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广东江门市广东实验中学附属江门学校2025-2026学年九年级下学期第一次模拟考试数学试题
1．是（　　）
A．有理数 B．整数 C．有限小数 D．无理数
【答案】A
【知识点】无理数的概念；有理数的分类
【解析】【解答】解：是无限循环小数，是有理数；
故答案为：A．
【分析】本题考查了有理数和无理数，根据有理数和无理数的概念对各选项进行判断即可．
2．事件1：经过有交通信号灯的路口，遇到红灯；事件2：任意画一个三角形，其内角和是．下列说法中，正确的是（　　）
A．事件1、事件2均是随机事件
B．事件1、事件2均是不可能事件
C．事件1是随机事件，事件2是不可能事件
D．事件1是不可能事件，事件2是随机事件
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；事件的分类
【解析】【解答】解：事件1：经过有交通信号灯的路口，遇到红灯，是随机事件；
事件2：任意画一个三角形，其内角和是，是不可能事件．
则事件1是随机事件，事件2是不可能事件，
故选：C．
【分析】根据事件的分类逐项进行判断即可求出答案.
3．北京时间2024年10月30日，“神舟十八号”载人飞船发射升空，进入近地点200000米，远地点362000米的近地轨道．将数字362000用科学记数法可表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：，
故选：C．
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同.
4．如图是由7个相同的小正方体搭成的几何体，其左视图为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：该几何体左视图的小正方形有两列，左边一列是三层，右边一列是一层，
故符合题意的为选项B．
故答案为：B．
【分析】本题主要考查了对简单组合体的三视图的判断． 该几何体左视图的小正方形有两列，左边一列是三层，右边一列是一层，据此判断即可．
5．下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；求特殊角的三角函数值；求有理数的绝对值的方法
【解析】【解答】解：A．，A不符合题意；
B．，B符合题意；
C．，C不符合题意；
D．，D不符合题意．
故答案为：B
【分析】根据负整数指数幂、零指数幂、特殊角的三角函数值、有理数的绝对值结合题意进行运算即可求解.
6．关于的不等式，两边同时乘，得到的不等式为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：
．
故答案为：C．
【分析】本题考查了不等式的基本性质，不等式两边同乘以，不等号的方向要改变，由“”变为“”，再进行计算即可得到正确的选项．
7．关于x的一元二次方程x2﹣2x+k+2＝0有实数根，则k的取值范围在数轴上表示正确的是(　　)
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2 2x+k+2=0有实数根，
∴△=( 2)2 4(k+2) 0，
解得：k 1，
在数轴上表示为：
故选C.
【分析】根据二次方程有实根，则判别式，解不等式求出解集，再将解集在数轴上表示出来即可.
8．在解分式方程时，去分母可得（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】解含分数系数的一元一次方程
【解析】【解答】解：∵原方程为，两边同乘（），
∴左边：，
右边：，
∴得，
故答案为： D．
【分析】本题主要考查解分式方程中的去分母，首先判断分式最简公分母为，方程两边同乘以最简公分母，再进行判断即可得出正确的选项．
9．矩形中，横向阴影部分是矩形，另一阴影部分是平行四边形，根据图中标注的数据，计算图中空白部分的面积，其面积是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】整式的加减运算；平行四边形的性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：图中空白部分的面积，
故答案为：B．
【分析】本题 考查了整式的混合运算，矩形的性质，平行四边形的性质，用矩形d的面积减去阴影部分的面积即可得到图中空白部分的面积．
10．如图，将一张矩形纸片沿折叠，顶点A刚好落在边上的点处，若的长度为，的长度为，则折痕的长度为（ ）．
A． B． C．12 D．5
【答案】A
【知识点】勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵由翻折而成，
∴，
∴，，，
设，则，，
在中，由勾股定理得：，
∴，
∴，
在中，由勾股定理可得：，即，
∴，即，
在中，由勾股定理可得，
故答案为：A．
【分析】本题考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理，由折叠得，，在中，由勾股定理求出，得出，设，则，，在中由勾股定理可求出，再在中运用勾股定理求出．
11．比较大小： 　 　 ．
【答案】
【知识点】有理数大小比较
【解析】【解答】∵ ， ，∴ > ．故答案为：>．
【分析】两个负数比大小，绝对值大的反而小。
12．数据，，，，，的中位数是　 　．
【答案】5
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：将原数据从小到大排序为：，，，，，．
本组数据共个，个数为偶数，根据中位数定义，中位数为排序后中间两个数的平均数，即：．
故答案为：5．
【分析】本题考查中位数，根据中位数的定义，先把 数据，，，，， 按照从小到大排序为，，，，，，最中间的数据3，7的平均数即为这组数据的中位数．
13．如果分式的值为零，那么x=　 　．
【答案】-1
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：如果分式的值为零，则|x|﹣1=0．
解得x=1或﹣1．
x﹣1≠0，解得x≠1，
∴x=﹣1．
故答案为﹣1．
【分析】分式的值为0的条件是：分子为0，分母不为0，两个条件需同时具备，缺一不可．据此可以解答本题．
14．如图，某水库堤坝横断面迎水坡的斜面坡度（斜面坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比），堤坝高，则迎水坡面的长度是　 　．
【答案】
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：∵坡的斜面坡度，
∴，而，
即，
解得，， 经检验符合题意，
由勾股定理得，（米），
故答案为：．
【分析】本题考查解直角三角形的应用-坡度坡角，根据坡度列出比例式，代入，求出，在中运用勾股定理可求出．
15．如图，正方形中，，是上一点，且，是上一动点，若将沿对折后，点落在点处，则点到点的最短距离为　 　．
【答案】4
【知识点】两点之间线段最短；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图，连接， ，
∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
在中，由勾股定理得：，
由折叠的性质可知：，
∵，
∴当、、三点共线时，取得最小值，如图，
∴的最小值为．
故答案为：4．
【分析】 本题考查了矩形的性质，勾股定理，翻折变换的性质，连接，，由勾股定理得出，由折叠的性质可得出，当、、三点共线时，最小，即此时最短距离为r的长，根据可得结论．
16．计算：．
【答案】解：
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；求算术平方根；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】本题考查了零次幂计算、根式化简、三角函数计算、负数次幂计算，原式分别计算，，，，再进行加减运算即可得到结果．
17．先化简，再求代数式的值，其中，．
【答案】解：原式，
∵，
∴原式．
【知识点】分式的化简求值；二次根式的乘除混合运算；求特殊角的三角函数值
【解析】【分析】 本题考查了分式的化简求值，特殊角的三角函数值， 先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再把除法转换为乘法，约分后得最简结果，再把，化简后代入计算即可．
18．随着城市人口越来越多，很多学校门前车辆拥堵现象日趋明显，为缓解交通压力，某校提倡人们尽可能选择步行或骑车上下学，某调查小组对全校学生的上下学方式（A：小汽车、B：骑电瓶车、C：骑自行车、D：步行）进行了调查，并绘制了不完整的统计图如下：
请根据图中信息解答下列问题：
（1）本次被调查的学生有 人，请补全条形统计图．
（2）全校4500名学生中，步行上学的人数为 人．
（3）现从A、B、C中各抽1名学生（男女生被抽取的概率相等）进行拥堵体验采访，请画树状图并求出刚好抽到两男一女的概率．
【答案】（1）100，
解：A的人数是人，
B的人数是人，
补全条形统计图如图：
（2）1800
（3）解：画树状图得：
共有8种情况，刚好抽到两男一女的有3种情况，刚好抽到两男一女的概率是．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量；数形结合
【解析】【解答】（1）解：本次抽样调查中的样本容量为：，故答案为：100；
（2）解：全校4500名学生中，步行上学的人数为人．
故答案为：1800；
【分析】（1）由统计图表提供的信息，用选择C“骑自行车”上学的人数除以其所占百分比即可求出本次被调查的学生人数；用本次被调查的学生人数乘以选择A“乘小汽车” 上学的人数所占的百分比即可求出选择A“乘小汽车” 上学的人数，进而用本次被调查的学生人数分别减去选择A “乘小汽车” 、C “骑自行车” 、D“步行”的人数即可求出选择B“骑电瓶车”的人数，从而即可补全条形统计图；
（2）利用样本估计总体的思想，用该校学生的总人数乘以样本中选择D“步行”上学的人数所占的百分比，即可估计该校学生选择步行上学的人数；
（3）根据题意利用树状图法列举出所有等可能的结果数，由树状图可知共有8种情况，刚好抽到两男一女的有3种情况，然后利用概率的计算公式即可求解．
（1）解：本次抽样调查中的样本容量为：，
A的人数是人，
B的人数是人，
补全条形统计图如图：
（2）解：全校4500名学生中，步行上学的人数为人．
（3）解：画树状图得：
共有8种情况，刚好抽到两男一女的有3种情况，刚好抽到两男一女的概率是．
19．将图中损坏的轮子复原，已知弧上三点A，B，C．
（1）尺规作图找到该轮子的圆心O；
（2）若是等腰三角形，底边，腰，求圆片的半径R．
【答案】（1）解：如图所示： O即为所求的圆心．
（2）解：连接，，，交于D．
∵是等腰三角形，底边，
，
，
，
，
，
，
设圆片的半径为，在中，，
，
解得：，
圆片的半径R为．
【知识点】等腰三角形的性质；垂径定理；确定圆的条件；尺规作图-垂直平分线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】 本题考查作图-应用与设计作图，等腰三角形的性质，垂径定理，勾股定理等知识．（1）连接，， 根据垂径定理， 分别作弦和的垂直平分线交点O为所求的圆心．
（2）连接，，，交于D， 利用垂径定理和勾股定理可求出该轮的半径R．
（1）解：如图所示： O即为所求的圆心．
（2）解：连接，，，交于D．
∵是等腰三角形，底边，
，
，
，
，
，
，
设圆片的半径为，在中，，
，
解得：，
圆片的半径R为．
20．如图，在平面直角坐标系xOy中，以点O为圆心的圆分别交x轴的正半轴于点M，交y轴的正半轴于点N．劣弧的长为，直线与x轴、y轴分别交于点A、B．
（1）求证：直线AB与⊙O相切；
（2）求图中所示的阴影部分的面积（结果用π表示）
【答案】解：（1）作OD⊥AB于D，如图所示：
∵劣弧的长为，
∴=，
解得：OM=，即⊙O的半径为，
∵直线与x轴、y轴分别交于点A、B，
当y=0时，x=3；当x=0时，y=4，
∴A（3，0），B（0，4），
∴OA=3，OB=4，
∴AB==5，
∵△AOB的面积=AB OD=OA OB，
∴OD===半径OM，
∴直线AB与⊙O相切．
（2）解：图中所示的阴影部分的面积=△AOB的面积﹣扇形OMN的面积==．
【知识点】三角形的面积；勾股定理；切线的判定；扇形面积的计算；等积变换
【解析】【分析】（1）作OD⊥AB于D，根据弧长公式可得OM，根据坐标轴上点的坐标特征可得A（3，0），B（0，4），根据两点间距离可得OA=3，OB=4，根据勾股定理可得AB，再根据三角形面积可得OD，再根据切线判定定理即可求出答案.
（2）根据阴影部分的面积=△AOB的面积﹣扇形OMN的面积，结合三角形，扇形面积即可求出答案.
21．如图，一艘轮船在处测得灯塔位于的北偏东方向上，轮船沿着正北方向航行20海里到达处，测得灯塔位于的北偏东方向上，测得港口位于的北偏东方向上．已知港口在灯塔的正北方向上．
（1）填空： 度， 度；
（2）求灯塔到轮船航线的距离（结果保留根号）；
（3）求港口与灯塔的距离（结果保留根号）．
【答案】（1）30，45
（2）解：如图，作交于，作交于，
，
由（1）可得：，
海里，
在中，，海里，
海里；
灯塔到轮船航线的距离为海里；
（3）解：如图，作交于，作交于，
，
，，、都是正北方向，
四边形是矩形，
海里，，
在中，，海里，
海里，
在中，，
是等腰直角三角形，
海里，
海里，
港口与灯塔的距离为海里．
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的判定与性质；矩形的判定与性质；解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【解答】（1）解：如图，作交于，作交于，
，
，
，
都是正北方向，
，
，
，
故答案为：30，45；
【分析】（1）作交于，作交于，根据三角形外角性质可得∠AMB，再根据直线平行性质即可求出答案.
（2）作交于，作交于，根据等角对等边可得BM=AB=20，再解直角三角形即可求出答案.
（3）作交于，作交于，根据矩形判定定理可得四边形是矩形，则海里，，解直角三角形可得BE，根据等腰直角三角形性质可得CD，再根据边之间的关系即可求出答案.
（1）解：如图，作交于，作交于，
，
，
，
都是正北方向，
，
，
，
故答案为：30，45；
（2）解：如图，作交于，作交于，
，
由（1）可得：，
海里，
在中，，海里，
海里；
灯塔到轮船航线的距离为海里；
（3）解：如图，作交于，作交于，
，
，，、都是正北方向，
四边形是矩形，
海里，，
在中，，海里，
海里，
在中，，
是等腰直角三角形，
海里，
海里，
港口与灯塔的距离为海里．
22．为建立防控疫情的绿色长城，需要人人自觉养成“戴口罩、少聚集、勤消毒”的习惯．某品牌酒精消毒液的出厂价经过两次降价，价格由每箱50元降为32元．当出厂价降至每箱32元后，某批发商从该厂家购进一批这种消毒液，试销中发现：当每箱售价为40元时，周销量为600箱，且每箱的售价每涨5元，周销量就减少50箱．
（1）已知出厂价两次降价的百分率相同，直接写出这个百分率为______；
（2）求出售这种消毒液一周的总获利W（元）与每箱售价x（元）的函数关系式；
（3）若要使该消毒液的售价不高于75元，且厂家一周的进货成本不高于9600元，求每箱售价应为多少元时，获利最多？
【答案】（1）
（2）解：由题意得：
；
（3）解：设周销量为y箱，则，解得，
因为，所以，
解得，
又因为售价不高于75元，所以，
对于二次函数，
其中，对称轴为，
因为对称轴在的左侧，
所以在上随x的增大而减小，
所以当时，W有最大值，
，
答：每箱售价应为70元时，获利最多．
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】（1）解：设降价的百分率为x，由题意得：
，
解得：（舍去）；
故答案为：；
【分析】 本题考查二次函数和一元二次方程的实际应用，根据题意得到二次函数关系式是解题关键．
（1） 依据题意，设降价的百分率为x，再由题意列出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2） 依据题意，设每个售价为x元，根据总利润=单件利润×销售数量，即可列出关于x的二次函数；
（3）由题意易得，然后由（2）及 由二次函数的性质进行判断计算可以得解．
（1）解：设降价的百分率为x，由题意得：
，
解得：（舍去）；
故答案为：；
（2）解：由题意得：
；
（3）解：设周销量为y箱，则，解得，
因为，所以，
解得，
又因为售价不高于75元，所以，
对于二次函数，
其中，对称轴为，
因为对称轴在的左侧，
所以在上随x的增大而减小，
所以当时，W有最大值，，
答：每箱售价应为70元时，获利最多．
23．如图1是某海底世界时空隧道的截面图，图2是它的示意图，隧道截面可近似看作抛物线和长方形构成．长方形的长是5米，宽是1米，小磊以为原点，建立如图2平面直角坐标系．设抛物线解析式为，抛物线经过点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）为保障观赏效果，定期对玻璃隧道进行清洁，工人师傅搭建一木板，点正好在对称轴右边的抛物线上，在木板的中点处设立米的支撑杆，且，求出木板所在直线的解析式；
（3）在（2）的条件下，工人师傅可以站在木板上进行清洁，他能刷到的最大高度是站立位置上方铅直高度米处．若工人师傅从点沿木板向上走2米，在此过程中，他能刷到正上方拋物线玻璃隧道的高度（米）范围是___________米．
【答案】（1）解：长方形的长是5米，宽是1米，小磊以为原点，
设抛物线解析式为，抛物线经过点，
故即，
又长方形的长是5米，宽是1米，
故抛物线经过，，
故即，
解得，，
故抛物线的解析式为．
（2）解：点G是对称轴右侧抛物线上一点，
不妨设，
又的中点为点，
故，
由，且米，
故，
整理，得，
解得，
又的对称轴是直线，
故舍去，
故，
故，
设直线的解析式为，
根据题意，得，
解得，
故直线的解析式为．
（3）
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的其他应用
【解析】【解答】（3）解：过点M作轴，垂足为点E，交抛物线于点Q，
根据题意，得，
当时，，
故，
根据题意，得，
解得或（舍去），
故工人工作时站立的横坐标范围是；
过点Q作，
设的解析式为，
根据题意，得，
整理，得，
解得，
故直线与抛物线有两个交点，
故点P在抛物线上，
故时，，，
故，
过点P作轴，垂足为点F，交直线于点H，
此时，，符合题意，
此时他能刷到正上方拋物线玻璃隧道的高度（米）范围是米．
当时，此时他能刷到正上方拋物线玻璃隧道的高度（米）大于米，不符合题意．
故他能刷到正上方拋物线玻璃隧道的高度（米）范围是米．
故答案为：．
【分析】 本题考查二次函数的应用．根据工人师傅能刷到的最大高度是站立位置上方铅直高度2.5米得到工人师傅站立的位置所在的横坐标是解决本题的难点．
（1）根据抛物线经过点可得，再求出抛物线经过，，得到，从而可求出，的值，再代入函数关系式可得结论；
（2）易得点G的纵坐标，代入（1）中的解析式，可得点G的横坐标，设出正比例函数解析式，把点G的坐标代入可得比例系数k的值；
（3） 根据工人师傅从O点沿木板向上走2米，可得工人师傅的运动的范围，进而根据他能刷到的最大高度是站立位置上方铅直高度2.5米可得工人师傅站立的位置所在的横坐标，代入二次函数求得纵坐标即为工人师傅能刷到的最大高度．
（1）解：长方形的长是5米，宽是1米，小磊以为原点，
设抛物线解析式为，抛物线经过点，
故即，
又长方形的长是5米，宽是1米，
故抛物线经过，，
故即，
解得，，
故抛物线的解析式为．
（2）解：点G是对称轴右侧抛物线上一点，
不妨设，
又的中点为点，
故，
由，且米，
故，
整理，得，
解得，
又的对称轴是直线，
故舍去，
故，
故，
设直线的解析式为，
根据题意，得，
解得，
故直线的解析式为．
（3）解：过点M作轴，垂足为点E，交抛物线于点Q，
根据题意，得，
当时，，
故，
根据题意，得，
解得或（舍去），
故工人工作时站立的横坐标范围是；
过点Q作，
设的解析式为，
根据题意，得，
整理，得，
解得，
故直线与抛物线有两个交点，
故点P在抛物线上，
故时，，，
故，
过点P作轴，垂足为点F，交直线于点H，
此时，，符合题意，
此时他能刷到正上方拋物线玻璃隧道的高度（米）范围是米．
当时，此时他能刷到正上方拋物线玻璃隧道的高度（米）大于米，不符合题意．
故他能刷到正上方拋物线玻璃隧道的高度（米）范围是米．
故答案为：．
1 / 1广东江门市广东实验中学附属江门学校2025-2026学年九年级下学期第一次模拟考试数学试题
1．是（　　）
A．有理数 B．整数 C．有限小数 D．无理数
2．事件1：经过有交通信号灯的路口，遇到红灯；事件2：任意画一个三角形，其内角和是．下列说法中，正确的是（　　）
A．事件1、事件2均是随机事件
B．事件1、事件2均是不可能事件
C．事件1是随机事件，事件2是不可能事件
D．事件1是不可能事件，事件2是随机事件
3．北京时间2024年10月30日，“神舟十八号”载人飞船发射升空，进入近地点200000米，远地点362000米的近地轨道．将数字362000用科学记数法可表示为（　　）
A． B． C． D．
4．如图是由7个相同的小正方体搭成的几何体，其左视图为（　　）
A． B．
C． D．
5．下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
6．关于的不等式，两边同时乘，得到的不等式为（　　）
A． B． C． D．
7．关于x的一元二次方程x2﹣2x+k+2＝0有实数根，则k的取值范围在数轴上表示正确的是(　　)
A． B．
C． D．
8．在解分式方程时，去分母可得（　　）
A． B．
C． D．
9．矩形中，横向阴影部分是矩形，另一阴影部分是平行四边形，根据图中标注的数据，计算图中空白部分的面积，其面积是（　　）
A． B．
C． D．
10．如图，将一张矩形纸片沿折叠，顶点A刚好落在边上的点处，若的长度为，的长度为，则折痕的长度为（ ）．
A． B． C．12 D．5
11．比较大小： 　 　 ．
12．数据，，，，，的中位数是　 　．
13．如果分式的值为零，那么x=　 　．
14．如图，某水库堤坝横断面迎水坡的斜面坡度（斜面坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比），堤坝高，则迎水坡面的长度是　 　．
15．如图，正方形中，，是上一点，且，是上一动点，若将沿对折后，点落在点处，则点到点的最短距离为　 　．
16．计算：．
17．先化简，再求代数式的值，其中，．
18．随着城市人口越来越多，很多学校门前车辆拥堵现象日趋明显，为缓解交通压力，某校提倡人们尽可能选择步行或骑车上下学，某调查小组对全校学生的上下学方式（A：小汽车、B：骑电瓶车、C：骑自行车、D：步行）进行了调查，并绘制了不完整的统计图如下：
请根据图中信息解答下列问题：
（1）本次被调查的学生有 人，请补全条形统计图．
（2）全校4500名学生中，步行上学的人数为 人．
（3）现从A、B、C中各抽1名学生（男女生被抽取的概率相等）进行拥堵体验采访，请画树状图并求出刚好抽到两男一女的概率．
19．将图中损坏的轮子复原，已知弧上三点A，B，C．
（1）尺规作图找到该轮子的圆心O；
（2）若是等腰三角形，底边，腰，求圆片的半径R．
20．如图，在平面直角坐标系xOy中，以点O为圆心的圆分别交x轴的正半轴于点M，交y轴的正半轴于点N．劣弧的长为，直线与x轴、y轴分别交于点A、B．
（1）求证：直线AB与⊙O相切；
（2）求图中所示的阴影部分的面积（结果用π表示）
21．如图，一艘轮船在处测得灯塔位于的北偏东方向上，轮船沿着正北方向航行20海里到达处，测得灯塔位于的北偏东方向上，测得港口位于的北偏东方向上．已知港口在灯塔的正北方向上．
（1）填空： 度， 度；
（2）求灯塔到轮船航线的距离（结果保留根号）；
（3）求港口与灯塔的距离（结果保留根号）．
22．为建立防控疫情的绿色长城，需要人人自觉养成“戴口罩、少聚集、勤消毒”的习惯．某品牌酒精消毒液的出厂价经过两次降价，价格由每箱50元降为32元．当出厂价降至每箱32元后，某批发商从该厂家购进一批这种消毒液，试销中发现：当每箱售价为40元时，周销量为600箱，且每箱的售价每涨5元，周销量就减少50箱．
（1）已知出厂价两次降价的百分率相同，直接写出这个百分率为______；
（2）求出售这种消毒液一周的总获利W（元）与每箱售价x（元）的函数关系式；
（3）若要使该消毒液的售价不高于75元，且厂家一周的进货成本不高于9600元，求每箱售价应为多少元时，获利最多？
23．如图1是某海底世界时空隧道的截面图，图2是它的示意图，隧道截面可近似看作抛物线和长方形构成．长方形的长是5米，宽是1米，小磊以为原点，建立如图2平面直角坐标系．设抛物线解析式为，抛物线经过点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）为保障观赏效果，定期对玻璃隧道进行清洁，工人师傅搭建一木板，点正好在对称轴右边的抛物线上，在木板的中点处设立米的支撑杆，且，求出木板所在直线的解析式；
（3）在（2）的条件下，工人师傅可以站在木板上进行清洁，他能刷到的最大高度是站立位置上方铅直高度米处．若工人师傅从点沿木板向上走2米，在此过程中，他能刷到正上方拋物线玻璃隧道的高度（米）范围是___________米．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】无理数的概念；有理数的分类
【解析】【解答】解：是无限循环小数，是有理数；
故答案为：A．
【分析】本题考查了有理数和无理数，根据有理数和无理数的概念对各选项进行判断即可．
2．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；事件的分类
【解析】【解答】解：事件1：经过有交通信号灯的路口，遇到红灯，是随机事件；
事件2：任意画一个三角形，其内角和是，是不可能事件．
则事件1是随机事件，事件2是不可能事件，
故选：C．
【分析】根据事件的分类逐项进行判断即可求出答案.
3．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：，
故选：C．
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同.
4．【答案】B
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：该几何体左视图的小正方形有两列，左边一列是三层，右边一列是一层，
故符合题意的为选项B．
故答案为：B．
【分析】本题主要考查了对简单组合体的三视图的判断． 该几何体左视图的小正方形有两列，左边一列是三层，右边一列是一层，据此判断即可．
5．【答案】B
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；求特殊角的三角函数值；求有理数的绝对值的方法
【解析】【解答】解：A．，A不符合题意；
B．，B符合题意；
C．，C不符合题意；
D．，D不符合题意．
故答案为：B
【分析】根据负整数指数幂、零指数幂、特殊角的三角函数值、有理数的绝对值结合题意进行运算即可求解.
6．【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：
．
故答案为：C．
【分析】本题考查了不等式的基本性质，不等式两边同乘以，不等号的方向要改变，由“”变为“”，再进行计算即可得到正确的选项．
7．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2 2x+k+2=0有实数根，
∴△=( 2)2 4(k+2) 0，
解得：k 1，
在数轴上表示为：
故选C.
【分析】根据二次方程有实根，则判别式，解不等式求出解集，再将解集在数轴上表示出来即可.
8．【答案】D
【知识点】解含分数系数的一元一次方程
【解析】【解答】解：∵原方程为，两边同乘（），
∴左边：，
右边：，
∴得，
故答案为： D．
【分析】本题主要考查解分式方程中的去分母，首先判断分式最简公分母为，方程两边同乘以最简公分母，再进行判断即可得出正确的选项．
9．【答案】B
【知识点】整式的加减运算；平行四边形的性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：图中空白部分的面积，
故答案为：B．
【分析】本题 考查了整式的混合运算，矩形的性质，平行四边形的性质，用矩形d的面积减去阴影部分的面积即可得到图中空白部分的面积．
10．【答案】A
【知识点】勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵由翻折而成，
∴，
∴，，，
设，则，，
在中，由勾股定理得：，
∴，
∴，
在中，由勾股定理可得：，即，
∴，即，
在中，由勾股定理可得，
故答案为：A．
【分析】本题考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理，由折叠得，，在中，由勾股定理求出，得出，设，则，，在中由勾股定理可求出，再在中运用勾股定理求出．
11．【答案】
【知识点】有理数大小比较
【解析】【解答】∵ ， ，∴ > ．故答案为：>．
【分析】两个负数比大小，绝对值大的反而小。
12．【答案】5
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：将原数据从小到大排序为：，，，，，．
本组数据共个，个数为偶数，根据中位数定义，中位数为排序后中间两个数的平均数，即：．
故答案为：5．
【分析】本题考查中位数，根据中位数的定义，先把 数据，，，，， 按照从小到大排序为，，，，，，最中间的数据3，7的平均数即为这组数据的中位数．
13．【答案】-1
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：如果分式的值为零，则|x|﹣1=0．
解得x=1或﹣1．
x﹣1≠0，解得x≠1，
∴x=﹣1．
故答案为﹣1．
【分析】分式的值为0的条件是：分子为0，分母不为0，两个条件需同时具备，缺一不可．据此可以解答本题．
14．【答案】
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：∵坡的斜面坡度，
∴，而，
即，
解得，， 经检验符合题意，
由勾股定理得，（米），
故答案为：．
【分析】本题考查解直角三角形的应用-坡度坡角，根据坡度列出比例式，代入，求出，在中运用勾股定理可求出．
15．【答案】4
【知识点】两点之间线段最短；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图，连接， ，
∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
在中，由勾股定理得：，
由折叠的性质可知：，
∵，
∴当、、三点共线时，取得最小值，如图，
∴的最小值为．
故答案为：4．
【分析】 本题考查了矩形的性质，勾股定理，翻折变换的性质，连接，，由勾股定理得出，由折叠的性质可得出，当、、三点共线时，最小，即此时最短距离为r的长，根据可得结论．
16．【答案】解：
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；求算术平方根；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】本题考查了零次幂计算、根式化简、三角函数计算、负数次幂计算，原式分别计算，，，，再进行加减运算即可得到结果．
17．【答案】解：原式，
∵，
∴原式．
【知识点】分式的化简求值；二次根式的乘除混合运算；求特殊角的三角函数值
【解析】【分析】 本题考查了分式的化简求值，特殊角的三角函数值， 先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再把除法转换为乘法，约分后得最简结果，再把，化简后代入计算即可．
18．【答案】（1）100，
解：A的人数是人，
B的人数是人，
补全条形统计图如图：
（2）1800
（3）解：画树状图得：
共有8种情况，刚好抽到两男一女的有3种情况，刚好抽到两男一女的概率是．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量；数形结合
【解析】【解答】（1）解：本次抽样调查中的样本容量为：，故答案为：100；
（2）解：全校4500名学生中，步行上学的人数为人．
故答案为：1800；
【分析】（1）由统计图表提供的信息，用选择C“骑自行车”上学的人数除以其所占百分比即可求出本次被调查的学生人数；用本次被调查的学生人数乘以选择A“乘小汽车” 上学的人数所占的百分比即可求出选择A“乘小汽车” 上学的人数，进而用本次被调查的学生人数分别减去选择A “乘小汽车” 、C “骑自行车” 、D“步行”的人数即可求出选择B“骑电瓶车”的人数，从而即可补全条形统计图；
（2）利用样本估计总体的思想，用该校学生的总人数乘以样本中选择D“步行”上学的人数所占的百分比，即可估计该校学生选择步行上学的人数；
（3）根据题意利用树状图法列举出所有等可能的结果数，由树状图可知共有8种情况，刚好抽到两男一女的有3种情况，然后利用概率的计算公式即可求解．
（1）解：本次抽样调查中的样本容量为：，
A的人数是人，
B的人数是人，
补全条形统计图如图：
（2）解：全校4500名学生中，步行上学的人数为人．
（3）解：画树状图得：
共有8种情况，刚好抽到两男一女的有3种情况，刚好抽到两男一女的概率是．
19．【答案】（1）解：如图所示： O即为所求的圆心．
（2）解：连接，，，交于D．
∵是等腰三角形，底边，
，
，
，
，
，
，
设圆片的半径为，在中，，
，
解得：，
圆片的半径R为．
【知识点】等腰三角形的性质；垂径定理；确定圆的条件；尺规作图-垂直平分线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】 本题考查作图-应用与设计作图，等腰三角形的性质，垂径定理，勾股定理等知识．（1）连接，， 根据垂径定理， 分别作弦和的垂直平分线交点O为所求的圆心．
（2）连接，，，交于D， 利用垂径定理和勾股定理可求出该轮的半径R．
（1）解：如图所示： O即为所求的圆心．
（2）解：连接，，，交于D．
∵是等腰三角形，底边，
，
，
，
，
，
，
设圆片的半径为，在中，，
，
解得：，
圆片的半径R为．
20．【答案】解：（1）作OD⊥AB于D，如图所示：
∵劣弧的长为，
∴=，
解得：OM=，即⊙O的半径为，
∵直线与x轴、y轴分别交于点A、B，
当y=0时，x=3；当x=0时，y=4，
∴A（3，0），B（0，4），
∴OA=3，OB=4，
∴AB==5，
∵△AOB的面积=AB OD=OA OB，
∴OD===半径OM，
∴直线AB与⊙O相切．
（2）解：图中所示的阴影部分的面积=△AOB的面积﹣扇形OMN的面积==．
【知识点】三角形的面积；勾股定理；切线的判定；扇形面积的计算；等积变换
【解析】【分析】（1）作OD⊥AB于D，根据弧长公式可得OM，根据坐标轴上点的坐标特征可得A（3，0），B（0，4），根据两点间距离可得OA=3，OB=4，根据勾股定理可得AB，再根据三角形面积可得OD，再根据切线判定定理即可求出答案.
（2）根据阴影部分的面积=△AOB的面积﹣扇形OMN的面积，结合三角形，扇形面积即可求出答案.
21．【答案】（1）30，45
（2）解：如图，作交于，作交于，
，
由（1）可得：，
海里，
在中，，海里，
海里；
灯塔到轮船航线的距离为海里；
（3）解：如图，作交于，作交于，
，
，，、都是正北方向，
四边形是矩形，
海里，，
在中，，海里，
海里，
在中，，
是等腰直角三角形，
海里，
海里，
港口与灯塔的距离为海里．
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的判定与性质；矩形的判定与性质；解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【解答】（1）解：如图，作交于，作交于，
，
，
，
都是正北方向，
，
，
，
故答案为：30，45；
【分析】（1）作交于，作交于，根据三角形外角性质可得∠AMB，再根据直线平行性质即可求出答案.
（2）作交于，作交于，根据等角对等边可得BM=AB=20，再解直角三角形即可求出答案.
（3）作交于，作交于，根据矩形判定定理可得四边形是矩形，则海里，，解直角三角形可得BE，根据等腰直角三角形性质可得CD，再根据边之间的关系即可求出答案.
（1）解：如图，作交于，作交于，
，
，
，
都是正北方向，
，
，
，
故答案为：30，45；
（2）解：如图，作交于，作交于，
，
由（1）可得：，
海里，
在中，，海里，
海里；
灯塔到轮船航线的距离为海里；
（3）解：如图，作交于，作交于，
，
，，、都是正北方向，
四边形是矩形，
海里，，
在中，，海里，
海里，
在中，，
是等腰直角三角形，
海里，
海里，
港口与灯塔的距离为海里．
22．【答案】（1）
（2）解：由题意得：
；
（3）解：设周销量为y箱，则，解得，
因为，所以，
解得，
又因为售价不高于75元，所以，
对于二次函数，
其中，对称轴为，
因为对称轴在的左侧，
所以在上随x的增大而减小，
所以当时，W有最大值，
，
答：每箱售价应为70元时，获利最多．
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】（1）解：设降价的百分率为x，由题意得：
，
解得：（舍去）；
故答案为：；
【分析】 本题考查二次函数和一元二次方程的实际应用，根据题意得到二次函数关系式是解题关键．
（1） 依据题意，设降价的百分率为x，再由题意列出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2） 依据题意，设每个售价为x元，根据总利润=单件利润×销售数量，即可列出关于x的二次函数；
（3）由题意易得，然后由（2）及 由二次函数的性质进行判断计算可以得解．
（1）解：设降价的百分率为x，由题意得：
，
解得：（舍去）；
故答案为：；
（2）解：由题意得：
；
（3）解：设周销量为y箱，则，解得，
因为，所以，
解得，
又因为售价不高于75元，所以，
对于二次函数，
其中，对称轴为，
因为对称轴在的左侧，
所以在上随x的增大而减小，
所以当时，W有最大值，，
答：每箱售价应为70元时，获利最多．
23．【答案】（1）解：长方形的长是5米，宽是1米，小磊以为原点，
设抛物线解析式为，抛物线经过点，
故即，
又长方形的长是5米，宽是1米，
故抛物线经过，，
故即，
解得，，
故抛物线的解析式为．
（2）解：点G是对称轴右侧抛物线上一点，
不妨设，
又的中点为点，
故，
由，且米，
故，
整理，得，
解得，
又的对称轴是直线，
故舍去，
故，
故，
设直线的解析式为，
根据题意，得，
解得，
故直线的解析式为．
（3）
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的其他应用
【解析】【解答】（3）解：过点M作轴，垂足为点E，交抛物线于点Q，
根据题意，得，
当时，，
故，
根据题意，得，
解得或（舍去），
故工人工作时站立的横坐标范围是；
过点Q作，
设的解析式为，
根据题意，得，
整理，得，
解得，
故直线与抛物线有两个交点，
故点P在抛物线上，
故时，，，
故，
过点P作轴，垂足为点F，交直线于点H，
此时，，符合题意，
此时他能刷到正上方拋物线玻璃隧道的高度（米）范围是米．
当时，此时他能刷到正上方拋物线玻璃隧道的高度（米）大于米，不符合题意．
故他能刷到正上方拋物线玻璃隧道的高度（米）范围是米．
故答案为：．
【分析】 本题考查二次函数的应用．根据工人师傅能刷到的最大高度是站立位置上方铅直高度2.5米得到工人师傅站立的位置所在的横坐标是解决本题的难点．
（1）根据抛物线经过点可得，再求出抛物线经过，，得到，从而可求出，的值，再代入函数关系式可得结论；
（2）易得点G的纵坐标，代入（1）中的解析式，可得点G的横坐标，设出正比例函数解析式，把点G的坐标代入可得比例系数k的值；
（3） 根据工人师傅从O点沿木板向上走2米，可得工人师傅的运动的范围，进而根据他能刷到的最大高度是站立位置上方铅直高度2.5米可得工人师傅站立的位置所在的横坐标，代入二次函数求得纵坐标即为工人师傅能刷到的最大高度．
（1）解：长方形的长是5米，宽是1米，小磊以为原点，
设抛物线解析式为，抛物线经过点，
故即，
又长方形的长是5米，宽是1米，
故抛物线经过，，
故即，
解得，，
故抛物线的解析式为．
（2）解：点G是对称轴右侧抛物线上一点，
不妨设，
又的中点为点，
故，
由，且米，
故，
整理，得，
解得，
又的对称轴是直线，
故舍去，
故，
故，
设直线的解析式为，
根据题意，得，
解得，
故直线的解析式为．
（3）解：过点M作轴，垂足为点E，交抛物线于点Q，
根据题意，得，
当时，，
故，
根据题意，得，
解得或（舍去），
故工人工作时站立的横坐标范围是；
过点Q作，
设的解析式为，
根据题意，得，
整理，得，
解得，
故直线与抛物线有两个交点，
故点P在抛物线上，
故时，，，
故，
过点P作轴，垂足为点F，交直线于点H，
此时，，符合题意，
此时他能刷到正上方拋物线玻璃隧道的高度（米）范围是米．
当时，此时他能刷到正上方拋物线玻璃隧道的高度（米）大于米，不符合题意．
故他能刷到正上方拋物线玻璃隧道的高度（米）范围是米．
故答案为：．
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