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山西省太原市晋源区2025~2026学年第二学期八年级阶段性学习成果考查 数学
一、单选题
1．人工智能时代，AI技术逐渐应用到实际场景中，为日常生活和各行各业带来改变．以下四个AI智能软件图标中，其文字上方的图标图案是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．若，且是任意实数，则下列不等式总成立的是（ ）
A． B． C． D．
3．和的位置如图，，，，若，则图中（ ）
A． B． C． D．
4．用反证法证明“三角形的三个外角中至少有两个是钝角”，下列假设正确的是（ ）
A．假设钝角的个数至多有一个 B．假设只有一个钝角
C．假设三个外角都不是钝角 D．假设有两个锐角
5．如图，绕点顺时针旋转得到，点落在上，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
6．式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，在中，，，分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，过两弧的交点作直线，交于点，交于点；再以、为圆心，大于的长为半径画弧，过两弧的交点作直线，交于点，连接，，则下列说法不正确的是（ ）
A． B．周长为10
C． D．
8．如图，连接正五边形的对角线，过顶点作于，是中点，连接，则（ ）
A． B． C． D．
9．小明要从五一广场到双塔寺，两地相距3.2千米，已知他步行的平均速度为70米/分钟，骑车的平均速度为200米/分钟，若他要在不超过40分钟的时间内到达，那么他至少需要骑车多少分钟？设他骑车的时间为分钟，则列出的不等式为（ ）
A． B．
C． D．
10．如图，等腰中，，，将沿其底边平移得到，与相交于点，，则平移前后两三角形重叠部分的周长为（）
A． B． C． D．5
二、填空题
11．不等式的解集是______．
12．如图，在中，，平分，E是的中点，若，，则________．
13．一次函数与的图象如图所示，其交点为，则不等式的解集为______．
14．如图，在中，，点在边上，点在边上，且，则_______°．
15．如图，中，，，点是中点，点在上且，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则的长为_______．
三、解答题
16．下面是菲菲同学在学习解不等式（组）的过程中遇到的问题，请认真阅读并帮助菲菲完成相应任务．
解不等式． 解： 第一步 第二步 第三步 第四步 第五步
(1)任务一：
①以上解题过程中，第一步的依据是_________；
②该题第_________步出现错误，错误的具体原因是_________；
(2)任务二：
③不等式的解集为_________；
④请你根据平时的学习经验，就不等式的求解过程给其他同学提一条建议_______．
17．已知关于的不等式组．
(1)当时，求这个不等式组的解集，写出所有正整数解；
(2)如果不等式组只有3个整数解，求的取值范围．
18．如图，在中，∠BAC＝90°，AB＝AC，∠ABC的平分线交AC于点D，过点C作BD的垂线交BD的延长线于点E，交BA的延长线于点F．求证：BD＝2CE．
19．如图，在平面直角坐标系中，的顶点均为格点，点的坐标为．
(1)画出绕点顺时针旋转后的图形，并写出的坐标；
(2)将先向右平移个单位，再向下平移个单位得到，画出，并写出的坐标；
(3)若可以看作绕某点旋转得到，直接写出旋转中心的坐标、旋转方向和旋转角度．
20．已知：如图，等腰中，．
(1)【实践操作】
尺规作图：①作的平分线，交于点；②过点作的垂线，交于点；（要求：保留作图痕迹，不写作法）
(2)【灵活运用】
在（1）条件下，若，直接写出的周长为__________．
21．随着新能源汽车的普及，充电桩需求量持续上升．某充电站从厂家购进甲、乙两种型号的充电桩，相关销售信息如下表：
甲型销售数量（台） 乙型销售数量（台） 总利润（元）
5 1 800
1 5 1600
(1)一台甲型充电桩和一台乙型充电桩的销售利润分别是多少元？
(2)若要购进两种型号充电桩共20台，甲型充电桩进价为1800元/台，乙型充电桩进价为2300元/台，该充电站进货成本不超过40000元，求最少可购进多少台甲型充电桩？
(3)随着需求量的持续增长，该充电站计划一次购进两种型号充电桩共60台以满足市场需求，其中乙型充电桩的进货量不多于甲型的2倍，请设计进货方案，使销售完后的总利润最大．
22．阅读与思考
下面是小明同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务．
内嵌共边等腰三角形组【概念理解】 如果两个等腰三角形有一条公共边，且其中较小的等腰三角形的另一个顶点落在外侧较大等腰三角形的某一边上，那么称二者为内嵌共边等腰三角形组． 例如，图1中的和均为等腰三角形，，，且的顶点在的边上，我们称图1中和为内嵌共边等腰三角形组． 【问题解决】 问题1：在如图1中，若平分，则__________°． 问题2：如图2，中，，点为平面内外一点（与点不重合），连接，，．作的垂直平分线，垂足为，交直线于，当点在直线上时，求的度数． 在研究过程中，小明同学利用图形的旋转得到满足条件的图形，如图3．
任务：
(1)问题1中的__________°；
(2)求出图3中的度数；
(3)补全问题2的情况，在草稿纸上画出图形并在答题纸上直接写出的度数．
23．综合与实践
问题情境：周末“数学学习小组”以一副直角三角板为缘起，抽象出以两个直角三角形为背景，探索动点运动过程中产生的数学问题．
已知等腰，是过直角顶点的一条直线，且．点是直线上的一个动点，连接，作以为直角顶点的，，分别交直线于，，其中，．
特例探究：
(1)如图1，小敏画出了时的图形．此时点与点重合，请证明：．
联想应用：
(2)如图2，小捷画出了点位于点右侧时的图形，猜想线段与之间的数量关系，并说明理由；
拓展延伸：
(3)小组同学继续探究，发现的形状随着点位置的变化而变化，请直接写出为等腰三角形时的长度．
参考答案
1．B
【详解】解：选项A、C、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形，
选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形．
2．D
【详解】解：A选项：当时，不等式两边乘负数，不等号方向改变，可得；当时，，因此A不总成立，错误；
B选项：当时，，因此B不总成立，错误；
C选项：若，，则，，此时，因此C不总成立，错误；
D选项：∵，∴，不等式两边同时加，不等号方向不变，∴，总成立，正确．
3．C
【详解】解：如图，
∵，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴．
4．A
【详解】解：用反证法证明命题时，需先假设原结论不成立，原结论为“三角形的三个外角中至少有两个是钝角”，其中“至少有两个”表示钝角个数，其否定为钝角个数，即钝角个数至多有一个，
故正确的假设是“假设钝角的个数至多有一个”．
5．B
【详解】解：∵绕点顺时针旋转得到，
∴，
则，
∵，
∴，
即，
∴．
6．B
【详解】解：，
解①得，
解②得，
∴不等式组的解集是，
∴在数轴上表示为：
7．C
【详解】解：由题意可得：，，，故A正确，不符合题意；
∴周长，故B正确，不符合题意；
∵，，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，故D正确，不符合题意；
根据已知条件无法说明，故C错误，符合题意．
8．B
【详解】解：连接，
∵五边形是正五边形，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∵是中点，
∴，
即，
则，
∴．
9．A
【详解】解：设他骑车的时间为分钟，则他步行的时间为分钟，
由题意可得：．
10．C
【详解】解：过点D作于点N．
∵在等腰中，，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
由平移可得，
∴，
∴，
∴，
∴．
11．
【详解】解：移项可得：，
合并同类项可得：，
系数化为1可得：．
12．1
【详解】解：过D作于H，
∵平分，，
∴，
∵，
∴，
∵E是的中点，
∴，
故答案为：1．
13．
【详解】解：将代入一次函数得：，
∴一次函数与轴的交点坐标为，位于轴的正半轴上，
将代入一次函数得：，
∴一次函数与轴的交点坐标为，位于轴的负半轴上，
如图，一次函数的图象为直线，一次函数的图象为直线，
∵不等式表示的是直线位于直线的下方，且两条直线的交点为，
∴结合函数图象可知，不等式的解集为，
故答案为：．
14．40
【详解】解：∵，
∴，，
则，
在中，，
即，
解得．
15．
【详解】解：如图所示，连接并延长，过点E作交于点G，过点F作交的延长线于点H，
∵，，
∴，
∵点是中点，
∴，平分，，
∴，，
∵，
∴
∵，，
∴，
∴是等腰直角三角形，，
即
解得
∵线段绕点顺时针旋转得到线段，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴．
16．(1)①不等式的基本性质2；②五；不等式两边同时除以一个负数，不等号没有变号
(2)③；④解不等式时需要注意：不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变（答案不唯一）
【详解】（1）解：①在以上解题过程中，第一步的依据是不等式的基本性质2；
②该题第五步出现错误，错误的具体原因是不等式两边同时除以一个负数，不等号没有变号；
（2）解：③依题意，∵，
∴，
即不等式的解集为；
④依题意，建议解不等式时需要注意：不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变（答案不唯一）；．
17．(1)；正整数解为1
(2)
【详解】（1）解：当时，则不等式组为，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴原不等式组的解集为
即正整数解为1．
（2）解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
不等式组的解集为，
该不等式组只有3个整数解，
该不等式组的3个整数解为，0，1，
，
解得．
18．见解析
【详解】证明：的平分线交于，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
又∵，
．
19．(1)画图见解析，点的坐标为
(2)画图见解析，点的坐标为
(3)点的坐标为，顺时针，
【详解】（1）解：如图所示，即为所求，由图可得，点的坐标为；
（2）解：如图所示，即为所求，由图可得，点的坐标为；
（3）解：如图所示，点即为旋转中心，点的坐标为，可以看作绕点顺时针旋转得到．
20．(1)见详解
(2)20
【详解】（1）解：①依题意，角平分线，如图所示：
②垂线，如图所示．
（2）解：∵等腰中，，
∴，
由（1）得出，是的平分线，
∴，
∵，
∴，
则，
即，
∴ ，
∴的周长为．
21．(1)一台甲型充电桩的销售利润为100元，一台乙型充电桩的销售利润为300元
(2)最少可购进12台甲型充电桩
(3)为使销售后总利润最大，应购进甲型充电桩20台，购进乙型充电桩40台
【详解】（1）解：设每台甲型充电桩的销售利润为元，每台乙型充电桩的销售利润为元．
根据题意得：，
解得：．
答：一台甲型充电桩的销售利润为100元，一台乙型充电桩的销售利润为300元．
（2）解：设可购进甲型充电桩台，则购进乙型充电桩台，
根据题意得：，
解得：
答：最少可购进12台甲型充电桩．
（3）解：设购进甲型充电桩台，则购进乙型充电桩台，
乙型充电桩的进货量不多于甲型充电桩的2倍，
，解得：，
设销售完这60台充电桩后的总利润为元，
根据题意得：
的值随着的增大而减小，
当时，取最大值，最大值为，
此时（台），
答：为使销售后总利润最大，应购进甲型充电桩20台，购进乙型充电桩40台．
22．(1)36
(2)
(3)或
【详解】（1）平分，
设，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
（2）设，
，
，
，
，
，
是的垂直平分线，
，
，
，
，
即．
（3）解：当在下方，落在点左侧时，如图所示
设.
，
，
是的垂直平分线，
，
，
，
，
，
，
，
当在下方，落在点右侧时，如图所示，
设，
，
，
垂直平分，
，
，
，
，
，
，
，
或．
23．(1)见解析
(2)，理由见解析
(3)的长度为10或，
【详解】（1）证明：∵是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∵点P与点A重合，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）解：，理由如下：
过点D作，交于点F，则，
∵是等腰直角三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，
，
∴，
∵，
，
∴，
∴，
∴．
（3）解：点D在直线l上从左到右运动过程中，可能出现以下等腰：
①如图，若，则，
∴，
∵，
∴，
∴．
②如图，若，
则，
过点G作于点N，
∴，
∵在等腰中，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
设，则，
∴在中，，
∴，
∵在等腰中，，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴．
③如图，若，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，即，
∴．
综上所述，为等腰三角形时的长为10或，．

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