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广东省中山市华侨中学2026年中考数学一模试卷
1．2026 的相反数是(　　)
A．- 2026 B．2026 C．2026 D．
【答案】A
【知识点】求有理数的相反数的方法
【解析】【解答】解： 2026 的相反数是-2026
故答案为：A.
【分析】根据相反数的定义可直接得出答案。
2．下面四幅作品分别代表“立春”、芒种”、“白露”、“大雪”四个节气，其中是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
3．下列各数中，是无理数的为(　　)
A．-1 B．3.33333 C． D．3.14
【答案】C
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：-1，3.33333，3.14是有理数，是无理数。
故答案为：C.
【分析】根据无理数的定义，逐项进行识别，即可得出答案。
4．将含45°角的直角三角板按如图所示摆放，直角顶点在直线m上，其中一个锐角顶点在直线n上.若m∥n，∠1=30°，则∠2的度数为(　　)
A．30° B．45° C．60° D．75°
【答案】D
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∠2=180°-45°-60°=75°。
故答案为：D.
【分析】根据平行线的性质及平角定义，即可得出答案。
5．下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，计算正确，符合题意；
B、，原选项错误，不符合题意；
C、与不是同类项，不能合并，原选项错误，不符合题意；
D、，原选项错误，不符合题意；
故选：A．
【分析】根据合并同类项，同底数幂的乘除法运算，幂的乘方运算逐项进行判断即可求出答案.
6．如图是由5个小正方体组成的几何体，则它的俯视图是(　　)
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：由几何体可得出 它的俯视图是：
故答案为：B.
【分析】根据俯视图的定义，结合几何体，即可得出答案。
7．中国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目：今有共买避，人出半，盈四：人出少半，不足三.问人数，进价各几何 其大意是：今有人合伙买建石，每人出一钱，会多出4钱：每人出号钱，又差了3钱.问人数，球价各是多少 设人数为x，球价为y，则可列方程组为(　　)
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解： 设人数为x，球价为y，根据 每人出一钱，会多出4钱：每人出号钱，又差了3钱，即可得出方程组 ：
故答案为：B.
【分析】 设人数为x，球价为y，根据 每人出一钱，会多出4钱：每人出号钱，又差了3钱，即可得出方程组.
8．已知二次函数 为常数，且m>0) 的图象上有三点A (-2，y1)，B(1，y2)， C(3，y3)，则y1、y2、y3的大小关系是(　　)
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解： 二次函数 ，
所以抛物线的对称轴为：x=1，
∵a=1＞0，
∴图像的最低点为（1，m-1），
∵1-（-2）=3，3-1=2，
∴y1＞y3＞y1
故答案为：A.
【分析】首先把二次函数的一般形式转化为顶点式，得出对称轴和开口方向，进而根据顶点坐标和各点与对称轴距离的大小，即可得出答案。
9．一个滑轮起重装置如图所示，滑轮的半径是10cm，当重物上升6πcm时滑轮的一条半径OA绕轴心O按逆时针方向旋转的角度约为 (　　)
A．36° B．54° C．72° D．108°
【答案】D
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：设半径OA绕轴心O按逆时针方向旋转的角度为n°，重物上升6πcm即点A旋转的弧线长度为6πcm，
∴，
解得：n=108°。
故答案为：D.
【分析】根据题意可得出重物上升6πcm即点A旋转的弧线长度为6πcm，然后根据弧长计算公式可得出答案。
10．如图，四边形是正方形，点E是线段上的动点，以为边作正方形，连接，M为的中点，且，则线段的最小值是(　　)
A．1 B． C． D．2
【答案】B
【知识点】矩形的判定与性质；正方形的性质；三角形的中位线定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【解答】解：取的中点N，连接交于P，
设正方形的边长为，即，
∵N是的中点，M为的中点，，
∴，，
∴
又∵四边形是正方形，
∴四边形是矩形，，，
∴
∵，
∴
∴当时，，即
故选：B．
【分析】取的中点N，连接交于P，设正方形的边长为，即，根据三角形中位线定理可得MN，根据矩形判定定理可得四边形是矩形，，，根据边之间的关系可得MP，再根据勾股定理，结合二次函数的性质即可求出答案.
11． 计算： 　 　.
【答案】
【知识点】零指数幂；二次根式的混合运算；求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解 ： 4× +1=2+1
故答案为：.
【分析】首先根据特殊锐角的三角函数值和零整数指数幂的性质进行化简，然后再进行实数的混合运算即可。
12．计算 的结果是　 　.
【答案】1
【知识点】分式的加减法；同分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：=
故答案为：1.
【分析】根据同分母分式的加法进行计算，即可得出结果。
13． 如图，在△ABC中，DE∥BC，若( 则△DOE与△BOC的面积之比为　 　.
【答案】1： 9
【知识点】相似三角形的判定；比的性质；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：∵
∴
∵ DE∥BC，
∴
∴
故答案为：1： 9.
【分析】首先根据比的性质可得出，进而根据相似三角形的性质可得出，进而得出△DOE与△BOC的面积之比。
14．若是一元二次方程的两个实数根，则　 　.
【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵是一元二次方程的两个实数根 ，
∴x1+x2=2，x1x2=-8，
∴，
故答案为：.
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，分别求出x1+x2=2，x1x2=-8，再代入求得 的值.
15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，AB=2，将Rt△ABC绕点C顺时针旋转90°后得到Rt△DEC，点B经过的路径为BE，将线段AB绕点A顺时针旋转60°后，点B恰好落在CE上的点 F处，点 B经过的路径为BF，则图中阴影部分的面积是　 　.
【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理；扇形面积的计算；旋转的性质；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：∵ ∠A=60°，AB=2，
∴S扇形ABF=，
∵ ∠ACB=90°，
∴∠ABC=30°，
∴AC=，
∴BC=，
∴S=
∵∠BCE=90°，
∴S扇形CBE=，
∴S阴影=S扇形CBE-（S扇形ABF-S）=
故答案为：.
【分析】根据S阴影=S扇形CBE-（S扇形ABF-S）即可得出阴影部分的面积。
16．先化简，再求值： 其中a=-2，b=1.
【答案】解： (2a+b)2-(b-2a)(b+2a)
当a=-2， b=1时，原式=8×(-2)2+4×(-2)×1=8×4+(-8)=32-8=24.
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；有理数混合运算法则（含乘方）；利用整式的混合运算化简求值；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】首先根据完全平方公式和平方差公式进行整式的乘法运算，然后再合并同类项，得出化简结果，进而再把a=-2， b=1代入化简后的式子中，进行有理数的混合运算即可。
17．解分式方程：
【答案】解：
∴
解得：
当时，
∴是原方程的增根，原方程无解.
【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【分析】方程两边同时乘以各个分母的最简公分母3(x+2)约去分母将分式方程转化为整式方程（注意左边的整式"-1”也要乘以最简公分母，不能漏乘），然后解整式方程求出x的值，进而检验即可得出原方程根的情况.
18．如图，在平行四边形ABCD中，已知AD>AB.
（1）尺规作图：作∠BAD的平分线交BC于点E，在AD上截取AF=AB，连接EF：(保留作图痕迹，不写作法)
（2） 求证： 四边形ABEF 是菱形.
【答案】（1）解：如图，射线AE，线段AF即为所求.
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE=∠AEB，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE，
∴∠BAE=∠AEB，
∴AB=BE，
∵AF=AB，
∴AF=AE.
∵AF∥BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AB=AF，
∴四边形ABEF是菱形.
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）根据平分已知角的尺规作图，作出射线AE交BC于点E，再在AD上截取AF=AB即可；
（2）首先根据一组对边平行且相等可证得四边形ABEF是平行四边形，进而根据AB=AF即可得出四边形ABEF是菱形.
19．“爱你老己”是2025年底流行的网络热梗.“爱你老己”是“爱你自己”的意思，称自己为“老己”，仿佛在与一位相识多年的老朋友对话。亲切又幽默。九年级学生小明选用材质、颜色、大小均相同的四张卡片，分别将“爱”、“你”、“老”、“己”四个字书写在上面，并背面朝上反扣在桌上.
（1）小明随机在四张卡片中抽取一张，求小明抽取到写有“爱”字卡片的概率.
（2）小明随机在四张卡片中抽取两张，请用树状图或者表格分析，能凑成“老己”这个词的概率.
【答案】（1）解：P（小明抽到“爱”字卡片）=；
（2）解：根据题意，列出表格，如下：
　 爱 你 老 己
爱 　 你、爱 老、爱 己、爱
你 爱、你 　 老、你 己、你
老 爱、老 你、老 　 己、老
己 爱、己 你、己 老、己 　
一共有12种等可能结果，其中能读成“老己”这个词的有2种，
所以能读成“老己”这个词的概率
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【分析】（1）根据概率公式可直接得出答案；
（2）首先根据表格进行分析可得出一共有12种等可能结果，其中能读成“老己”这个词的有2种，进而根据概率计算公式即可得出答案。
20．某品牌头盔4月份销量是150个，6月份销量是216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同.
（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；
（2）此种头盔的进价为30元/个，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少5个，为使月销售达到最大利润，则该头盔的实际售价应定为多少元/个
【答案】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x，4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同.
由题意，得：
解得： x=0.2=20%或x=-2.2 (舍去)；
答：该品牌头盔销售量的月增长率为20%；
（2）解：设该品牌头盔的实际售价应定为m元/个，利润为w.
则
∵-5<0.
∴当m=95时，月销售利润最大；
故：为使月销售利润最大，该品牌头盔的实际售价应定为95元/个.
【知识点】二次函数的最值；一元二次方程的实际应用-百分率问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同.即可得出方程解方程并取适合题意的值即可；
（2）设该品牌头盔的实际售价应定为m元/个，利润为w，根据利润=（售价-进价）×销量，即可得出，进一步转化成二次函数的顶点式，根据二次函数的最值，即可解答。
21．某校数学“综合与实践”小组在测量当地建筑书圣阁的高度时，形成了如下不完整的实践报告：
测量对象 书圣阁
测量目的 学会运用锐角三角函数有关知识解决生活实际问题
测量工具 无人机
测量方案 如测量示意图所示(图中各点均在同一竖直平面内)： 先将无人机从地面的点C处垂直上升90.7m至点 P.此时测得书圣阁的顶端A的
　 俯角∠DPA为16°：再将无人机从点P处向右沿水平方向飞行60m至点D，然后沿垂直方向上升20m至点Q，此时测得书圣阁的端A的俯角.
测量示意图
请求出书圣阁的高度AB.(结果保留整数，参考数据：
【答案】解：如图，延长BA交QE于M，延长PD交MB于F.
由题可知，四边形QMFD、PCBF为矩形，
则QM=DF， MF=QD=20m， FB=PC=90.7m.
设QM= xm，则PF=(x+60) m.
在Rt△QMA中， ∠AQM=45°，
∴∠MAQ=45°=∠MQA.
则MA=QM= xm.
∴AF=(x-20) m.
在Rt△PFA中， ∠APF=16°，
∴AF=PF·tan∠APF.
即x-20= (x+60)×0.29.
解得x≈52.68.
则AB=90.7+20-52.68≈58(m).
答：书圣阁的高度约为58m.
【知识点】矩形的判定与性质；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】如图，延长BA交QE于M，延长PD交MB于F.设QM= xm，则PF=(x+60) m.在Rt△QMA中， ∠AQM=45°，可得出AF=(x-20) m.进而在在Rt△PFA中，根据可得出x-20= (x+60)×0.29.解方程求得x的值，进而得出AB的值。
22．定义：在钝角三角形中，若钝角的度数恰好是其中一个锐角的度数与90度的和，则称这个钝角三角形为妙趣三角形。这个锐角叫做妙趣角。例如，如图1，△ABC是妙趣三角形，∠C是妙趣角。若∠B=130°，则∠C=∠B-90°=40°.
【概念理解】
（1）当妙趣三角形是等腰三角形时，妙趣角的度数为　 　：
（2）【性质探究】
如图2.数学兴趣小组发现，当△ABC是妙趣三角形，∠B是钝角.∠A是妙趣角时，存在 的结论，请你证明这个结论：
（3）【拓展应用】
如图3，AB是⊙O的直径，点 C，D 是圆上的两点，弦CD与AB 交于点 E，连接AD，BD，△ACE和△BCD 都是妙趣三角形，且∠CAE、∠DCB 分别为妙趣角.求器的值.
【答案】（1）30°
（2）证明：如图，作BD⊥AB交AC于D.
∴∠ABD=90°.
∵△ABC是妙趣三角形，∠ABC是钝角，∠A是妙趣角，
∴∠ABC=∠ABD+∠DBC=90°+∠DBC=90°+∠A.
∴∠DBC=∠A.
又∵∠C=∠C，
∴△ABC∽△BDC，
（3）解：连接OC、OD，如图所示：
设∠CAB=α.
∵∠CAB是妙趣角，
则∠CEA=90°+α.
∠ACE=∠180°-(90°+α+α)=90-2α.
∵AB是直径.
∴∠ACB=90°.
则∠DCB=90°-(90°-2α)=2α.
∵∠DCB是妙趣角，
∴在△BDC中， ∠CBD=90°+∠DCB=90°+2α.
∵BC=BC，
∴∠CDB=∠CAB=α.
由∠BDC内角和可得∠CDB+∠CBD+∠DCB=α+90°+2α+2α=180°，
解得a=18°.
则∠ACE=90°-2×18°=54°.
∵∠CAB=a， AO=OC.
则
∴∠OCE=∠COE， ∠OED=∠OCE+∠COE=72°.
故 OE=CE，
∵CO=OD.
∴∠ODC=∠OCE=36°.
则.
即∠OED=∠DOE.
∴OD=DE.
∵∠OCE=∠COE=∠ODC=36°.
∴△OCE∽△DCO.
则△OCE∽△DCO.
∵CO=OD=ED.
【知识点】相似三角形的判定；一元一次方程的实际应用-几何问题；正切的概念；相似三角形的判定-AA；圆周角定理的推论
【解析】【解答】(1)解：设妙趣角的度数为x.
根据题意可得：
解得：
∴妙趣角的度数为30°.
故答案为： 30°.
【分析】（1）设妙趣角的度数为x，根据妙趣三角形的定义。即可得出解方程求解即可；
（2）如图，作BD⊥AB交AC于D.根据妙趣三角形的定义，可得出∠ABC=∠ABD+∠DBC=90°+∠DBC=90°+∠A.，进而得出∠DBC=∠A.进一步根据AA可得出△ABC∽△BDC，进一步的出结论；
（3）连接OC、OD，设∠CAB=α.首先根据妙趣角的定义，及圆周角定理的推论可得出∠CDB=∠CAB=α.进而根据三角形内角和得出a=18°.然后通过计算可得出△OCE∽△DCO.进而然后根据CO=OD=ED.即可得出
23．如图，抛物线 与x轴交于A，B两点(点A在点B左侧)，与y轴交于点 C.
（1）如图1，一次函数 的图象与坐标轴分别交于点M，N.点P是抛物线上的一个动点，过点 P作直线MN的垂线段，垂足为Q，求PQ的最小值：
（2）如图2，D是直线BC上方抛物线上一动点，作 DF⊥AB垂足为点F，交 BC于点E，连接CD，是否存在点 D，使△CDE是等腰三角形 若存在。请直接写出所有满足条件的点D的坐标：若不存在，请说明理由：
（3）如图3，在 (2)的条件下，连接OE，将线段OE绕点O 按顺时针方向旋转90°得到线段OG，连接AG，求线段AG的最小值.
【答案】（1）解：如图，过P作PG∥y轴交MN于点G.
设 则
对于一次函数 令x=0，得y=6，令y=0，得x=-8，
∴OM=8. ON=6.
∵PG∥y轴.
∴∠PGQ=∠ONM.
∴sin∠PGQ=sin∠ONM.
为最小值
（2）解：对于抛物线表达 当x=0， y=3，
∴C(0. 3).
设直线BC表达式为： y= kx+b.则
解得：
∴直线.BC：
设点D的横坐标为t，
∵DE⊥AB，
∴D(t，-yt2+t+3). E(t，-1/2t+3).
①当DE=CE时，
解得：t=6-2 或t=0(舍).
②当CD=DE时，
整理得： r2(-t+1) =0.
解得： t=1或r=0(舍).
∴D(1，5)：
③当CD=CE时，
整理得：
解得： r=2或r=6(舍)或t=0(舍).
∴D (2， 4)：
（3）方法一：在y轴负半轴取点N(0，-6)，连接NG 并延长交x轴于点M，连接AN，
由旋转得： OE=OG，∠EOG=90°.
∵B(6. 0).
∴OB=ON.
∴△BOE≌△NOG(SAS).
∴∠CBO=∠MNO.
∴点 G在线段 MN上运动(不包括端点)。
∴当AG⊥MN时，AG最小，
∵∠CBO=∠MNO， OB=ON， ∠COB=∠MON.
∴△COB≌△MON(ASA).
∴OM=OC=3，
∴当AG⊥MN时，
方法2：设E(
∵OE绕O点顺时针旋转90°.
当t=2时，AG的最小值为
∴线段AG长度的最小值
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的最值；垂线段最短及其应用；二次函数图象上点的坐标特征；坐标系中的两点距离公式
【解析】【分析】（1）过P作PGIly轴，交MN于点G，设P（p，），则G（p，）求得sin∠ONM=，根据sin∠PGQ= sin∠ONM，用p的二次函数表示出PQ，利用二次函数的性质即可求解；
（2）用两点间距离公式分别表示三边，分类讨论，建立方程求解即可；设点D的横坐标为t，，①当DE=CE时，②当CD=DE时， D(1，5)：③当CD=CE时， D (2， 4)：
（3）方法一：在y轴负半轴取点N(0，-6)，连接NG 并延长交x轴于点M，连接AN，首先根据SAS可证得△BOE≌△NOG，得出∠CBO=∠MNO.进而根据ASA可证得△COB≌△MON，得出OM=OC=3，根据垂线段最短，可得出当AG⊥MN时，AG最小，根据勾股定理可得出，再利用面积法即可得出当AG⊥MN时，进而即可求得此时AG的值；方法2：设E( 根据旋转的性质可得出进而可得出进一步根据二次函数的最小值即可得出当t=2时，AG的最小值为
1 / 1广东省中山市华侨中学2026年中考数学一模试卷
1．2026 的相反数是(　　)
A．- 2026 B．2026 C．2026 D．
2．下面四幅作品分别代表“立春”、芒种”、“白露”、“大雪”四个节气，其中是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．下列各数中，是无理数的为(　　)
A．-1 B．3.33333 C． D．3.14
4．将含45°角的直角三角板按如图所示摆放，直角顶点在直线m上，其中一个锐角顶点在直线n上.若m∥n，∠1=30°，则∠2的度数为(　　)
A．30° B．45° C．60° D．75°
5．下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
6．如图是由5个小正方体组成的几何体，则它的俯视图是(　　)
A． B．
C． D．
7．中国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目：今有共买避，人出半，盈四：人出少半，不足三.问人数，进价各几何 其大意是：今有人合伙买建石，每人出一钱，会多出4钱：每人出号钱，又差了3钱.问人数，球价各是多少 设人数为x，球价为y，则可列方程组为(　　)
A． B．
C． D．
8．已知二次函数 为常数，且m>0) 的图象上有三点A (-2，y1)，B(1，y2)， C(3，y3)，则y1、y2、y3的大小关系是(　　)
A． B． C． D．
9．一个滑轮起重装置如图所示，滑轮的半径是10cm，当重物上升6πcm时滑轮的一条半径OA绕轴心O按逆时针方向旋转的角度约为 (　　)
A．36° B．54° C．72° D．108°
10．如图，四边形是正方形，点E是线段上的动点，以为边作正方形，连接，M为的中点，且，则线段的最小值是(　　)
A．1 B． C． D．2
11． 计算： 　 　.
12．计算 的结果是　 　.
13． 如图，在△ABC中，DE∥BC，若( 则△DOE与△BOC的面积之比为　 　.
14．若是一元二次方程的两个实数根，则　 　.
15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，AB=2，将Rt△ABC绕点C顺时针旋转90°后得到Rt△DEC，点B经过的路径为BE，将线段AB绕点A顺时针旋转60°后，点B恰好落在CE上的点 F处，点 B经过的路径为BF，则图中阴影部分的面积是　 　.
16．先化简，再求值： 其中a=-2，b=1.
17．解分式方程：
18．如图，在平行四边形ABCD中，已知AD>AB.
（1）尺规作图：作∠BAD的平分线交BC于点E，在AD上截取AF=AB，连接EF：(保留作图痕迹，不写作法)
（2） 求证： 四边形ABEF 是菱形.
19．“爱你老己”是2025年底流行的网络热梗.“爱你老己”是“爱你自己”的意思，称自己为“老己”，仿佛在与一位相识多年的老朋友对话。亲切又幽默。九年级学生小明选用材质、颜色、大小均相同的四张卡片，分别将“爱”、“你”、“老”、“己”四个字书写在上面，并背面朝上反扣在桌上.
（1）小明随机在四张卡片中抽取一张，求小明抽取到写有“爱”字卡片的概率.
（2）小明随机在四张卡片中抽取两张，请用树状图或者表格分析，能凑成“老己”这个词的概率.
20．某品牌头盔4月份销量是150个，6月份销量是216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同.
（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；
（2）此种头盔的进价为30元/个，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少5个，为使月销售达到最大利润，则该头盔的实际售价应定为多少元/个
21．某校数学“综合与实践”小组在测量当地建筑书圣阁的高度时，形成了如下不完整的实践报告：
测量对象 书圣阁
测量目的 学会运用锐角三角函数有关知识解决生活实际问题
测量工具 无人机
测量方案 如测量示意图所示(图中各点均在同一竖直平面内)： 先将无人机从地面的点C处垂直上升90.7m至点 P.此时测得书圣阁的顶端A的
　 俯角∠DPA为16°：再将无人机从点P处向右沿水平方向飞行60m至点D，然后沿垂直方向上升20m至点Q，此时测得书圣阁的端A的俯角.
测量示意图
请求出书圣阁的高度AB.(结果保留整数，参考数据：
22．定义：在钝角三角形中，若钝角的度数恰好是其中一个锐角的度数与90度的和，则称这个钝角三角形为妙趣三角形。这个锐角叫做妙趣角。例如，如图1，△ABC是妙趣三角形，∠C是妙趣角。若∠B=130°，则∠C=∠B-90°=40°.
【概念理解】
（1）当妙趣三角形是等腰三角形时，妙趣角的度数为　 　：
（2）【性质探究】
如图2.数学兴趣小组发现，当△ABC是妙趣三角形，∠B是钝角.∠A是妙趣角时，存在 的结论，请你证明这个结论：
（3）【拓展应用】
如图3，AB是⊙O的直径，点 C，D 是圆上的两点，弦CD与AB 交于点 E，连接AD，BD，△ACE和△BCD 都是妙趣三角形，且∠CAE、∠DCB 分别为妙趣角.求器的值.
23．如图，抛物线 与x轴交于A，B两点(点A在点B左侧)，与y轴交于点 C.
（1）如图1，一次函数 的图象与坐标轴分别交于点M，N.点P是抛物线上的一个动点，过点 P作直线MN的垂线段，垂足为Q，求PQ的最小值：
（2）如图2，D是直线BC上方抛物线上一动点，作 DF⊥AB垂足为点F，交 BC于点E，连接CD，是否存在点 D，使△CDE是等腰三角形 若存在。请直接写出所有满足条件的点D的坐标：若不存在，请说明理由：
（3）如图3，在 (2)的条件下，连接OE，将线段OE绕点O 按顺时针方向旋转90°得到线段OG，连接AG，求线段AG的最小值.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】求有理数的相反数的方法
【解析】【解答】解： 2026 的相反数是-2026
故答案为：A.
【分析】根据相反数的定义可直接得出答案。
2．【答案】D
3．【答案】C
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：-1，3.33333，3.14是有理数，是无理数。
故答案为：C.
【分析】根据无理数的定义，逐项进行识别，即可得出答案。
4．【答案】D
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∠2=180°-45°-60°=75°。
故答案为：D.
【分析】根据平行线的性质及平角定义，即可得出答案。
5．【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，计算正确，符合题意；
B、，原选项错误，不符合题意；
C、与不是同类项，不能合并，原选项错误，不符合题意；
D、，原选项错误，不符合题意；
故选：A．
【分析】根据合并同类项，同底数幂的乘除法运算，幂的乘方运算逐项进行判断即可求出答案.
6．【答案】B
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：由几何体可得出 它的俯视图是：
故答案为：B.
【分析】根据俯视图的定义，结合几何体，即可得出答案。
7．【答案】B
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解： 设人数为x，球价为y，根据 每人出一钱，会多出4钱：每人出号钱，又差了3钱，即可得出方程组 ：
故答案为：B.
【分析】 设人数为x，球价为y，根据 每人出一钱，会多出4钱：每人出号钱，又差了3钱，即可得出方程组.
8．【答案】A
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解： 二次函数 ，
所以抛物线的对称轴为：x=1，
∵a=1＞0，
∴图像的最低点为（1，m-1），
∵1-（-2）=3，3-1=2，
∴y1＞y3＞y1
故答案为：A.
【分析】首先把二次函数的一般形式转化为顶点式，得出对称轴和开口方向，进而根据顶点坐标和各点与对称轴距离的大小，即可得出答案。
9．【答案】D
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：设半径OA绕轴心O按逆时针方向旋转的角度为n°，重物上升6πcm即点A旋转的弧线长度为6πcm，
∴，
解得：n=108°。
故答案为：D.
【分析】根据题意可得出重物上升6πcm即点A旋转的弧线长度为6πcm，然后根据弧长计算公式可得出答案。
10．【答案】B
【知识点】矩形的判定与性质；正方形的性质；三角形的中位线定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【解答】解：取的中点N，连接交于P，
设正方形的边长为，即，
∵N是的中点，M为的中点，，
∴，，
∴
又∵四边形是正方形，
∴四边形是矩形，，，
∴
∵，
∴
∴当时，，即
故选：B．
【分析】取的中点N，连接交于P，设正方形的边长为，即，根据三角形中位线定理可得MN，根据矩形判定定理可得四边形是矩形，，，根据边之间的关系可得MP，再根据勾股定理，结合二次函数的性质即可求出答案.
11．【答案】
【知识点】零指数幂；二次根式的混合运算；求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解 ： 4× +1=2+1
故答案为：.
【分析】首先根据特殊锐角的三角函数值和零整数指数幂的性质进行化简，然后再进行实数的混合运算即可。
12．【答案】1
【知识点】分式的加减法；同分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：=
故答案为：1.
【分析】根据同分母分式的加法进行计算，即可得出结果。
13．【答案】1： 9
【知识点】相似三角形的判定；比的性质；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：∵
∴
∵ DE∥BC，
∴
∴
故答案为：1： 9.
【分析】首先根据比的性质可得出，进而根据相似三角形的性质可得出，进而得出△DOE与△BOC的面积之比。
14．【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵是一元二次方程的两个实数根 ，
∴x1+x2=2，x1x2=-8，
∴，
故答案为：.
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，分别求出x1+x2=2，x1x2=-8，再代入求得 的值.
15．【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理；扇形面积的计算；旋转的性质；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：∵ ∠A=60°，AB=2，
∴S扇形ABF=，
∵ ∠ACB=90°，
∴∠ABC=30°，
∴AC=，
∴BC=，
∴S=
∵∠BCE=90°，
∴S扇形CBE=，
∴S阴影=S扇形CBE-（S扇形ABF-S）=
故答案为：.
【分析】根据S阴影=S扇形CBE-（S扇形ABF-S）即可得出阴影部分的面积。
16．【答案】解： (2a+b)2-(b-2a)(b+2a)
当a=-2， b=1时，原式=8×(-2)2+4×(-2)×1=8×4+(-8)=32-8=24.
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；有理数混合运算法则（含乘方）；利用整式的混合运算化简求值；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】首先根据完全平方公式和平方差公式进行整式的乘法运算，然后再合并同类项，得出化简结果，进而再把a=-2， b=1代入化简后的式子中，进行有理数的混合运算即可。
17．【答案】解：
∴
解得：
当时，
∴是原方程的增根，原方程无解.
【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【分析】方程两边同时乘以各个分母的最简公分母3(x+2)约去分母将分式方程转化为整式方程（注意左边的整式"-1”也要乘以最简公分母，不能漏乘），然后解整式方程求出x的值，进而检验即可得出原方程根的情况.
18．【答案】（1）解：如图，射线AE，线段AF即为所求.
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE=∠AEB，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE，
∴∠BAE=∠AEB，
∴AB=BE，
∵AF=AB，
∴AF=AE.
∵AF∥BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AB=AF，
∴四边形ABEF是菱形.
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）根据平分已知角的尺规作图，作出射线AE交BC于点E，再在AD上截取AF=AB即可；
（2）首先根据一组对边平行且相等可证得四边形ABEF是平行四边形，进而根据AB=AF即可得出四边形ABEF是菱形.
19．【答案】（1）解：P（小明抽到“爱”字卡片）=；
（2）解：根据题意，列出表格，如下：
　 爱 你 老 己
爱 　 你、爱 老、爱 己、爱
你 爱、你 　 老、你 己、你
老 爱、老 你、老 　 己、老
己 爱、己 你、己 老、己 　
一共有12种等可能结果，其中能读成“老己”这个词的有2种，
所以能读成“老己”这个词的概率
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【分析】（1）根据概率公式可直接得出答案；
（2）首先根据表格进行分析可得出一共有12种等可能结果，其中能读成“老己”这个词的有2种，进而根据概率计算公式即可得出答案。
20．【答案】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x，4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同.
由题意，得：
解得： x=0.2=20%或x=-2.2 (舍去)；
答：该品牌头盔销售量的月增长率为20%；
（2）解：设该品牌头盔的实际售价应定为m元/个，利润为w.
则
∵-5<0.
∴当m=95时，月销售利润最大；
故：为使月销售利润最大，该品牌头盔的实际售价应定为95元/个.
【知识点】二次函数的最值；一元二次方程的实际应用-百分率问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同.即可得出方程解方程并取适合题意的值即可；
（2）设该品牌头盔的实际售价应定为m元/个，利润为w，根据利润=（售价-进价）×销量，即可得出，进一步转化成二次函数的顶点式，根据二次函数的最值，即可解答。
21．【答案】解：如图，延长BA交QE于M，延长PD交MB于F.
由题可知，四边形QMFD、PCBF为矩形，
则QM=DF， MF=QD=20m， FB=PC=90.7m.
设QM= xm，则PF=(x+60) m.
在Rt△QMA中， ∠AQM=45°，
∴∠MAQ=45°=∠MQA.
则MA=QM= xm.
∴AF=(x-20) m.
在Rt△PFA中， ∠APF=16°，
∴AF=PF·tan∠APF.
即x-20= (x+60)×0.29.
解得x≈52.68.
则AB=90.7+20-52.68≈58(m).
答：书圣阁的高度约为58m.
【知识点】矩形的判定与性质；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】如图，延长BA交QE于M，延长PD交MB于F.设QM= xm，则PF=(x+60) m.在Rt△QMA中， ∠AQM=45°，可得出AF=(x-20) m.进而在在Rt△PFA中，根据可得出x-20= (x+60)×0.29.解方程求得x的值，进而得出AB的值。
22．【答案】（1）30°
（2）证明：如图，作BD⊥AB交AC于D.
∴∠ABD=90°.
∵△ABC是妙趣三角形，∠ABC是钝角，∠A是妙趣角，
∴∠ABC=∠ABD+∠DBC=90°+∠DBC=90°+∠A.
∴∠DBC=∠A.
又∵∠C=∠C，
∴△ABC∽△BDC，
（3）解：连接OC、OD，如图所示：
设∠CAB=α.
∵∠CAB是妙趣角，
则∠CEA=90°+α.
∠ACE=∠180°-(90°+α+α)=90-2α.
∵AB是直径.
∴∠ACB=90°.
则∠DCB=90°-(90°-2α)=2α.
∵∠DCB是妙趣角，
∴在△BDC中， ∠CBD=90°+∠DCB=90°+2α.
∵BC=BC，
∴∠CDB=∠CAB=α.
由∠BDC内角和可得∠CDB+∠CBD+∠DCB=α+90°+2α+2α=180°，
解得a=18°.
则∠ACE=90°-2×18°=54°.
∵∠CAB=a， AO=OC.
则
∴∠OCE=∠COE， ∠OED=∠OCE+∠COE=72°.
故 OE=CE，
∵CO=OD.
∴∠ODC=∠OCE=36°.
则.
即∠OED=∠DOE.
∴OD=DE.
∵∠OCE=∠COE=∠ODC=36°.
∴△OCE∽△DCO.
则△OCE∽△DCO.
∵CO=OD=ED.
【知识点】相似三角形的判定；一元一次方程的实际应用-几何问题；正切的概念；相似三角形的判定-AA；圆周角定理的推论
【解析】【解答】(1)解：设妙趣角的度数为x.
根据题意可得：
解得：
∴妙趣角的度数为30°.
故答案为： 30°.
【分析】（1）设妙趣角的度数为x，根据妙趣三角形的定义。即可得出解方程求解即可；
（2）如图，作BD⊥AB交AC于D.根据妙趣三角形的定义，可得出∠ABC=∠ABD+∠DBC=90°+∠DBC=90°+∠A.，进而得出∠DBC=∠A.进一步根据AA可得出△ABC∽△BDC，进一步的出结论；
（3）连接OC、OD，设∠CAB=α.首先根据妙趣角的定义，及圆周角定理的推论可得出∠CDB=∠CAB=α.进而根据三角形内角和得出a=18°.然后通过计算可得出△OCE∽△DCO.进而然后根据CO=OD=ED.即可得出
23．【答案】（1）解：如图，过P作PG∥y轴交MN于点G.
设 则
对于一次函数 令x=0，得y=6，令y=0，得x=-8，
∴OM=8. ON=6.
∵PG∥y轴.
∴∠PGQ=∠ONM.
∴sin∠PGQ=sin∠ONM.
为最小值
（2）解：对于抛物线表达 当x=0， y=3，
∴C(0. 3).
设直线BC表达式为： y= kx+b.则
解得：
∴直线.BC：
设点D的横坐标为t，
∵DE⊥AB，
∴D(t，-yt2+t+3). E(t，-1/2t+3).
①当DE=CE时，
解得：t=6-2 或t=0(舍).
②当CD=DE时，
整理得： r2(-t+1) =0.
解得： t=1或r=0(舍).
∴D(1，5)：
③当CD=CE时，
整理得：
解得： r=2或r=6(舍)或t=0(舍).
∴D (2， 4)：
（3）方法一：在y轴负半轴取点N(0，-6)，连接NG 并延长交x轴于点M，连接AN，
由旋转得： OE=OG，∠EOG=90°.
∵B(6. 0).
∴OB=ON.
∴△BOE≌△NOG(SAS).
∴∠CBO=∠MNO.
∴点 G在线段 MN上运动(不包括端点)。
∴当AG⊥MN时，AG最小，
∵∠CBO=∠MNO， OB=ON， ∠COB=∠MON.
∴△COB≌△MON(ASA).
∴OM=OC=3，
∴当AG⊥MN时，
方法2：设E(
∵OE绕O点顺时针旋转90°.
当t=2时，AG的最小值为
∴线段AG长度的最小值
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的最值；垂线段最短及其应用；二次函数图象上点的坐标特征；坐标系中的两点距离公式
【解析】【分析】（1）过P作PGIly轴，交MN于点G，设P（p，），则G（p，）求得sin∠ONM=，根据sin∠PGQ= sin∠ONM，用p的二次函数表示出PQ，利用二次函数的性质即可求解；
（2）用两点间距离公式分别表示三边，分类讨论，建立方程求解即可；设点D的横坐标为t，，①当DE=CE时，②当CD=DE时， D(1，5)：③当CD=CE时， D (2， 4)：
（3）方法一：在y轴负半轴取点N(0，-6)，连接NG 并延长交x轴于点M，连接AN，首先根据SAS可证得△BOE≌△NOG，得出∠CBO=∠MNO.进而根据ASA可证得△COB≌△MON，得出OM=OC=3，根据垂线段最短，可得出当AG⊥MN时，AG最小，根据勾股定理可得出，再利用面积法即可得出当AG⊥MN时，进而即可求得此时AG的值；方法2：设E( 根据旋转的性质可得出进而可得出进一步根据二次函数的最小值即可得出当t=2时，AG的最小值为
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