③点P 在直线AD上运动， 若PD=DC， 则PA三、解答题（共8小题，共72分）
17．
（1）解不等式3（2x-1）>4x+1；
（2）解不等式组
18．如图，△ABC的顶点A、B、C都在小正方形的顶点上，完成下列各题：
（1）画出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1：
（2）若网格上每个小正方形边长为1，求△ABC的面积。
19．已知： 如图， AC=BD， ∠CAB=∠DBA。
（1）求证： △ABC≌△BAD；
（2）若∠ACB=70°， ∠DBC=45°， 求∠AOB 的度数。
20．如图， 已知△ABC， AB（1）用直尺和圆规作出 BC边的中垂线，交AC于点D，交BC于点E，标出点D、E的位置（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的基础上， 连结AE， 若CB=CA， △ABC的周长是25， AE将△ABC的周长分成3：2， 求AB的长。
21．如图， 在△ABC中， ∠C=90°， AD是. 的平分线， 于点E， 点F在AC上， BD=DF。
（1）求证： CF=BE：
（2）若AC=6， AB=10， 求AF 的长。
22．随着AI技术的高速发展，无人配送车在快递领域迅速普及。某快递运营区有40名揽投员和2辆无人配送车。若每位揽投员的日均投递量是每辆无人车的25%，3位揽投员和2辆无人车每天可配送快递共计4400件。
（1）求Ⅰ辆无人车和Ⅰ位揽投员的日均投递量各为多少件；
（2）通过A1 预测，今年“双12”购物节活动期间，该运营区每天的投递量至少达到32000件才能不产生快递积压的现象，因此，该运营区准备增加m台无人配送车和n名投递员，且满足m+n=10.m和n均为正整数。请求出满足条件的所有方案。
23．在Rt△ABC中， ∠ACB=90°， 点D， E分别是AB， BC上的点， 连接DE.
（1）【基础考察】如图1，若点E为BC的中点，BC=8，DE=3，BD=5，则 是　 　三角形；（填“锐角”，“直角”或“钝角”）
（2）【能力巩固】如图2， 连接AE， 若AE平分 ，求BE的长：
（3）【素养提升】如图3，点P在线段AC上运动，始终保持PA=PD，EF是BD的垂直平分线，交BD于点F。若AC=4， BC=7， PA=1， 求线段DE的长。
24．如图， AD为△ABC的角平分线， 交AD的延长线于点E，
（1）求证： △ABD为等腰三角形；
（2）若DA=DC，BD=4，求DE的长：
（3）求证： AD+AC=2AE。
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：选项A、B、D均不能找到这样的一条直线使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
选项C能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故答案为：C.
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形.
2．【答案】C
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：设三角形第三边长是xcm，
由三角形三边关系定理得：8-6∴2∴第三边长可能是12cm.
故答案为：C.
【分析】三角形两边之和大于第三边，三角形两边的差小于第三边，设三角形第三边长是xcm，得到23．【答案】B
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：a>b，不妨设a=0.2，b=0.1，则3aa>b，不妨设a=1，b=-2，则a∵a>b，
∴a+1>b+1，-2a<-2b，
故选项B符合题意，选项C不符合题意，
故答案为：B.
【分析】根据不等式的基本性质，即可求解.
4．【答案】D
【知识点】对顶角及其性质；相反数的意义与性质；绝对值的概念与意义；平方根的概念与表示；立方根的概念与表示
【解析】【解答】解：A、无理数的相反数是无理数，本选项说法是假命题；
B、相等的角不一定是对顶角，本选项说法是假命题；
C、若|a|=1，则a=±1，本选项说法是假命题；
D、0的平方根和立方根都是0，本选项说法是真命题；
故答案为：D.
【分析】根据相反数的概念、对顶角的概念、绝对值的性质、平方根与立方根的概念判断即可.
5．【答案】A
【知识点】实数在数轴上表示；勾股定理
【解析】【解答】解：由题意得，AB=2-(-1)=3，
由勾股定理，得：
∴
∵点A表示的数为-1
∴点P表示的数为，
故答案为：A.
【分析】利用勾股定理求出AC的长，进而得到AP的长，即可得出结果.
6．【答案】D
【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：连接BD，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴BD=AD，
∴∠ABD=∠A=30°
∴∠CBD=180°-90°-30°×2=30°
∴∠CBD=∠ABD
∴DE=CD=3
又∵∠C=90°，∠A=30°
∴AD=2DE=2×3=6，
∴AC=AD+CD=6+3=9
故答案为：D.
【分析】连接BD，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得BD=AD，再根据等边对等角求出∠ABD=∠A=30°，然后求出∠CBD=30°，然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等求出DE=CD，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AD，即可得解.
7．【答案】A
【知识点】已知二元一次方程组的解求参数
【解析】【解答】解：
①-②得，7x-7y=k+1-3
整理得
又因为2所以
即
故答案为：A.
【分析】在本题中，结果为x-y，而在原题中两个式子相减后正好会出现关于7x-7y的一个等式，把x-y当成一个整体进行解答即可.
8．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质-等边对等角；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：若AB=AC，则△ABC是等腰三角形，
∴△ABC底边上的中线和高共线，则AE=AD
故选项A正确；
若AE=AC，则△AEC是等腰三角形，又AD⊥BC
∴DE=DC，
∵AE是△ABC的中线
∴BE=CE=2CD，
∴BD=3CD，故选项C正确；
若BC=2a，又AE=a，
∴EB=EA，EC=EA.
∴∠B=∠EAB，∠C=∠EAC
∴
故选项D正确；
若∠C=60°，不能得到，故选项B错误；
故答案为：B.
【分析】根据等腰三角形三线合一的性质即可判断选项A；根据等腰三角形三线合一的性质求得DE=DC，即可判断选项C；根据等边对等角求得∠B=∠EAB，∠C=∠EAC，再利用三角形内角和定理即可判断选项D；由现有条件不能判断选项B正确.
9．【答案】C
【知识点】三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：∵BD⊥AC，AE⊥BC
∴∠BDA=∠AEC=90°，
∵∠BAC=45°
∴∠ABD=90°-∠BAD=45°，
∴∠BAD=∠ABD，
∴AD=BD=5，
∵∠FAD+∠AFD=90°，∠DBC+∠BFE=90°，∠AFD=∠BFE
∴∠FAD=∠DBC，
在△ADF与△BDC中，
∴△ADF≌△BDC(ASA)，
∴DF=CD
∴BF=BD-DF=AD-CD=5-2=3，
故答案为：C.
【分析】根据ASA证明△ADF与△BDC全等，进而利用全等三角形的性质解答即可.
10．【答案】A
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：如图，过点E作EM⊥AD于点M，过点F作FN⊥AD于点N，
∵△ACE是等腰直角三角形，且AC=a，
∴
∵△BDF 是等腰三角形，且BD=b
∴
∴
∴
∴△ABF与△CDE的面积之差为
当BC的长度变化时，△ABF与△CDE的面积之差保持不变，
∴
∴
故答案为：A.
【分析】过点E作EM⊥AD于点M，过点F作FN⊥AD于点N，先根据等腰三角形的性质可得，，利用勾股定理可得，再利用三角形的面积公式可得△ABF与△CDE的面积之差，然后根据“当BC的长度变化时，△ABF与△CDE的面积之差保持不变”建立等式，化简即可得.
11．【答案】3x-2>-1
【知识点】列一元一次不等式
【解析】【解答】解：根据题意得：3x-2>-1
故答案为：3x-2>-1.
【分析】x的3倍与2的差表示为3x-2，大于-1表示为>-1，进而可列出不等式.
12．【答案】在同一个三角形中，等角对等边
【知识点】逆命题
【解析】【解答】解：命题“在同一个三角形中，等边对等角”的逆命题是：“在同一个三角形中，等角对等边”，
故答案为：在同一个三角形中，等角对等边.
【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题.
13．【答案】7
【知识点】全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：∵△ABC≌△DEF，
∴AC=DF=5
∴AD=AF+DF=2+5=7.
故答案为：7.
【分析】根据全等三角形的性质得到AC=DF=5，进而计算即可.
14．【答案】-6
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：
解不等式①得，
解不等式②得，x>2b+3
∵不等式的解集为-1∴，2b+3=-1，
解得：a=1，b=-2，
∴(a+1)(b-1)=(1+1)(-2-1)=-6.
故答案为：-6.
【分析】先用a、b表示出每个不等式的解集，然后确定不等式组的解集，然后根据-115．【答案】2
【知识点】三角形的面积；勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：设两直角边分别为a，b，斜边为c，
根据直角三角形的性质知：c=4，
整理得
∴，即a2+2ab+b2=24，
∴2ab=24-(a2+b2)=24-16=8，
∴ab=4，
∴这个三角形的面积
故答案为：2.
【分析】根据直角三角形的性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，可求得斜边的长，再根据直角三角形的周长和勾股定理，可求得两直角边的长的乘积，由此可求出这个三角形的面积.
16．【答案】①②④
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；等积变换
【解析】【解答】解：∵AB=AC=26，BC=20，AD⊥BC，
∴，
∴，①正确；
以A为顶点的等腰三角形有2个，以C为顶点的等腰三角形有1个，以AC为底边的等腰三角形有1个，
∴直线AD上有且只有4个不同的点P使得△APC是等腰三角形，②正确；
∵AD⊥BC，PD=DC=10，
∴
当点P在BC下方时，
，③错误；
作DQ⊥AC于点Q，交AD于点P，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴AD是线段BC的垂直平分线，
∴PB=PC
∴PC+PQ=PB+PQ=BQ，即PC+PQ的最小值为线段BQ的长，
∵，
∴，④正确；
综上，①②④正确，
故答案为：①②④.
【分析】利用等腰三角形的性质和勾股定理计算可判断①正确；画出图形结合等腰三角形的性质可判断②正确；当点P在BC下方时，可判断③错误；作DQ⊥AC于点Q，交AD于点P，此时PC+PQ的最小值为线段BQ的长，利用等积法求解可判断④正确.
17．【答案】（1）解：去括号得：6x-3>4x+1
移项合并同类项得：2x>4
系数化为1得：x>2
（2）解：解不等式x+2≤3得：x≤1，
解不等式得：x<4
∴不等式组的解集为：x≤1
【知识点】解一元一次不等式；解一元一次不等式组
【解析】【分析】(1)先去括号，再移项合并同类项，最后系数化为1即可；
(2)先求出两个不等式的解集，然后再求出不等式组的解集即可.
18．【答案】（1）解：如图，△A1B1C1为所求：
（2）解：△ABC的面积为：.
【知识点】三角形的面积；作图﹣轴对称；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】(1)分别标出A、B、C关于l的对称点A1、B1、C1，然后依次连接得到△A1B1C1；
(2)利用割补法计算得出答案.
19．【答案】（1）证明：在△ABC和△BAD中，
∴△ABC≌△BAD(SAS)；
（2）解：∵△ABC≌△BAD
∴∠D=∠ACB=70°，
∴∠AOB=∠D+∠DBC=70°+45°=115°
【知识点】三角形外角的概念及性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】(1)根据SAS直接证明△ABC≌△BAD即可；
(2)根据全等三角形的性质解答即可.
20．【答案】（1）解：如图：
（2）解：连接AE，
由作图知，BE=CE，
设BE=CE=a，AB=x，
∵CB=CA，
∴CA=CB=2a
∵AE将△ABC的周长分成3：2，
∴3(AB+BE)=2(AC+CE)，即3(x+a)=2(2a+a)
解得x=a，
∵△ABC的周长是25
∴x+2a+2a=25，即5x=25，
解得x=5，
即AB的长为5.
【知识点】线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】(1)用尺规作图法作出边BC的垂直平分线；
(2)由作图知，BE=CE，设BE=CE=a，AB=x，再根据AE将△ABC的周长分成3：2结合△ABC的周长是25求解即可.
21．【答案】（1）证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C=90°，
∴CD=DE， ∠BED=∠C=90°.
在Rt△CDF和Rt△EDB中，
∴Rt△CDF≌Rt△EDB(HL) ，
∴CF=BE.
（2）解：在Rt△ACD和Rt△AED中，
AD=ADCD=DE
∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL)
∴AC=AE.
∵AC=6，AB=10，
∴BE=AB-AE=AB-AC=4.
∴AF=AC-CF=AC-BE=2.
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】(1)利用角平分线的性质可得DC=DE，再利用HL证明Rt△CDF≌Rt△EDB，即可证明CF=BE；
(2)利用HL证明Rt△ACD≌Rt△AED，可得AC=AE，根据BE=AB-AE求出BE的长，进而可求出 AF 的长.
22．【答案】（1）解：设1辆无人车的日均投递量为x件，则1位投递员的日均投递量为25%x件.
若每位揽投员的日均投递量是每辆无人车的25%，3位揽投员和2辆无人车每天可配送快递共计4400件
由题意得3×25%x+2x=4400
整理得2.75x=4400.
解得x=1600
25%x=400.
答：1辆无人车的日均投递量为1600件，1位揽投员的日均投递量为400件.
（2）解：设增加m辆无人车，则增加n=10-m名投递员(m为正整数，n为正整数).
1600(m+2)+400(10-m+40)≥32000
解得
∵m为正整数，n为正整数
∴m=8，n=2或m=9，n=1
答：满足条件的方案有2种：①增加8台无人配送车和2名投递员；②增加9台无人配送车和1名投递员.
【知识点】一元一次方程的其他应用；一元一次方程的实际应用-方案选择问题
【解析】【分析】(1)设1辆无人车的日均投递量为x件，则1位投递员的日均投递量为25%x件，根据“3位揽投员和2辆无人车每天可配送快递共计4400件”列方程求解即可；
(2)设增加m辆无人车，则增加n=10-m名投递员，根据“运营区每天的投递量至少达到32000件”列不等式，求解即可.
23．【答案】（1）直角
（2）解：∵AE平分∠BAC，ED⊥AB，∠ACB=90°，
∴DE=CE.
∵ED⊥AB，
∴∠EDB=90°
设BE=a，则DE=CE=8-a，
在Rt△EDB中，DE2+BD2=BE2
∴(8-a)2+42=a2，
解得，a=5，
即BE=5.
答：BE的长为5.
（3）解：如图，
连接PE，
∵PA=PD，
∴∠A=∠PDA
∵EF是BD的垂直平分线
∴DE=EB，
∴∠B=∠EDB
∵∠A+∠B=180°-∠ACB=180°-90°=90°，
∴∠PDA+∠EDB=90°，
∴∠PDE=180°-(∠PDA+∠EDB)=90°
设DE=EB=x，则CE=7-x，
∵AC=4，PA=1
∴PC=3，PD=1
在Rt△PCE中，由勾股定理得，
PE2=PC2+CE2=32+(7-x)2
在Rt△PDE中，由勾股定理得，PE2=PD2+DE2=12+x2
∴32+(7-x)2=12+x2，
解得，
即
答：线段DE的长为
【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：(1)∵点E为BC的中点，BC=8，DE=3，BD=5
∴
∵DE2+BE2=32+42=25=BD2
∴△BDE是直角三角形.
故答案为：直角.
【分析】(1)先根据中点的定义得，再利用勾股定理的逆定理求解即可；
(2)先根据角平分线的性质得DE=CE，再设BE=a，最后利用勾股定理列方程求解即可；
(3)先求得∠PDE=90°，再根据勾股定理列方程求解即可.
24．【答案】（1）证明：∵∠BAD=2∠DCE=2α
∴∠DCE=α
∵CE⊥AD交AD的延长线于点E，
∴∠E=90°，
∴∠CDE=90°-α，
∴∠ADB=∠CDE=90°-α
在△ABD中，∠ABD+∠ADB+∠BAD=180°
∴∠ABD=180°-∠BAD-∠ADB=180°-2α-(90°-α)=90°-α
∴∠ABD=∠ADB
∴AB=AD
（2）解：如下图所示，过点A作AF⊥BD，
由(1)可知∠ABD=90°-α，
∵AD为△ABC的角平分线
∴∠BAD=∠DAC=2α
∴∠BAC=4α，
∵DA=DC，
∴∠DAC=∠DCA=2α，
在△ABC中，∠ABC+∠BAC+∠ACB=180°
∴4α+2α+90°-α=180°，
解得：α=18°，
∴∠ABC=90°-α=72°，∠BAC=4α=72°，∠ACB=2α=36°，
∴∠BAD=∠DAC=36°
∴∠ADB=∠DAC+∠ACB=72°
∴∠ABC=∠ADB，
∴AB=AD，
∵BD=4，
∴
在△ADF和△CDE中，
∴△ADF≌△CDE(AAS)，
∴DE=DF=2
（3）证明：如下图所示，过点C作CM//AB，
∴∠BAD=∠M，
∵∠BAD=∠CAD=∠ACD，
∴∠ACB=∠M
由(2)可知AB=AD=DC，∠ABC=∠ADB=∠CDE
在△CAB和△MCD中，
∴△CAB≌△MCD(AAS)，
∴AC=DM，
∴AM= AD+DM= AD+AC=AE+ME
∴∠M=∠ACB=∠CAD，
∴CA=CM
∵CE⊥AM，
∴AM=2AE
∴AD+AC=2AE
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】(1)利用三角形内角和定理可证∠ABD=∠ADB，根据等角对等边可证结论成立；
(2)过点A作AF⊥BD，利用三角形内角和定理可证∠ABC=∠ADB，根据等腰三角形的三线合一定理可知DF=4，利用AAS可证△ADF≌△CDE，根据全等三角形的性质求知DE=2；
(3)过点C作CM//AB，利用AAS可证△CAB≌△MCD，根据全等三角形的性质可证AM=AD+AC，根据等等腰三角形的三线合一定理可证结论成立.
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