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山西省临汾市2025-2026学年七年级第二学期期中学业质量监测数学试卷
一、单选题
1．下列式子中，是方程的有（ ）
A． B． C． D．
2．若是关于的方程的解，则的值为（ ）
A． B．5 C．1 D．
3．若，则下列各式中一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
4．不等式的解集表示在数轴上正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知二元一次方程的一个解是则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．一个书包的在进价的基础上调高后标价，现因为促销活动所有商品一律打9折，这个书包现在的售价为86.4元，那么这个书包的进价是（ ）元．
A．84.6元 B．90元 C．80元 D．100元
7．我校开设多种形式的劳动教育课程，提高同学们的基本劳动能力，帮助同学们树立“劳动最光荣、劳动最崇高、劳动最伟大、劳动最美丽”的观念．在某次劳动课上，同学们学习制作福袋和灯笼．已知每卷彩纸可制作福袋个或灯笼个，且每卷彩纸只能做其中的一种．现有卷彩纸，完成后打算将个福袋和个灯笼配成一套礼物送给父母．最后彩纸没有剩余，礼物也刚好成套．设做福袋用了卷彩纸，做灯笼用了卷彩纸，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．如果关于不等式的解集是，则必须满足的条件是（ ）
A． B． C． D．
9．下面是关于的一元一次方程的求解过程，对于每一步的运算，其中依据表述错误的是（ ）
解方程：． 解：去分母，得．① 去括号，得．② 移项，得．③ 合并同类项，得．④ 方程两边同时除以17，得．
A．①分数的基本性质 B．②乘法分配律
C．③等式的基本性质 D．④合并同类项法则
10．关于，的二元一次方程组的解满足，则的值为（ ）
A． B． C．5 D．
二、填空题
11．用不等式表示“的一半与的差不小于”______．
12．已知方程，用关于x的代数式表示y，则_______．
13．如果关于的方程是一元一次方程，则______．
14．我国明代数学读本《算法统宗》中有一道题，“隔墙听得客分银，不知人数不知银．七两分之多四两，九两分之少半斤”（明代的度量衡中斤两）．其题意为：客人一起分银子，若每人两还剩两；若每人两还差两，银子共有______两．（注：“两”为古代货币单位）
15．已知有理数和，定义一种新运算“&”，规定：（、是都不为0的常数），等式右边的运算是通常的四则运算．例如．当，时，则关于的不等式的最小整数解为____________．
三、解答题
16．解方程或方程组：
(1)；
(2)．
17．解不等式组．并把不等式①和②在数轴上表示出来．
18．已知关于的方程．
(1)当为何值时，该方程与的解相同？
(2)佳佳同学在解这个方程，去分母时忘记给右边的乘分母的最小公倍数，最终解得，求这个方程正确的解．
19．甲、乙两人同时解关于、的方程组时，甲看错了方程中的，解得，乙看错了方程中的，解得，求原方程组的正确解．
20．为助力家乡文旅发展，临汾某文创商店以《黑神话：悟空》为主题打造特色文创，计划购进两种纪念品，一种是“黑神话：悟空”手办模型，另一种是印有“黑神话；悟空”主题文化衫．已知个手办比件文化衫贵元，购买个手办和个文化衫共需元．则每个手办模型和每件文化衫分别多少元？
21．阅读与思考
请阅读下面求含绝对值的不等式和的解集过程，
对于含绝对值的不等式，根据绝对值的几何意义，从图的数轴上看：大于而小于的数的绝对值小于，所以的解集为；对于含绝对值的不等式，从图的数轴上看：小于或大于的数的绝对值大于3，所以的解集为或．
(1)直接写出含有绝对值的不等式的解集__________；
(2)填空：的解集是_________；
(3)已知含绝对值的不等式的解集为，求，的值．
22．综合与实践
【问题情境】我们规定，如果一个长方形内部能用一些正方形（或长方形）铺，既不重叠，又无缝隙，就称它为“优美长方形”，图1和图2的大长方形，都是“优美长方形”．
【初步感知】
（1）如图1，“优美长方形”是由块小正方形铺成的，若“优美长方形”的周长为，求正方形的边长．
若设正方形的边长为，则正方形的边长为，正方形c的边长为，正方形的边长为．
依题意可列方程________________，
解得________________，
所以，正方形的边长为________．
【解决问题】
（2）如图2，“优美长方形”是由块相同的小长方形铺成的，若图1和图2的两个“优美长方形”的宽相同，即，求图2中每块小长方形的面积．
【深入探究】
（3）如图3，“优美长方形”是由两个相同的长方形、两个相同的正方形及一个小正方形铺成的（既不重叠，又无缝隙），且，，求小正方形的边长．
23．综合与探究
问题背景
为庆祝“五一”国际劳动节，临汾某学校计划组织七年级师生开展“走进陶寺遗址，探寻文明根脉”的研学实践活动．陶寺遗址位于山西省临汾市襄汾县，是中华文明起源的重要见证．为保障本次研学活动顺利开展，学校向某旅游客运公司租用甲、乙两种型号的客车用于接送师生，已知该客运公司有甲、乙两种型号的客车共辆，它们的载客量、每天的租金如下表所示．在这20辆客车都坐满的情况下，共载客人．
甲型客车 乙型客车
载客量（人辆）
日租金（元辆）
(1)求该旅游客运公司甲、乙两种型号的客车各有多少辆？
问题解决
(2)该学校计划租用甲、乙两种型号的客车共辆，研学开始前，学校后勤部门核定了租车预算，经核算，本次租车的总费用不超过元．
至少要租用多少辆甲型客车？
若七年级的师生共有人，请写出所有可能的租车方案，并确定最省钱的租车方案．
参考答案
1．D
【详解】解：A 、不是等式，不满足条件，故A错误；
B、是不等式，不是等式，不满足条件，故B错误；
C、是等式，但不含未知数，不满足条件，故C错误；
D、既含有未知数，又是等式，满足方程的定义，故D正确．
2．C
【详解】解：是方程的解，
将代入方程，
，
解得．
故选C．
3．C
【详解】解：A．若，则，故选项不成立，不符合题意；
B．若，则，故选项不成立，不符合题意；
C．若，则，故选项成立，符合题意；
D．若，则，故选项不成立，不符合题意．
故选：C．
4．A
【详解】解：，
去括号，得，
移项，得，
合并，得，
系数化为1，得，
在数轴上表示为：
5．D
【详解】解：∵二元一次方程的一个解是，
∴将代入方程，
得，即，
∴．
6．C
【详解】解：设这个书包的进价为元，由题意得：
，
解得：，
这个书包的进价是元，
故选：．
7．B
【详解】解：设做福袋用了卷彩纸，做灯笼用了卷彩纸，
由题意得，，
故选：．
8．B
【详解】解：∵不等式的解集为，不等号方向发生改变，
∴，
解得．
9．A
【详解】解：A、①等式的基本性质，原表述错误，故此选项符合题意；
B、②乘法分配律，表述正确，故此选项不符合题意；
C、③等式的基本性质，表述正确，故此选项不符合题意；
D、④合并同类项法则，表述正确，故此选项不符合题意；
故选：A．
10．B
【详解】解：，
，得，
解得，
把代入①，得，
解得，
把，代入，
得，
解得．
11．
【详解】解：根据题意，的一半为，的一半与的差为，“不小于”表示大于等于，
因此可得不等式．
12．
【详解】解：，
移项得：，
解得：．
故答案为：
13．
【详解】解：∵关于的方程是一元一次方程，
∴，且，
解，得，即或，
由，得，
综上，．
14．
【详解】解：设客人共有人，银子为两，
根据题意，银子总数不变，可得方程，
解得：，
∴银子共有两．
15．5
【详解】解：∵，，，
则有，解得，
∴，
∵，
∴，
解得，
所以，关于的不等式的最小整数解为5．
16．(1)；
(2)．
【详解】（1）解：
；
（2）解：，
，得，
得，解得，
将代入得，解得，
∴方程组的解为．
17．，见解析
【详解】解： 解①，得
解②，得
∴原不等式组的解集为，
不等式①和②在数轴上表示如数轴：
18．(1)
(2)
【详解】（1）解：解方程，得．
将代入，
得，
解得；
（2）解：由题意，将代入，
得，
解得．
将代入，
得，
解得，
所以这个方程正确的解为．
19．．
【详解】解：将代入方程，得：，解得，
将代入方程，得：，解得，
把，代入原方程组，
得，
解得，
∴原方程组的正确解为．
20．每个手办模型元，每件文化衫元．
【详解】解：设每个手办模型元，每件文化衫元，
根据题意得，
解得，
答：每个手办模型元，每件文化衫元．
21．(1)或；
(2)；
(3)．
【详解】（1）解：∵，
∴或，
故答案为：或；
（2）解：∵，
∴，
∴，
故答案为：；
（3）解：∵，，
∴，
∴，
∵解集为，
∴，
解得：．
22．（1）；；20；
（2）
（3）边长
【详解】解：（1）设正方形的边长为，则正方形的边长为，正方形c的边长为，正方形的边长为，“优美长方形”的周长为，
∴列方程，
解得，，
∴正方形的边长为，
故答案为：，，；
（2）由（1）可知，，
∴，
设图2中长方形的长为，宽为，
∴，
解得，，
∴
∴图2中每块小长方形的面积；
（3）“优美长方形”是由两个相同的长方形、两个相同的正方形及一个小正方形铺成的（既不重叠，又无缝隙），
∴设，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
解得，，
∴，
∴小正方形的边长为．
23．(1)甲型号客车有辆，乙型号的客车有辆；
(2)辆；共有种租车方案，详见解析，最省钱的租车方案为：租用辆甲型客车，辆乙型客车．
【详解】（1）解：设甲型号客车有辆，乙型号的客车有辆，
根据题意得，
解得，
答：甲种型号客车有辆，乙种型号的客车有辆；
（2）解：设租用甲型号的客车辆，则租用乙型号的客车辆，
由题意得，，
解得，
∵为整数，
∴的最小值为，
∴至少要租用辆甲型客车；
由题意得，，
解得，
由得，
∴，
∵为整数，
∴或或，
∴共有种租车方案，方案：租用辆甲型客车，辆乙型客车；方案：租用辆甲型客车，辆乙型客车；方案：租用辆甲型客车，辆乙型客车，
方案的租车费用：（元）；
方案的租车费用：（元）；
方案的租车费用：（元）；
∵，
∴最省钱的租车方案为：租用辆甲型客车，辆乙型客车．

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