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安徽省宣城市宁国中学2025年自主招生数学试卷
一、选择题：共6小题，每小题4分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．
1．已知方程（x2+3x）2+4（x2+3x）﹣45＝0，则该方程所有的实数根之和为（　　）
A．﹣3 B．﹣4 C．﹣6 D．0
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；换元法解一元二次方程
【解析】【解答】解：设，则原方程化为．
∵，
∴判别式，
∴，
即，．
∴或．
对于，即，判别式，无实数根．
对于，即，有实数根，根之和为．
∴所有实数根之和为．
故选：A．
【分析】设，则原方程化为，然后根据公式法求出y的值，然后把y的值代入先判断方程根的情况，然后再根据根于系数的关系解答即可．
2．从1，2，3，4四个数中任选两个不同的数分别记为m，n，则不等式组有且只有两个整数解的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一元一次不等式组的特殊解；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：∵不等式组，
解不等式可得和，
∴解集为，
整数解个数为，
令，
得，
从中选两个不同的数作为和，
总情况数，满足的对为、、，共3种，
∴概率，
故选：C．
【分析】解不等式求出解集为，根据整数解的个数得到，求出，然后利用列表法求出概率即可．
3．已知3m＝6，3n＝a，2n＝b，且ab＝27，则mn的值为（　　）
A．30 B．27 C． D．3
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；幂的乘方运算；积的乘方运算的逆用
【解析】【解答】解：∵，，，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：D．
【分析】由和积的乘方得到，然后根据得到，从而求出的值解答即可．
4．在如图所示的平面内，△ABC中∠ACB＝90°，点D、E分别在边AB、AC上，将△ABC沿CD和DE折叠，点B和点A重合于点F．若AB＝40，AE＝7，则tan∠EDF的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；四点共圆模型；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：如图，
由折叠知，，而，
，即．
又由折叠知，，
，
，
，即，
∴四边形为圆内接四边形．
，
，
由折叠知，，
故设，在和中，
根据勾股定理得，，
，，
，
，
解得，（舍）．
，，
．
故选：A．
【分析】先得到四边形内接于圆，进而得到，再根据折叠可得，，然后设，在和中，根据勾股定理求出，，再利用正切的定义解答即可．
5．对于自变量为x的函数，我们把使函数值y等于零的实数x叫做函数的零点．如果函数在a≤x≤b上的图象是一条连续不断的曲线，并且在x＝a和x＝b时的函数值乘积为非正值，则该函数在a≤x≤b范围内至少有一个零点，那么对于函数y＝2x+2x2﹣4x﹣5在下列范围内一定有零点的是（　　）
A．﹣2≤x≤﹣1 B．﹣1≤x≤0 C．0≤x≤1 D．1≤x≤2
【答案】B
【知识点】函数值
【解析】【解答】解：函数 在实数范围内连续，
只需验证各选项区间端点函数值乘积是否非正，
选项，时，，
时，，
在和时的函数值乘积为正值，不符合题意；
选项，时，，
时，，
在和时的函数值乘积为非正值，符合题意；
选项，时，，
时，，
在和时的函数值乘积为正值，不符合题意；
选项，时，，
时，，
在和时的函数值乘积为正值，不符合题意．
故选：．
【分析】根据题意，求出各选项中x取值范围端点处的函数值，然后根据题意中的新定义解答即可．
6．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D是斜边AC的中点，点E在射线BD上运动，EF与边AB所在直线交于点F，且∠FEC＝90°，连接FC．当AB＝6，AC＝10时，①△ABD∽△EDC；②∠A＝∠ECF；③当EF＝EB时，则∠EFC+2∠CFB＝90°；④当EF＝EB时，则△BCF的面积为．则以上说法正确的有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】C
【知识点】直角三角形斜边上的中线；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；等腰三角形的性质-等边对等角；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：，，
，
四边形为圆内接四边形，
，
是斜边中点，
，
，即，故②正确；
和只有一对对顶角相等，故①错误；
当时，如图，由四边形为圆内接四边形，
，
，过作，
由，
，
，
又点是斜边中点，
，
，
，
，
，
，
而，，
，，故③错误；
，，在中，根据勾股定理得，
∵，，
∴，
，
，
故设，，，则，
，
，
，
．
在中，根据勾股定理得，解得，
，故④正确．
故选：C．
【分析】先得到四边形内接于圆，即可得到，根据斜边上的中线的性质可得，根据等边对等角可得判断②，根据和只有一对角相等判断①；当时，推理得到判断③，根据两脚对应相等得到，根据对应边成比例设，，，则，在中，根据勾股定理求出k的值，再根据三角形的面积公式解答即可．
二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分．
7．因式分解：x3﹣2x2y﹣7xy2﹣4y3＝　 　 ．
【答案】（x+y）2（x﹣4y）
【知识点】因式分解﹣十字相乘法；因式分解-分组分解法；因式分解﹣添（拆）项法
【解析】【解答】解：原式
．
故答案为：（x+y）2（x﹣4y）.
【分析】先将变形为，然后分组分解因式，再提取公因式，然后利用十字相乘法进行因式分解即可．
8．如图，已知⊙O的半径为4，一条直线AB经过圆心O，另一条直线AC与⊙O分别交于点C和点D，∠A＝25°，∠ABD＝10°，则弦CD的弦心距等于　 　 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；圆的相关概念；垂径定理；等腰直角三角形；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：，，
，
连接，，过作，
，
，
，
为等腰，
，
，
．
故答案为：．
【分析】连接，，过作，根据等边对等角得到，然后得到△ODC是等腰直角三角形，再利用勾股定理求得长，进而求得的长解答即可．
9．如图，已知一次函数y＝x+6的图象与反比例函数的图象在第二象限分别交于点A和点B，过点A和点B作x轴的垂线，垂足分别为点D和点C．当四边形ABCD的面积为12时，则k＝　 　 ．
【答案】﹣5
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：设，，
，，．
，
．
，
，
，
，化简整理得，
又联立得，
，
和是方程的两根．
根据根与系数的关系得，，
，
即，
，
解得．
故答案为：．
【分析】设，，根据函数图象上点的特征可得，，，根据四边形的面积可得，联立两解析式可得，根据根与系数的关系得出，，利用完全平方公式的变形求出k的值解答即可．
10．已知一列数a1，a2，a3，a4，a5， ，an（其中n为正整数），其中，…，则a6＝　 　 ，an＝　 　 （用含n的表达式表示）．
【答案】；
【知识点】探索数与式的规律；探索规律-数列中的规律
【解析】【解答】解：，
，
，
，
，
，
．
故答案为：，．
【分析】根据所给的数列中数的结构特征求出 a6 ，然后总结规律即可．
三、解答题：共5题，共76分．解答应写出文字说明，证明过程和解题步骤．
11．（1）现有十名学生参加数学素质测试，测试成绩分别为83，85，86，86，87，89，90，93，95，96，请计算这组数据的方差；
（2）先化简代数式：，再求值，其中．
【答案】（1）解：把原数据均减去85得：﹣2，0，1，1，2，4，5，8，10，11，
∴，
∴；
（2）解：原式
，
∵，
，
代入x、y，原式．
【知识点】负整数指数幂；方差；特殊角的三角函数的混合运算；分式的化简求值-直接代入；复合二次根式概念、性质与运算
【解析】【分析】（1）先把各数同时减去85得到新数据，然后根据方差公式计算即可；
（2）先运算括号内的减法，然后把除法化为乘法约分，再运算加法化简，再利用二次根式的性质化简求出的值，利用特殊角的三角函数值得到的值，代入化简后的分式计算即可．
12．在平面直角坐标系中，点A、B、C、D、E的坐标分别为（﹣7，1），（1，1），（1，7），（7，﹣1），（﹣1，﹣7）．
（1）请在图1中用无刻度的直尺将线段DE分为五等分；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）请在图2中用无刻度的直尺画出△ABC的内切圆的圆心P；（保留作图痕迹，不写作法）
（3）点Q为⊙P上一动点，求△QED面积的最大值．
【答案】（1）解：如图1，H1，H2，H3，H4是线段DE的五等分点；
（2）解：△ABC的内切圆的圆心P，如图2即为所求；
（3）解：由图3根据网格的特点可得AC∥ED，且AC与ED两平行线间距离为10，
∴点Q为AC与⊙P的切点，
由图3根据勾股定理可得，
即△QED的面积的最大值为．
【知识点】三角形的面积；勾股定理；矩形的性质；三角形的内切圆与内心；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【分析】（1）取格点，，，，，，，，，，然后连接，，，，，分别交于，，，．根据平行线分线段成比例得到，，，即为所作；
（2）取格点F，连接并延长，取格点S，使得，在点下方取格点，构造矩形ATSB，连接，，得到是中点，连接，根据三线合一可得是的平分线，则BF和CR的交点即为内切圆的圆心P．
（3）由图3可得，且、两平行线间距离为，然后根据勾股定理求出ED的长，然后求出△QED的最大面积即可.
13．如图1，已知四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝∠ADC＝90°，过点A的直线与CD、CB的延长线分别交于点E和点F，EO的延长线平分BC并交BC于点H，∠AEO＝∠ADB，，四边形ABCD的面积为．
（1）求∠EAO的值；
（2）求线段BC的长；
（3）如图2，连接FO，求证：AD∥FO．
【答案】（1）解：∵EO的延长线平分BC，
∴BH＝CH，
∴OH⊥BC，即∠CHO＝90°，
∵，
∴∠ADB＝∠ACB，
∵∠AEO＝∠ADB，
∴∠AEO＝∠ACB，
在△AEO和△HCO中，
∠AOE＝∠HOC，
∴∠EAO＝∠CHO＝90°．
（2）解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝∠ADC＝90°，
∴在Rt△ABC和Rt△ADC中，
根据勾股定理得：AB2+BC2＝AD2+CD2＝AC2，
∵，
故设，CD＝2k（k≠0），BC＝x（x＞0），
∴，化简整理得：12+x2＝7k2，①
∵，
∴，即7k2＝90﹣7x，②
∴把②代入①得x2+7x﹣78＝0，
解得：x1＝6，x2＝﹣13（舍），
即BC的长为6．
（3）证明：由（2）得BC＝6，
又∵，
∴，
∴∠ACB＝30°，
∴，
∴，
又由（1）得∠EAO＝90°，
∴EF是⊙O的切线，
∴FA⊥AC，即∠FAC＝90°，
所以，
∴，
又∵，
∴即，
在Rt△FAO和Rt△CDA中，
∵，∠FAO＝∠ADC＝90°，
∴Rt△FAO∽Rt△CDA，
∴∠AOF＝∠DAC，
∴AD∥FO．
【知识点】解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-SAS；圆周角定理的推论；垂径定理的推论
【解析】【分析】（1）根据同弧所对的圆周角相等得到，然后根据等量代换得到，再利用三角形内角和定理解答即可；
（2）根据圆内接四边形的性质可得，设，，，然后利用勾股定理得出12+x2＝7k2，利用四边形的面积得到7k2＝90﹣7x，利用代入消元法得到关于x的方程解答即可；
（3）先根据正切的定义得到∠ACB＝30°，进而求出AC的长，根据（1）的结论可得是的切线，然后根据两组对应边成比例且夹角相等得到，即可得到，证明结论即可．
14．已知矩形ABCD中，AB＝6．
（1）如图1，若AD＝AB且点E、F分别为AD、AB的中点，BE与CF交于点P，求CP的长；
（2）如图2，若AD＝AB+2，点E为AD的中点，以点E为圆心，AE为半径作圆，点I为AE的中点，延长BI交⊙E于点M，求的值；
（3）如图3，若AD＝AB+2，点P在BC上且BP＝2，T为AD上任意一点，点N在四边形ABCD内，且∠TBP＝∠TPN＝∠PCN，连接AN，求AN的最小值．
【答案】（1）解：由题意可知AD＝AB＝6，，
∴四边形ABCD为正方形，
又∵E为AD中点，F为AB中点，
∴∠ABE＝∠BCP，
又∵∠ABE+∠AEB＝90°且∠ABE+∠CBP＝90°，
∴∠AEB＝∠CBP，
∴∠BCP+∠CBP＝90°，
故∠CPB＝90°
∴CF⊥BE，
∴∠FPB＝∠A＝90°，∠FBP＝∠EBA
∴△AEB∽△PFB，
∴，
故，
∴；
（2）解：如图2，过点M作MH⊥AE，
∵∠MHI＝∠BAI＝90°，∠MIH＝∠AIB，
∴△MIH∽△BIA，
∴，则，
设HI＝x（x＞0）则MH＝3x，
在Rt△MHE中，由勾股定理得：HE2+MH2＝ME2，即（2﹣x）2+（3x）2＝42，
解得：，（不合题意，舍去），
∴；
（3）解：如图3，过P作PQ⊥BT，作NG⊥NC，
∵，
∴BT PQ＝12，①
∵∠TBP＝∠TPN＝∠PCN，
∴∠BPT+∠NPC＝180°﹣∠TPN，
又∵∠CNP+∠NPC＝180°﹣∠PCN，
∴∠BPT＝∠CNP，
∴△BPT∽△CNP，
∴，
∴BP PC＝BT CN＝12，②
由①、②得：PQ＝CN，
∵∠TBP＝∠PCN，
∴90°﹣∠TBP＝90°﹣∠PCN，即∠QPB＝∠NCG，
在△BQP和△GNC中，
，
∴△BQP≌△GNC（ASA），
∴CG＝BP＝2，
取点O为CG中点，连接NO，
∴，则，
∴OD＝CD﹣OC＝6﹣1＝5，
由题意可知，当N在以O为圆心、半径1的圆上，且在AO上时，AN最小，
∴．
【知识点】矩形的性质；三角形全等的判定-ASA；圆-动点问题；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）先根据正方形的性质，根据两组对应角相等得到，利用对应边成比例求出PF的值，再根据线段的和差解答即可；
（2）过点作，根据两角对应相等得到，即可得到，在中，根据勾股定理求出HI的值，即可求出比值；
（3）过作，作，根据三角形的面积公式得到，然后根据两角对应相等得到，利用对应边长比例可得，即可得到，然后根据ASA得到，即可得到，取点为中点，连接，可知，当在连线上时的取值最小，利用勾股定理计算最小值即可．
15．如图1，已知二次函数y＝﹣x2+2x+3的图象分别与x轴、y轴交于A、B、C三点．
（1）如图2，若点P为抛物线上位于第一象限的一点，且，求点P的坐标；
（2）若抛物线上有两动点F、G，且直线FG与x轴正方向夹角的正切值为2，直线BF、BG分别与y轴交于D、E两点，证明：C为DE的中点；
（3）如图3，若Q为抛物线上一动点，且QD⊥BC，QE∥y轴，点N在x轴上，四边形CENM为平行四边形，求当DE最大时，CM+CN的最小值．
【答案】（1）解：二次函数y＝﹣x2+2x+3的图象分别与x轴、y轴交于A、B、C三点，
当y＝0时，得：﹣x2+2x+3＝0，
解得，x1＝﹣1，x2＝3；
当x＝0时，得：y＝3，
∴A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）．
∴OB＝OC，
∴△OBC是等腰直角三角形，
∴∠OCB＝45°，
如图2.1，延长BP并过C作CH⊥BC交BP于点H，过H作HH'⊥y轴，
∴∠CH＝45°，
由题意知，
又∵，
∴，
∴，
∴H的坐标为，
设直线BH的解析式为yBH＝kx+b，将点B，点H的坐标分别代入得：
，
解得：，
∴，
联立得：，
解得：x1＝3，，
∴或（3，0）（不合题意，舍去），
∴综上所述，P点坐标为；
（2）证明：由题意可知kFG＝2，如图2.2，
设yFG＝2x+t，yBG＝k1x+b1（k1≠0），yBF＝k2x+b2（k2≠0），
F（xF，yF），G（xG，yG），B（xB，yB），
联立得：，
整理得：x2+t﹣3＝0；
∴，联立得：，
整理得：x2+（k1﹣2）x+b1﹣3＝0，∴，联立得：，
整理得：x2+（k2﹣2）x+b2﹣3＝0，
∴，
当x＝0时，得：yBG＝b1，yBF＝b2，
∴E（0，b1），D（0，b2），又∵C（0，3），
∴EC＝b1﹣3＝xB xG，DC＝3﹣b2＝﹣xB xF，
又∵xBxG+xBxF＝xB（xF+xG）＝0，
∴xB xG＝﹣xB xF，∴线段EC＝DC，故C为DE的中点；
（3）解：∵B（3，0），C（0，3）且QE∥y轴，
∴∠BCO＝∠DEQ＝45°，∴，
由题意可知：yBC＝﹣x+3．
∴设Q（m，﹣m2+2m+3），E（m，﹣m+3），
∴，
∴，
∴当时，DE的取值最大，此时E点坐标为，
如图3，四边形CENM为平行四边形，作E关于x轴对称点E'，连接EE'、NE'、CE'，则，NE＝NE'，
∴CM+CN＝CN+NE＝CN+NE'，
∴．
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数与一元二次方程的综合应用；解直角三角形—边角关系；二次函数-线段周长问题；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【分析】
（1）先求出抛物线与坐标轴的交点坐标，即可得到∠OCB＝45°，．延长并过作交于点，过作轴，根据正切的定义得到，，进而可得点的坐标，运用待定系数法求出直线BH的解析式，联立两解析式求出交点坐标即可；
（2）根据题意设，，，，，，联立直线与抛物线解析式求出点E，D的坐标，根据根与系数的关系得到，即可证明结论；
（3）设，，表示线段QE和DE，根据二次函数的最值求出的取值最大时点E的坐标，作关于轴对称点，连接、、，得到点E'的坐标，利用四边形为平行四边形求出最小值即可.
1 / 1安徽省宣城市宁国中学2025年自主招生数学试卷
一、选择题：共6小题，每小题4分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．
1．已知方程（x2+3x）2+4（x2+3x）﹣45＝0，则该方程所有的实数根之和为（　　）
A．﹣3 B．﹣4 C．﹣6 D．0
2．从1，2，3，4四个数中任选两个不同的数分别记为m，n，则不等式组有且只有两个整数解的概率为（　　）
A． B． C． D．
3．已知3m＝6，3n＝a，2n＝b，且ab＝27，则mn的值为（　　）
A．30 B．27 C． D．3
4．在如图所示的平面内，△ABC中∠ACB＝90°，点D、E分别在边AB、AC上，将△ABC沿CD和DE折叠，点B和点A重合于点F．若AB＝40，AE＝7，则tan∠EDF的值为（　　）
A． B． C． D．
5．对于自变量为x的函数，我们把使函数值y等于零的实数x叫做函数的零点．如果函数在a≤x≤b上的图象是一条连续不断的曲线，并且在x＝a和x＝b时的函数值乘积为非正值，则该函数在a≤x≤b范围内至少有一个零点，那么对于函数y＝2x+2x2﹣4x﹣5在下列范围内一定有零点的是（　　）
A．﹣2≤x≤﹣1 B．﹣1≤x≤0 C．0≤x≤1 D．1≤x≤2
6．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D是斜边AC的中点，点E在射线BD上运动，EF与边AB所在直线交于点F，且∠FEC＝90°，连接FC．当AB＝6，AC＝10时，①△ABD∽△EDC；②∠A＝∠ECF；③当EF＝EB时，则∠EFC+2∠CFB＝90°；④当EF＝EB时，则△BCF的面积为．则以上说法正确的有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分．
7．因式分解：x3﹣2x2y﹣7xy2﹣4y3＝　 　 ．
8．如图，已知⊙O的半径为4，一条直线AB经过圆心O，另一条直线AC与⊙O分别交于点C和点D，∠A＝25°，∠ABD＝10°，则弦CD的弦心距等于　 　 ．
9．如图，已知一次函数y＝x+6的图象与反比例函数的图象在第二象限分别交于点A和点B，过点A和点B作x轴的垂线，垂足分别为点D和点C．当四边形ABCD的面积为12时，则k＝　 　 ．
10．已知一列数a1，a2，a3，a4，a5， ，an（其中n为正整数），其中，…，则a6＝　 　 ，an＝　 　 （用含n的表达式表示）．
三、解答题：共5题，共76分．解答应写出文字说明，证明过程和解题步骤．
11．（1）现有十名学生参加数学素质测试，测试成绩分别为83，85，86，86，87，89，90，93，95，96，请计算这组数据的方差；
（2）先化简代数式：，再求值，其中．
12．在平面直角坐标系中，点A、B、C、D、E的坐标分别为（﹣7，1），（1，1），（1，7），（7，﹣1），（﹣1，﹣7）．
（1）请在图1中用无刻度的直尺将线段DE分为五等分；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）请在图2中用无刻度的直尺画出△ABC的内切圆的圆心P；（保留作图痕迹，不写作法）
（3）点Q为⊙P上一动点，求△QED面积的最大值．
13．如图1，已知四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝∠ADC＝90°，过点A的直线与CD、CB的延长线分别交于点E和点F，EO的延长线平分BC并交BC于点H，∠AEO＝∠ADB，，四边形ABCD的面积为．
（1）求∠EAO的值；
（2）求线段BC的长；
（3）如图2，连接FO，求证：AD∥FO．
14．已知矩形ABCD中，AB＝6．
（1）如图1，若AD＝AB且点E、F分别为AD、AB的中点，BE与CF交于点P，求CP的长；
（2）如图2，若AD＝AB+2，点E为AD的中点，以点E为圆心，AE为半径作圆，点I为AE的中点，延长BI交⊙E于点M，求的值；
（3）如图3，若AD＝AB+2，点P在BC上且BP＝2，T为AD上任意一点，点N在四边形ABCD内，且∠TBP＝∠TPN＝∠PCN，连接AN，求AN的最小值．
15．如图1，已知二次函数y＝﹣x2+2x+3的图象分别与x轴、y轴交于A、B、C三点．
（1）如图2，若点P为抛物线上位于第一象限的一点，且，求点P的坐标；
（2）若抛物线上有两动点F、G，且直线FG与x轴正方向夹角的正切值为2，直线BF、BG分别与y轴交于D、E两点，证明：C为DE的中点；
（3）如图3，若Q为抛物线上一动点，且QD⊥BC，QE∥y轴，点N在x轴上，四边形CENM为平行四边形，求当DE最大时，CM+CN的最小值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；换元法解一元二次方程
【解析】【解答】解：设，则原方程化为．
∵，
∴判别式，
∴，
即，．
∴或．
对于，即，判别式，无实数根．
对于，即，有实数根，根之和为．
∴所有实数根之和为．
故选：A．
【分析】设，则原方程化为，然后根据公式法求出y的值，然后把y的值代入先判断方程根的情况，然后再根据根于系数的关系解答即可．
2．【答案】C
【知识点】一元一次不等式组的特殊解；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：∵不等式组，
解不等式可得和，
∴解集为，
整数解个数为，
令，
得，
从中选两个不同的数作为和，
总情况数，满足的对为、、，共3种，
∴概率，
故选：C．
【分析】解不等式求出解集为，根据整数解的个数得到，求出，然后利用列表法求出概率即可．
3．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；幂的乘方运算；积的乘方运算的逆用
【解析】【解答】解：∵，，，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：D．
【分析】由和积的乘方得到，然后根据得到，从而求出的值解答即可．
4．【答案】A
【知识点】翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；四点共圆模型；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：如图，
由折叠知，，而，
，即．
又由折叠知，，
，
，
，即，
∴四边形为圆内接四边形．
，
，
由折叠知，，
故设，在和中，
根据勾股定理得，，
，，
，
，
解得，（舍）．
，，
．
故选：A．
【分析】先得到四边形内接于圆，进而得到，再根据折叠可得，，然后设，在和中，根据勾股定理求出，，再利用正切的定义解答即可．
5．【答案】B
【知识点】函数值
【解析】【解答】解：函数 在实数范围内连续，
只需验证各选项区间端点函数值乘积是否非正，
选项，时，，
时，，
在和时的函数值乘积为正值，不符合题意；
选项，时，，
时，，
在和时的函数值乘积为非正值，符合题意；
选项，时，，
时，，
在和时的函数值乘积为正值，不符合题意；
选项，时，，
时，，
在和时的函数值乘积为正值，不符合题意．
故选：．
【分析】根据题意，求出各选项中x取值范围端点处的函数值，然后根据题意中的新定义解答即可．
6．【答案】C
【知识点】直角三角形斜边上的中线；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；等腰三角形的性质-等边对等角；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：，，
，
四边形为圆内接四边形，
，
是斜边中点，
，
，即，故②正确；
和只有一对对顶角相等，故①错误；
当时，如图，由四边形为圆内接四边形，
，
，过作，
由，
，
，
又点是斜边中点，
，
，
，
，
，
，
而，，
，，故③错误；
，，在中，根据勾股定理得，
∵，，
∴，
，
，
故设，，，则，
，
，
，
．
在中，根据勾股定理得，解得，
，故④正确．
故选：C．
【分析】先得到四边形内接于圆，即可得到，根据斜边上的中线的性质可得，根据等边对等角可得判断②，根据和只有一对角相等判断①；当时，推理得到判断③，根据两脚对应相等得到，根据对应边成比例设，，，则，在中，根据勾股定理求出k的值，再根据三角形的面积公式解答即可．
7．【答案】（x+y）2（x﹣4y）
【知识点】因式分解﹣十字相乘法；因式分解-分组分解法；因式分解﹣添（拆）项法
【解析】【解答】解：原式
．
故答案为：（x+y）2（x﹣4y）.
【分析】先将变形为，然后分组分解因式，再提取公因式，然后利用十字相乘法进行因式分解即可．
8．【答案】
【知识点】勾股定理；圆的相关概念；垂径定理；等腰直角三角形；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：，，
，
连接，，过作，
，
，
，
为等腰，
，
，
．
故答案为：．
【分析】连接，，过作，根据等边对等角得到，然后得到△ODC是等腰直角三角形，再利用勾股定理求得长，进而求得的长解答即可．
9．【答案】﹣5
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：设，，
，，．
，
．
，
，
，
，化简整理得，
又联立得，
，
和是方程的两根．
根据根与系数的关系得，，
，
即，
，
解得．
故答案为：．
【分析】设，，根据函数图象上点的特征可得，，，根据四边形的面积可得，联立两解析式可得，根据根与系数的关系得出，，利用完全平方公式的变形求出k的值解答即可．
10．【答案】；
【知识点】探索数与式的规律；探索规律-数列中的规律
【解析】【解答】解：，
，
，
，
，
，
．
故答案为：，．
【分析】根据所给的数列中数的结构特征求出 a6 ，然后总结规律即可．
11．【答案】（1）解：把原数据均减去85得：﹣2，0，1，1，2，4，5，8，10，11，
∴，
∴；
（2）解：原式
，
∵，
，
代入x、y，原式．
【知识点】负整数指数幂；方差；特殊角的三角函数的混合运算；分式的化简求值-直接代入；复合二次根式概念、性质与运算
【解析】【分析】（1）先把各数同时减去85得到新数据，然后根据方差公式计算即可；
（2）先运算括号内的减法，然后把除法化为乘法约分，再运算加法化简，再利用二次根式的性质化简求出的值，利用特殊角的三角函数值得到的值，代入化简后的分式计算即可．
12．【答案】（1）解：如图1，H1，H2，H3，H4是线段DE的五等分点；
（2）解：△ABC的内切圆的圆心P，如图2即为所求；
（3）解：由图3根据网格的特点可得AC∥ED，且AC与ED两平行线间距离为10，
∴点Q为AC与⊙P的切点，
由图3根据勾股定理可得，
即△QED的面积的最大值为．
【知识点】三角形的面积；勾股定理；矩形的性质；三角形的内切圆与内心；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【分析】（1）取格点，，，，，，，，，，然后连接，，，，，分别交于，，，．根据平行线分线段成比例得到，，，即为所作；
（2）取格点F，连接并延长，取格点S，使得，在点下方取格点，构造矩形ATSB，连接，，得到是中点，连接，根据三线合一可得是的平分线，则BF和CR的交点即为内切圆的圆心P．
（3）由图3可得，且、两平行线间距离为，然后根据勾股定理求出ED的长，然后求出△QED的最大面积即可.
13．【答案】（1）解：∵EO的延长线平分BC，
∴BH＝CH，
∴OH⊥BC，即∠CHO＝90°，
∵，
∴∠ADB＝∠ACB，
∵∠AEO＝∠ADB，
∴∠AEO＝∠ACB，
在△AEO和△HCO中，
∠AOE＝∠HOC，
∴∠EAO＝∠CHO＝90°．
（2）解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝∠ADC＝90°，
∴在Rt△ABC和Rt△ADC中，
根据勾股定理得：AB2+BC2＝AD2+CD2＝AC2，
∵，
故设，CD＝2k（k≠0），BC＝x（x＞0），
∴，化简整理得：12+x2＝7k2，①
∵，
∴，即7k2＝90﹣7x，②
∴把②代入①得x2+7x﹣78＝0，
解得：x1＝6，x2＝﹣13（舍），
即BC的长为6．
（3）证明：由（2）得BC＝6，
又∵，
∴，
∴∠ACB＝30°，
∴，
∴，
又由（1）得∠EAO＝90°，
∴EF是⊙O的切线，
∴FA⊥AC，即∠FAC＝90°，
所以，
∴，
又∵，
∴即，
在Rt△FAO和Rt△CDA中，
∵，∠FAO＝∠ADC＝90°，
∴Rt△FAO∽Rt△CDA，
∴∠AOF＝∠DAC，
∴AD∥FO．
【知识点】解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-SAS；圆周角定理的推论；垂径定理的推论
【解析】【分析】（1）根据同弧所对的圆周角相等得到，然后根据等量代换得到，再利用三角形内角和定理解答即可；
（2）根据圆内接四边形的性质可得，设，，，然后利用勾股定理得出12+x2＝7k2，利用四边形的面积得到7k2＝90﹣7x，利用代入消元法得到关于x的方程解答即可；
（3）先根据正切的定义得到∠ACB＝30°，进而求出AC的长，根据（1）的结论可得是的切线，然后根据两组对应边成比例且夹角相等得到，即可得到，证明结论即可．
14．【答案】（1）解：由题意可知AD＝AB＝6，，
∴四边形ABCD为正方形，
又∵E为AD中点，F为AB中点，
∴∠ABE＝∠BCP，
又∵∠ABE+∠AEB＝90°且∠ABE+∠CBP＝90°，
∴∠AEB＝∠CBP，
∴∠BCP+∠CBP＝90°，
故∠CPB＝90°
∴CF⊥BE，
∴∠FPB＝∠A＝90°，∠FBP＝∠EBA
∴△AEB∽△PFB，
∴，
故，
∴；
（2）解：如图2，过点M作MH⊥AE，
∵∠MHI＝∠BAI＝90°，∠MIH＝∠AIB，
∴△MIH∽△BIA，
∴，则，
设HI＝x（x＞0）则MH＝3x，
在Rt△MHE中，由勾股定理得：HE2+MH2＝ME2，即（2﹣x）2+（3x）2＝42，
解得：，（不合题意，舍去），
∴；
（3）解：如图3，过P作PQ⊥BT，作NG⊥NC，
∵，
∴BT PQ＝12，①
∵∠TBP＝∠TPN＝∠PCN，
∴∠BPT+∠NPC＝180°﹣∠TPN，
又∵∠CNP+∠NPC＝180°﹣∠PCN，
∴∠BPT＝∠CNP，
∴△BPT∽△CNP，
∴，
∴BP PC＝BT CN＝12，②
由①、②得：PQ＝CN，
∵∠TBP＝∠PCN，
∴90°﹣∠TBP＝90°﹣∠PCN，即∠QPB＝∠NCG，
在△BQP和△GNC中，
，
∴△BQP≌△GNC（ASA），
∴CG＝BP＝2，
取点O为CG中点，连接NO，
∴，则，
∴OD＝CD﹣OC＝6﹣1＝5，
由题意可知，当N在以O为圆心、半径1的圆上，且在AO上时，AN最小，
∴．
【知识点】矩形的性质；三角形全等的判定-ASA；圆-动点问题；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）先根据正方形的性质，根据两组对应角相等得到，利用对应边成比例求出PF的值，再根据线段的和差解答即可；
（2）过点作，根据两角对应相等得到，即可得到，在中，根据勾股定理求出HI的值，即可求出比值；
（3）过作，作，根据三角形的面积公式得到，然后根据两角对应相等得到，利用对应边长比例可得，即可得到，然后根据ASA得到，即可得到，取点为中点，连接，可知，当在连线上时的取值最小，利用勾股定理计算最小值即可．
15．【答案】（1）解：二次函数y＝﹣x2+2x+3的图象分别与x轴、y轴交于A、B、C三点，
当y＝0时，得：﹣x2+2x+3＝0，
解得，x1＝﹣1，x2＝3；
当x＝0时，得：y＝3，
∴A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）．
∴OB＝OC，
∴△OBC是等腰直角三角形，
∴∠OCB＝45°，
如图2.1，延长BP并过C作CH⊥BC交BP于点H，过H作HH'⊥y轴，
∴∠CH＝45°，
由题意知，
又∵，
∴，
∴，
∴H的坐标为，
设直线BH的解析式为yBH＝kx+b，将点B，点H的坐标分别代入得：
，
解得：，
∴，
联立得：，
解得：x1＝3，，
∴或（3，0）（不合题意，舍去），
∴综上所述，P点坐标为；
（2）证明：由题意可知kFG＝2，如图2.2，
设yFG＝2x+t，yBG＝k1x+b1（k1≠0），yBF＝k2x+b2（k2≠0），
F（xF，yF），G（xG，yG），B（xB，yB），
联立得：，
整理得：x2+t﹣3＝0；
∴，联立得：，
整理得：x2+（k1﹣2）x+b1﹣3＝0，∴，联立得：，
整理得：x2+（k2﹣2）x+b2﹣3＝0，
∴，
当x＝0时，得：yBG＝b1，yBF＝b2，
∴E（0，b1），D（0，b2），又∵C（0，3），
∴EC＝b1﹣3＝xB xG，DC＝3﹣b2＝﹣xB xF，
又∵xBxG+xBxF＝xB（xF+xG）＝0，
∴xB xG＝﹣xB xF，∴线段EC＝DC，故C为DE的中点；
（3）解：∵B（3，0），C（0，3）且QE∥y轴，
∴∠BCO＝∠DEQ＝45°，∴，
由题意可知：yBC＝﹣x+3．
∴设Q（m，﹣m2+2m+3），E（m，﹣m+3），
∴，
∴，
∴当时，DE的取值最大，此时E点坐标为，
如图3，四边形CENM为平行四边形，作E关于x轴对称点E'，连接EE'、NE'、CE'，则，NE＝NE'，
∴CM+CN＝CN+NE＝CN+NE'，
∴．
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数与一元二次方程的综合应用；解直角三角形—边角关系；二次函数-线段周长问题；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【分析】
（1）先求出抛物线与坐标轴的交点坐标，即可得到∠OCB＝45°，．延长并过作交于点，过作轴，根据正切的定义得到，，进而可得点的坐标，运用待定系数法求出直线BH的解析式，联立两解析式求出交点坐标即可；
（2）根据题意设，，，，，，联立直线与抛物线解析式求出点E，D的坐标，根据根与系数的关系得到，即可证明结论；
（3）设，，表示线段QE和DE，根据二次函数的最值求出的取值最大时点E的坐标，作关于轴对称点，连接、、，得到点E'的坐标，利用四边形为平行四边形求出最小值即可.
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